Exercices - Fonctions continues - limites de fonctions ... - Bibmath

Exercices - Fonctions continues - limites de fonctions :
énoncé
Exercice 1 - Manipuler les définitions - L1/Math Sup - ⋆
Écrire, à l’aide de quantificateurs, les propositions suivantes :
1. f n’est pas uniformément continue sur I ;
2. f ne tend pas vers +∞ en +∞.
Limites et continuité ponctuelle
Exercice 2 - Calculs de limites - L1/Math Sup - ⋆⋆
Étudier les limites suivantes :
1
1.
1 − x − 2
√ x − 1
1 − x 2 en 1 2. x − 1 en 1
x sin x
tan x − sin x
3. en 0 4.
1 − cos x x 3 en 0
sin x − sin 2x
x 3 + x + 5
5.
x 2 en 0 6.
5x 3 + 7x 2 + 8 en + ∞
7. √ x 2 tan 4x
+ 2x − x en + ∞ 8.
sin x en 0
9. e3x + 2x + 7
sin x − sin(5x)
e x + e −x en + ∞ 10. en 0.
sin ( x + sin(5x)
sin(x ln x)
11. en 0 12. 1 + 1 x
en + ∞.
x
Exercice 3 - Avec la partie entière - L1/Math Sup - ⋆⋆
Étudier les limites à droite en 0 des fonctions suivantes :
( 1
f : x ↦→ E , g : x ↦→ xE
x)
( 1
x)
, h : x ↦→ x 2 E
( 1
x)
.
Exercice 4 - Avec la partie entière - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : R → R définie par f(x) = E(x) + √ x − E(x). Étudier la continuité de f.
Exercice 5 - Partie entière (bis) - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soient a et b deux réels strictement ( ) positifs. Étudier et déterminer, si elles existent, les
limites en 0 des fonctions f : x ↦→ x a E b
x
et g : x ↦→ E ( )
x b
a x .
Exercice 6 - Prolongeable par continuité ? - L1/Math Sup - ⋆⋆
Dire si les fonctions suivantes sont prolongeables par continuité à R tout entier :
1. f(x) = sin(x) sin(1/x) si x ≠ 0 ;
2. g(x) = cos(x) cos(1/x) si x ≠ 0 ;
3. h(x) = sin(x + 1) ln |1 + x| si x ≠ −1.
Exercice 7 - Inf et sup - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soient f, g : R → R deux fonctions continues. Montrer que inf(f, g) et sup(f, g) sont continues.
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énoncé
Exercice 8 - Indicatrice de Q - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : R → R la fonction définie par
{
1 si x ∈ Q
f(x) =
0 si x /∈ Q.
Montrer que f est discontinue en tout point.
Exercice 9 - Fonction périodique ayant une limite en +∞ - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : R → R périodique et admettant une limite finie l en +∞. Montrer que f est
constante.
Exercice 10 - Une fonction bizarre - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆
Soit f : R → R la fonction définie par
{
0 si x est irrationnel ou x = 0.
f(x) = 1
q
si x = p/q, avec p ∧ q = 1 et q ≥ 1
En quels points f est-elle continue ?
Exercice 11 - Fonctions monotones - L1/Math Sup/L2/Math Spé/Prépa Agreg - ⋆⋆⋆
Soit f : I → R une fonction monotone. Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuité
est fini ou dénombrable.
Propriétés des fonctions continues
Exercice 12 - Vrai ou faux - L1/Math Sup - ⋆
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses :
1. L’image par une fonction continue d’un intervalle ouvert est un intervalle ouvert.
2. L’image par une fonction continue d’un intervalle fermé est un intervalle fermé.
3. L’image par une fonction continue d’une partie bornée est une partie bornée.
4. L’image réciproque par une fonction continue d’un intervalle est un intervalle.
Exercice 13 - Racines - L1/Math Sup - ⋆
Montrer que l’équation x 3 + x 2 − 4x + 1 = 0 admet au moins trois solutions distinctes dans
R.
