Tamtam Proceedings - lamsin

Une méthode d’accélération de convergence 345Lemme 2. Sous l’hypothèse (H) et. pour tout u, v ∈ R n , u ≤ T u + b, v ≤ T v + b.Soit z ∈ R n défini par z = max(u, v) [i.e. z i = max(u i , v i ), i = 1, ..., n] alors on a :z ≤ T z + b.Théorème 1.(cf.[4])Supposons que l’hypothèse (H) soit vérifiée. Soient T u 0 + b ≤ u 0 etun paramètre η k (η k > 0) défini parη k = mini∈I {[T (u k−1 − u k )] i[(I − T )(u k−1 − u k } = min)] ii∈I {[(I − T )u k − b] i[(I − T )(u k−1 − u k }.)] iCe minimum est choisi pour tout i vérifiant [(I − T )(u k−1 − u k )] i > 0, avec u k+1 =T u k + b, k = 0, 1, ...Alors la suite ũ k = min[u k+1 , u k + η k (u k − u k−1 )] est la meilleure approximation dupoint fixe u ∗ que les itérés u k ou u k+1 , et de plus cette suite préserve la propriété de lamonotonie (c.à.d u ∗ ≤ ũ k ≤ u k+1 ≤ u k , T ũ k + b ≤ ũ k ).Théorème 2.(cf.[4]) Supposons que l’hypothèse (H) soit vérifiée. Soient v 0 ≤ T v 0 + b etun paramètre µ k (µ k > 0) défini parµ k = mini∈I {[T (v k−1 − v k )] i[(I − T )(v k−1 − v k } = min)] ii∈I {[(I − T )v k − b] i[(I − T )(v k−1 − v k })] iCe minimum est choisi pour tout i vérifiant [(I − T )(v k−1 − v k )] i < 0 avec v k+1 =T v k + b, k = 0.1, ...Alors la suite ṽ k = max[v k+1 , v k + µ k (v k − v k−1 )] est la meilleure approximationdu point fixe u ∗ que les itérés v k ou v k+1 , et de plus elle préserve la monotonie (c.à.dv k ≤ v k+1 ≤ ṽ k ≤ u ∗ , ũ k ≤ T ũ k + b).Pour la résolution du problème itératif (7), nous décrivons l’algorithme itératif monotonepermettant de calculer la sur-solution et la sous-solution.Algorithme :Etape 0 :Considérons u 0 , v 0 ∈ R n tels que u 0 ≤ T u 0 + b et T v 0 + b ≤ v 0Etape 1 :{u(A lg 1)k+1 = T u k + bv k+1 = T v k pour k = 0, 1, 2, ....+ bL’algorithme accéléré :Etape 0 :Considérons u 0 , v 0 ∈ R n tels que u 0 < T u 0 + b et T v 0 + b < v 0 .Etape 1 : Pour k = 0, 1, ...{u(A lg 2)k+1 = max[T u k + b, u k + µ k (u k − u k−1 )]v k+1 = min[T v k + b, v k + η k (v k − v k−1 )].Le paramètre µ k (resp.η k ) est calculé par l’expression donnée dans le théorème 1 (resp.théorème 2). Pour le test de convergence de l’algorithme, on utilise la norme suivanteTAMTAM –Tunis– 2005