MÉMOIRE - Thèses malgaches en ligne

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
------------
FACULTÉ DES SCIENCES
FORMATION DOCTORALE EN PHYSIQUE
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
Laboratoire de Géophysique appliquée
MÉMOIRE
pour l’obtention du
DIPLÔME D’ÉTUDES APPROFONDIES EN PHYSIQUE
Option : Géophysique appliquée
Intitulé :
MODELISATION DE STRUCTURES GEOELECTRIQUES DU
BASSIN SEDIMENTAIRE AMBOVOMBE ANDROY PAR
METHODE GEOSTATISTIQUE
présenté par
RAZAFIMAHATRATRA Heritiana
devant la commission d’examen composée de :
Président :
Monsieur RAMBOLAMANANA Gérard
Rapporteur :
Monsieur RATSIMBAZAFY Jean Bruno
Examinateur : Monsieur RASOLOMANANA Eddy
Professeur titulaire
Professeur titulaire
Professeur titulaire
Le 12 Novembre 2010

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO
------------
FACULTÉ DES SCIENCES
FORMATION DOCTORALE EN PHYSIQUE
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
Laboratoire de Géophysique appliquée
MÉMOIRE
pour l’obtention du
DIPLÔME D’ÉTUDES APPROFONDIES EN PHYSIQUE
Option : Géophysique appliquée
Intitulé :
MODELISATION DE STRUCTURES GEOELECTRIQUES DU
BASSIN SEDIMENTAIRE AMBOVOMBE ANDROY PAR
METHODE GEOSTATISTIQUE
présenté par
RAZAFIMAHATRATRA Heritiana
devant la commission d’examen composée de :
Président :
Monsieur RAMBOLAMANANA Gérard
Rapporteur :
Monsieur RATSIMBAZAFY Jean Bruno
Examinateurs : Monsieur RASOLOMANANA Eddy
Professeur titulaire
Professeur titulaire
Professeur titulaire
Le 12 Novembre 2010
ii

Remerciements
REMERCIEMENTS
Ce travail a été réalisé grâce à l’aide et à la collaboration de plusieurs personnes envers lesquels
je tiens, avant tout, à exprimer mes sincères remerciements et ma vive reconnaissance aux
personnalités suivants :
-Monsieur le Doyen de la Faculté des Sciences ANDRIANANTENAINA Bruno
-Madame le Chef de Département de Physique, RANDRIAMANANTANY Zely Arivelo.
qui ont bien accepté de m’inscrire à la Faculté des sciences.
-Professeur RAMBOLAMANANA Gérard, Directeur de l’Institut et Observatoire de
Géophysique d’Antananarivo, Responsable du Laboratoire de Sismologie, Sismique et Infrasons
qui m’a accueilli au sein de cet Institut et a accepté de présider la présentation de ce mémoire.
-Professeur RATSIMBAZAFY Jean Bruno je tiens à lui adresser particulièrement ma profonde
gratitude pour les précieux conseils qu’il n’a cessé de nous donner tout au long de ces années
passées ensemble et lors de mon encadrement.
Trouvez ici ma profonde gratitude, Monsieur le Professeur.
-Professeur RASOLOMANANA Eddy Harilala je tiens aussi à lui adresser, ici, ma profonde
reconnaissance qui a accepté d’être examinateur. Il fait partie de mes valeureux enseignants.
Je remercie plus profondément GARO Joelson Sebille, étudiant chercheur au sein du
Laboratoire de Géophysique Appliquée de l’Institut et Observatoire de Géophysique
d’Antananarivo et à l’Ecole des Mines de Paris, d’avoir accepté d’être encadreur de mon
mémoire. Ses conseils ont été forts judicieux et appréciés pour la réalisation de ce mémoire.
Je n’oublie pas d’adresser mes vifs remerciements à
-tous les membres du Corps Enseignant de l’Institut et Observatoire de Géophysique
d’Antananarivo.
-tout le personnel de l’I .O.G.A .
-tous mes collègues étudiants chercheurs au sein du Laboratoire de Géophysique Appliquée de
l’Institut et Observatoire de Géophysique d’Antananarivo ainsi qu’aux promotions AEA 2009.
-mes parents, mon frère et tous les membres de ma famille qui m’ont soutenu tout au long de
mes études.
-tous ceux qui ont contribué à la réalisation de cet ouvrage,
Mille mercis et mes reconnaissances sincères.
i

Sommaire
SOMMAIRE
LISTE DES FIGURES
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES ABREVIATIONS
INTRODUCTION
PARTIE I
PRESENTATION DE LA ZONE D’ETUDE ET PRESENTATION DES DONNEES
I-1- PRESENTATION DE LA ZONE D’ETUDE
I-2- PRESENTATION DES DONNEES
PARTIE II
RAPPELS THEORIQUES
II-1- ANALYSE STATISTIQUE DES DONNEES
II-2- ANALYSE VARIOGRAPHIQUE
PARTIE III
ANALYSE STATISTIQUE ET TRAITEMENT DES DONNEES PAR LES TECHNIQUES
GEOSTATISTIQUES
III-1- ANALYSE STATISTIQUE DES DONNEES
III-2- TRAITEMENT DES DONNEES PAR KRIGEAGE
III-3- TRAITEMENT DES DONNEES PAR COKRIGEAGE
III-4- COMPARAISON DES RESULTATS DES DEUX METHODES
PARTIE IV
CARTES DE RESISTIVITE ET DISCUSSIONS
CONCLUSION
ANNEXES
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ET WEBOGRAPHIQUES
ii

Liste des figures
LISTE DES FIGURES
Figure 1: Localisation de la zone d’étude (Source BD500) ......................................................... 4
Figure 2 : La géologie régionale (source BD 500). ...................................................................... 6
Figure 3: Les cours d’eau à l’intérieur de la zone d’étude .......................................................... 8
Figure 4: Dispositif Wenner ……………………………… ....................................................... 11
Figure 5: Carte de localisation des sondages électriques ........................................................... 12
Figure 6: Carte de localisation des forages existants ................................................................. 14
Figure 7: Coupe de forage et feuille de mesure d’un SEV. ........................................................ 15
Figure 8: Variogramme et covariance……………………. ....................................................... 19
Figure 9: Variogramme expérimental et modèle ........................................................................ 22
Figure 10: Anisotropies zonale et géométrique……………...…………………….…………....23
Figure 11: Carte de répartition de ρ 1 et ρ 7 ……………………………………………………... 28
Figure 12: Carte de répartition de la résistivité minimum et son histogramme ........................ 29
Figure 13: Carte de répartition de la moyenne de résistivité et son histogramme ................... 31
Figure 14: Nuages de points entre les résistivités à différentes profondeurs ........................... 32
Figure 15: Carte de répartition et histogramme de la variable ρ 1 .............................................. 34
Figure 16: Variogrammes directionnels relatifs à ρ 1 ................................................................. 35
Figure 17: Carte variographique de la variable ρ 1 ..................................................................... 36
Figure 18: Analyse du variogramme relatifs à ρ 1 ....................................................................... 37
Figure 19: Ajustement du variogramme expérimental relatifs à ρ 1 ........................................... 38
Figure 20: Grille d’estimation des variables par bloc ................................................................. 39
Figure 21: Courbe f(cvv) en fonction de la dimension du bloc discrétisation ........................... 40
Figure 22: Résultat de validation croisée du modèle 1 en utilisant le voisinage unique .......... 42
Figure 23 : Résultat de validation croisée du modèle 1 en utilisant le voisinage glissant ........ 43
Figure 24: Résultat de validation croisée du modèle 2 en utilisant le voisinage unique en ρ 1 . 44
Figure 25 : Résultat de validation croisée du modèle 2 en utilisant le voisinage glissant en ρ 1 44
Figure 26 : Variogramme omnidirectionnel de la variable ρ 2 ................................................... 46
iii

Liste des figures
Figure 27 : Analyse du variogramme…………………………………………………………...47
Figure 28 : Ajustement de variogramme expérimental en ρ 2 ..................................................... 47
Figure 29 : Résultat de validation croisée du modèle en utilisant le voisinage glissant ........... 48
Figure 30 : Résultat de validation croisée du modèle en utilisant le voisinage unique ............ 49
Figure 31 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 3 ..................... 50
Figure 32 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 4 ..................... 52
Figure 33 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 5 ..................... 53
Figure 34 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 6 ..................... 55
Figure 35 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 7 ..................... 57
Figure 36 : Covariogrammes modélisés des variables ρ 2 et ρ 3 ................................................. 59
Figure 37: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 2 ................................ 60
Figure 38: Covariogrammes modélisés des variables ρ 3 et ρ 4 .................................................. 62
Figure 39: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 3 ................................ 63
Figure 40: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 4 ................................ 63
Figure 41: Covariogrammes modélisés des variables ρ 4 et ρ 5 .................................................. 65
Figure 42: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 5 ................................ 66
Figure 43: Covariogrammes modélisés des variables ρ 5 et ρ 6 .................................................. 68
Figure 44: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 6 ................................ 69
Figure 45: Comparaison des résultats obtenus par krigeage et cokrigeage .............................. 71
Figure 46 : Estimation par krigeage de la variable ρ 1 ................................................................ 73
Figure 47: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 2 ............................................................. 74
Figure 48: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 3 ............................................................. 75
Figure 49: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 4 ............................................................. 75
Figure 50: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 5 ............................................................. 76
Figure 51: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 6 ............................................................. 77
Figure 52: Estimation par krigeage de la variable ρ 7 ................................................................. 77
Figure 53:superposition des 7 cartes…………………………………………………………....78
iv

Liste des tableaux
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1: Comportement statistique du minimum de valeur de résistivité exprimée en Ωm 29
Tableau 2: Comportement statistique du maximum de valeur de résistivité en Ωm ………… 30
Tableau 3: coefficients de corrélation entre les 7 variables………………………………… .. 33
Tableau 4: Statistiques sur la variable ρ 1 en Ωm ....................................................................... 33
Tableau 5: Paramètres et modèles mathématiques du variogramme........................................ 38
Tableau 6: Test de voisinage glissant dans le modèle 2 ............................................................. 40
Tableau 7: Test de voisinage glissant dans le modèle 1 ............................................................ 41
Tableau 8: Test de voisinage glissant dans le modèle 1 ............................................................ 42
Tableau 9: Récapitulation des résultats de validations croisées du modèle 1 en ρ 1 . ................ 43
Tableau 10: Récapitulation des résultats de validations croisées du modèle 2 en ρ 1 . .............. 45
Tableau 11: Statistiques des estimations de la variable ρ 1 ........................................................ 45
Tableau 12: Statistiques sur la variable ρ 2 ......................................................................... 46
Tableau 13 : Récapitulation des résultats de validations croisées. ............................................ 49
Tableau 14: Statistiques des estimations de la variable ρ 2 ........................................................ 49
Tableau 15: Statistiques sur la variable ρ3 ......................................................................... 50
Tableau 16: Récapitulation des résultats de validations croisées ρ 3 . ........................................ 50
Tableau 17: Statistiques des estimations de la variable ρ 3 ........................................................ 51
Tableau 18: Statistiques des estimations de la variable ρ 4 ........................................................ 51
Tableau 19: Récapitulation des résultats de validations croisées ρ 4 . ........................................ 52
Tableau 20: Statistiques des estimations de la variable ρ 4 ........................................................ 52
Tableau 21: Statistiques de bases de la variable ρ 5 .................................................................... 53
Tableau 22: Récapitulation des résultats de validations croisées en ρ 5 .................................... 54
Tableau 23: Statistiques des estimations de la variable ρ 5 ........................................................ 54
Tableau 24: Statistiques de bases de la variable ρ 6 .................................................................... 54
Tableau 25: Récapitulation des résultats de validations croisées en ρ 6 . ................................... 55
Tableau 26: Statistiques des estimations de la variable ρ 6 ........................................................ 56
v

