Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle 13 mai 2004
III.2.– Examiner le cas particulier où E 1 = H 2 (]0, 1[), E 2 = H 1 (]0, 1[) et E 3 = L 2 (]0, 1[)
en répondant aux questions suivantes :
III.2.1– Établir que pour tout ε > 0, il existe une constante C ε > 0 telle que
‖u ′ ‖ L 2 (]0,1[) ≤ ε‖u ′′ ‖ L 2 (]0,1[) + C ε ‖u‖ L 2 (]0,1[), ∀u ∈ H 2 (]0, 1[).
III.2.2– Expliquer pourquoi C ε explose lorsque ε tend vers zéro. Quelle est la valeur
optimale de C ε
III.3.– Qu’advient-t-il lorsque E 3 est de dimension finie
Exercice IV
On définit, pour tout t ∈ R, l’opérateur linéaire
T (t) : L 2 (R) → L 2 (R)
ψ ↦→ ϕ = T (t)ψ; ϕ(x) = ψ(x + t), ∀x ∈ R.
IV.1.– Montrer T (t) est bien défini et que la famille (T (t)) t∈R détermine un groupe continu
d’isométries sur L 2 (R).
IV.2.– Donner le générateur infinitésimal (qu’on appellera A) de ce groupe —il s’agit de
déterminer avec précision son domaine et son expression.
IV.3.– En déduire, lorsque ψ ∈ H 1 (R), la solution de l’équation d’advection
∂f
∂t
Que se passe-t-il si ψ ∈ L 2 (R)
∂f
(t, x) − (t, x)
∂x
= 0, ∀(t, x) ∈ [0, ∞[×R
f(0, x) = ψ(x).
Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2