Exercices corrigés de probabilités et statistique - Fabrice Rossi

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c = 1. On obtient donc
a b c d e
0 quelconque 1 0 1
La fonction F devient alors beaucoup plus simple et est donnée par
⎧
⎪⎨ 0 si x ≤ 0
F (x) = x si x ∈]0,1]
⎪⎩
1 si x > 1
On reconnaît la fonction de répartition de la loi uniforme sur l’intervalle
[0,1].
Correction
On suppose maintenant que P(Y ∈ [−1; 0,5]) = 5 8 . On a
5
= P(Y ∈ [−1; 0,5])
8
= P(Y ∈] − 1; 0,5]) car Y est une variable aléatoire continue
= F (0,5) − F (−1) par définition d’une fonction de répartition
= c + d − a(b − 1)2
2
Comme dans la question précédente, on étudie d’abord la condition a(b −
2) 2 = 0. Si a = 0, on a aussi d = ab 2 = 0 (et la valeur de b n’importe plus).
D’après la condition c + d = 1, on a c = 1. L’équation sur P(Y ∈ [−1; 0,5])
ne peut alors pas être satisfaite car c 2 + d − a(b − 1)2 = 1 2 .
Donc a > 0, ce qui impose b = 2 et d = 4a. En remplaçant dans
l’équation sur P(Y ∈ [−1; 0,5]), on obtient
5
8 = c 2 + 3a.
En utilisant c + d = 1 = c + 4a, on obtient c 2 = 1 − 2a puis, a = 1 8 puis
d = 1 2 et c = 1 2 . En résumé a b c d e
1 1
8
2
2
1
2
1
Correction
Pour calculer l’espérance et la variance de Y , on doit déterminer sa densité