Liste des tableaux
Tableau 27: Statistiques de bases de la variable ρ 7 .................................................................... 56
Tableau 28: Récapitulation des résultats de validations croisées en ρ 7 .................................... 57
Tableau 29: Statistiques des estimations de la variable ρ 7 ........................................................ 58
Tableau 30 : Paliers du modèle de corégionalisation linéaire .................................................. 59
Tableau 31: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable pour ρ 2 ................. 60
Tableau 32 : Statistiques d’estimation par cokrigeage de la variable ρ 2 .................................. 61
Tableau 33: Paliers du modèle de corégionalisation linéaire ................................................... 62
Tableau 34: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable pour ρ 3 et ρ 4 . ........ 64
Tableau 35: Statistiques des estimations par cokrigeage des variables ρ 3 et ρ 4 . ...................... 64
Tableau 36: Paliers du modèle de corégionalisation linéaire ................................................... 65
Tableau 37: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable pour ρ 5 ................. 66
Tableau 38: Statistiques des estimations par cokrigeage de la variable ρ 5 ............................... 67
Tableau 39: Paliers du modèle de corégionalisation linéaire ................................................... 68
Tableau 40: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable pour ρ 6 ................. 69
Tableau 41: Statistiques des estimations par cokrigeage de la variable ρ 6 .............................. 69
Tableau 42: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable et monovariable ... 70
vi

Liste des abréviations
LISTE DES ABREVIATIONS
AEP: Adduction en Eau Potable
AES: Adduction en Eau potable du Sud
BRGM: Bureau de Recherche des Gisements Miniers
F A: Fonction Aléatoire
IOGA: Institut et Observatoire de Géophysique d'Antananarivo
JAT: Japan Techno CO., LTD.
JICA: Japan International Cooporation Angency
ONG: Organismes Non Gouvernementaux
SEV: Sondage électrique vertical
SGDM: Société Géosciences pour le Développement de Madagascar
std : Standard déviation (écart type)
VA : Variable Aléatoire
ρ : Résistivité
vii

Introduction
INTRODUCTION
La géostatistique a avancé d’une façon très rapide pendant ces quinze dernières années ;
cela est due aux connaissances de nouveaux développements théoriques et pratiques :
géostatistique linéaire et non linéaire, krigeage, cokrigeage, etc. Ces développements ont déjà
des applications pratiques dans plusieurs domaines (pétrole, pollution, environnement, mine,
hydrogéologie, etc). L’apport de la géostatistique dans les sciences de l’Eau n’est plus à
démontrer [3].Nous citons, par exemple, l’évaluation de la précision de l’estimation de la
piézométrie et des paramètres hydrauliques qui permet une meilleure interprétation des modèles
hydrogéologiques. Les données disponibles dans cette étude sont les résistivités issues des
sondages électriques de type Wenner réalisés en 2005 dans le cadre du projet JICA. Les
méthodes géostatistiques permettent d’obtenir une représentation bidimensionnelle ou
tridimensionnelle de la variable étudiée.
L’objectif principal de cette étude est de proposer des reconstructions géostatistiques pour
cartographier les iso-valeurs de résistivités apparentes et caractériser les variations lithologiques
tant en superficie qu’en profondeur.
Les besoins en eau s’accentuent sous le climat semi-aride à subdésertique de la région
d’Androy située dans la partie Sud de Madagascar. Ceci est dû à plusieurs paramètres, non
seulement au climat subdésertique de la région mais également à l’absence de rivière et de fleuve
à écoulement pérenne. L’eau consommée localement provient principalement d’un aquifère non
confiné du sédiment du Quaternaire ; pour la plupart l’eau est salée et biologiquement
contaminée; la recherche de nouvelles ressources tant en superficie qu’en profondeur s’impose.
Le recours à la ressource en eaux souterraines est la solution proposée pour
l’approvisionnement en eau de la région. Par ailleurs, une meilleure connaissance des ressources
en eaux souterraines demande une capacité d’évaluation avec suffisamment de détails et de
précisions : caractéristiques du sous sol, la quantité d’eau présente dans le sous sol, sa qualité et
ses éventuels mouvements. Cet objectif ne peut être réalisé qu’à partir des forages, à cause des
coûts relativement élevés et surtout à cause du maximum d’informations sur la structure du
sous-sol. Les méthodes géophysiques, qui ne modifient en rien le milieu (non invasif), avec des
mesures bien échantillonnées, permettent de fournir les données de résistivités à traiter par les
méthodes géostatistiques. Les dites méthodes pourraient résoudre, du moins en partie, ce
problème.
1

Introduction
Ce mémoire comporte 4 parties : la première partie rapporte la présentation générale de la
zone d’étude et la présentation des données ; la deuxième partie est consacrée aux rappels
théoriques ; la troisième partie concerne les analyses statistiques et traitement des données par
les techniques géostatistiques (krigeage, cokrigeage) et enfin la dernière partie montre les
résultats, les interprétations et discussions.
2

Partie 1
PARTIE I
PRESENTATION DE LA ZONE D’ETUDE ET PRESENTATION
DES DONNEES
3

Présentation de la zone d’étude et de données
Dans cette première partie, nous allons parler de la zone d’étude et des données à traiter.
I-1- PRESENTATION DE LA ZONE D’ETUDE
Dans ce paragraphe, nous présentons successivement le contexte général de la zone d’étude et le
cadre géologique, hydrologique, hydrogéologique.
I-1-1- Contexte général de la zone d’étude
La zone d’étude se trouve administrativement dans la province de Toliary, dans la région
Androy. Elle appartient à la zone dite extrême sud de Madagascar, entre l’éperon cristallin de
Tsihombe et la coulée volcanique d’Amboasary. La zone est délimitée par un triangle dont la
pointe Nord-Ouest est située aux environs d’Antanimora, celle du Nord-Est se trouve à l’Ouest
d’Amboasary et le troisième point est localisé aux environs d’Antaritarika.
Le couloir alluvionnaire d’Ampamolora traverse et découpe, notamment, la zone d’étude
en deux. Par la suite, la localisation d'un site est toujours exprimée en coordonnées Laborde.
Figure 1: Localisation de la zone d’étude (Source BD500)
La zone d’étude est située dans la classification climatique des savanes, elle est loin du
système de basse pression tropicale du Nord. Le déficit hydrique causé par la haute
évapotranspiration, 1320 mm/an, par rapport à la précipitation 480 mm/an (Chaperon et all 1993)
se manifeste en séchage rapide de l’eau de surface. Ainsi en cas d’infiltration lente de l’eau dans
4

Présentation de la zone d’étude et de données
le sous-sol, les flaques d’eau produites par la pluie subissent une évaporation rapide et n’ont pas
le temps de pénétrer dans le sous-sol.
Le climat, bien que moins chaud et moins sec en raison de la proximité de la mer et de la
prédominance des vents du Sud-est, peut être comparé à celui des régions présahariennes de
l’Afrique (RAKOTO H.2003).
I-1-2-Cadre géologique, hydrologique et hydrogéologique
Voyons séparément le cadre géologique, hydrologique, hydrogéologique dans cette zone d’étude.
I-1-2-1-Contexte géologique (H. Besairie, 1963).
La zone d’étude du bassin d’Ambovombe et les zones environnantes sont
géologiquement divisées en trois zones comme suit :
- au nord, la terminaison du massif volcanique de l’Androy dont les coulées s’enfoncent
sous les sables récents ;
- à l’ouest, la bordure gneissique de l’Androy Manambovien,se prolongeant vers le sud
sépare le bassin sédimentaire de l’extrême sud de Madagascar en deux : le bassin de Beloha et
celui fermé d’Ambovombe ;
- et enfin, les formations sédimentaires récentes.
La Figure 2 montre les formations géologiques de la zone d’étude :
5

Présentation de la zone d’étude et de données
Figure 2 : La géologie régionale (source BD 500).
Le socle cristallin d’âge Précambrien affleure aux environs d’Antanimora (partie Nord du
bassin d’Ambovombe). Il plonge légèrement dans la direction Sud-Est et disparaît sous les
sédiments. Il est composé des leptynites bien altérés, quartzites, granites, gneiss granitique
formant de bons aquifères confinés et de bonne qualité, même si occasionnellement, il y a
existence d‘eau salée. Dans la partie Est de ces roches Précambriennes, les roches volcaniques
du Crétacé composées d’intrusif basaltique et rhyolites affleurent et forment les montagnes dans
cette zone.
Le bassin d’Ambovombe est formé par des structures grabben où des récents sédiments
épais se sont déposés. Le socle est du Tertiaire, et du calcaire Néogène couvre les récents
sédiments de manière non conforme. Des sédiments de latérite sableux de couleur marron du
Pléistocène sont recouverts de dépôts de sable dunaire, de sable blanc et des sédiments
alluvionnaires du Quaternaire. Le sable blanc du Quaternaire dans la zone d’étude recouvre la
latérite marron sableuse du Pléistocène. Les villageois creusent des vovo d’une profondeur
variant de 10 m à 30 m; et le niveau d’eau statique varie de 5 m à 25 m afin d’obtenir de l’eau
pendant la saison de pluie. La bordure du bassin d’Ambovombe forme une colline où affleurent
des roches calcaires du Néogène continental. L’aquifère, non confiné du sédiment du
quaternaire, est juste à cet endroit. Or la vie des villageois dépend de cette eau de pluie. Dans le
centre du bassin d’Ambovombe, un grand marais peu profond se forme durant la saison de pluie.
C’est un dépôt d’épaisses alluvions composées principalement d’argile et de limon. Selon les
villageois qui ont vécu près du lac, des inondations ont quelquefois eu lieu avant 1951 lors de la
construction de la route nationale 10. La commune d’Ambovombe est située dans la bordure sud
du bassin. L’eau souterraine de la ville urbaine est un aquifère non confiné du sédiment du
Quaternaire ; pour la plupart l’eau est salée et biologiquement contaminée.
La zone côtière au Sud de la route nationale 10 forme de petits bassins individuels face à
l’Océan Indien. Le long de la côte, le sable calcaire récent de couleur marron forme des plages
situées au même niveau que la mer. Au-delà de ces étroites plages, des falaises de grès calcaire
du Quaternaire s’étendent à une hauteur environ de 100 m à 200 m. Il existe aussi des vovo, peu
6

