Tamtam Proceedings - lamsin

168 K. Saoudietc 1 + c 2 = 1 ∫(u 0 + v 0 ) dx|Ω|ΩPour la démonstration de ce théorème on s’appuiera sur les deux résultats préliminairessuivants :Lemme 3.1. Soit ϕ une fonction satisfaisant :ϕ ɛ L 1 (R + ), ∀ t ≥ 0 et ϕ(t) ≥ 0Alors :Preuve (par l’absurde)supposons que :lim ϕ(t) = ccte ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ t ε > 0 :t−→+∞ ≠0t ≥ t ε : ϕ(t) − c ≥ −εpour ε = c 2 :ϕ(t) ≥ c +∞2 ⇐⇒ ∫+∞ ∫ϕ(t) dt ≥ ϕ(t)dt ≥0t εlimt−→+∞+∞ ∫0c2ϕ(t) = 0.dt = +∞⇐⇒ ϕ /∈ L 1 (R + ) contradiction à l’hypothése, donc : lim ϕ(t) = 0.t−→+∞Lemme 3.2. soit (u, v) une solution globale de (1.2)-(1.3), alors :∫2∂u∣ ∂t ∣ dx.dt < +∞Qet∫2∂v∣ ∂t ∣ dx.dt < +∞Qoù :Q = [0, +∞[ × Ωet∑= [0, +∞[ × ∂ΩPreuve du lemme 3.2Faisons une multiplication de ∂u∂tpar la première équation du systèmes (1.2)-(1.3),intégrons le résultat obtenu sur Q et utilisons la formule de Green, on aura :TAMTAM –Tunis– 2005