Exercice 14 - Nombre fini de valeurs - L1/Math Sup - ⋆
Que dire d’une fonction f : I → R, où I est un intervalle, continue, et ne prenant qu’un
nombre fini de valeurs ?
Exercice 15 - Point fixe - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue. Démontrer que f admet toujours au moins un
point fixe.
Exercice 16 - Point fixe - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : R + → R + continue. On suppose que x ↦→ f(x)
x
admet une limite finie l < 1 en +∞.
Démontrer que f admet un point fixe.
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énoncé
Exercice 17 - Barycentre - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : [a, b] → R une fonction continue, et soient p, q deux réels strictement positifs.
Démontrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que pf(a) + qf(b) = (p + q)f(c).
Exercice 18 - Avec une limite en l’infini - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : [0, +∞[→ R continue admettant une limite (finie) en +∞. Montrer que f est bornée
sur [0, +∞[.
Exercice 19 - Inégalités strictes - L1/Math Sup - ⋆
Soit f, g : [a, b] → R continues telles que f(x) > g(x) pour tout x ∈ [a, b].
1. Montrer qu’il existe δ > 0 tel que f(x) ≥ g(x) + δ pour tout x ∈ [a, b].
2. On suppose de plus que g(x) > 0 pour tout x ∈ [a, b]. Montrer qu’il existe k > 1 tel que
f(x) ≥ kg(x) pour tout x ∈ [a, b].
Exercice 20 - Prolongement d’identités - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soient f, g : R → R continues.
1. On suppose que, pour tout x ∈ Q, on a f(x) < g(x).
(a) Montrer que f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ R.
(b) Montrer que l’on n’a pas nécessairement une inégalité stricte dans la question précédente.
2. On suppose désormais que, pour tous x, y ∈ Q, on a f(x) < f(y). Montrer que f est
strictement croissante.
Exercice 21 - Limite de la valeur absolue - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f une fonction continue de R dans R. On suppose que |f| admet une limite en +∞.
Prouver que f admet également une limite en +∞.
Exercice 22 - Minimum - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : R → R une fonction continue telle que lim −∞ f = lim +∞ f = +∞. Démontrer que
f admet un minimum sur R.
Exercice 23 - Équation - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f une application de R dans R continue en 0, et vérifiant f(2x) = f(x) pour tout réel
x. Montrer que f est constante. Comment généraliser ce résultat si f vérifie f(ax + b) = f(x)
pour des réels a et b donnés avec |a| ≠ 1 ?
Exercice 24 - Équation fonctionnelle - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : R → R continue telle que,
∀(x, y) ∈ R 2 , f(x + y) = f(x) + f(y).
1. Démontrer que, pour tout n ≥ 1 et tout x ∈ R, f(nx) = nf(x).
2. Démontrer que, pour tout n ∈ Z et tout x ∈ R, f(nx) = nf(x).
3. Démontrer que pour tout nombre rationnel r = p q
et pour tout x ∈ R, on a
( ) p
f
q x = p q f(x)
(on pourra écrire p = q × p q ).
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4. Conclure qu’il existe a ∈ R tel que, pour tout x ∈ R, f(x) = ax.
Exercice 25 - - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f une fonction continue sur un segment [a, b]. On suppose que f vérifie la propriété
suivante : pour tous les points c < d de l’intervalle, il existe e compris entre c et d tel que
f(e) = f(a) ou f(e) = f(b). Montrer que f est constante.
Exercice 26 - Non continue et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires
- L1/Math Sup - ⋆⋆
On considère la fonction f définie sur R par
{ 0 si x = 0
f(x) =
( )
sin 1
x
sinon.
