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Exercices - Fonctions continues - limites de fonctions : énoncé 4. Conclure qu’il existe a ∈ R tel que, pour tout x ∈ R, f(x) = ax. Exercice 25 - - L1/Math Sup - ⋆⋆ Soit f une fonction continue sur un segment [a, b]. On suppose que f vérifie la propriété suivante : pour tous les points c < d de l’intervalle, il existe e compris entre c et d tel que f(e) = f(a) ou f(e) = f(b). Montrer que f est constante. Exercice 26 - Non continue et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires - L1/Math Sup - ⋆⋆ On considère la fonction f définie sur R par { 0 si x = 0 f(x) = ( ) sin 1 x sinon. Démontrer que la fonction f n’est pas continue en 0, mais qu’elle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (c’est-à-dire que pour tous a de R et tout réel λ compris entre f(a) et f(b), on peut trouver c ∈ [a, b] tel que f(c) = λ). Exercice 27 - Valeurs intermédiaires ? - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆ Soit f une fonction continue sur [0, 1], à valeurs dans R, et telle que f(0) = f(1). [ ] 1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, il existe c n ∈ 0, 1 − 1 n tel que f(c n ) = f ( c n + 1 ) . n 2. Montrer que si l’on remplace 1/n par un réel α ∈]0, 1[ tel que 1/α n’est pas un entier, le résultat précédent n’est plus vrai. On pourra considérer la fonction f définie sur [0, 1] par ( ) ( ( ) ) 2πx 2π f(x) = cos − x cos − 1 . α α Exercice 28 - Une fonction étonnament lipschitzienne - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆ Soient f, g : [a, b] → R deux fonctions continues. Pour t ∈ R, on pose Montrer que h est lipschitzienne. h(t) = sup{f(x) + tg(x); x ∈ [a, b]}. Uniforme continuité Exercice 29 - Sont-elles uniformément continues ? - L1/Math Sup - ⋆⋆ Soit f une fonction uniformément continue sur une partie D de R. Soient (x n ) et (y n ) deux suites d’éléments de D telles que lim n→+∞ (x n − y n ) = 0. 1. Démontrer que lim n→+∞ (f(x n ) − f(y n )) = 0. 2. Dire si les fonctions suivantes sont uniformément continues sur l’intervalle considéré. (a) f(x) = 1/x sur [1, +∞[. (b) f(x) = 1/x sur ]0, 1]. http://www.bibmath.net 4
Exercices - Fonctions continues - limites de fonctions : énoncé (c) f(x) = sin(x 2 ) sur R. Exercice 30 - Fonctions continues périodiques - L1/Math Sup - ⋆⋆ Soit f une fonction continue sur R admettant une période T . Prouver que f est uniformément continue. Exercice 31 - Avec une limite à l’infini - L1/Math Sup - ⋆⋆ Soit f : R + → R une fonction continue admettant une limite (finie) en +∞. Montrer que f est uniformément continue. Exercice 32 - Composition - L1/Math Sup - ⋆⋆ Soit f : I → R et g : R → R deux applications uniformémement continues. Montrer que g ◦ f est uniformément continue. Exercice 33 - Tend vers +∞ sur les entiers - L1/Math Sup - ⋆⋆ Soit f : R → R une application uniformément continue telle que la suite (f(n)) n∈N tende vers +∞. Montrer que lim +∞ f = +∞. Le résultat subsiste-t-il si on suppose simplement que f est continue ? Exercice 34 - Bornée ! - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆ Soit f :]0, 1[→ R une fonction uniformément continue. Montrer que f est bornée. Que dire de la réciproque ? Exercice 35 - Majorée par une fonction affine - avec détails - L1/Math Sup - ⋆⋆ Soit F : [0, +∞[→ R une application uniformément continue. On se propose de démontrer qu’il existe deux réels a et b tels que, pour tout x ∈ [0, +∞[, on ait F (x) ≤ ax + b. Pour cela, on commence par fixer η 1 > 0 tel que On fixe également x 0 ∈ [0, +∞[. ∀(x, y) ∈ ([0, +∞[) 2 , ( |x − y| < η 1 =⇒ |F (x) − F (y)| ≤ 1 ) . 1. Soit n 0 le plus petit entier tel que x 0 n 0 ≤ η 1 ; justifier l’existence de n 0 et exprimer n 0 en fonction de x 0 et de η 1 . 2. Montrer que 3. Conclure. n∑ 0 −1 ( ) |F (x) − F (x 0 )| ≤ (k + ∣ F 1)x0 − F n k=0 0 ( )∣ kx0 ∣∣∣ . n 4. La fonction exponentielle est-elle uniformément continue sur [0, +∞[ ? Exercice 36 - Majorée par une fonction affine - L1/Math Sup - ⋆⋆⋆ Soit f : [0, +∞[→ R une fonction uniformément continue. Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que |f(x)| ≤ ax + b pour tout x ≥ 0. http://www.bibmath.net 5
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