Tamtam Proceedings - lamsin

196 El Dabaghi et al.1. Motivation et position du problèmeEn mécanique des fluides, les phénomènes physiques sont concentrés dans une partiedu domaine de calcul et certains d’entre eux sont de nature anisotrope (couche limite,chocs, singularités,...). Le maillage du domaine de calcul d’écoulement adapté à la solutiondu modèle permet de mieux détecter et capturer le comportement des phénomènesà simuler et d’améliorer par conséquence la qualité des résultats numériques et aussi deréduire notablement la taille des maillages et ainsi de diminuer le temps de calcul des simulations.De plus, la prise en compte de l’anisotropie des phénomènes physiques dans lemaillage permet d’accentuer ces gains et d’accélerer la convergence. L’idée du couplagemaillage-modèle est de contrôler la génération d’un nouveau maillage dans un shéma decalcul, de telle manière que l’erreur de calcul estimée sur ce maillage, est soit bornée parun seuil donné, soit équi-répartie sur tout le maillage. Plus précisément, à partir de la solutionnumérique obtenue, l’erreur d’approximation commise est estimée localement viaun indicateur d’erreur. Ensuite, le processus consiste à modifier (adapter) le maillage afinde satisfaire l’estimateur d’erreur suivant cette métrique, en augmentant (resp. diminuant)la densité du maillage là où l’erreur est supérieure (resp. inférieure) à un seuil donné. Unefois le nouveau maillage construit, le champ de solutions est interpolé sur ce maillagepour continuer le calcul. Dans notre travail, on se penche sur l’écoulement d’eau dans unerivière, considéré en général non stationnaire graduellement varié à surface libre. De telsécoulements sont bien décrits par les équations de Navier-Stokes ou de Reynolds. Pour cetravail, nous avons adopté un modèle basé sur les équations de Saint-Venant pour décrirede manière acceptable ce type d’écoulement. Ce modèle dérive de l’intégration verticaledes équations de Reynolds ou de Navier-Stokes 3D sous les hypothèses standards. Onintroduit H, V les espaces des champs de solutions admissibles pour la hauteur et la vitesse,D(t) = D × [0, T ] le domaine spatio-temporel de l’écoulement (voir figure (1))et Z F l’équation du fond supposé immobile et sans dépôt. La formulation variationnellestandard associée s’écrit (voir [1] et [6]) :Pour tout H ′ ∈ H et tout (U ′ , V ′ ) ∈ V, trouver H ∈ H et (U, V ) ∈ V solution de :{ ∫DH ′{ ∂H∂t + ∂HU∂x+ ∂HV }dD = 0 ds D(t) (1.1)∂y⎧⎪⎨⎪⎩∫ {U ′[ ∂HU+ gH ∂Z fD ∂t+β uv HUV ∂U ′∂y + 1 ′∂UgH22∫+Γ)]+(Hτ xx U ′ η x + Hτ xy U ′ η y∂x − ΩHV + 1 ρ(τ F x− τ S x∂x − Hτ ∂U ′xx∂x − Hτ ∂U ′xy∂y[η x(β uu HUUU ′) + η y(β uv HUV U ′ + 1 2 gH2 U ′))]−(β uu HUU ∂U ′∂x)}dDdΓ = 0 ds D(t) (1.2)TAMTAM –Tunis– 2005