Recueil d'Examens Analyse Fonctionnelle - lamsin

Examen – Analyse Fonctionnelle 16 Janvier 2010
2.4.– Montrer que la forme linéaire définie sur R(T ) par
l : z ↦→ (b, y), où z = T y,
se prolonge par continuité à H. En déduire qu’il existe d ∈ H tel que b = T ∗ d et
J(y) = 1 2 ‖T y − d‖2 − 1 2 ‖d‖2 , ∀y ∈ H.
avec ‖d‖ = √ −2γ. J est donc une fonctionnelle de moindres-carrés qui a une très grande importance
pour une certaine classe de problèmes.
Exercice II :
Soit Ω ⊂ R 2 un domaine borné régulier. On définit l’espace
H =
{
v ∈ H0 1 (Ω), ∆v ∈ L 2 (Ω)
}
.
muni de la norme
Soit la semi-norme |v| H = ‖∆v‖ L 2 (Ω).
‖v‖ H = (‖v‖ 2 H 1 (Ω) + ‖∆v‖2 L 2 (Ω) )1/2 , ∀v ∈ H.
1.— Montrer que | · | H est une norme et que (H, | · | H ) est un espace de Hilbert.
2.— Montrer que (−∆) : H → L 2 (Ω) est un isomorphisme symétrique et défini-positif.
3.— Montrer que l’injection canonique de H dans H 1 0 (Ω) est continue et dense.
4.— Pour les domaines Ω réguliers, on admet que H coïncide avec H 2 ∩ H 1 0 (Ω) (H = H 2 ∩ H 1 0 (Ω)).
Montrer que les normes | · | H et ‖ · ‖ H 2 (Ω) sont équivalentes.
5.— Vérifier que l’application R : (−∆) −1 est autoadjointe. Montrer qu’elle est compacte de L 2 (Ω) dans
L 2 (Ω).
6.— Utiliser le théorème de Hilbert-Schmidt, pour établir l’existence d’une base Hilbertienne (ζ k ) k≥1 de
L 2 (Ω), et une suite de réels (λ k ) k ⊂]0, +∞[ telles que
Vérifier que λ k → ∞.
−∆ζ k = λ k ζ k , dans Ω
ζ k = 0, sur ∂Ω
7.— On se place dans le cas où Ω =]0, 1[. Construire (ζ k ) k≥1 et (λ k ) k ⊂ R. En déduire la plus petite
constante γ de l’inégalité de Poincaré, qui vérifie donc
‖v‖ L 2 (Ω) ≤ γ|v| H 1 (Ω),
∀v ∈ H 1 0 (Ω).
8.— On souhaite montrer que pour certains domaines Ω non réguliers, le résultat de 4. est faux. Soit C
le secteur du disque unité d’angle ω ∈]π, 2π[.
C =
{
(x, y) = (r cos θ, r sin θ), 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ ω
}
.
On pose f = sin( π ω θ) ∈ L2 (C). On cherche u = α(r) sin( π ω
θ) vérifiant
−∆u = f, dans C
u = 0, sur ∂C
Donner l’équation sur α. La résoudre (chercher des solution de type r b , b ∈ R. En déduire que u ∈ H et
u ∉ H 2 (C).
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Mastère de Mathématiques Appliquées 2/2