Introduction à la physique des plasmas cours 4: description fluide

logo-CEAIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsIntroduction à la physique desplasmascours 4: description fluideS. MazevetLaboratoire de Structure ElectroniqueDépartement de Physique Théorique et AppliquéeCommissariat à l’Energie AtomiqueBruyères-Le-Châtel, FranceOrsay, Septembre 2010Orsay, Septembre 2010p-1/14

logo-CEATable of contentsIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquations1 Introduction2 Equations de Maxwell3 Equations du mouvement fluideEquations d’EulerEquation de continuitéTenseur des contraintesEquation d’étatCollisions4 Système complet d’équations fluideOrsay, Septembre 2010p-2/14

logo-CEAParticule individuelleIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsL’équation du mouvement d’une particule chargée est donnée parm dvdt= q(E + v × B) (1)Précession de Larmor et mouvement le long des lignes de champsde EDans un plasma le champ électrique E et le champ magnétique Bsont déterminés par la position et la charge des particules leconstituant.Le probl‘eme doit donc être résolu de manière auto-cohérente où latrajectoire des particules doit être déterminée en même temps queles champs qu’elles générentPeut être obtenue par solution numérique à l’aide dessupercalculateursApproche utilisée lorsque ni la description fluide ni la théroriecinétique ne sont validesOrsay, Septembre 2010p-3/14

logo-CEAEquations de MaxwellIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsDans un plasma on travaille généralement avec les équations deMaxwell dans le videɛ 0 ∇.E = σ (2)∇ × E = − ∂B∂t(3)∇.B = 0 (4)∂E∇ × B = µ 0 (j + ɛ 0∂t ) (5)σ et j représentent toutes les charges et les courants présents dansle plasma.Il est trop compliqué de prendre en compte les déplacements desparticules chargées par le biais de deux constants ɛ et µ et detravailler avec les équations de Maxwell pour ce milieu.Orsay, Septembre 2010p-4/14

logo-CEAIntroductionIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsPour 80% des plasmas peu denses, le mouvement individuel desparticules peut être négligéOn ne considère que le mouvement des parties d’un fluide etapplique la mécanique des fluidesLes équations de Maxwell nous donnent les champs E et B pourun état donné du plasmaPour résoudre le problème de manière auto-cohérente il fautégalement une équation donnant la réponse du plasma à un champélectrique et magnétique donnésDans l’approximation fluide, on considère le plasma constitué dedeux ou plusieurs fluides.Pour un plasma complétement ionisé on a deux équations dumouvement, une pour les électrons et l’autre pour les ionsPour un plasma partiellement ionisé, une équation du mouvementpour les électrons, les ions et les neutresOrsay, Septembre 2010p-5/14

logo-CEAEquations d’EulerIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsLorsque l’on néglige les collisions et l’agitation thermique, toutesles particules d’un élément du fluide se déplacent ensemble à lavitesse moyenne uu = v La vitesse moyenne des particules est équivalente à cellesdes particules individuellesL’équation fluide est donc simplementmn du = qn(E + u × B) (6)dtOn cherche une équation du mouvement pour des élements dufluide fixes dans l’espace : description EulerienneDescription Lagrangienne: on décrit les variations temporelles despropriétés d’un élément du fluide en suivant ce dernier.On considère G(x, t) représentant une propriété quelconque dufluide (1-D)Orsay, Septembre 2010p-6/14

logo-CEAEquations d’Euler IIIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsDans un repére se déplacant avec le fluide on adG(x, t)dt= ∂G∂t + ∂G dx∂x dt= ∂G∂t + u ∂Gx∂tLa généralisation à trois dimensions donne(7)(8)dG(x, t)dt= ∂G∂t+ (u.∇)G (9)Le premier terme représente le changement de G à un point fixedans l’espaceLe second terme représente le changement de G pour unobservateur se déplacant avec le fluide dans une region où G achangéOrsay, Septembre 2010p-7/14

logo-CEAEquations d’Euler IIIIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsPour un plasma on obtient donc pour la vitesse du fluide u[ ]∂umn∂t + (u.∇)u = qn(E + u × B) (10)où ∂u∂treprésente la dérivée temporelle dans le repére fixeDescription Eulerienne: on travaille avec des dérivées temporelles àun point fixe de l’espace et des dérivées spatialles à un tempsdonnéLorsque l’on prend en compte l’agitation thermique, une forcecorrespondant à la pression doit être ajoutée au membre de droiteOrsay, Septembre 2010p-8/14

