Chapitre 3 - lamsin

on a :p∑λ i,p g(t i ) = ∑λ i,p g(t i ) + ∑i=0i≺p/2= ∑i≺p/2λ i,p g(t i )On conclut donc que E p+1 (g) = 0.i≻p/2− ∑i≺p/2λ p−i,p g(t p−i )λ i,p g(t i ) = 0.Proposition 3.2.1Si p est impair, alors la formule (4.3) est de degré ≥ p.Si p est pair, alors la formule (4.3) est de degré ≥ p + 1.DémonstrationOn a pour i ≤ p∫ 1−1L i (t)dt = 2 λ i,pOr par construction { les polynômes L i vérifient :1 si i = jL i (t j ) =0 si i ≠ jdoncp∑λ j,p L i (t j ) = λ i,p .j=0Si on applique la formule (4.3) aux polynômes de base de Lagrange L i , on obtient :∫ 1p∑L i (t)dt = 2 λ j,p L i (t j ) + E p+1 (L i )−1j=0on tire donc que E p+1 (L i ) = 0Comme les polynômes de Lagrange L 0 , L 1 , ...., L p forment une base de l’espace vectoriel IP p ona alors : pour tout P ∈ IP p E p+1 (P ) = 0. Donc la formule est de degré≥ p.Si, de plus, p est un entier pair alors la fonction g(t) = t p+1 est une fonction impaire et doncE p+1 (t p+1 ) = 0, d’après le lemme 3.3.Proposition { 3.2.2p si p est impairSoit N =p + 1 si p est pairon a {p∑λ j,p t k j = 0 pour k ≤ N , k impair1j=0k +1pour k ≤ N , k pairp∑En particulier λ j,p = 1.i=0DémonstrationD’après la proposition 3.1, on a ∀ k ≤ N E p+1 (t k ) = 0. Ce qui donne :p∑∫ {12 λ j,p t k j = t k 0 si k ≤ N et k impairdt =2−1k +1si k ≤ N , k pairi=044