Examen de statistiques : corrigé 1. (i) Vrai, par le lemme de Slutsky ...

4. (a) On a
[ ]
M Y (t) = E e tT Y
[
= E
}
= exp
{ 1
2 σ2 t T t
e (AT t) T X
.
]
= M X
(
A T t )
Ainsi, (Y 1 , . . . , Y n ) T ∼ N n (0, σ 2 I n ).
(b) La matrice définie par la définition des Y i est orthogonale, et donc
Y ∼ N n (0, σ 2 I n ). Ainsi, les Y i sont indépendants. De plus, on a,
d’une part
Y 1 = √ 1 n∑
X i = √ n ¯X
n
et, d’autre part,
i=1
n∑
Xj 2 = X T X = X T A T AX = Y T Y =
j=1
n∑
j=1
Y 2
j = n ¯X 2 +
n∑
j=2
Y 2
j ,
ce qui implique
(n − 1)S 2 =
n∑
(X j − ¯X) 2 =
j=1
n∑
Xj 2 − n ¯X =
j=1
n∑
j=2
Y 2
j ,
ce qui nous permet de conclure que ¯X et S 2 sont indépendants.
Enfin, on obtient également
¯X ∼ N (0, σ 2 /n)
(n − 1)S 2 ∼ σ 2 χ 2 n−1.
(c) Au point (b), on a vu que
¯X ∼ N (0, σ 2 /n) et (n − 1)S 2 ∼ σ 2 χ 2 n−1
sont indépendants. Ainsi,
¯X/ √ σ 2 /n
√
{(n − 1)S2 /σ 2 }/(n − 1) =
¯X
√
S2 /n ∼ t n−1.
Dans notre cas, ¯x = 10, 27, s 2 = 63, 62 et ¯x/ √ s 2 /n = 4, 27. La
table donne une p-valeur entre 0, 001 et 0, 002, ce qui indique que
l’hypothèse H 0 : ”fumer n’a pas d’impact sur le taux auquel les
plaquettes se rassemblent” est fausse.
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