Tamtam Proceedings - lamsin

Approximation de l’opérateur d’impédance 45La différence w δ = u δ − u ∗ δest solution de⎧⎪⎨⎪⎩wδ ′′(x)+ Aw δ(x) = 0, x ∈ ]−1, 0[ ,w δ (−1) = 0,wδ ′ (0 −) − p +T δ (w δ (0)) = p +(T δ − Tδ ∗ p − p ) (u∗ δ (0)).−Pour estimer w δ il suffit d’estimer u ∗ δ (0) en fonction de g et f et (T δ − Tδ ∗) (u∗ δ (0))en fonction de u ∗ δ (0) et w δ en fonction de la donnée (T δ − Tδ ∗) (u∗ δ(0)). On a alorsavecw δ (x) = −∆ −1 (δ) [V (x + 1)V (1) + V (−x)] B −1 p + (T δ − T ∗ δ ) ∆ ∗ (δ) −1[2V (1)f + v 1 (0) − V (1)v 2 (−1)] .∆(δ) = [I + V (2δ)] −1 {p + [I − V (2δ)] [1 − V (2)] + p − [I + V (2δ)] [1 + V (2)]} .L’opérateur ∆(δ) est inversible et d’inverse borné avec∥∥∆(δ) −1∥ ∥ < ∞.supδ≥0On a∫ 0∆ ∗ (δ)u ∗ δ(0) = 2V (1)f − [V (2 + t) − V (−t)] B −1 g(t)dt.−1On majore l’opérateur B −1 (T δ − Tδ ∗) ∆∗ (δ) −1 en considérant la différence des fonctionsE(δ, z) = 1 − e−2δz1 + e −2δz et E∗ (δ, z) =δz1 + δ 2 z 22. On aE(δ, z) − E ∗ (δ, z) = ( 1 + e −2δz) ) −1−1(1 + δ 2 z22[ (1− e −2δz − 2δz ) )+(δz + δ 2 z2 (1− e−2δz )] .21∣z 2 E(δ, z) − 1 z 2 E∗ (δ, z)∣ ≤ 2(4 + δ |z|)δ21 + 2δ |z| cos θ . 11 − e ≤ −π/(2 tan θ) Cδ2 .Et donc B −2 (T δ − T ∗ δ ) converge vers 0 en norme opératorielle quand δ → 0 (en δ2 ).En utilisant le fait que B −1 et (T δ − T ∗ δ ) commuttent et que B∆∗ (δ) −1 est un opérateurborné (uniformément par rapport à δ) on peut écrireB −1 (T δ − T ∗ δ ) ∆ ∗ (δ) −1 = B −2 (T δ − T ∗ δ ) B∆ ∗ (δ) −1et donc B −1 (T δ − T ∗ δ ) ∆∗ (δ) −1 converge vers 0 en norme opératorielle quand δ → 0 (enδ 2 ).TAMTAM –Tunis– 2005