Les mesures d'incertitude en physique

Les mesures d’incertitude en physique
Introduction :
En sciences expérimentales, il n’existe pas de mesures exactes.
La mesure d’une valeur X s’accompagne toujours d‘une estimation des
incertitudes/erreurs associées (calibration, arrondis…). L’estimation de l’erreur de
mesure est aussi importante que la mesure elle même, elle permet de valider la mesure
avec un intervalle de confiance plus ou moins important.
Evaluer l’incertitude sur une mesure est un domaine complexe qui fait l’objet d’une
branche complète : la métrologie.
1. Incertitude et erreur:
Bien que les scientifiques emploient les deux termes de manière indistincte la plupart
du temps, il existe cependant des différences.
L’erreur de mesure d’une certaine grandeur est la différence entre la valeur mesurée et
la valeur vraie. Dans les expériences, on ignore justement la vraie valeur.
L’incertitude de mesure traduit les tentatives pour estimer l’importance de l’erreur
commise. L’incertitude définie un intervalle autour de la valeur mesurée, incluant
l’erreur.
1. Type d’incertitude:
Evaluations de type A:
L’incertitude de type A comprend l’analyse statistique des mesures, elle
intervient quand on a toute une série de mesures et que l’on a aussi peu d’indications
sur les sources d’ « erreurs ». On parle aussi d’incertitude statistique.
Evaluations de type B:
L’incertitude de type B concerne les « erreurs » liées non pas à la mesure elle
même mais au protocole de mesure associé : la calibration, la résolution, le mode
opératoire (erreur de parallaxe lors de la lecture des graduations, variation de la
réponse du dispositif expérimental en fonction des paramètres extérieurs comme la
température). Les erreurs de type B peuvent être systématiques (erreur de parallaxe,
réglage du zéro…) ou être aléatoires mais toujours liées à la méthode employée
(température, humidité…)
Incertitudes composées:
La distinction entre les deux types d’erreur est importante, le second type
d’erreur peut généralement être corrigé partiellement au moins notamment si
on peut faire varier le protocole expérimental.
On présente généralement le résultat final en distinguant les deux sources
d’erreur :
X=25.2 ±3.1 (stat) ±4.2 (syst. + aléatoire) m
1

Ou encore combiner les deux erreurs pour obtenir une seule évaluation de
l’incertitude : somme quadratique des deux incertitudes.
X=25.22 ±(3.1 2 +4.2 2 ) 1/2 m=25.22±5.22m
2. Evaluation et usage des incertitudes:
La manière adéquate d’énoncer un résultat est d’en donner une meilleure estimation
possible dans un intervalle de confiance où l’on pense qu’il se trouve effectivement.
La règle de présentation des incertitudes (et la logique) impose d’écrire les incertitudes
expérimentales avec un seul chiffre significatif . Le dernier chiffre significatif de tout
résultat doit être du même ordre de grandeur (à la même position décimale) que
l’incertitude :
Exp : (mesure de g)=9,82 ±0,02 m/s 2 (pas la peine de mettre 0,02385 !!)
La notion de désaccord : Lorsque deux mesures d’une même grandeur diffèrent, on dit
qu’il y a désaccord. Le désaccord est la différence entre les deux mesures.
Un désaccord est significatif si les marges d’erreur ne se recouvrent pas ou peu. Son
interprétation doit donc être mis en comparaison avec l’importance des incertitudes.
3. Théorème de la limite centrale :
Le théorème de la limite centrale est un résultat sur la convergence en probabilités
d'une suite de variables aléatoires. Intuitivement, ce résultat affirme que toute
somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend
vers une variable aléatoire gaussienne.
Ces généralisations ne nécessitent pas des lois identiques mais font appel à des
conditions qui assurent qu'aucune des variables n'exerce une influence
significativement plus importante que les autres.
€
En clair, la somme X de N variables indépendantes x i (i=1,….N), chacune ayant
une distribution de moyenne µ i et de variance V i (σ 2 i ) a une espérance
mathématique :
( ) = µ i
E X
N
∑
i=1
La variance de X est alors :
N N
2
V ( X) = ∑V i
= ∑ σ i
i=1
i=1
La distribution de X devient gaussienne quand N devient très grand.
€
2

