Tamtam Proceedings - lamsin

Equilibre dans un système dynamique 147⎧∇ · [(1 − sx 1 ) 3 ∇q s ] = −s∀x = (x 1 , x 2 ) ∈ Ω⎪⎨q s = 0R(s) = 0sur ∂Ω(5)⎪⎩ a =√∫qsF(5) ⇐⇒ R(s) = 0.On montre aussi que :lim R(s) = +∞, lim R(s) = 0, ∂R (0) < 0, d’où le résultat qu’ons→1 s→0 ∂scherche.3.2. Cas bidimensionnelOn suppose que les hypothèses ( H ) et ( H 0)sont vérifiées.THÉORÈME 3.2. ∀F > 0, ∃x 0 ∈]0, 1[, tel que ∀ˆx 1 ≥ x 0 , il existe une solution(p, a, θ).Démonstration. b = a + θ 1 ∈]0, +∞[, r(x) = h 0(x)(1 − x 1 ) .⎧∇[ ( b + (1 − x 1 )(−θ 1 + r(x)) ) 3∇p] =∂∂x 1((1 − x1 )(−θ 1 + r(x)) )⎪⎨⎪⎩p = 0∫pdx = F∫ΩΩx 1 pdx = F ˜x 1(6)∫R(θ 1 ) = (x 1 − ˆx 1 )p avec p solution de (6) 1 , (6) 2 et (6) 3 .ΩPour la démonstration, on utilise les deux lemmes suivants :LEMME 3.1. ∃β > 0 tel que la fonction R(θ 1 ) est continue sur ] − ∞, −β[.TAMTAM –Tunis– 2005