Examen de statistiques : corrigé 1. (i) Vrai, par le lemme de Slutsky ...

2. (a) On a la vraisemblance
L(ψ) =
n∏
i=1
donc la log-vraisemblance
n∑
l(ψ) = − log(x i !) + ψ
et on obtient
De plus, on a
i=1
exp(ψx i − exp(ψ))
,
x i !
n∑
x i − n exp(ψ)
i=1
∂l
n∑
∂ψ = −n exp(ψ) + x i ⇒ ˆψ = log(¯x).
i=1
∂ 2 l
= −n exp(ψ) ⇒ i(ψ) = n exp(ψ).
∂ψ2 (b) Elle est utilisée pour le calcul de l’efficacité relative asymptotique
de deux schémas d’échantillonnage et c’est la variance asymptotique
de la statistique du score.
(c) Par la loi faible des grands nombres, on a ¯X −→ λ. Or, la fonction
g(x) = log(x) est continue en x ≠ 0, donc log( ¯X)
P
−→ ψ et ˆψ est
consistant.
De plus, par le Thèorème Central Limite, on a
¯X − λ
√
λ/n
D
−→ N (0, 1).
On applique la méthode delta avec g(x) = log(x) pour obtenir
ˆψ − ψ
√
λ/n/n
−→ D
N (0, 1) càd ˆψ −→ D
N (ψ, (nλ) −1 ).
(d) On a ∑ n
i=1 X i ∼ Poiss(nλ), et donc
[ ( )]
E[ ˆψ] 1
n∑
= E log X i
n
i=1
( n∑
)
= P X i = 0 log(0) +
i=1
∞∑
k=1
P
( k −nλ (nλ)k
log e .
n)
k!
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