logo-CEAEquation de continuitéIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsOn considère un élément du fluide de volume V et de surface SLa loi de conservation de la matière dans cet élément de volumedemande à ce que le nombre de particules N change seulement s’ilexiste un flux net de particules au travers de la surface S∂N∂t∫∂n= dV (11)V ∂t∫∫= − nu.dS = − ∇.(nu)dV (12)Ceci est vraie quelque soit le volume V donc∂n+ ∇.(nu) = 0 (13)∂tDans un plasma, il existe une équation de continuité pour chaqueespèce de particulesLorsque qu’il y a création ou disparition de particules dans leplasma, on ajoute un terme source (ionisation), ou absorbant(recombinaison) au membre de droite.VOrsay, Septembre 2010p-9/14

logo-CEATenseur des contraintesIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsLa force correspondant à la pression est due à l’agitationthermique des particules entrant et sortant du fluideCette force doit être ajoutée à l’équation du mouvement d’uneparticule isoléeLe tenseur des contraintes, P représente le gain de moment dansun élement de fluide donné P ij = mnv i v jLorsque le fluide est isotropique, le transfert de moment est lemême dans chaque direction⎛ ⎞p 0 0P = ⎝0 p 0⎠ (14)0 0 pOn définit la pression p = nk B TL’équation fluide devient[ ]∂umn∂t + (u.∇)u = qn(E + u × B) − ∇p (15)Orsay, Septembre 2010p-10/14

logo-CEAEquation d’étatIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsIl faut une équation supplémentaire pour fermer le systèmeUne équation d’état générique reliant la pression à la densitép = Cρ γ (16)où C est une constanteγ = C p /C v représente le rapport des chaleurs spécifiques∇pp= γ ∇nn(17)Pour une compression le long d’un isotherm on a∇p = ∇(nk B T ) = k B T ∇n (18)ce qui entraine γ = 1Pour une compression adiabatique γ = (2 + N)/N pour unsystème avec N degrés de libertéL’équation d’état caractérise le comportement en densité et entempérature du système étudiéOrsay, Septembre 2010p-11/14

logo-CEACollisionsIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsEn présence de particules neutres, le fluide chargé échange de laquantité de mouvement au travers de collisionsLa quantité de mouvement perdue lors de collisions estproportionnelle à la vitesse relative u − u 0 où u 0 est la vitesse dufluide neutreEn considérant un temps de libre parcours moyen τ la forcecorrespondante est proportionelle à −mn(u − u 0 )/τL’équation fluide peut alors être généralisée pour inclure lescollisions avec des neutres[ ]∂umn∂t + (u.∇)u = qn(E+u × B)−∇p−mn(u − u 0 /τ) (19)Lorsque le fluide n’est plus isotropique, il faut considérer le tenseurdes contraintes ∇p ≡ ∇.P qui n’est plus diagonal.Orsay, Septembre 2010p-12/14

logo-CEASystème complet d’équations fluideIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquationsOn considère un plasma constitué d’électrons et d’ionsLa charge et la densité de courant sont données parσ = n i q i + n e q e j = n i q i v i + n e q e v e (20)En négligeant la viscosité et les collisions on obtientɛ 0 ∇.E = n i q i + n e q e (21)∇ × E = − ∂B(22)∂t∇.B = 0 (23)µ −10 ∇ × B = n ∂Eiq i v i + n e q e v e + ɛ 0 (24)[ ]∂t∂vjm j n j∂t + (v j.∇)v j = q j n j (E + v j × B) − ∇p j (25)Orsay, Septembre 2010p-13/14

logo-CEASystème complet d’équations fluide IIIntroductionMaxwellFluideEEContinuitéPressionEOSCollisionsEquations∂n j∂t + ∇.(n jv j ) = 0 (26)p j = C j n γ j j = i, e (27)Comme le déplacement individuel des particules n’est pas considérédans la description fluide, on a posé v j ≡ u jIl y a 16 inconnues et apparement 18 équations mais 2 deséquations de Maxwell sont redondantesLa résolution de ce système permet d’obtenir les champs ainsi queles mouvements du fluideCette description est trés largement utilisée dans la modélisationdes plasmasSuppose que les particules sont à l’équilibre (i.e vitesse decrites [arMaxwell-Boltzmann)Orsay, Septembre 2010p-14/14