Tamtam Proceedings - lamsin

Algorithme de Kohn et Vogelius 4331. Le problème inverse de RobinSoit Ω un domaine connexe borné de IR 2 de frontière ∂Ω de classe C 1,β avec β ∈]0, 1[. Supposons que sa frontière ∂Ω est divisée en deux ouverts connexe non videΓ N et γ tel que :∂Ω = γ ∪ Γ N .On considère le problème inverse (PI) suivant :⎧⎪⎨(PI)⎪⎩Imposer un flux de courant électrique φ ≢ 0.Effectuer des mesures de potentiels électrostatiquesf sur Γ N .Trouver une fonction q sur γ tel que la solution u q de⎧⎪⎨(PN)⎪⎩∂u∂nvérifie aussi u |ΓN = f.∆u = 0 dans Ω,∂u∂n = φ sur Γ N,+ qu = 0 sur γ,Soit n ∈ N, n ≥ 1 et on suppose que le flux φ ∈ W n,20 (Γ N ) tel que φ ≢ 0.Alors en se référant à [3], le problème inverse (PI) admet une solution unique noté ¯qdans Q ad défini par :Q n ad = {q ∈ C n 0 (¯γ) /|q (k) | ≤ c ′ , 0 ≤ k ≤ n, et q ≥ c XK }où c et c ′ sont deux constantes positives et K est un ouvert connexe non vide de γ tel que∂γ ∩ K = ∅.Sous ces hypothèses, u q ∈ C n,,1/2 (¯Ω) , u q|∂Ω ∈ W n+1,2 (∂Ω) et en se référant à [2]W n+1,2 (∂Ω) ⊂ C n,1/2 (∂Ω) alors f = u q|Γ est de classe C n sur Γ N .Pour q ∈ Q ad , on désigne par u N (q) la solution du problème de Neumann (PN) etpar u D (q, f) la solution du problème Robin-Dirichlet (PD)suivant :⎧⎪⎨(PD)⎪⎩∆u = 0 dans Ωu = f sur Γ N∂u∂n + q u = 0 sur γTAMTAM –Tunis– 2005