Tamtam Proceedings - lamsin

576 Achchab et al.On définit : F + = max{F, 0} et F − = max{0, −F }.et ψ = ψ 1 − ψ 2 .Soit le convexe :K = {v ∈ H 1 g (Ω) : ψ 1 ≤ v ≤ ψ 2 p.p. sur Ω}.On considère le problème d’inéquation variationnelle suivant :(P ψ1,2 ){ Trouver u ∈ Ka(u, v − u) + 〈f, v − u〉 ≥ 0pour tout v ∈ Koù a(., .) est définie par∫a(u, v) = ∇u.∇vdx,Ω∀u, v ∈ H 1 (Ω).Le problème (P ψ1,2 ) admet une solution unique (voir D. Kinderlehrer et G. Stampacchia[5]).Dans toute la suite on utilisera la même notation g pour désigner un élément de H 1/2 (Γ)et un élément de H 1 (Ω) dont la trace sur Γ est g, de même par k = g−ψ 1 /Γ, on désigneraaussi un élément k de H 1 (Ω) dont la trace sur Γ est k.On va écrire le problème d’obstacle (P ψ1,2 ) sous une nouvelle forme.Théorème u est solution du problème (P ψ1,2 ) si et seulement si w = u − ψ 1 est solutiondu problème d’inéquation variationnelle suivant :{ Trouver w ∈ H1(P )k(Ω)a(w, v − w) + ϕ(v) − ϕ(w) + (H − , v − w) ≥ 0 pour tout v ∈ Hk 1(Ω) (4)Où ϕ est la fonctionnelle définie parϕ(v) = (F − , (v + ψ) − ) + (H + , v + )v ∈ H 1 k(Ω).et H = F + − ∆ψ2.2. Régularisation de (P )L’expression de la fonctionnelle ϕ nous fait penser à prendre ϕ ε sous la forme suivante:∫ϕ ε (v) = (F − ψ ε (v + ψ) + H + φ ε (v)dx), (ε > 0, destiné à tendre vers zero).ΩOù φ ε et ψ ε sont deux fonctions définies de R vers R, dérivables et convexes vérifiant :lim φ ε(t) = t + et lim ψ ε (t) = t −ε→0 ε→0TAMTAM –Tunis– 2005