Présentation de la zone d’étude et de données
profonds de moins de 20 m, creusés par les villageois juste aux pieds des falaises pour avoir de
l’eau pour les troupeaux de bétail, l’eau étant fortement salée à cause de l’intrusion marine
(conductivité plus de 500 mS\m à 2,000 mS\m, Chaperon et al (1993)).
Les quelques forages de reconnaissance géologique réalisés à l’intérieur de la zone
d’étude (BRGM, AID, Division hydrogéologie, projet japonais) ont permis d’avoir une
information sur la succession géologique du terrain:
-le calcaire et les marnes se superposent au dessus de la formation cristalline,
-le Néogène continental constitué de grès et d’argile, surmonte la stratification de calcaire
et de marne ; il affleure dans le secteur ouest de la zone et il délimite le bassin fermé
d’Ambovombe à l’est,
-les dunes récentes constituées essentiellement de sable (fin et moyen) et d’argile
reposent sur la formation Néogenique,
-le sable roux et les carapaces sableux couvrent la partie nord de la zone d’étude.
I-1-2-2-Hydrologie et hydrogéologie
Dans ce paragraphe, nous décrivons l’hydrologie et l’hydrogéologie de la zone d’étude.
I-1-2-2-1-Hydrologie
Autour de la zone d’étude il existe deux fleuves : le fleuve Mandrare qui s’écoule à l’Est,
et le fleuve Manambovo qui s’écoule à l’Ouest. Le bassin d’Ambovombe est situé entre ces deux
rivières et aucun fleuve ne s’écoule dans le bassin tout au long de l’année ; c’est seulement lors
de la saison humide que des écoulements fluviaux peuvent y être observés.
Les deux fleuves ont un régime irrégulier en correspondance directe avec la pluie. Des orages
violents ou une pluie de forte intensité engendrent des crues brutales. Le tarissement de ces
crues est rapide, conduisant à un débit faible ou nul sur le fleuve de Manambovo. Une
importante partie d’écoulement de ce fleuve se fait dans le sable dans le fond du lit. Il constitue
ainsi un sous-écoulement. Le fleuve Mandrare après Ifotaka, se dirige vers le sud est et rejoint
l’Océan Indien au sud d’Amboasary, il est pérenne tout au long de son trajet.
Les cours d’eau sont rares à l’intérieur de la zone sédimentaire. Les canaux ou berges existants
drainent l’eau de pluie et ne coulent que temporairement (quelques heures après la pluie).
La rivière Bemamba évolue dans la cuvette d’Ampomolora et elle développe sur ces deux rives
un vaste bassin alluvionnaire. Elle forme, pendant la période de crue, un lac non pérenne au nord
de la ville d’Ambovombe. La rivière de Sakave déverse dans le couloir d’Ampomolora et
s’associe à Bemamba pour remplir le lac de rétention, au nord d’Ambovombe.
7

Présentation de la zone d’étude et de données
Figure 3: Les cours d’eau à l’intérieur de la zone d’étude
I-1-2-2-2-Hydrogéologie
On peut grouper en deux grandes catégories les aquifères du bassin d’Ambovombe : celle des
nappes locales ou nappes perchées et celle de la nappe générale.
Les nappes perchées se trouvent dans les formations de sables blancs d’Ambondro et de
Laparoy et éventuellement dans la formation à quaternaire ancien.
Les argiles imperméables sous la couverture de sables forment le mur de l’aquifère de la nappe
perchée. Par le fait de la percolation rapide de l’eau dans le milieu sableux, l’eau de pluie ou de
l’écoulement échappe au phénomène d’évaporation et forme la nappe aquifère sur les formations
argileuses. Le niveau statique de la nappe de sables blancs est inférieur à 10m par rapport au sol.
Quant aux nappes perchées de la formation quaternaire ancienne, elles sont localisées dans les
formations dunaires et argileuses, et gréseuses. La salinité de l’eau y est variable, généralement
faible mais parfois notable. Le débit de la nappe est relativement faible.
La nappe générale indique la continuité apparente de niveau statique. Alimenté par les
eaux de pluie ou par drainage dans le socle cristallin, cette nappe débuterait dans la zone
d’altération du socle, passerait dans le néogène continental pour se raccorder au niveau de la mer
sur le littoral et aux nappes alluviales dans les vallées des grands fleuves. La minéralisation de
l’eau de la nappe générale est relativement élevée, sauf pour les aquifères à proximité des deux
8

Présentation de la zone d’étude et de données
grands fleuves. La nappe générale est beaucoup plus épaisse que la nappe perchée, elle peut
contenir une grande quantité d’eau.
Compte tenu des problèmes posés dans cette région, la solution la plus proche est
l’alimentation en eau souterraine. La nature et la localisation des ressources restent cependant
très vagues. Face à ce problème actuel, en vue d’assurer une alimentation en eau à partir des
réserves souterraines, la prospection des eaux souterraines fait appel à l’étude géophysique qui
précisera, dans cette étude (méthode géostatistique), la variation latérale et verticale de résistivité
du sous sol.
I-2- PRESENTATION DES DONNEES
Des données à référence spatiale sont de plus en plus exploitées, et ce, dans divers
domaines de recherche (par exemple le domaine minier pour faire une estimation des réserves, le
domaine hydrogéologie pour cartographier par exemple le toit et le mur d’un aquifère, le
domaine de l’environnement pour faire une estimation de la pollution de l’air etc.). Nous avons
utilisé pour cette étude deux types de données : les données issues de la prospection géophysique
qui sont les résistivités, et les données des résultats des forages (niveau statique, profondeur
totale, salinité, nature de la formation lithologique) disponibles sur la zone d’étude.
I-2-1-Les données issues des prospections géophysiques
Les données obtenues par prospection géophysique permettent la reconnaissance des
propriétés physiques du sous-sol à partir de la surface sans effectuer des travaux d'extraction
comme les sondages mécaniques. Chaque méthode de prospection géophysique décrit une
propriété physique des roches, par la représentation de la distribution spatiale d'une telle
propriété: densité, résistance électrique, susceptibilité magnétique, vitesse des ondes sismiques,
etc. Le choix des méthodes dépendra donc des caractéristiques de la zone d'étude et des objectifs
concrets de la recherche.
La méthode électrique est la plus fréquemment utilisée (méthode imaginée en 1912 par
les frères Schlumberger) dans le cadre de l’investigation d’eaux souterraines, compte tenu de
l’éventuel contraste de résistivité entre la couche saturée d’eau et la couche non saturée (Archie
1942). Le changement de la formation lithologique et/ou de la résistivité électrique d’eaux
souterraines se manifestent par la variation de résistivité électrique de la nappe aquifère. Cette
variation peut dépendre de plusieurs paramètres: nature minérale, impureté, teneur en ions libres
(minéralisation ou eau), etc ; ainsi les variables très importantes dans cette étude sont les
résistivités du sous sol.
9

I-2-1-1- Définition de la résistivité du sous sol
Présentation de la zone d’étude et de données
La résistivité électrique d’un milieu est la propriété physique qui détermine la capacité de
ce milieu à laisser passer le courant électrique.
L
R = ρ
S
La résistivité est la résistance ohmique d’un cylindre de section et de longueur unitaire.
Avec R= résistance (Ω) ; L= longueur unitaire d’un cylindre
ρ= résistivité (Ωm) ;S= section du cylindre
I-2-1-2- Prospection électrique
La technique de la prospection électrique, par le biais du sondage électrique vertical
(S.E.V.) permet d’explorer le sous-sol ; le principe est le suivant : on injecte dans le sous-sol,
supposé homogène et isotrope, un courant continu I à l’aide d’une électrode A. L’écoulement de
ce courant se fera par filets rectilignes rayonnant autour de A et produira des variations de
potentiel dans le sol, à cause de la résistance ohmique de celui-ci. Le potentiel créé par le courant
d’intensité I en un point M situé à la distance r de la source, est défini par:
ρI
V =
2πr
On utilise dans la plupart des cas pratiques deux ou une électrode(s) de courant (A et B)
et deux électrodes de potentiel avec lesquelles sera mesurée la différence de potentiel produite
par le courant entre deux points M et N.
La relation entre la géométrie du dispositif, le courant, le potentiel et la résistivité est:
avec, ρ a : résistivité apparente
ρ a
K : coefficient géométrique du dispositif
∆V: différence de potentiel mesurée entre les deux points M et N
I: intensité de courant injecté
En général, les électrodes A, M, N, B sont alignés à la surface du sol ; selon les dispositifs
relatifs des 4 électrodes, on a plusieurs types de dispositifs : dispositif Schlumberger, dispositif
Wenner, dispositif Wenner-Schlumberger, dispositif Dipôle-Dipôle, etc. Dans cette étude, nous
nous sommes limités au dispositif Wenner.
= K ∆V
I
10

Présentation de la zone d’étude et de données
I-2-1-3-Dispositif Wenner
Les électrodes A et B permettant l’injection du courant et la mesure de potentiel entre M
et N sont alignées et la distance de l’une à l’autre est constante, notée « a=AB/3 ». Elles sont
disposées suivant la configuration géométrique de la figure 4 .
Le facteur géométrique K s’écrit:
Figure 4: Dispositif Wenner
NB : La résistivité apparente d’un sous-sol hétérogène qui est mesurable sur le terrain est la
résistivité vraie d’un sous-sol homogène et isotrope fictif obtenue dans les mêmes conditions de
mesure.
En prospection géophysique, deux grandeurs sont importantes: la profondeur de
pénétration et la profondeur d’investigation.
Plus on éloigne les électrodes A et B pour une distance MN donnée, plus important est le volume
de terrain concerné par les lignes de courant et plus grande est la profondeur de pénétration.
On appelle profondeur d’investigation la profondeur maximale atteinte par les lignes de
courant.
La profondeur d’investigation estimée pour ce dispositif est 0.519a [Edwards, 1977],
« a » étant la distance inter-électrodes, mais elle dépend fortement de la résistivité des différentes
couches.
11

Présentation de la zone d’étude et de données
En 2005, la Société Géosciences pour le Développement de Madagascar (SGDM), l’ONG
Taratra et la Japan Techno LTD ont réalisées 149 SEV utilisant le dispositif Wenner dans le
cadre du projet intitulé « Etude sur l’Approvisionnement en Eau Potable, autonome et durable
dans la région du Sud de la République de Madagascar » ; Concernant le SEV, la longueur
maximale de lignes étalées est AB/3= 300m. Les données de base traitées dans cette étude
proviennent de ces stations uniquement pour s’assurer l’homogénéité de l’acquisition.
La figure 5 montre l’emplacement des sondages dans la zone d’étude.
Figure 5: Carte de localisation des sondages électriques
12

