Tamtam Proceedings - lamsin

Simulation des courants de Foucault harmoniques 337scalaire (µH 1 , µH 2 ) = (∂ x2 ϕ, −∂ x1 ϕ). Il est aisé, alors, de montrer que le potentielmagnétique ϕ satisfait le problème réduit suivant (voir [2]) :iωσϕχ ΩΓ − div (µ −1 ∇ϕ) = σCχ ΩΓ dans IR 2 , (2)[ϕ] = [µ −1 ∂ n ϕ] = 0 sur Γ, (3)|ϕ(x)| = α + O( 1 ) |x| → ∞, (4)|x|où ∂ n ϕ représente la dérivée normale de ϕ et χ ΩΓ désigne la fonction caractéristique deΩ Γ . Le terme source C est une fonction constante par morceaux qui s’annule dans l’espacelibre Ω ′ Γ . Les (C p = C |ΩΓp ) p dépendent du courant harmonique total I p circulant dans lesconducteurs Ω Γp . Dans la réalité, la condition à l’infini prend la forme ϕ(x) = α log |x|+O(1). Néanmoins, le facteur logarithmique est déterminé par la loi de Biot-Savart sous laforme α = − 1 ∑2π p I p ; dès lors l’utilisation d’un argument de splitting nous permet deretrouver le problème aux limite (2)–(4). Dans tout ce qui suit, pour toute frontière ferméeΣ ⊂ IR 2 , les symboles Ω Σ et Ω ′ Σ représentent, respectivement les domaines intérieur etextérieur délimités par Σ. Pour toute fonction ψ, ψ désigne son conjugué complexe. Deplus , toutes les fonctions sont à valeurs complexes.3. Résolution du modèle réduit par la méthode de SchwarzNous décrivons une variante de la technique de Schwarz pour le problème des courantsde Foucault (dans [4] Liu et Jin ont adopté l’algorithme de Schwarz dans la résolution desproblèmes de radiation et de diffraction électromagnétique). L’idée essentielle est d’avoirun équivalent variationnel discret issu de l’équation (2)–(4), accessible au calcul scientifique.Dans une première étape, nous faisons appel à la méthode de couplage FEM/BEMqui réunit les avantages substantiels des deux techniques FEM et BEM. Dès lors, le comportementde la solution à l’infini est traité par une condition à la limite artificielle exactenon-standard. Cette condition est exprimée au moyen d’une représentation intégrale surtoute frontière∫régulière Γ ∗ enserrant Ω∫Γ selon la formule :ϕ(x) = ϕG n (x, y) dγ(y) − ∂ n ϕG(x, y) dγ(y) + c = V Γ∗ ϕ(x) + c, (5)Γ ∗ Γ ∗c désigne une constante réelle, G(x, y), étant la fonction de Green de l’opérateur de Laplaceen dimension deux et G n (x, y) sa dérivée normale par rapport à y. Afin de profiterdes avantages de l’opérateur intégral V Γ∗ , nous définissons un problème équivalent dansun domaine borné. Nous introduisons alors, deux frontières fictives emboitées Γ ∗ et Σentourant le domaine Ω Γ . En vertu de la relation (5), nous imposons une condition à lalimite artificielle de type Neumann sur Σ ce qui permet de réécrire le problème réduitdans le domaine borné Ω Σ sous la formeiωσϕχ ΩΓ − div (µ −1 ∇ϕ) = σCχ ΩΓ dans Ω Σ , (6)TAMTAM –Tunis– 2005