Tamtam Proceedings - lamsin

Problème d’obstacle bilatéral 5751. IntroductionSoient Ω un domaine borné de R n de frontière Γ = ∂Ω assez régulière, g ∈ H 1/2 (Γ)et ψ 1 ,ψ 2 ∈ H 1 (Ω), tels queT r(ψ 1 ) ≤ g ≤ T r(ψ 2 )On considère le problème d’inéquation variationnelle - dit problème d’obstacle bilatéral- :Trouveru ∈ K = {v ∈ H 1 g (Ω) : ψ 1 ≤ v ≤ ψ 2 p.p. dans Ω} (1)telle que∫Ω∇u∇(v − u) + 〈f, v − u〉 ≥ 0 ∀v ∈ K (2)où f ∈ L 2 (Ω) et H 1 g (Ω) = {v ∈ H 1 (Ω) / v = g sur Ω}.Ce problème admet une solution unique (voir D. Kinderlehrer et G. Stampacchia[5]).On suppose que ∆ψ 1 , ∆ψ 2 ∈ L 2 (Ω), avec ces hypothéses, nous pouvons écrire unautre problème d’inéquation variationnelle sans contraintes, équivalent à (1) − (2).Ce problème équivalent fait intervenir un terme non différentiable. Notre idée de régularisationconsiste à remplacer ce terme par un autre qui est différentiable, on obtientainsi une famille de problèmes d’équations aux dérivées partielles dont la suite des solutionsconverge vers la solution du problème initial (voir aussi [1] et [4] pour une régularisationen problème unilétéral).Par la méthode de dualité utilisant les fonctions conjuguées (voir I. Ekeland, R. Temam[2]) on fournit une estimation a-posteriori de l’erreur qui est désirée pour l’implémentationpratique de la méthode de régularisation.2. Reformulation et régularisation2.1. Reformulation de (1)-(2)Soit Ω un domaine borné de R n , de frontière Γ = ∂Ω assez régulière.Soient f ∈ L 2 (Ω), g ∈ H 1/2 (Γ), ψ 1 , ψ 2 ∈ H 1 (Ω), qu’on suppose vérifier :ψ 1 ≤ g ≤ ψ 2 p.p. sur Γ.∆ψ 1 , ∆ψ 2 ∈ L 2 (Ω)On notera :F = f − ∆ψ 2 ∈ L 2 (Ω). (3)TAMTAM –Tunis– 2005