Présentation de la zone d’étude et de données
Cette figure montre que l’emplacement de sondages n’est pas régulièrement réparti. Les points
de sondage sont plus denses au Sud Est de la zone d’étude compris entre X Laborde = [360km ;
380km] et Y laborde = [100km ;120km] près de la ville d’Ambovombe et au Nord Ouest près
d’Antanimora entre les coordonnées X Laborde=[320km ;335km] et Y Laborde [140km ;155km]
(d≈0,06 points de sondages par kilomètre carré). Au centre de la zone d’étude entre les
coordonnées (X= 340km, 360km et Y=120km, 140km), la densité est faible (d≈0,01 points de
sondages par kilomètre carré).
I-2-2-Les données des résultats des forages.
Les résultats de huit forage que nous avons utilisés dans ce présent mémoire ont été
fournis par la Direction de la Gestion des Bases de Données au Ministère de l’Eau. Ces forages
ont été effectués par BRGM, AID, Division hydrogéologie, projet Japonais en 2005. Ces
résultats nous servent :
à choisir les différentes distances inter électrode (a) dans les feuilles de mesures du SEV.
Nous avons choisi les longueurs AB/3 = 4m, 14m, 30m, 52m, 100m, 150m, 300m pour
lesquelles les feuilles de mesures et les coupes lithologiques des forages, après comparaison
entre elles, ont marqué les maxima de variation en résistivité et en formation lithologique.
comme référence pendant la phase d’interprétation c'est-à-dire, les données traitées seront
validées par les données de forage.
La figure 6 montre la répartition des huit forages réalisés.
13

Présentation de la zone d’étude et de données
Figure 6: Carte de localisation des forages existants
Les résultats des forages ont montré en général que le réservoir de la nappe aquifère est
constitué de sables roux, toujours assez fins, avec une teneur en argile très variable, et de sables
blancs, également fins, plus ou moins consolidés (pouvant passer localement à des grès). La
profondeur de la nappe du sous sol dépend de la topographie ainsi que de la forme de la surface
piézométrique. Le substratum imperméable est, en général, formé par une couche d’argile.
D’après la figure 6, la densité des points de forages est faible mais les huit points de forages sont
suffisants pour nous permettre de retenir les différentes longueurs AB/3 énoncées ci-dessus et
faire le calage des résultats obtenus car ces points sont bien répartis sur les quatre formations
géologiques (dunes de sable côtière, carapace sableuse, sable roux, alluvions).
L’étape suivante explique brièvement l’obtention des variables à traiter.
14

Présentation de la zone d’étude et de données
Rappelons que le but est de cartographier les isovaleurs de résistivité du sous-sol pour une
longueur de ligne donnée AB/3 tels que AB/3 = 4m, 14m, 30m, 52m, 100m, 150m, 300m. On
note ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 , ρ 4 , ρ 5 , ρ 6 et ρ 7 l’ensemble des variables (résistivité) collectées respectivement
a une longueur de ligne AB/3 = 4m, 14m, 30m, 52m, 100m, 150m, 300m d’après les feuilles de
mesure obtenu après les mesures brutes sur tous les points de mesure dans la zone d’étude.
La figure 7 montre un exemple d’échantillon de la coupe lithologique de forage près de
Sarihangy et un exemple de feuille de mesure.
Figure 7: Coupe de forage et feuille de mesure d’un SEV.
L’utilisation des méthodes géophysiques nous fournit des données (résistivité pour AB/3
donnée) qui vont être traitées par la méthode géostatistique. Les données traitées seront validées
par les données des forage afin d’obtenir la cartographie des variables en 2D ou 3D pour mieux
caractériser non seulement la structure géoélectrique mais aussi la variation lithologique de la
zone d’étude. Quelques rappels théoriques seront présentés dans la 2 ème partie.
15

Partie 2
PARTIE II
RAPPELS THEORIQUES
16

Rappels théoriques
La deuxième partie du présent mémoire concerne quelques rappels théoriques sur la statistique et
la géostatistique.
II-1- ANALYSE STATISTIQUE DES DONNEES
L’analyse préalable d’une étude géostatistique est l’analyse statistique des données. Cette
partie traite:
des variables régionalisées.
de support et champ.
des rappels des grandeurs fréquemment utilisées en statistique (moyenne, variance,
covariance, écart type, corrélation).
de l’hypothèse de base (stationnarité du second ordre et hypothèse intrinsèque).
II-1-1-Variables régionalisées Z(x), x à 2, 3 ou 4D
Les variables régionalisées sont les outils de base en interpolation spatiale. Ce sont des
variables aléatoires (v. a), grandeurs mesurées s imprévisibles, irrégulieres, qui prennent ses
valeurs en tout point de l’espace.
II-1-2- Support et champ
Le support est le point, volume ou surface (ex: bloc) générique, d’orientation donnée,
d’intervalle de temps, sur lequel la variable régionalisée mesurée est définie. Il est de toute
première importance de s'assurer que toutes les observations proviennent des supports
identiques.
Le champ, c’est la zone considérée.
II-1-3- Rappels des grandeurs fréquemment utilisées en statistique
Soient Z 1 , Z 2 ,…..Z i ,….. et X, Y les variables aléatoires :
la moyenne est définie par m =
la variance est σ 2 = ou s 2 =
la covariance qui mesure la force du lien linéaire entre les variables X et Y est
défini par : Cov (X,Y) = E [ (X – m X ) (Y – m Y ) ]
l’écart type est σ =
la corrélation est la covariance entre 2 v.a normalisée pour présenter un écart type
de 1 est
; On note que,
Signifie une absence de lien linéaire entre les variables.
17

Rappels théoriques
Une des caractéristiques importantes d'un estimateur est d'être sans biais i.e. d'avoir la même
espérance mathématique que la quantité qu'il cherche à évaluer.
II-1-4- Hypothèses de base
Nous considérons deux hypothèses de base : l’hypothèse de stationnarité et l’hypothèse
intrinsèque.
II-1-4-1-Stationnarité
du second ordre
Z(x) est dit stationnaire lorsque la loi de probabilité de Z(x) est la même pour tous les points x ;
cette condition implique que :
l’espérance mathématique ne dépend pas de x : E[Z(x)] = m ou l’espérance des
écarts est nulle E[Z(x)-Z(x+h)] Z(x+h)] = 0.
la covariance, Cov[Z(x),Z(x+h)] = E[(Z(x)-m).(Z(x+h)-m)]
= E[Z(x)Z(x+h)]-m 2
= C(h),
avec C(h) paire, ce calcul nécessite la connaissance de la moyenne m(h) et implique une
stationnarité du 2 nd ordre (invariance par translation qui ne s’intéresse qu’aux deux premiers
«moments» de la FA : moyenne et variance ou covariance).
la variance est indépendante de x : Var [Z(x)] = E {[Z(x)-m]
2 }= C(0).
II-1-4-2-Hypothèse intrinsèque
L’hypothèse pour laquelle la variable régionalisée est stationnaire, est trop rigoureuse, on
dira plutôt que les accroissements Z(x) sont stationnaires c'est-à-dire [Z(x+h)-Z(x)] est une
fonction n aléatoire stationnaire, c’est l’hypothèse intrinsèque.
Les propriétés de cette fonction aléatoire sont les suivantes :
moyenne nulle : E [Z(x+h)-Z(x)] = 0
variance stationnaire : γ(h) =
=
γ(h) est une fonction paire et γ(0) = = 0
γ(h) ainsi défini est le variogramme ou fonction de dispersion intrinsèque.
Une FA stationnaire est aussi intrinsèque mais une FA intrinsèque n’est pas forcément
stationnaire. La fonction la plus utilisée en géostatistique pour décrire la continuité et la
régularité d’un phénomène est le variogramme, simple à estimer.
18

Rappels théoriques
II-2- ANALYSE VARIOGRAPHIQUE
La géostatistique est une méthode d’analyse de données corrélées dans l’espace qui vise à
quantifier et modéliser la structure de cette corrélation à l’aide de divers outils dont l’un des plus
représentatifs est le variogramme. L’analyse variographique est une étape préalable au krigeage
qui permet d’estimer la structure de dépendance spatiale de la fonction aléatoire. Cette analyse
est en fait l’étude du comportement spatial de la variable régionalisée examinée.
II-2-1- Variogramme expérimental
Le variogramme expérimental est la clé principale de toute analyse géostatistique. Il met
en évidence les corrélations spatiales existant entre les variables. Sa définition statistique est
donnée par l'équation : γ(h)=
Var [Z(x)-Z(x+h)]
Ainsi, pour les modèles de variogramme montrant un seuil, on a :
portée a : distance où deux observations ne se ressemblent plus du tout en moyenne, elles
ne sont plus liées (covariance nulle) linéairement. À cette distance, la valeur du variogramme
correspond à la variance de la variable aléatoire.
palier σ2 = Co + C: variance de la v.a. (Var (Z(x)), écarts les plus grands, en moyenne
entre deux v.a.
effet de pépite: C 0
: variation à très courte échelle, variation non détectée à une micro
échelle, erreurs de localisation, erreurs d'analyse et précision analytique.
Figure 8: Variogramme et covariance
Parfois les variogrammes ne montrent pas de palier (variogramme non borné). Dans ce
cas, la covariance et la variance n'existent pas. Lorsque les variogrammes montrent un palier
alors on peut facilement établir le lien entre la valeur du variogramme pour la distance h et la
covariance pour deux observations séparées de h.
γ(h)= Var [Z(x)-Z(x+h)] Z(x+h)]
= [Var (Z(x)) + Var (Z(x+h)) – 2 Cov(Z(x), Z(x+h))]
= σ 2 – Cov(Z(x),Z(x+h)) = σ 2 – C(h)
19

Rappels théoriques
donc, γ(h) = σ 2 – C(h)
C(h) est appelé le covariogramme de Z.
On voit que lorsque la portée est atteinte, il n'y a plus de covariance entre les v.a :
C(h) = 0 si h ≥a.
Le variogramme possède deux avantages sur le covariogramme :
le variogramme est défini même s'il n'y a pas de palier.
dans l'expression du variogramme, la constante E [Z(x)] = m n'apparaît pas
et l'on n'a donc pas besoin de l'estimer préalablement comme c'est le cas lorsqu'on veut calculer
directement le covariogramme.
Lors des calculs des variogrammes expérimentaux, on doit tenir compte de la sensibilité
au choix des classes de calcul, à la taille du champ, aux valeurs aberrantes, aux valeurs fortes et
de leur position dans le champ et à l’homogénéité de la population.
II-2-2-Estimation du variogramme
On estime le variogramme à l'aide de
γ*(h) =
où N(h) est le nombre de paires de points collectés et séparés du vecteur h, les valeurs Z(x i ) et
Z(x i + h) correspondent aux valeurs de la propriété étudiée (résistivité), respectivement en x i et
en x i +h (FRYKMAN, 2001).
Cette équation peut être définie comme la moyenne des écarts quadratiques entre les
valeurs Z(x i +h) et Z(x i ).
Pour un champ donné, rien n'assure que la continuité soit identique dans toutes les
directions. On peut ainsi déterminer le variogramme dans la direction où l’on observe une bonne
continuation spatiale :
γ*(h,
θ) =
où N(h,θ) = nombre de paires séparées de h dans la direction θ.
En pratique on s'accorde une tolérance sur h et sur θ afin d'avoir suffisamment de paires
pour chaque h et chaque θ. Pour chacune des classes ainsi formées, on évalue le variogramme
expérimental et ainsi on obtient une série de points expérimentaux auxquels on cherche à ajuster
un modèle (expression analytique) permettant de déduire la covariance entre deux points
quelconques en fonction de leur espacement géographique (et, éventuellement, de leur direction).
Précautions pour l’estimation du variogramme :
le choix des classes (la tolérance) et leur nombre influencent l'allure du variogramme.
le nombre de paires > 30 et h