La densité de probabilité de la somme de plusieurs variables indépendantes
s'obtient par convolution de leurs densités (si celles-ci existent). Ainsi on peut
interpréter le théorème de la limite centrale comme une formulation des propriétés
des densités de probabilité soumises à une convolution : sous les conditions
établies précédemment, la convoluée d'un certain nombre de densités de
probabilité tend vers la densité normale lorsque leur nombre croît indéfiniment.
Comme la fonction caractéristique d'une convolution est le produit des fonctions
caractéristiques des variables en cause, le théorème de la limite centrale peut se
formuler d'une manière différente : sous les conditions précédentes, le produit des
fonctions caractéristiques de plusieurs densités de probabilité tend vers la fonction
caractéristique de la loi normale lorsque le nombre de variables croît indéfiniment.
Intérêt du théorème :
Le succès sans égal de la loi de Gauss est la conséquence directe du théorème
de la limite centrale et il est renforcé par la commodité relative d'utilisation de
cette loi.
En elle-même, la convergence vers la loi normale de nombreuses sommes de
variables aléatoires lorsque leur nombre tend vers l'infini n'intéresse que le
mathématicien. Pour le praticien, il est intéressant de s'arrêter un peu avant la
limite : la somme d'un grand nombre de ces variables est presque gaussienne, ce
qui fournit une approximation souvent plus facilement utilisable que la loi exacte.
En s'éloignant encore plus de la théorie, on peut dire que bons nombres de
phénomènes naturels sont dus à la superposition de causes nombreuses, plus ou
moins indépendantes. Il en résulte que la loi normale les représente de manière
raisonnablement efficace.
À l'inverse, on peut dire qu'aucun phénomène concret n'est vraiment gaussien car
il ne peut dépasser certaines limites.
3

€
€
4. Estimation des incertitudes de type B:
Pour faire l’estimation de l’incertitude de type B, on peut changer d’instrument de mesure,
de protocole, faire varier les paramètres influents.
• D’une manière générale, si le constructeur fournit l’incertitude type, on l’utilise
directement.
Si l’incertitude est du type : ΔC = ± …, l’incertitude est : u = Δ c
3
• Si on dispose de peu d’indications ou d’une incertitude simple, on utilise alors
u = Δ c
12
€
• Si l’incertitude obéit à une loi normale, on utilise alors
u = Δ c
3
5. Incertitudes élargies:
Le problème, et notamment dans le cas d’une évaluation de type B pour laquelle le calcul
statistique n’est pas possible (mesure unique), est qu’il faut donc arriver à faire
"confiance" à notre écart-­‐type, en l’élargissant, tout simplement :
Si les mesures sont équiprobables et que l’on connaît gmin et gmax , l’incertitude élargie se
calcule en multipliant u par un coefficient d’élargissement k :
U = k *u avec k = 2 pour une confiance à 95 %.
k = 3 pour une confiance à 99 %.
On parle bien évidement d’intervalle de confiance : [g–U(G), g+U(G)]
6. Répétition de mesure :
€
€
€
Soit une expérience mesurant une grandeur physique de valeur µ. On effectue N
mesures x indépendantes. La somme X des N mesures de µ a donc l’esperance
mathématique :
N
E( X) = ∑ µ i
= Nµ ⇒ x = X N mesuré
i=1
Si N devient suffisamment grand, on aura x ⇒ x = µ.
La variance de la valeur moyenne x est alors :
V ( x ) = 1 N
∑ V
N 2 i
= σ 2
pour N mesures indépendantes
N
i=1
€
€
Ainsi pour N mesures indépendantes d’une même grandeur, l’erreur sur la
mesure est donc divisée par N
σ
N
=déviation standard de la moyenne
€
Exemple :
Détection de photon, résolution de 50 keV. Mesure de désintégrations :
1 mesure donne une résolution de 50 keV.
4

€
€
€
100 mesures donnent une résolution de 5 keV.
2500 mesures donnent une résolution de 1 keV.
7. Moyenne pondérée:
Soit une série de mesures d’une même grandeur physique µ, pour chaque mesure
on a { x i
,σ i }. On peut alors prendre en compte les erreurs de chaque mesure en
attribuant un poids plus important aux mesures les plus précises
poidsα 1
2
σ i
On a alors :
2
∑ x i
σ i
i
1 1
x =
V ( x ) =
2
2
1 σ i
1 σ i
σ = 1
∑ 2 2
σ i
∑
i
∑
Exemple :
Mesure d’un voltage :
Première mesure U 1 =3.11 ± € 0.02V
Deuxième
€
mesure U 2 =3.13 ± 0.01V
i
i
Si on répète 4 fois la mesure 1, on arrive à la précision :
seconde mesure est 4 fois meilleure.
( 3.11 0.022) + ( 3.13 0.01 2
)
U =
1 0.02 2 +1 0.01 2
€
0.02
4
= 0.01 V, donc la
€
€
€
U = 1 5 × 3.11+ 4 × 3.13 = 3.126V
5
1
V =
1 0.02 2 +1 0.01 = 4 2 5 ×10−4
σ = 0.008
8. Incertitude de type A:
Dans le cas d’un incertitude de type A, on a affaire à une distribution statistique,
généralement on associe l’invertitude à l’écart type de la mesure, estimé soit à
partir de la formule mathématique soit à partir d’un modèle de distribution des
données
a. Fonction avec une seule variable :
Il arrive que la grandeur mesurée ne corresponde pas à la grandeur
recherchée mais soit liée à elle par une fonction.
• f ( x) = ax + b avec a,b = Ctes,
x a pour variance et écart-type V(x) et σ x .
Quelle est la variance et l’écart-type de f ?
€
€
5

