Exercices corrigés de probabilités et statistique - Fabrice Rossi

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[0,1], et en utilisant la primitive déterminée à la question précédente, on a
∫ ∞
P(X ≥ 0,5) = f(x)dx,
0,5
∫ 1
= f(x)dx,
0,5
[ a
=
3 x3 + bx
] 1
0,5
= a 3 + b − a 3 × 1 8 − b × 1 2 ,
= 1 − a 24 − b 2 .
,
Une erreur courante dans l’analyse précédente consiste à confondre densité
f et fonction de répartition F . On sait en effet que, par définition, si F X
est la fonction de répartition de X, P(X ≥ 0,5) = 1 − F X (0,5) (on a utilisé
la continuité de X pour s’affranchir de problèmes aux bornes de intervalles).
Si on confond f et F , on peut être tenté d’écrire (ce qui est faux !) que
P(X ≥ 0,5) = 1 − f(0,5) = 1 − a 4
− b. On obtient alors un résultat totalement
différent dans la suite (et, insistons sur ce point, faux).
Correction
En utilisant les résultats de la première question, on a donc deux équations
à deux inconnues :
a
3 + b = 1,
1 − a 24 − b 2 = 1 8 .
En utilisant b = 1 − a 3
dans la deuxième équation, on obtient
1 − a 24 − 1 2 + a 6 = 1 8 ,
ce qui donne a = 3, puis b = 0 (et donc f(x) = 3x 2 sur [0,1]). On remarque
que les valeurs de a et b sont compatibles avec les inégalités établies à la
question 1 et donc qu’on obtient bien une densité.
La dernière vérification est très importante. On pourrait en effet supposer
par exemple que P(X ≥ 0.5) = 1
16
. Des calculs similaires à ceux effectués
ci-dessus donnent a = 7 2
. Or, cette valeur n’est pas acceptable d’après les
contraintes obtenues à la question 1. L’hypothèse P(X ≥ 0.5) = 1
16
entre donc
en contradiction avec l’hypothèse sur la densité de X. Ce n’est pas le cas avec
l’hypothèse P(X ≥ 0.5) = 1 8 !