Exercices corrigés de probabilités et statistique - Fabrice Rossi

24 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
les billes sont à priori équiprobables. Donc tout évènement « f et b » est de
probabilité 1
16
ce qui revient exactement à dire que la probabilité est uniforme
sur Ω 2 .
Notons pour finir que cette analyse n’est pas nécessaire pour déterminer
Y (Ω) car le texte de l’énoncé permet d’énumérer les valeurs possibles de façon
directe. Cependant, le calcul de P Y est facilité par l’écriture explicite de Ω 2 et
la détermination de P.
Correction
On constate dans Ω 2 que Y peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 et 5. On
obtient donc
Y (Ω 2 ) = {0, 1, 2, 3, 5}.
Le calcul de P Y
Correction
se fait comme celui de P X ci-dessus. Par exemple on a
P Y ({2}) = P(Y −1 ({2}) par définition de P Y
= P({2} × {2}) par définition de Y
=
|{2} × {2}|
|Ω 2 |
= 1 16 .
car P est uniforme
En procédant de la même manière pour les autres valeurs, on obtient la
loi suivante
y 0 1 2 3 5
P(Y = y)
1
16
4
16
Le rappel de définition proposé ci-dessus pour P Y n’est pas nécessaire, puisque
nous avons déjà fait ce rappel pour P X . En revanche, tout le développement sur
l’univers Ω 2 et sa probabilité doivent se trouver dans la réponse (soit donc dans
la réponse précédent, soit ici), faute de quoi le calcul de la loi de Y n’est pas
justifié. Une stratégie peut être par exemple de détailler le calcul de P(Y = y)
pour une valeur de y en revenant à des évènements sur Ω 2 , comme dans la
remarque précédente qui s’appuyait sur le conditionnement. Quelle que soit la
solution choisie, il faut impérativement une justification !
1
16
5
16
5
16
On calcule E(Y ) comme suit
Correction
E(Y ) = 0 × 1 16 + 1 × 4 16 + 2 × 1 16 + 3 × 5
16 + 5 × 5 16 ,
= 46
16 = 23 8 .