V ( f ) = f 2 − f
2
= ( ax + b) 2 − ax + b 2 = a 2 x 2 + 2ab x + b 2 − a 2 x 2 − 2ab x − b 2 = a 2 .V ( x)
€
donc
V ( f ) = a 2 V ( x) et
σ f
= a.σ x
exemple :
V=200±10 m/s distance parcouru en 6 secondes ? d=1200 ±60 m
€
€
• Dans le cas d’une fonction f(x) quelconque :
Les fluctuations autour d’une valeur x 0 sont définies par le développement de Taylor :
⎛⎛
f ( x) ≈ f ( x 0 ) + ( x − x 0 ) df ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝⎝ dx ⎠⎠
⇒ V f
⇒ σ f
⎛⎛ ⎞⎞
⎟⎟
⎝⎝ dx ⎠⎠
( ) ≈ ⎜⎜
df
≈ df
dx .σ x
2
.V ( x)
x= x 0
€
Exemple :
Mesure d’un angle θ avec une erreur de σθ=0.01 rad, qu’en est il de l’erreur sur le
sin(θ) ?
σ sinϑ
= 0.01.cosϑ
€
€
€
€
b. Fonction avec plusieurs variables :
Généralement, la grandeur recherchée dépendra de plusieurs variables
chacune ayant une erreur associée.
• Soit f(x,y)=ax+by+c
Partant de la définition de la variance, on trouve :
( ) = a 2 x 2 − x 2
( ) = a 2 .V ( x) + b 2 .V ( y) + 2ab.Cov( x, y)
V f
( ) + ( b2 y 2 − y 2
)
V f
donc si x et y sont indépendants :
σ 2 f
= a 2 σ 2 x
+ b 2 2
σ y
( )
+ 2ab xy − x y
• Soit une fonction f(x,y) quelconque
Sur le même principe que dans le cas à une variable, on obtient la loi de combinaison
des erreurs:
V ( f ) = df
2
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟ .V ( x) + df
2
⎛⎛ ⎞⎞ ⎛⎛
⎜⎜ ⎟⎟ .V ( y) + 2 df ⎞⎞ ⎛⎛
⎜⎜ ⎟⎟ df ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟ cov( x, y)
⎝⎝ dx ⎠⎠ ⎝⎝ dy ⎠⎠ ⎝⎝ dx ⎠⎠ ⎝⎝ dy ⎠⎠
Dans le cas de x et y variables indépendantes :
€
6

( ) = ⎜⎜
df
V f
et
2
⎛⎛ ⎞⎞
⎟⎟ .V x
⎝⎝ dx ⎠⎠
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝⎝ dy ⎠⎠
( ) + df
2
.V ( y)
σ 2 f
= df
2
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟ .σ 2
⎝⎝ dx ⎠⎠
x
+ df
2
⎛⎛ ⎞⎞
2
⎜⎜ ⎟⎟ .σ y
⎝⎝ dy ⎠⎠
Les erreurs s’ajoutent donc de manière quadratique et non arithmétique.
€
exemple :
calcul de la distance parcourue, vitesse v=200 ± 10 m/s, accélération γ=12 ± 2 m/s 2 ,
t=6s, x ?
x = vt + γt 2 =1416m
σ 2 x
= dx
2
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟ .σ 2
⎝⎝ dv ⎠⎠
v
+ dx
2
⎛⎛ ⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟ .σ 2 γ
= t 2 .σ 2 v
+ 1 2
⎛⎛
⎝⎝ dγ ⎠⎠
2 t ⎞⎞
⎜⎜
2 2
⎟⎟ .σ
⎝⎝ ⎠⎠
γ
σ x 2 = 36 ×100 + 324 × 4 = 4896
σ x
= 70m
c. L’erreur relative:
€
On utilise souvent l’erreur relative et non seulement l’erreur statistique, l’erreur
relative est l’erreur divisée par la valeur trouvée, elle s’exprime en %.
Elle est aussi plus simple à calculer dans le cas de produits ou rapports de
plusieurs variables :
f = x.y
( ) = y 2 V ( x) + x 2 V ( y)
V f
⎛⎛
⎜⎜
⎝⎝
σ f
f
⎞⎞
⎟⎟
⎠⎠
2
⎛⎛
= σ ⎞⎞
x
⎜⎜ ⎟⎟
⎝⎝ x ⎠⎠
2
⎛⎛
+ σ ⎞⎞
y
⎜⎜ ⎟⎟
⎝⎝ y ⎠⎠
2
pour des variables x,y indépendantes
€
7