Démontrer que la fonction f n’est pas continue en 0, mais qu’elle vérifie la propriété des valeurs
intermédiaires (c’est-à-dire que pour tous a < b de R et tout réel λ compris entre f(a) et f(b),
on peut trouver c ∈ [a, b] tel que f(c) = λ).
Exercice 27 - Valeurs intermédiaires ? - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆
Soit f une fonction continue sur [0, 1], à valeurs dans R, et telle que f(0) = f(1).
[ ]
1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, il existe c n ∈ 0, 1 − 1 n
tel que
f(c n ) = f
(
c n + 1 )
.
n
2. Montrer que si l’on remplace 1/n par un réel α ∈]0, 1[ tel que 1/α n’est pas un entier, le
résultat précédent n’est plus vrai. On pourra considérer la fonction f définie sur [0, 1] par
( ) ( ( ) )
2πx
2π
f(x) = cos − x cos − 1 .
α
α
Exercice 28 - Une fonction étonnament lipschitzienne - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆
Soient f, g : [a, b] → R deux fonctions continues. Pour t ∈ R, on pose
Montrer que h est lipschitzienne.
h(t) = sup{f(x) + tg(x); x ∈ [a, b]}.
Uniforme continuité
Exercice 29 - Sont-elles uniformément continues ? - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f une fonction uniformément continue sur une partie D de R. Soient (x n ) et (y n ) deux
suites d’éléments de D telles que lim n→+∞ (x n − y n ) = 0.
1. Démontrer que lim n→+∞ (f(x n ) − f(y n )) = 0.
2. Dire si les fonctions suivantes sont uniformément continues sur l’intervalle considéré.
(a) f(x) = 1/x sur [1, +∞[.
(b) f(x) = 1/x sur ]0, 1].
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(c) f(x) = sin(x 2 ) sur R.
Exercice 30 - Fonctions continues périodiques - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f une fonction continue sur R admettant une période T . Prouver que f est uniformément
continue.
Exercice 31 - Avec une limite à l’infini - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : R + → R une fonction continue admettant une limite (finie) en +∞. Montrer que f
est uniformément continue.
Exercice 32 - Composition - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : I → R et g : R → R deux applications uniformémement continues. Montrer que
g ◦ f est uniformément continue.
Exercice 33 - Tend vers +∞ sur les entiers - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : R → R une application uniformément continue telle que la suite (f(n)) n∈N tende
vers +∞. Montrer que lim +∞ f = +∞. Le résultat subsiste-t-il si on suppose simplement que
f est continue ?
Exercice 34 - Bornée ! - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆
Soit f :]0, 1[→ R une fonction uniformément continue. Montrer que f est bornée. Que dire
de la réciproque ?
Exercice 35 - Majorée par une fonction affine - avec détails - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit F : [0, +∞[→ R une application uniformément continue. On se propose de démontrer
qu’il existe deux réels a et b tels que, pour tout x ∈ [0, +∞[, on ait F (x) ≤ ax + b. Pour cela,
on commence par fixer η 1 > 0 tel que
On fixe également x 0 ∈ [0, +∞[.
∀(x, y) ∈ ([0, +∞[) 2 , ( |x − y| < η 1 =⇒ |F (x) − F (y)| ≤ 1 ) .
1. Soit n 0 le plus petit entier tel que x 0
n 0
≤ η 1 ; justifier l’existence de n 0 et exprimer n 0 en
fonction de x 0 et de η 1 .
2. Montrer que
3. Conclure.
n∑
0 −1
( )
|F (x) − F (x 0 )| ≤
(k +
∣ F 1)x0
− F
n
k=0
0
( )∣ kx0 ∣∣∣
.
n
4. La fonction exponentielle est-elle uniformément continue sur [0, +∞[ ?
Exercice 36 - Majorée par une fonction affine - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆
Soit f : [0, +∞[→ R une fonction uniformément continue. Montrer qu’il existe deux réels a
et b tels que |f(x)| ≤ ax + b pour tout x ≥ 0.
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