Exercices - Fonctions continues - limites de fonctions ... - Bibmath

Exercices - Fonctions continues - limites de fonctions :
énoncé
Exercice 17 - Barycentre - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : [a, b] → R une fonction continue, et soient p, q deux réels strictement positifs.
Démontrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que pf(a) + qf(b) = (p + q)f(c).
Exercice 18 - Avec une limite en l’infini - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : [0, +∞[→ R continue admettant une limite (finie) en +∞. Montrer que f est bornée
sur [0, +∞[.
Exercice 19 - Inégalités strictes - L1/Math Sup - ⋆
Soit f, g : [a, b] → R continues telles que f(x) > g(x) pour tout x ∈ [a, b].
1. Montrer qu’il existe δ > 0 tel que f(x) ≥ g(x) + δ pour tout x ∈ [a, b].
2. On suppose de plus que g(x) > 0 pour tout x ∈ [a, b]. Montrer qu’il existe k > 1 tel que
f(x) ≥ kg(x) pour tout x ∈ [a, b].
Exercice 20 - Prolongement d’identités - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soient f, g : R → R continues.
1. On suppose que, pour tout x ∈ Q, on a f(x) < g(x).
(a) Montrer que f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ R.
(b) Montrer que l’on n’a pas nécessairement une inégalité stricte dans la question précédente.
2. On suppose désormais que, pour tous x, y ∈ Q, on a f(x) < f(y). Montrer que f est
strictement croissante.
Exercice 21 - Limite de la valeur absolue - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f une fonction continue de R dans R. On suppose que |f| admet une limite en +∞.
Prouver que f admet également une limite en +∞.
Exercice 22 - Minimum - L1/Math Sup - ⋆
Soit f : R → R une fonction continue telle que lim −∞ f = lim +∞ f = +∞. Démontrer que
f admet un minimum sur R.
Exercice 23 - Équation - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f une application de R dans R continue en 0, et vérifiant f(2x) = f(x) pour tout réel
x. Montrer que f est constante. Comment généraliser ce résultat si f vérifie f(ax + b) = f(x)
pour des réels a et b donnés avec |a| ≠ 1 ?
Exercice 24 - Équation fonctionnelle - L1/Math Sup - ⋆⋆
Soit f : R → R continue telle que,
∀(x, y) ∈ R 2 , f(x + y) = f(x) + f(y).
1. Démontrer que, pour tout n ≥ 1 et tout x ∈ R, f(nx) = nf(x).
2. Démontrer que, pour tout n ∈ Z et tout x ∈ R, f(nx) = nf(x).
3. Démontrer que pour tout nombre rationnel r = p q
et pour tout x ∈ R, on a
( ) p
f
q x = p q f(x)
(on pourra écrire p = q × p q ).
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