7.3 Estimation par Intervalle slide 306 - STAT

7.3 Estimation par Intervalle slide 306
Pivots
Un élément clé de la statistique est de donner une idée de l’incertitude d’un constat.
Soit θ un paramètre inconnu, et soit t =1la valeur d’une estimation de θ basée sur un échantillon de
taille n :
– alors si n =10 5 on est beaucoup plus sûr que θ ≈ t que si n =10;
–enplusdet on aimerait ainsi donner un intervalle qui serait plus large quand n =10que quand
n =10 5 , pour expliciter l’incertitude liée à t.
Rappels :
–lesdonnées y 1 ,...,y n sont traitées comme une réalisation
–d’unéchantillonY 1 ,...,Y n tiré d’un modèle statistique f(y; θ)
–dontleparamètre θ est considéré comme inconnu,
–estiméparl’estimateur T = t(Y 1 ,...,Y n ) dont la réalisation est t = t(y 1 ,...,y n ).
On doit donc trouver un moyen de lier θ et y 1 ,...,y n .
Définition 275. Soient Y =(Y 1 ,...,Y n ) des données issues d’une loi F avec paramètre θ. Alors un
pivot est une fonction Q = q(Y,θ) dont la loi est connue et qui ne dépend pas de θ. On dit alors que
Q est pivotale.
Exemple 276. Soient Y 1 ,...,Y n
iid ∼ U(0,θ) avec θ inconnu, M =max(Y1 ,...,Y n ) et
Y = n −1 ∑ Y j . (a) Montrer que Q 1 = M/θ est un pivot ; (b) utiliser le théorème central limite pour
trouver un pivot approximatif Q 2 pour n grand, basé sur Y .
Probabilités et Statistique pour SIC slide 307
Les intervalles de confiance
Définition 277. Soient Y =(Y 1 ,...,Y n ) des données issues d’une loi paramétrique F de paramètre θ
scalaire. Un intervalle de confiance (B I ,B S ) pour θ est une statistique sous forme d’intervalle qui
contient θ avec un probabilité spécifiée. Cette probabilité s’appelle le niveau de l’intervalle. Noter que
–leslimitesB I ,B S sont des fonctions des données Y 1 ,...,Y n et non pas des inconnus ;
– un intervalle de confiance bilatéral, de la forme (B I ,B S ) est le plus souvent utilisé, mais
– un intervalle de confiance unilatéral, de la forme
(−∞,B S ) ou (B I , ∞),
est parfois utile, B S et B I étant les bornes de confiance supérieure et inférieure pour θ.
Si nous écrivons
Pr{θ ∈ (−∞,B S )} =Pr(θB I )=1− α I ,
alors le niveau de l’intervalle (B I ,B S ) est
Pr (B I ≤ θ

Construction d’un IC
– Avec l’aide d’un pivot, on peut construire des IC pour θ :
1. on trouve un pivot Q = q(Y,θ) qui contient θ ;
2. on obtient les quantiles q 1−α1 , q α2 de Q ;
3. puis on transforme l‘équation
en la forme
Pr{q α2 ≤ q(Y,θ) ≤ q 1−α1 } =1− α 1 − α 2
Pr(B I ≤ θ ≤ B S )=1− α 1 − α 2 ,
où les bornes B I , B S sont fonction de Y , q α2 , q 1−α1 ,etpasdeθ.
– Dans beaucoup de cas, les bornes sont d’une forme standard.
– Pour les IC unilatéraux, on peut prendre soit α 1 =0soit α 2 =0.
Exemple 278. Dans l’exemple 276, trouver les IC basés sur Q 1 et Q 2 .
Exemple 279. Un échantillon de n =16plaques des voitures vaudoises a maximum 523308 et
moyenne 320869. Donner des IC bilatéraux à 95% pour le nombre de voitures vaudoises.
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Interprétation d’un IC
– (B I ,B S ) est un intervalle aléatoire qui contient θ avec probabilité 1 − α.
– On imagine une suite infinie de répétitions de l’expérience qui a donné (B I ,B S )
–L’ICquel’onacalculéestundesICspossibles,etonpeutconsidérer qu’il a été choisi au hasard
parmi ces possibilités.
– Bien que nous ne sachions pas si notre IC contient θ, cet événement a une probabilité 1 − α.
– Pour illustrer ce raisonnement, ici le paramètre θ (vert) est contenu (ou pas) dans des réalisations
de l’IC (rouge) :
Repetition
0 20 40 60 80 100
−2 0 2 4 6 8 10 12
Parameter
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Rélation avec des tests
Il y a une relation intime entre les IC et les tests d’hypothèse concernant les paramètres.
–SoitH 0 : θ = θ 0 une hypothèse nulle concernant un paramètre θ.
–SoitI =(B I ,B S ) un IC au niveau (1 − α) × 100% pour θ.
– Alors
–siθ 0 ∈I, on considère que θ 0 est compatible avec les données, et on ne rejette pas H 0 au niveau
α.
– Si par contre θ ∉ I, on considère que θ 0 est incompatible avec les données au niveau α, eton
rejette H 0 .
