Exercices corrigés de probabilités et statistique - Fabrice Rossi

18 CHAPITRE 2. CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE
Correction
On appelle Ω l’ensemble de tous les possesseurs de téléphone pris en
compte dans l’étude. L’expérience aléatoire consiste à choisir au hasard
une personne dans cet ensemble. L’énoncé se traduit alors comme suit :
– on note E 4 l’évènement « la personne choisie possède un téléphone
avec un écran de 4 pouces » (idem pour E 4,7 et E 5 ) ;
– on note P E l’évènement « le téléphone de la personne choisie possède
une protection d’écran » ;
– on a
P(E 4 ) = 0,3,
P(P E|E 4 ) = 0,3,
P(P E|E 4,7 ) = 0,25,
P(P E|E 5 ) = 0,4.
Notons que sans la modélisation effectuée ci-dessus, la résolution de l’exercice
devient délicate et hasardeuse. Il faut aussi que la modélisation soit juste !
Il est ainsi fréquent d’inverser le conditionnement lors de la traduction de
l’énoncé. Ici, on parle par exemple des « possesseurs d’écran 4 pouces », ce qui
sous-entend que l’évènement E 4 est réalisé de façon sûre. On est donc bien en
train de spécifier P(P E|E 4 ) et non pas P(E 4 |P E). Pour donner une indication
sur cette dernière probabilité, on aurait écrit quelque chose comme « parmi
les possesseurs de protection d’écran, x % possèdent un écran 4 pouces », soit
donc P(P E|E 4 ) = x. Dans tous les cas, il faut impérativement identifier ce qui
est certain pour déterminer l’évènement de conditionnement.
Correction
L’énoncé précise que P(P E) = 0,34. Or, les évènements E 4 , E 4,7 et E 5
forment une partition de Ω (d’après l’énoncé, le fabricant se limite à ces
tailles), on peut appliquer la loi des probabilités totales, ce qui donne :
P(P E) = 0,34,
= P(P E|E 4 )P(E 4 ) + P(P E|E 4,7 )P(E 4,7 ) + P(P E|E 5 )P(E 5 ),
= 0,9 + 0,25 × P(E 4,7 ) + 0,4 × P(E 5 ).
Pour la même raison, on a P(E 4 ) + P(E 4,7 ) + P(E 5 ) = 1. On obtient ainsi
deux équations à deux inconnues :
0,25 = 0,25 × P(E 4,7 ) + 0,4 × P(E 5 ),
0,7 = P(E 4,7 ) + P(E 5 ).