Exercices corrigés de probabilités et statistique - Fabrice Rossi

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Question 3 On suppose maintenant que F est la fonction de répartition de
Y , une variable aléatoire réelle absolument continue (et donc que les conditions
établies à la première question sont vérifiées). On suppose de plus que P(Y ∈
[−1; 0,5]) = 5 8
. En déduire les valeurs des réels a, b, c, d et e.
Question 4 Calculer E(Y ) et V (Y ) pour la variable Y décrire à la question
précédente.
Correction
On vérifie dans un premier temps les conditions sur les limites. On constate
que lim x→−∞ F (x) = 0, comme cela doit être le cas. On constate d’autre
part que lim x→∞ F (x) = e, ce qui impose e = 1.
Le traitement des conditions limites est en général la partie la plus facile de
l’analyse d’une fonction de répartition. On conseille donc de commencer par
cette partie.
Correction
Comme F doit être la fonction de répartition d’une variable aléatoire
absolument continue, il faut que F soit continue sur R tout entier. On
constate que sur chaque intervalle de sa définition, F est continue, car elle
est soit constante, soit affine, soit quadratique. Il faut donc simplement
vérifier que F est continue aux bornes de ces intervalles.
Par continuité de x ↦→ a(x + b) 2 , on a lim x→−2 a(x + b) 2 = a(b − 2) 2 .
Pour que F soit continue en −2, il faut donc que a(b − 2) 2 = F (−2) = 0.
De même, par continuité de x ↦→ cx + d, on a lim x→0 cx + d = d. Pour
que F soit continue en 0, il faut donc que d = F (0) = ab 2 .
Enfin, on a lim x→1 e = e = 1. Pour que F soit continue en 1, il faut
donc que F (1) = c + d = 1.
En résumé, F est continue si et seulement si :
a(b − 2) 2 = 0
d = ab 2
c + d = 1
Le raisonnement présenté au dessus est typique d’une démonstration de continuité
pour une fonction définie par morceaux. Pour que la fonction soit continue,
il faut en effet qu’elle soit continue sur chaque morceau, mais aussi que tout
se passe bien à chaque transition entre deux morceaux. Pour analyser ces
points, on s’appuie sur la continuité de la fonction sur chaque intervalle, en
faisant comme si la définition sur l’intervalle s’appliquait aussi aux bornes.
Dans l’exemple ci-dessus, on considère par exemple qu’il y a deux définitions
pour la valeur de F en 0, la vraie définition (donnée par a(x + b) 2 évalué en
0) et la « définition » obtenue en calculant la limite de la formule sur l’autre