Rappels théoriques
la présence d'anisotropie dans les données est très importante pour l’ajustement d’un
modèle.
II-2-3- Variogramme croisé
Une autre fonction de structure croisée que l'on peut utiliser lorsqu'on sait que les
covariances sont symétriques est le variogramme croisé, défini comme:
Le variogramme croisé est donc une fonction symétrique et seuls les points où les 2 variables
connues Z et Y peuvent contribuer à l'estimation du variogramme croisé. Ce lourd handicap est à
comparer aux deux avantages principaux du variogramme croisé : on n’a pas besoin d'estimer les
moyennes de Z et Y, les modèles n'ont pas nécessairement de palier.
On a la relation entre covariance croisée et variogramme croisé suivante:
Remarque, si on pose Y=Z alors on retrouve l’expression du cas monovariable
II-2-4- Modélisation
Les modèles sont des expressions analytiques que l'on tente d'ajuster le mieux possible
aux points des variogrammes expérimentaux. La modélisation choisie est un compromis entre le
calage au plus près du variogramme expérimental et la stabilisation de son comportement dans
les grandes distances. Toute fonction ne peut être utilisée isée comme modèle d’où l’utilité d’une
condition d’admissibilité ibilité des modèles ci-dessous.
Soit une combinaison linéaire
. Dans le cas stationnaire (variogramme avec
palier), Var ( ) =
≥ 0
Dans le cas intrinsèque (variogramme sans palier), sous la condition = 0, on a
Var ( ) =
≥ 0
Les types de modèles les plus courants, en géologie, sont :
effet de pépite (discontinuité à l'origine du variogramme)
γ(h)= 0 si h = 0
C o
o
si h > 0
puissance (cas particulier : linéaire).
γ(h)= C h b
0

Rappels théoriques
gaussien
C
γ(h)= C [1 - exp(-3(h/a)2)]
si h ≥ a
exponentiel
γ(h)= C [1 - exp(-3h/a)]
On remarque qu’on peut combiner plusieurs modèles en les additionnant. Ainsi, l'effet de
pépite est presque toujours présent en association avec un ou plusieurs autres modèles décrits
plus haut.
Figure 9: Variogramme expérimental et modèle
II-2-5- Phénomènes d’anisotropie et d’isotropie
Pour un champ donné, rien n'assure que la continuité soit identique dans toutes les
directions. Le semi-variogramme, γ(h), ne dépend que de h, (vecteur de translation entre les
points x et x + h). Ce vecteur contient de l'information sur la distance entre ces deux points, par
l'intermédiaire de sa norme, ainsi que sur l'orientation de h.
II-2-5-1-Phénomène de structure isotropie
Si le semi-variogramme ne dépend que de la norme de h, il est dit isotrope (variogramme
omnidirectionnel avec une seule portée).
II-2-5-2-Phénomène de structure anisotropie
Si le semi-variogramme dépend à la fois de la norme de h et de la direction du vecteur de
translation, il est alors dit anisotrope. Il peut être classé en deux catégories :
l’anisotropie géométrique qui est caractérisée par :
22

Rappels théoriques
-des paliers et des composantes pépitiques identiques dans diverses directions mais des portées
différentes (figure 7 a).
-des portées maximales et minimales observées dans deux directions orthogonales.
l’anisotropie zonale qui est caractérisée par des portées identiques dans ses
directions mais des paliers différents (figure 7 b)
Anisotropie géométrique
Anisotropie zonale
(a)
(b)
Figure 10: Anisotropies zonale et géométrique
II-2-6-Voisinage unique et voisinage glissant
Ces termes jouent des rôles importants pour valider le modèle de variogramme.
L’expression « voisinage unique » signifie qu’on considère toutes les données pour l’estimation.
Il est utilisé si le nombre de données à traiter est faible (indiqué sur l’isatis software inférieur à
500).
Pour le « voisinage glissant », on ne considère que des données comprises dans la zone de
recherche circulaire ou elliptique parallèle à la direction de meilleure continuité.
Les conditions nécessaires pour que le voisinage glissant soit acceptable sont :
la corrélation entre la donnée et son estimation est proche de l’unité.
le poids attaché à la moyenne, proche de zéro.
la pente de régression entre la donnée et son estimation est proche de l’unité.
II-2-7-Validation croisée
Une pratique intéressante pour valider le modèle de variogramme et le voisinage utilisé
pour le krigeage consiste à effectuer une validation croisée. La procédure de la validation croisée
permet de comparer l'impact de ces différents modèles sur les résultats de l'estimation dont le
principe est le suivant :
soit Z(
) la variable, estimer chaque donnée par krigeage en ne tenant compte que des
autres données
et le modèle de variogramme
23
, noté Z*( ), puis à comparer la

Rappels théoriques
valeur estimée à la vraie valeur. En effectuant cela successivement sur tous les sites de mesures,
on obtient d’une part un nuage de points (valeurs vraies contre valeurs estimées) qui est d’autant
plus proche de la bissectrice que la variable est bien estimée, d’autre part une comparaison de
l'erreur d’estimation expérimentale (différence entre la valeur réestimée par krigeage Z*( ) et
la valeur réelle mesurée Z( )) avec l'erreur d’estimation due au modèle de variogramme à
travers le calcul des expressions suivantes :
moyenne de l’erreur :
variance de l’erreur :
moyenne de l’erreur standardisée :
variance de l'erreur standardisée :
La moyenne de l'erreur, qui doit tendre vers zéro, permet de vérifier si le krigeage est
non-biaisé.
La variance de l'erreur standardisée, qui doit se rapprocher de 1, correspond au rapport
entre les variances expérimentale et théorique de krigeage. Elle permet de vérifier que les erreurs
de krigeage sont cohérentes avec la variance calculée. Les points pour lesquels l'erreur
standardisée est comprise dans l'intervalle [-2,5 ; 2,5] sont dits robustes.
II-2-8- Krigeage et Cokrigeage
Dans cette étude, on se limite au cas stationnaire donc on en reconnaît 2 types principaux,
selon que la moyenne du processus est connue (Krigeage simple) ou non (Krigeage ordinaire).
Ce dernier est, de loin, le plus fréquemment utilisé selon Gratton (2002).
II-2-8-1-Krigeage
Le krigeage, appelé « le plus meilleur outil d’estimation », est la première méthode
d'interpolation spatiale à tenir compte de la structure de dépendance spatiale des données.
Nous utilisons le krigeage ordinaire pour le traitement
Supposons que l'on veuille estimer un bloc v centré au point x 0 . Notons la vraie valeur
(inconnue) de ce bloc et
* l'estimateur que l'on obtient. Selon Chauvet (1999), des contraintes
de Krigeage sont imposées dans le but de calculer les poids de Krigeage relatifs au point à
estimer. Dans ce cas, l’estimateur prend la forme
(Contrainte de linéarité).
Pour que l’estimateur soit sans biais, il faut que E[ ] = 0 et donne
On a un problème de minimisation sous contrainte d'égalité que l'on solutionne par la méthode
de Lagrange décrite par
24

Rappels théoriques
où µ est le multiplicateur de Lagrange. Le minimum est atteint lorsque toutes les dérivées
partielles par rapport à chacun des
et par rapport à µ s'annulent. Ceci conduit au système de
krigeage ordinaire:
A l’optimum, la variance d’estimation appelée variance de krigeage est :
D’après γ(h) = σ 2 – C(h) et
variogramme:
, le système de krigeage peut être écrit en terme du
et la variance de krigeage est :
Le système de krigeage ordinaire et la variance ordinaire peut s’écrire sous la forme matricielle :
D’où
=
L’estimateur est moins variable que la réalité qu’il cherche à estimer.
25

Rappels théoriques
II-2-8-2-Cokrigeage
Le principe du cokrigeage est le même que celui du krigeage, mais il permet en plus d’effectuer
une estimation simultanée de plusieurs variables régionalisées. Deux principales raisons
justifient le cokrigeage :
profiter, pour estimer une variable sous- échantillonnée, de l’information apportée
par une autre variable, liée à la première, et mieux échantillonnée.
dans le cas où toutes les variables sont connues aux points expérimentaux
(isotopiques), améliorer la précision et la cohérence des résultats d’estimation en prenant en
compte les liens entre variables.
26

Partie 3
PARTIE III
ANALYSE STATISTIQUE ET TRAITEMENT DES DONNEES PAR
LES TECHNIQUES GEOSTATISTIQUES
27

Analyse statistique
Dans cette partie, nous abordons d’abord l’analyse statistique des données ensuite le traitement
des variables par krigeage et cokrigeage et enfin la comparaison des résultats obtenus avec ces
deux méthodes.
III-1- ANALYSE STATISTIQUE DES DONNEES
L’analyse statistique des données est la plus importante pour les travaux en
géostatistique. L’objectif principal est de mieux comprendre le comportement des données de
résistivité comme la répartition spatiale, le minimum et le maximum, la moyenne, l’écart type,
etc. Dans ce cas, la valeur de résistivité joue un rôle important pour mieux connaître la
répartition des formations géologiques correspondantes.
Dans toutes les cartes établies en coordonnée Laborde et pour des valeurs de résistivité
données sur la figure 11, les croix représentent les valeurs des résistivités obtenues pour une
distance constante entre les électrodes d’injection de courant A et B. Les tailles des croix sont
proportionnelles aux valeurs de résistivité qui leur sont affectées.
Les cartes ont été obtenues en utilisant le logiciel Isatis 5.1 (voir AnnexeB).
Figure 11: Carte de répartition de ρ 1 et ρ 7
La figure11 présente les emplacements des points de sondage. Ils sont généralement
irréguliers à cause de l’impossibilité de l’accès à la réalisation des mesures dans certaines zones.
La partie gauche constitue la valeur de résistivité pour une distance AB/3= 4m et la partie droite
montre la répartition des valeurs de résistivité pour une distance de AB/3=
300m. On remarque
que des valeurs de résistivité en certains points de la carte correspond à AB/3=4m ne sont plus
visibles sur la carte correspond à AB/3=300m ; les sondages réalisés en ces points ne sont pas
28