– Donc une manière générale de faire un test au niveau α sur θ est de construire un IC au niveau
(1 − α) et d’accepter tout θ se trouvant dans le IC, et de rejéter toute autre valeur de θ.
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Les écart-types
Dans le plupart des cas, on utilise des pivots approximatifs, basés sur des estimateurs, dont on a
besoin d’estimer les variances.
Définition 280. Soient T = t(Y 1 ,...,Y n ) un estimateur de θ, τn 2 =var(T ) sa variance, et
V = v(Y 1 ,...,Y n ) une statistique estimateur de τn 2. Alors on appelle V 1/2 (également sa réalisation
v 1/2 )uné c a r t - t y p dee
T .
Théorème 281. Soient T un estimateur et V son écart-type se basant sur un échantillon de taille n,
avec
T − θ D V P
−→ Z, −→ 1, n →∞,
τ n
où Z ∼N(0, 1). Alors par le théorème 237 on a
τ 2 n
T − θ
V 1/2
= T − θ
τ n
× τ n
V 1/2
D −→ Z,
n →∞.
Implication : En construisant un IC par le TCL, on peut remplacer τ n par V 1/2 .
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Des IC approximatifs
En général on construit des ICs approximatifs à l’aide du théorème central limite. Rappelons que la
plupart des statistiques se basant sur les moyennes (implicites ou explicites) des variables
Y =(Y 1 ,...,Y n ) ont des lois normales pour n grand. Si T = t(Y ) est un estimateur de θ avec
écart-type √ V ,etsi
T ∼ · N(θ, V ),
alors (T − θ)/ √ V ∼ · N(0, 1). Ainsi
{
Pr z α2 < (T − θ)/ √ } .=Φ(z1−α1
V ≤ z 1−α1 ) − Φ(z α2 )=1− α 1 − α 2 ,
impliquant qu’un IC (approx) de niveau (1 − α 1 − α 2 ) pour θ est
(T − √ Vz 1−α1 ,T − √ Vz α2 ).
L’exemple 278 en est un exemple, avec T =2Y et V = T 2 /(3n), carpourn grand on a
B I ≈ T − Tz 1−α1 /(3n) 1/2 , B S ≈ T − Tz α2 /(3n) 1/2 .
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Moyenne et variance d’un échantillon normal
Un cas très important où les IC exacts sont disponibles est l’échantillon normal.
Théorème 282. Soient Y 1 ,...,Y n
iid ∼N(µ, σ 2 ), alors
Y ∼N(µ, σ 2 }
/n)
(n − 1)S 2 = ∑ n
j=1 (Y j − Y ) 2 ∼ σ 2 χ 2 n−1
indépendantes
où χ 2 ν
represente la loi khi-deux avec ν degrés de liberté.
Ainsi si σ 2 est inconnu,
Y − µ
√
S 2 /n ∼ t n−1,
(n − 1)S 2
σ 2
∼ χ 2 n−1
sont des pivots que l’on peut utiliser pour trouver des IC à (1 − α) × 100% pour µ et σ 2 ,
respectivement, de forme
Y ± √ S ( (n − 1)S
2
)
(n − 1)S2
t n−1 (α/2),
n χ 2 ,
n−1 (1 − α/2) χ 2 n−1 (α/2) ,
où t ν (p) et χ 2 ν (p) sont les quantiles des lois Student t avec ν degrés de liberté et khi-deux avec ν
degrés de liberté.
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Densités de khi-deux et de Student
PDF
0.0 0.2 0.4
1
2
4
6
10
PDF
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 5 10 15 20
w
-4 -2 0 2 4
t
Densités (à gauche) χ 2 ν avec ν =1, 2, 4, 6, 10, et (à droite) t ν avec ν =1(le plus bas au centre), 2, 4,
20, ∞ (plus haut au centre).
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Exemple
Exemple 283. On suppose que la résistance X d’un certain type d’équipements électriques est
distribuée approximativement suivant une loi normale avec S 2 =0.12 2 ohm 2 .Unéchantillondetaille
n =9a donné comme moyenne empirique la valeur x =5.34 ohm.
(a) Trouver un IC bilatéral pour µ au niveau 95%.
(b) Trouver un IC à 95% pour σ 2 .
(c) Dans (a), qu’est-ce qui change s’il est connu que σ 2 =0.12 2
Note : Le remplacement d’un σ 2 inconnu par S 2 élargit l’IC, car la variabilité de S augmente
l’incertitude concernant µ.
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Commentaires
– Un IC donne non seulement une idée d’où se trouve un paramètre inconnu, mais sa largeur donne
en plus un sens de la précision de l’estimation.
– En générale la largeur varie comme n −1/2 ,etdoncmultiplierpar100latailledel’échantillon
augmente la précision par un facteur de 10 seulement.
– La construction des IC se base sur les pivots, souvent utilisant le théorème centrale limite pour
approcher la loi d’un estimateur, et donc souvent approximatifs.
– Dans certains cas, notamment pour des modèles normaux, les IC exactssontdisponibles.
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