7.3 Estimation par Intervalle slide 306 - STAT

Des IC approximatifs
En général on construit des ICs approximatifs à l’aide du théorème central limite. Rappelons que la
plupart des statistiques se basant sur les moyennes (implicites ou explicites) des variables
Y =(Y 1 ,...,Y n ) ont des lois normales pour n grand. Si T = t(Y ) est un estimateur de θ avec
écart-type √ V ,etsi
T ∼ · N(θ, V ),
alors (T − θ)/ √ V ∼ · N(0, 1). Ainsi
{
Pr z α2 < (T − θ)/ √ } .=Φ(z1−α1
V ≤ z 1−α1 ) − Φ(z α2 )=1− α 1 − α 2 ,
impliquant qu’un IC (approx) de niveau (1 − α 1 − α 2 ) pour θ est
(T − √ Vz 1−α1 ,T − √ Vz α2 ).
L’exemple 278 en est un exemple, avec T =2Y et V = T 2 /(3n), carpourn grand on a
B I ≈ T − Tz 1−α1 /(3n) 1/2 , B S ≈ T − Tz α2 /(3n) 1/2 .
Probabilités et Statistique pour SIC slide 313
Moyenne et variance d’un échantillon normal
Un cas très important où les IC exacts sont disponibles est l’échantillon normal.
Théorème 282. Soient Y 1 ,...,Y n
iid ∼N(µ, σ 2 ), alors
Y ∼N(µ, σ 2 }
/n)
(n − 1)S 2 = ∑ n
j=1 (Y j − Y ) 2 ∼ σ 2 χ 2 n−1
indépendantes
où χ 2 ν
represente la loi khi-deux avec ν degrés de liberté.
Ainsi si σ 2 est inconnu,
Y − µ
√
S 2 /n ∼ t n−1,
(n − 1)S 2
σ 2
∼ χ 2 n−1
sont des pivots que l’on peut utiliser pour trouver des IC à (1 − α) × 100% pour µ et σ 2 ,
respectivement, de forme
Y ± √ S ( (n − 1)S
2
)
(n − 1)S2
t n−1 (α/2),
n χ 2 ,
n−1 (1 − α/2) χ 2 n−1 (α/2) ,
où t ν (p) et χ 2 ν (p) sont les quantiles des lois Student t avec ν degrés de liberté et khi-deux avec ν
degrés de liberté.
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