Analyse statistique
effectués assez profondément : on peut alors dire que les caractéristiques de la variable résistivité
est hétérotopique.
III-1-1- Extremum de valeur de résistivité
La détermination de l’extremum de résistivité correspondant aux divers sondages
effectués dans la zone d’étude a été réalisée.
III-1-1-1- Statistique des valeurs de résistivité minimum
Les valeurs de résistivité minimum sont obtenues en se servant de la valeur minimum de
résistivité entre les résistivités collectées aux longueurs de ligne AB/3= 4m, 14m, 30m, 52m,
100m, 150m, 300m dans tous les sondages électriques implantés dans la zone d’étude. Les
résultats statistiques sont repris dans le tableau suivant :
Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
149 1,70 34,00 28,00 28,75 826,66
Tableau 1: Comportement statistique du minimum de valeur de résistivité exprimée en Ωm
Le minimum de la valeur de résistivité dans tous les sondages électriques ne dépasse pas de 34
Ωm. Cela dépend en fait de la présence de teneur en argile. Plus la résistivité est faible, plus la
teneur de l’argile est plus élevée. La figure 12 illustre la répartition de formations à faibles
résistivités.
Figure 12: Carte de répartition de la résistivité minimum et son histogramme
La figure 12 montre que la valeur de résistivité minimum compris entre 1,7 à 30,0 Ωm est
nombreuse et presque se trouve dans toute la zone d’étude sauf autour de la zone d’Antanimora
et dans quelques sondages dans l’axe Sud Ouest vers Nord Est en passant par Ambovombe.
29

Analyse statistique
Beaucoup des sondages électriques ont été implantés au centre de la zone d’étude ; ceux-ci ont
donné de faibles valeurs de résistivités. La couleur rouge dans la figure 12 gauche montre
l’emplacement des points où les valeurs de résistivités sont comprises entre 1,7 à 30,0 Ωm.
III-1-1-2- Statistique des valeurs de résistivité maximum
Les valeurs de résistivité maximum sont obtenues en se servant de la valeur maximum
des résistivités ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 , ρ 4 , ρ 5 , ρ 6 et ρ 7 relatives aux longueurs de ligne AB/3= 4m, 14m, 30m,
52m, 100m, 150m, 300m dans tous les sondages électriques implantés dans la zone d’étude.
Le tableau 2 montre la caractéristique statistique des valeurs de résistivités maximum
dans tous les sondages.
Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
149 5,50 1407,00 171,00 185,88 34551,56
Tableau 2: Comportement statistique du maximum de valeur de résistivité en Ωm
D’après le tableau 2, dans certains sondages, le maximum de valeurs de résistivité est
atteint jusqu’à 1407Ωm et le minimum est de 5,50Ωm. La zone d’étude est donc constituée de
formations très résistantes de résistivité électrique de l’ordre de 1400Ωm ; cette valeur
correspond probablement à une formation du socle cristallin sain. La moyenne et la variance
sont élevées à cause de la présence des valeurs de résistivités faibles (5,50 Ωm) et élevées
(1407,00 Ωm) dans les sondages.
III-1-3- Moyenne
L’acquisition de la valeur moyenne suit le même principe que celui de la valeur
précédente. La moyenne varie de 3,37 Ωm à 653,33 Ωm. Elle dépend uniquement des valeurs de
résistivités ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 , ρ 4 , ρ 5 , ρ 6 et ρ 7 pour chaque sondage. Le minimum de la valeur moyenne
est faible à cause de la dominance de la formation faiblement résistante et ce, presque dans toute
la zone d’étude ; elle est élevée par la présence de la formation cristalline et de la formation des
dunes de sable. Les résistivités élevées, de couleur verte, se trouvent dans les parties Nord Ouest
et Sud Est de la zone d’étude. La variance de la moyenne est grande (7153,11) à cause du grand
contraste des valeurs de résistivité dans les sondages et aussi de l’importance des distances entre
les points de sondages.
30

Analyse statistique
Figure 13: Carte de répartition de la moyenne de résistivité et son histogramme
III-1-4- L’écart type
Même principe pour l’acquisition de la variable minimum mais cette fois-ci la valeur de
l’écart type. L’écart type varie de 1 à 620. En général la moyenne est faible ; par contre la
variance est plus élevée à cause de la présence des plus hautes et plus faibles valeurs de
résistivité dans le sondage. L’écart type minimum signifie qu’il n’y a pas beaucoup de variation
entre les résistivités tout le long de chaque sondage. Par contre, pour la valeur maximum, le
contraste de résistivités est évident pour un sondage électrique implanté sur une formation très
résistante et très conductrice.
III-1-5- Vérification de la stationnarité
La Figure 14 montre les nuages de points entre les résistivités à une profondeur
correspondant pour une distance de AB/3 constante et la longitude en haut (coordonnée Y)
(figure 15a) et la latitude en bas (coordonnée X) (figure 15b). Ces nuages permettent de vérifier
la tendance (ou dérive) des résistivités ; dans ce cas elles révèlent la présence d’une stationnarité
qui se traduit par une variation sensiblement constante des résistivités. Les petites variations sont
dues en fait soit aux erreurs de mesure soit à des petites hétérogénéités dans le sous-sol mais pas
de changement de résistivité en passant d’une formation géologique à une autre.
31

Analyse statistique
(a)
(b)
Figure 14: Nuages de points entre les résistivités à différentes profondeurs
D’après la figure 14 : on voit que la variation des valeurs de résistivité ρ 1, ρ 2, ρ 3 qui est
représentée par des lignes brisées de couleur noire est sensiblement constante. Donc le
phénomène de stationnarité est vérifié.
III-1-6- Relation entre les différentes valeurs de résistivité (ρ 1 , …., ρ 7 )
Comme on a vu dans le paragraphe II-1-3, la valeur du coefficient de corrélation doit être
proche de l’unité pour que les variables soient linéairement dépendantes ; par contre si le
coefficient de corrélation est égal à zéro, il y a absence de lien linéaire entre les variables.
Le tableau 3 montre les différentes valeurs des coefficients de corrélation entre les variables ρ 1 ,
ρ 2 , ρ 3 , ρ 4 , ρ 5 , ρ 6 , ρ 7.
32

Analyse statistique
Coefficient
de
Corrélations
ρ 1 ρ 2 ρ 3 ρ 4 ρ 5 ρ 6 ρ 7
ρ 1
1.0000 0,5670 0,4291 0,3049 0,1333 0,1289 0,0025
ρ 2 1.0000 0,9244 0,7803 0,5000 0,2739 0,1151
ρ 3 1.0000 0,9377 0,6689 0,3935 0,2630
ρ 4 1.0000 0,8473 0,5627 0,4199
ρ 5 1.0000 0,8627 0,6154
ρ 6 1.0000 0,7568
Tableau 3: coefficients de corrélation entre les 7 variables.
Ce tableau montre que le coefficient de corrélation est élevé pour les couples de variables
(ρ 2 , ρ 3 ), (ρ 3 , ρ 4 ), (ρ 4 , ρ 5 ), (ρ 5 , ρ 6 ) : 0,9244 ; 0,9377 ; 0,8473 ; 0,8627 respectivement. Donc il y
a une dépendance linéaire entre ces couples de variables et l’estimation par cokrigeage peut être
utilisée pour améliorer la cohérence des résultats d’estimation en prenant en compte les liens
entre variables.
Par contre le coefficient de corrélation par exemple celui de (ρ 1 , ρ 7) est très faible ; dans
ce cas, les variables ρ 1 et ρ 7 sont linéairement indépendantes. Donc l’estimation par cokrigeage
est impossible.
III-2- TRAITEMENT DES DONNEES PAR KRIGEAGE
Dans ce paragraphe, nous allons développer la méthode d’estimation monovariable pour chacune
des sept variables.
III-2-1-Variable ρ 1
Le tableau 4 montre les statistiques de base sur la variable ρ 1 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 1 149 2,30 1407,00 127,00 177,56 31525,79
Tableau 4: Statistiques sur la variable ρ 1 en Ωm
Sur les 149 données de résistivités, les résultats statistiques montrent que ρ 1 varie de
2,30 Ωm à 1407,00 Ωm avec la moyenne de 127,00 Ωm et la variance est égale à 31525,79Ωm 2 .
33

Analyse statistique
La figure 15 montre l’histogramme et la répartition spatiale de ρ 1 .
Figure 15: Carte de répartition et histogramme de la variable ρ 1
Selon les résultats de la figure 15, l’histogramme est unimodal, c’est-à-dire qu’il présente
un maximum unique de fréquence, de valeur modale égale à 0.48. Les échantillons ρ 1 ont été
regroupés par classe d’intervalle de 20%.
Ces figures montrent que les points pour lesquels les valeurs de résistivité comprises entre
2,5Ωm et 125Ωm couleur bleue sont répartis presque dans toute la totalité de la zone d’étude
sauf dans l’axe Nord-est Sud-ouest.
III-2-1-1-Analyse variographique
Les paramètres choisis pour le calcul du variogramme sont : pas= 5,1 km, nombre de
pas= 12. Le calcul a été fait avec une tolérance de 50%. Pour mieux comprendre la relation
spatiale de la variable étudiée, l’analyse variographique ainsi que le variogramme nué doivent
être effectués par calcul directionnel.
La figure 16 montre le calcul du variogramme dans deux directions de la variable ρ 1 pour
visualiser la structure anisotropie.
34

Traitement par krigeage
Figure 16: Variogrammes directionnels relatifs à ρ 1
La figure 16 présente le calcul du variogramme dans différentes directions. La couleur
rouge indique la direction de référence (N0°, N45°, N75°, N134°). Les résultats montrent que les
variogrammes arrivent sur la variance de données avec différentes portées. Le calcul directionnel
de référence N75° montre clairement qu’à une distance inférieure à 35km, le phénomène est
isotrope et sans structure spatiale avec une variation croissante avec la distance. Après cette
distance, le variogramme calculé dans la direction N165° commence à diminuer et s’écarte du
variogramme calculé dans la direction N75° ; cela signifie que deux mesures de résistivité ne
sont plus corrélées pour des distances supérieures à 35km car la formation du sous sol peut aussi
changer : il n’y a plus de continuité spatiale. La variable ρ 1 présente une anisotropie pour des
distances supérieures à 35km; cela est dû à plusieurs facteurs : irrégularité spatiale des données
35

Traitement par krigeage
dans la zone d’étude, grand contraste de résistivité pour deux échantillons voisines, hétérogénéité
du sous sol. Finalement, la structure isotropie est considérée pour la modélisation. La carte
variographique nous aide à confirmer cette structure.
Figure 17: Carte variographique de la variable ρ 1
La figure 17 montre la carte variographique de la variable ρ 1 ; cet outil nous permet
d’examiner la corrélation spatiale des données dans toutes les directions de l’espace. Une cellule
de la carte variographique représente une famille de couples de points dont les directions et les
distances entre points sont égales. La valeur de la cellule représente la valeur du variogramme
pour cette famille de paires. Si la corrélation spatiale est la même dans toutes les directions de
l’espace (isotropie), on obtiendrait la même couleur pour toutes les cellules à une même distance
(cercle) du centre ; au contraire si une direction est privilégiée (anisotropie) on obtiendrait des
valeurs plus fortes ou plus faibles dans la direction concernée. En général, la carte
variographique montre des valeurs de variogramme non constantes dans toutes les directions et
pour une même distance. A
grande échelle (de l’ordre de dizaine de kilomètre), la structure
isotropie peut être considérée pour la modélisation car elle tient compte de la continuité spatiale.
Pour la suite, le variogramme expérimental est calculé dans toutes les directions
(omnidirectionnelles).
Le variogramme nué nous permet d’analyser les conséquences et le comportement du
nombre de couples du variogramme.
36

