Exercices - Fonctions continues - limites de fonctions ... - Bibmath
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<strong>Exercices</strong> - <strong>Fonctions</strong> <strong>continues</strong> - <strong>limites</strong> <strong>de</strong> <strong>fonctions</strong> :<br />
énoncé<br />
4. Conclure qu’il existe a ∈ R tel que, pour tout x ∈ R, f(x) = ax.<br />
Exercice 25 - - L1/Math Sup - ⋆⋆<br />
Soit f une fonction continue sur un segment [a, b]. On suppose que f vérifie la propriété<br />
suivante : pour tous les points c < d <strong>de</strong> l’intervalle, il existe e compris entre c et d tel que<br />
f(e) = f(a) ou f(e) = f(b). Montrer que f est constante.<br />
Exercice 26 - Non continue et vérifie pourtant la propriété <strong>de</strong>s valeurs intermédiaires<br />
- L1/Math Sup - ⋆⋆<br />
On considère la fonction f définie sur R par<br />
{ 0 si x = 0<br />
f(x) =<br />
( )<br />
sin 1<br />
x<br />
sinon.<br />
Démontrer que la fonction f n’est pas continue en 0, mais qu’elle vérifie la propriété <strong>de</strong>s valeurs<br />
intermédiaires (c’est-à-dire que pour tous a < b <strong>de</strong> R et tout réel λ compris entre f(a) et f(b),<br />
on peut trouver c ∈ [a, b] tel que f(c) = λ).<br />
Exercice 27 - Valeurs intermédiaires ? - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆<br />
Soit f une fonction continue sur [0, 1], à valeurs dans R, et telle que f(0) = f(1).<br />
[ ]<br />
1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, il existe c n ∈ 0, 1 − 1 n<br />
tel que<br />
f(c n ) = f<br />
(<br />
c n + 1 )<br />
.<br />
n<br />
2. Montrer que si l’on remplace 1/n par un réel α ∈]0, 1[ tel que 1/α n’est pas un entier, le<br />
résultat précé<strong>de</strong>nt n’est plus vrai. On pourra considérer la fonction f définie sur [0, 1] par<br />
( ) ( ( ) )<br />
2πx<br />
2π<br />
f(x) = cos − x cos − 1 .<br />
α<br />
α<br />
Exercice 28 - Une fonction étonnament lipschitzienne - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆<br />
Soient f, g : [a, b] → R <strong>de</strong>ux <strong>fonctions</strong> <strong>continues</strong>. Pour t ∈ R, on pose<br />
Montrer que h est lipschitzienne.<br />
h(t) = sup{f(x) + tg(x); x ∈ [a, b]}.<br />
Uniforme continuité<br />
Exercice 29 - Sont-elles uniformément <strong>continues</strong> ? - L1/Math Sup - ⋆⋆<br />
Soit f une fonction uniformément continue sur une partie D <strong>de</strong> R. Soient (x n ) et (y n ) <strong>de</strong>ux<br />
suites d’éléments <strong>de</strong> D telles que lim n→+∞ (x n − y n ) = 0.<br />
1. Démontrer que lim n→+∞ (f(x n ) − f(y n )) = 0.<br />
2. Dire si les <strong>fonctions</strong> suivantes sont uniformément <strong>continues</strong> sur l’intervalle considéré.<br />
(a) f(x) = 1/x sur [1, +∞[.<br />
(b) f(x) = 1/x sur ]0, 1].<br />
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