Tamtam Proceedings - lamsin

344 A. Laouar et al.4. Description de la procédure d’accélérationL’introduction d’une telle procédure présente un grand avantage sur le plan calculatoirepuisqu’elle permet de réduire le temps de calcul sur ordinateur pour l’obtention dela solution numérique du problème. Pour assurer la monotonie de la suite des approximationssuccessives, nous avons besoin de rappeler et énoncer quelques définitions etthéorèmes essentiels.Pour deux vecteurs u et v de R n , la relation d’ordre naturel est définie par{ ∀ u, v ∈ R n , u ≤ v ⇐⇒ u i ≤ v i i = 1, ..., n∀ u, v ∈ R n , u < v ⇐⇒ u i < v i i = 1, ..., n.On pose d’une façon générale le système suivant :Au = b (5)où A=(a i,j ) est une matrice carrée d’ordre nxn et b = (b 1 , .., b n ) t .Ecrivons (5) sous la forme d’un problème de point fixeu = T u + b (6)et considérons l’hypothèse suivante :⎧⎨ T ∈ L(R n , R n ) est une matrice réelle de type , n × n,(H) positive, irréductible et tel que le rayon spectral ρ(T ) de T⎩soit strictement inférieur à 1.Notons par u ∗ le point fixe du problème (6).On définit l’algorithme des approximations successivesPour une donnée initiale u 0 ∈ R nu k+1 = T u k + b pour k = 0, 1, 2, .... (7)où u k est une suite de vecteurs de composantes {..., u k i , ...}.La suite {u k } définie en (7) peut converger vers le point fixe u ∗ pour tout u 0 ∈ R n ; maisbien entendu cette convergence n’est pas nécessairement monotone.Proposition 1.(cf.[7]) Supposons que l’hypothèse (H) soit vérifiée. Soit T u 0 + b ≤ u 0(resp. v 0 ≤ T v 0 + b) alors la suite u k (resp. v k ) définie par u k+1 = T u k + b (resp.v k+1 = T v k + b) satisfait u ∗ ≤ ... ≤ u k+1 ≤ u k ≤ ... ≤ u 0 ; lim u k = u ∗ (resp.v 0 ≤ T v 0 + b... ≤ v k ≤ v k+1 ... ≤ u ∗ ; lim v k = u ∗ .).Lemme 1.(cf.[5]) Sous l’hypothèse (H) et pour tout u, v ∈ R n , T u+b ≤ u et T v+b ≤ v.Soit z ∈ R n défini par z = min(u, v) [i.e. z i = min(u i , v i ),i = 1, ..., n] alors on aT z + b ≤ z.TAMTAM –Tunis– 2005