Traitement par krigeage
La figure 18 montre le variogramme nué avec les paramètres de calcul du variogramme.
a)
b)
Figure 18: Analyse du variogramme relatifs à ρ 1
La figure 18a montre que la présence des fortes valeurs dans les données (figure b)
provient la variance très élevée et aussi l’instabilité de variogramme : l’augmentation de la
variance et la fluctuation du variogramme sont causée par la présence de la forte valeur et par
conséquent, la continuité spatiale de la formation n’est pas très visible.
III-2-1-2- Modélisation du variogramme
L'intérêt de la modélisation d'un variogramme expérimental est essentiellement pratique :
il s'agit de passer d'une fonction définie par des points à une fonction continue dans l'espace et
possédant une expression mathématique.
La modélisation choisie est un compromis entre le calage au plus près du variogramme
expérimental et la stabilisation de son comportement dans les grandes distances. Pour optimiser
le calage de modèles théoriques sur le variogramme expérimental, on a "joué" sur les paramètres
portée et palier.
La figure 19 présente les modèles de variogramme qui s'ajustent visuellement le mieux
aux variogrammes expérimentaux.
37

Traitement par krigeage
Modèle 1
Modèle2
Figure 19: Ajustement du variogramme expérimental relatifs à ρ 1
Le variogramme expérimental de la variable ρ 1 a été modélisé avec deux structures
différentes dont chacune de modèle comporte deux structures de base. On voit bien que les
courbes expérimentale et théorique sont proches l’une de l’autre.
Le variogramme ainsi défini est borné donc l’hypothèse de stationnarité est vérifiée.
A une distance plus de 30km, la courbe variographique se stabilise autour de 30000 ; cela
signifie que deux mesures de résistivité ne sont plus corrélées pour une distante plus de 30km.
Le tableau 5 montre le résultat de la modélisation.
Modèle 1 Palier Portée (km)
Effet de pépite 2700
Sphérique 31330 29,5
Modèle 2 Palier Portée (km)
Effet de pépite 3680
Gaussien 30748 22
Tableau 5: Paramètres et modèles mathématiques du variogramme
Selon les résultats du tableau 5, chaque modèle du variogramme montre une ordonnée non nulle
à l’origine ; c’est l’effet de pépite. Plus l’effet de pépite est grand, plus la carte d’estimation et la
carte d’écart-type sont lissées. Cet effet de pépite peut provenir de fortes variations locales des
valeurs de la propriété ou être attribué soit à des erreurs de mesure, soit à des erreurs de
38

Traitement par krigeage
localisation (précision d’un GPS) qui viennent fausser les distances et donc fausser le
variogramme expérimental, soit au fait que les données n’ont pas été récoltées à un intervalle de
mesure suffisamment petit pour pouvoir observer la structure sous-jacente continue du
phénomène. La continuité spatiale de la formation géoélectriques n’est alors pas bonne car la
formation peut varier d’un endroit à un autre.
III-2-1-3-Choix de grille de l’estimation
La grille d’estimation par bloc est la meilleure pour ce travail car la variation des variables
utilisées (résistivité) est visible d’une formation à l’autre et non pas en un point. La grille de
l’estimation est à maillage de taille 2,5km x 2,5km, les coordonnées de l’origine sont (316 km,
78km), les nombres de nœuds sont de 31 le long de l’axe des abscisses et 32 le long de l’axe des
ordonnée, les données doivent être à l’intérieur de la grille.
X (km)
310 320 330 340 350 360 370 380 390 400
160 160
150 150
140 140
130 130
Y (km)
120 120
110 110
100 100
90 90
80 80
70 70
310 320 330 340 350 360 370 380 390 400
X (km)
Figure 20: Grille d’estimation des variables par bloc
Y (km)
III-2-1-4-Choix du bloc de discrétisation
Le bloc de discrétisation est créé en utilisant un maillage de taille 4 x 4 x 1 car à partir de cette
dimension que la courbe f(cvv) se stabilise. La figure 21 montre le choix de la grille ; en
abscisse, la dimension du bloc discrétisation ; en ordonnée, la valeur f(cvv).
39

Traitement par krigeage
Figure 21: Courbe f(cvv) en fonction de la dimension du bloc discrétisation
III-2-1-5-Voisinage unique et voisinage glissant.
Le test de voisinage est appliqué sur deux modèles de variogramme pour confirmer le
meilleur choix entre le voisinage unique et le voisinage glissant. Les meilleurs paramètres
choisis pour le test de voisinage sont : le nombre minimum de données=1, le nombre de secteur
de l’angle =4 et le nombre maximum de données=15.
Le tableau 6 récapitule les résultats de test de voisinage glissant.
BLOC id C(20,13)
Dimension de l’ellipsoïde
en (km)
8X8 8X10 8.5X10 9X12 9.5X12 15X15
Nombre de voisinages 23 25 25 28 29 38
Poids négatif % 2,74 3,53 3,53 4,39 4,51 7,12
Somme de poids positif 1.02 1.03 1.03 1.04 1.04 1.07
Corrélation de Z/Z* 0.985267 0.985951 0.985951 0.986170 0.986204 0.986528
Poids attaché à la moyenne -0.02744 -0.03535 -0.03035 -0.03990 -0.04108 -0.04420
BLOC id C(12,20)
Dimension de l’ellipsoïde
en (km)
8X8 8X10 8.5X10 9X12 9.5X12 15X15
Nombre de voisinages 5 9 10 10 11 21
Poids négatif % -6,12 2,85 3,92 3,92 4,60 9,60
Somme de poids positif 0.93 1.02 1.03 1.03 1.04 1.09
Corrélation de Z/Z* 0.939804 0.960332 0.962444 0.962444 0.963069 0.964434
Poids attaché à la moyenne 0.06124 -0.03858 -0.02923 -0.03923 -0.04606 -0.07115
Tableau 6: Test de voisinage glissant dans le modèle 2
40

Traitement par krigeage
Le tableau 6 montre les résultats de test avec différentes dimensions de l’ellipsoïde pour
le modèle 2 de variogramme. Compte tenu des valeurs contenues dans le tableau 6, le nombre de
voisinages et le poids négatif croissent quand la dimension de l’ellipse croît. Par contre la
corrélation entre Z et Z* décroît pour le bloc assez de donné. Le poids attaché à la moyenne est
plus faible et la corrélation est plus proche de l’unité dans l’ellipsoïde de dimension 8,5 kmx10
km. Donc l’ellipsoïde de dimension 8,5 km x10 km montre de bon résultat et est utilisé pour
valider le modèle de variogramme.
Le tableau 7 montre les résultats de test utilisant le modèle 1 du variogramme
BLOC id C(20,13)
Dimension de l’ellipsoïde
en (km)
5X5 8X10 8.5X10 8X13 10X12 15X15
Nombre de voisinages 11 19 25 27 29 38
Poids négatif % -2,23 0,77 1,73 2,10 2,15 2,91
Somme de poids positif 0.97 1.00 1.01 1.02 1.02 1.02
Corrélation de Z/Z* 0.958009 0.961164 0.961689 0.961700 0.961700 0.961730
Poids attaché à la moyenne 0.022381 -0.00775 -0.01736 -0.01686 -0.01687 -0.01619
BLOC id C(12,20)
Dimension de l’ellipsoïde
en (km)
5X5 5X10 8.5X10 8X13 10X12 15X15
Nombre de voisinages 2 4 10 9 11 21
Poids négatif % -22,79 -89,95 0,59 -0,2 1,22 4,21
Somme de poids positif 0.772169 0.105098 1.005924 0.998025 1.012284 1.042108
Corrélation de Z/Z* 0.851334 0.882960 0.906511 0.905534 0.906920 0.907603
Poids attaché à la moyenne 0.227831 0.105098 -0.00592 0.001975 -0.01228 -0.03583
Tableau 7: Test de voisinage glissant dans le modèle 1
Même procédé pour le test utilisant le modèle 1, on a pu conclure que la dimension de l’ellipse
8.5km x 10km est le plus favorable comme résultats.
Le tableau 8 montre le résultat de test en utilisant le voisinage unique des deux modèles :
41

Traitement par krigeage
Modèle
BLOC id C(20,13)
Nombre de
Somme de Corrélation de Poids attaché à
Poids négatif %
voisinages
poids positif Z/Z* la moyenne
Sphérique(1) 149 6,81 1.06 0.961899 0.001047
Gaussien(2) 149 17,86 1.17 0.987735 0.000874
Modèle
BLOC id C(12,20)
Nombre de
Somme de Corrélation de Poids attaché à
Poids négatif %
voisinages
poids positif Z/Z* la moyenne
Sphérique(1) 149 19,53 1.19 0.909506 0.033017
Gaussien(2) 149 36,81 1.37 0.969059 0.021169
Tableau 8: Test de voisinage glissant dans le modèle 1
D’après le tableau 8, on constate que les résultats ne sont pas très différents dans les deux
modèles même si le coefficient de corrélation en utilisant le modèle gaussien est légèrement
supérieur au coefficient de corrélation en utilisant le modèle sphérique.
III-2-1-6- Validation croisée
La validation croisée, réalisée avant d’entreprendre le krigeage sur la grille d’estimation,
fournit des critères statistiques de sélection dans le choix d’un modèle de variogramme.
Les résultats des validations croisées sont présentés sur les figures suivantes :
Validation croisée du modèle 1 et modèle 2
Figure 22: Résultat de validation croisée du modèle 1 en utilisant le voisinage unique
42

Traitement par krigeage
Cette figure montre le résultat de validation croisé du modèle 1 en utilisant le voisinage
unique. La partie droite de la figure montre le nuage des corrélations entre valeurs vraies -
valeurs estimées. Certaines données ne sont pas bien estimées comme indiqué sur la carte de
répartition : les valeurs correspondantes sont relativement grandes.
Figure 23 : Résultat de validation croisée du modèle 1 en utilisant le voisinage glissant
Le résultat de validation croisée du modèle 1 en utilisant le voisinage glissant montre un
bon coefficient de corrélation par rapport au résultat en utilisant le voisinage unique. Le tableau
9 récapitule ces résultats.
Modèle1 Moyenne Variance
Données
Coefficient de
Robustes
corrélation
sur 149
Voisinage glissant
Erreur -0.8414 Erreur 25445.47
Std-erreur -0.0145 Std-erreur 1.40530
143 0.451
Voisinage unique
Erreur -0.4754 Erreur 27231.85
Std-erreur -0.0019 Std-erreur 1.55334
142 0.392
Tableau 9: Récapitulation des résultats de validations croisées du modèle 1 en ρ 1 .
D’après ce tableau, les statistiques de ces erreurs constituent un élément supplémentaire
dans la comparaison des modèles.
La moyenne des erreurs d’estimation et des erreurs standardisées est proche de 0 sauf
pour la moyenne d’erreur en utilisant le voisinage glissant ; Ce critère assure l’absence de biais.
La variance des erreurs d’estimation est plus faible pour le modèle utilisant le voisinage
glissant. La variance des erreurs standardisées pour le modèle utilisant le voisinage glissant est
43

