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Exercices - Fonctions continues - limites de fonctions :
énoncé
Exercice 8 - Indicatrice de Q - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : R → R la fonction définie par
{
1 si x ∈ Q
f(x) =
0 si x /∈ Q.
Montrer que f est discontinue en tout point.
Exercice 9 - Fonction périodique ayant une limite en +∞ - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : R → R périodique et admettant une limite finie l en +∞. Montrer que f est
constante.
Exercice 10 - Une fonction bizarre - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆
Soit f : R → R la fonction définie par
{
0 si x est irrationnel ou x = 0.
f(x) = 1
q
si x = p/q, avec p ∧ q = 1 et q ≥ 1
En quels points f est-elle continue ?
Exercice 11 - Fonctions monotones - L1/Math Sup/L2/Math Spé/Prépa Agreg - ⋆⋆⋆
Soit f : I → R une fonction monotone. Montrer que l’ensemble de ses points de discontinuité
est fini ou dénombrable.
Propriétés des fonctions continues
Exercice 12 - Vrai ou faux - L1/Math Sup - ⋆
Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses :
1. L’image par une fonction continue d’un intervalle ouvert est un intervalle ouvert.
2. L’image par une fonction continue d’un intervalle fermé est un intervalle fermé.
3. L’image par une fonction continue d’une partie bornée est une partie bornée.
4. L’image réciproque par une fonction continue d’un intervalle est un intervalle.
Exercice 13 - Racines - L1/Math Sup - ⋆
Montrer que l’équation x 3 + x 2 − 4x + 1 = 0 admet au moins trois solutions distinctes dans
R.
Exercice 14 - Nombre fini de valeurs - L1/Math Sup - ⋆
Que dire d’une fonction f : I → R, où I est un intervalle, continue, et ne prenant qu’un
nombre fini de valeurs ?
Exercice 15 - Point fixe - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue. Démontrer que f admet toujours au moins un
point fixe.
Exercice 16 - Point fixe - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : R + → R + continue. On suppose que x ↦→ f(x)
x
admet une limite finie l < 1 en +∞.
Démontrer que f admet un point fixe.
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