Modélisation mathématique des mouvements de foule - Ensiwiki

Plan
Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Modélisation mathématique des mouvements de
foule
Aurélia SPANNEUT
Travaux d’Etudes et de Recherche
Tuteur: Guillaume JAMES
25 mai 2010
Aurélia SPANNEUT
Modélisation mathématique des mouvements de foule

Plan
Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Objectif du TER
Modèle de départ : force interactions entre chaque piéton et
ses voisins dépendant de la distance qui les sépare
Aurélia SPANNEUT
Modélisation mathématique des mouvements de foule

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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Objectif du TER
Modèle de départ : force interactions entre chaque piéton et
ses voisins dépendant de la distance qui les sépare
Problème : même importance accordée aux intéractions avant
et arrière
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Objectif du TER
Modèle de départ : force interactions entre chaque piéton et
ses voisins dépendant de la distance qui les sépare
Problème : même importance accordée aux intéractions avant
et arrière
Objectif : comment évolue le modèle si on différencie les
interactions avant et arrière ?
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
1 Etude d’un flot de piéton en 1D
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
2 Le modèle 1D en pratique
Flot uniforme de piétons stable théoriquement.
Flot uniforme de piétons instable théoriquement.
Etude plus détaillée de l’instabilité
3 Conclusion
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
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1 Etude d’un flot de piéton en 1D
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
2 Le modèle 1D en pratique
3 Conclusion
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Description du modèle 1D
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
N piétons qui se déplacent
le long d’une ligne droite
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Description du modèle 1D
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
N piétons qui se déplacent
le long d’une ligne droite
Adaptation de la vitesse
du piéton en fonction de
la distance qui le sépare de
ses voisins
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Description du modèle 1D
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
N piétons qui se déplacent
le long d’une ligne droite
Adaptation de la vitesse
du piéton en fonction de
la distance qui le sépare de
ses voisins
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
Equation régissant le mouvement du piéton i
d 2 x
Vi
◦
i
m i = m
dt 2 i
+ A b i exp
− dx i
dt
τ
( )
ri + r i−1 − (x i − x i−1 )
− A f i exp
B i
( )
ri + r i+1 − (x i+1 − x i )
B i
+ k(g(r i + r i−1 − (x i − x i−1 )) + g(r i+1 + r i − (x i+1 − x i )))
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
En posant u i = x i
, on obtient un système de la forme
B
τü i + u˙
i = U ◦ + U b (u i − u i−1 ) + U f (u i+1 − u i )
+ kτ 2r
(g(
m B − (u i − u i−1 )) − g( 2r
B − (u i+1 − u i ))).
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
En posant u i = x i
, on obtient un système de la forme
B
τü i + u˙
i = U ◦ + U b (u i − u i−1 ) + U f (u i+1 − u i )
+ kτ 2r
(g(
m B − (u i − u i−1 )) − g( 2r
B − (u i+1 − u i ))).
modèle semblable à celui du traffic routier
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
Solution d’équilibre idéale
U i (t) = il u + (U ◦ + U b (l u ) + U f (l u )) t
} {{ }
Ũ(l u)
avec l u =
L
NB = l B .
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
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Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
Solution d’équilibre idéale légèrement perturbée
u i (t) = U i (t) + φ i (t).
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Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
Solution d’équilibre idéale légèrement perturbée
u i (t) = U i (t) + φ i (t).
Linéarisation
τ ¨φ i (t) + ˙φ i (t) = U ′ f (lu)(φ i+1(t) − φ i (t)) − U ′ b (lu)(φ i−1(t) − φ i (t)).
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Le modèle 1D en pratique
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Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
Solution d’équilibre idéale légèrement perturbée
u i (t) = U i (t) + φ i (t).
Linéarisation
τ ¨φ i (t) + ˙φ i (t) = U ′ f (lu)(φ i+1(t) − φ i (t)) − U ′ b (lu)(φ i−1(t) − φ i (t)).
Solutions comme une superposition d’ondes planes.
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
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Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
Solution d’équilibre idéale légèrement perturbée
u i (t) = U i (t) + φ i (t).
Linéarisation
τ ¨φ i (t) + ˙φ i (t) = U ′ f (lu)(φ i+1(t) − φ i (t)) − U ′ b (lu)(φ i−1(t) − φ i (t)).
Solutions comme une superposition d’ondes planes.
φ n (t) = e ikn+z kt ˜φ
avec k = 2π N j,
j = 0, · · · , N − 1, où
k représente le nombre d’onde et z k est la fréquence complexe
associée.
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Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Condition de stabilité
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
Flot uniforme de piétons stable si Re(z k ) < 0, ∀k
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Le modèle 1D en pratique
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Condition de stabilité
Description du modèle 1D
Reformulation du système
Etude de la stabilité
Flot uniforme de piétons stable si Re(z k ) < 0, ∀k
Equilibre stable si
√
1
τ > 2 (A f − A b ) 2 ( ) 2r
mB A f + A b exp B − l u
} {{ }
a critique
.
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Le modèle 1D en pratique
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Flot uniforme de piétons stable théoriquement.
Flot uniforme de piétons instable théoriquement.
Etude plus détaillée de l’instabilité
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1 Etude d’un flot de piéton en 1D
2 Le modèle 1D en pratique
Flot uniforme de piétons stable théoriquement.
Flot uniforme de piétons instable théoriquement.
Etude plus détaillée de l’instabilité
3 Conclusion
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
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Flot uniforme de piétons stable théoriquement.
Flot uniforme de piétons instable théoriquement.
Etude plus détaillée de l’instabilité
Cas où 1 τ > a critique
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Le modèle 1D en pratique
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Flot uniforme de piétons stable théoriquement.
Flot uniforme de piétons instable théoriquement.
Etude plus détaillée de l’instabilité
Cas où 1 τ < a critique
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Flot uniforme de piétons stable théoriquement.
Flot uniforme de piétons instable théoriquement.
Etude plus détaillée de l’instabilité
Mise en évidence d’une dynamique non physique
Vitesse négative sans contact
Distance de contact = 0.6cm
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Le modèle 1D en pratique
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Flot uniforme de piétons stable théoriquement.
Flot uniforme de piétons instable théoriquement.
Etude plus détaillée de l’instabilité
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1 Etude d’un flot de piéton en 1D
2 Le modèle 1D en pratique
3 Conclusion
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Mise en évidence d’instabilités du flot uniforme de piétons
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Conclusion
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Mise en évidence d’instabilités du flot uniforme de piétons
Caractère non physique de la dynamique lors d’instabilité
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Conclusion
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Mise en évidence d’instabilités du flot uniforme de piétons
Caractère non physique de la dynamique lors d’instabilité
Solutions possibles : ajout d’autres forces pour saturer effets
non linéaires
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Conclusion
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Mise en évidence d’instabilités du flot uniforme de piétons
Caractère non physique de la dynamique lors d’instabilité
Solutions possibles : ajout d’autres forces pour saturer effets
non linéaires
Manque de temps pour la dimension 2
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Etude d’un flot de piéton en 1D
Le modèle 1D en pratique
Conclusion
Mise en évidence d’instabilités du flot uniforme de piétons
Caractère non physique de la dynamique lors d’instabilité
Solutions possibles : ajout d’autres forces pour saturer effets
non linéaires
Manque de temps pour la dimension 2
Défaut du modèle : interactions sociales entre chaque individu
non prises en compte.
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