Traitement par krigeage
proche de 1 ; ce qui indique que l’écart-type de krigeage est représentatif de l’erreur d’estimation
commise.
Quant au nombre de données robustes, c’est-à-dire données pour lesquelles l’erreur
standardisée est inférieure à 2,5 en valeur absolue, le modèle utilisant le voisinage glissant est
meilleur que celui utilisant le voisinage unique. Cela est confirmé par la bonne valeur de
coefficient de corrélation (0.451).
La figure 24 montre les résultats de validation croisée du modèle 2 en utilisant le
voisinage unique.
Figure 24: Résultat de validation croisée du modèle 2 en utilisant le voisinage unique en ρ 1
Elle montre à peu près le même résultat mais se distingue d’un bon coefficient de
corrélation par rapport au modèle 1 utilisant le même voisinage unique. La figure 25 montre le
résultat de validation croisée du modèle 2 en utilisant le voisinage glissant.
Figure 25 : Résultat de validation croisée du modèle 2 en utilisant le voisinage glissant en ρ 1
44

Traitement par krigeage
Ce modèle 2 utilisant le voisinage glissant présente un bon coefficient de corrélation (la
plus proche de zéro) et le nombre de points mal estimés est faible (6). D’après cette carte de
répartition, la présence des données qui ne sont pas bien estimées est causée par la forte
variabilité des données c’est-à-dire un grand contraste entre les valeurs des données voisines.
Modèle2 Moyenne Variance
Données
Robustes
sur 149
Coefficient de
corrélation
Voisinage glissant
Voisinage unique
Erreur -0.8636 Erreur 24262.05
Std-erreur -0.0066 Std-erreur 1.70885
Erreur -0.6790 Erreur 26835.43
Std-erreur -0.0029 Std-erreur 2.00022
143 0.483
142 0.403
Tableau 10: Récapitulation des résultats de validations croisées du modèle 2 en ρ 1 .
Compte tenu des résultats dans le tableau 10, le résultat de validation croisée en utilisant
le voisinage glissant montre de bons coefficients de corrélation (0,483) ; le nombre des données
qui ne sont pas bien estimées et la variance d’erreur est faible ; de plus, la moyenne des erreurs et
l’erreur réduite pour les deux modèles sont proches de zéro.
Les résultats statistiques varient donc d'un modèle à l'autre. Le résultat de validation
croisée pour les deux modèles montre que la condition de « non biais » semble vérifiée puisque
la moyenne des erreurs est faible ; la variance de l'erreur standardisée, élevée, montre une erreur
de krigeage expérimentale plus importante.
Le modèle2 en utilisant le voisinage glissant est donc choisi pour l’estimation afin de se
trouver dans les conditions les plus proches possibles de la variable ρ 1 mesurée.
III-2-1-7-Estimation de la variable ρ 1
En considérant toujours la grille de l’estimation que nous avons choisie, le tableau 11
montre les caractéristiques statistiques des résultats de l’estimation de la variable ρ 1 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 1 605 10 550 119 92.24 8509
Tableau 11: Statistiques des estimations de la variable ρ 1
Compte tenu des statistiques des données initiales de la variable ρ 1 (tableau 4), la
moyenne entre les vraies valeurs et les valeurs estimées n’est pas très différente. L’écart type de
l’estimation est faible par rapport à l’écart type des données initiales. Cela est dû à l’effet de
45

Traitement par krigeage
lissage pendant l’opération de krigeage et la différence entre les valeurs minimum et maximum
de l’estimation et le minimum et le maximum de données initiales est dû à l’effet du processus
de krigeage.
III-2-2-Variable ρ 2
Le tableau 12 montre les statistiques de base sur la variable ρ 2
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 2 149 1,7 1001,1 87,0 120,27 14465,66
Tableau 12: Statistiques sur la variable ρ 2
La variable ρ 2 présente aussi une forte variance 14465,65 (Ω m) ² . Cela est dû à la
présence d’un grand contraste entre les valeurs minimum et maximum. On peut dire que
beaucoup de points sont à faible valeur du fait que la moyenne est faible.
L’analyse variographique sera faite par calcul omnidirectionnel du variogramme et
analyse du variogramme nué pour connaître le comportement des valeurs de variogramme.
Les choix des paramètres pour le calcul du variogramme sont: pas = 1,38 km, nombre de
pas = 21 et tolérance = 50%. La figure 26 présente le calcul du variogramme de la variable ρ 2
avec une tolérance angulaire de 22,5°.
Figure 26 : Variogramme omnidirectionnel de la variable ρ 2
A partir d’une distance de 20km, la courbe commence à fluctuer alors la moyenne n’est
plus significative au-delà de cette distance. Sur une distance inférieure à environ 20 km, on a
donc une structure isotropie. On a une tangente horizontale au voisinage de l’origine selon la
figure 26 ce qui signifie une bonne continuité spatiale du phénomène. Un grand effet de pépite
46

Traitement par krigeage
est dû aux plusieurs causes (erreur de mesure, grande distance inter échantillon, hétérogénéité du
sous sol). La variance se stabilise autour de 7500 d’où la stationnarité vérifiée.
La figure 27 montre le variogramme nué en correspondance avec sa carte de répartition
Figure 27 : Analyse du variogramme
La figure 27 montre que la présence de fortes valeurs dans les données provient de la
variance très élevée et aussi de l’instabilité de variogramme.
III-2-2-1-Modélisation du variogramme.
La figure 28 montre la modélisation du variogramme expérimental de la variable ρ 2
Figure 28 : Ajustement de variogramme expérimental en ρ 2
47

Traitement par krigeage
Le variogramme expérimental de la variable ρ 2 est modélisé par la somme d’une structure
pépitique (palier = 1216) et d’une structure gaussienne (palier = 3844, portée = 17 km).
La validité de ces modèles est étudiée par la suite.
III-2-2-2-Test de voisinage
Le test de voisinage sera fait en voisinage glissant et en voisinage unique sur le modèle
du variogramme. Les paramètres choisis pour le test de voisinage sont : nombre minimum de
données=1, secteur de l’angle =2 et nombre maximum de données =10.
D’après le même principe que pour le test de voisinage de la variable ρ 1 , l’ellipsoïde de
dimension 14 km x17 km montre de bons résultats.
III-2-2-3-Validation croisée du modèle
La figure 29 montre les résultats de test de voisinage unique et glissant.
Figure 29 : Résultat de validation croisée du modèle en utilisant le voisinage glissant
D’après cette figure, le coefficient de corrélation entre les vraies valeurs de données et les
valeurs estimées est 0,662. Les données mal estimées ici sont des fortes valeurs.
La figure 30 montre les résultats de validation croisée du modèle en utilisant le voisinage
unique.
48

Traitement par krigeage
Figure 30 : Résultat de validation croisée du modèle en utilisant le voisinage unique
Les résultats obtenus dans les figures 29 et 30 sont différents car le coefficient de
corrélation obtenu dans le voisinage glissant est grand par rapport au voisinage unique.
Le tableau 13 récapitule les caractéristiques des résultats de validations croisées.
Modèle Moyenne Variance
Données
Robustes
sur 149
Coefficient
de
corrélation
Voisinage glissant Erreur -0.9946 Erreur 8127.415 140 0,662
Std-erreur -0.0104 Std-erreur 1.70863
Voisinage unique Erreur -0.1173 Erreur 8465.209 140 0,647
Std-erreur -0.0012 Std-erreur 1.78205
Tableau 13 : Récapitulation des résultats de validations croisées.
Compte tenu des résultats de validation croisée dans ce tableau, la moyenne d’erreur des
deux modèles est proche de zéro, on a le même nombre de données robuste ; par contre, la
variance d’erreur faible et le coefficient de corrélation élevé pour le modèle utilisant le voisinage
glissant nous permet d’affirmer que ce modèle sera utilisé pour l’estimation.
III-2-2-4-Estimation de la variable ρ 2
Le tableau 14 montre les caractéristiques statistiques des résultats de l’estimation de la variable
ρ 2 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 2 924 9.44 710.39 90 79.33 6292.57
Tableau 14: Statistiques des estimations de la variable ρ 2
Compte tenu des statistiques des données initiales de la variable ρ 2 (tableau 12), la
moyenne des valeurs vraies est presque semblable à la moyenne des valeurs estimées. La
variance de l’estimation est faible par rapport à la variance des données initiales. Cela est dû à
49

Traitement par krigeage
l’effet de lissage pendant l’opération de krigeage et la différence entre les valeurs extremum de
l’estimation et l’extremum de données initiales est due à l’effet du processus de krigeage.
III-2-3-Variable ρ3
Le tableau suivant montre les statistiques de base sur la variable ρ 3 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 3 149 2,4 910,0 85 109,78 12052,55
Tableau 15: Statistiques sur la variable ρ3
On a la même constatation à propos de la variance, écart type, moyenne du tableau 12 de la
variable précédente.
Le variogramme expérimental, qui renseigne sur l’évolution de l’écart quadratique moyen
des valeurs de résistivité en fonction de la distance est isotrope.
Le variogramme modélisé est la somme d’une structure pépitique (palier=3683) et d’une
structure Sphérique (portée=16,5km, palier=3252,5).
Figure 31 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 3
III-2-3-1-Validation croisée
Le tableau 16 récapitule les caractéristiques des résultats de validations croisées.
Données
Modèle Moyenne Variance Robustes
sur 149
Coefficient
de
corrélation
Voisinage glissant Erreur -0,96 Erreur 7664,45 143 0,621
Sdt-erreur -0,01 Std-erreur 1,40
Voisinage unique Erreur -0,97 Erreur 7766,17 142 0,613
Std-erreur -0,01 Std-erreur 1,42
Tableau 16: Récapitulation des résultats de validations croisées ρ 3 .
50

Traitement par krigeage
Compte tenu des résultats de validation croisée dans ce tableau. Les résultats ne montrent
pas trop de différence entre le voisinage glissant et unique. Par contre, le voisinage glissant du
modèle présente un coefficient de corrélation légèrement meilleure.
Finalement, le modèle avec voisinage glissant sera utilisé.
III-2-3-2-Estimation de la variable ρ 3
Le tableau 17 montre les caractéristiques statistiques des résultats de l’estimation de la variable
ρ 3 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 3 3941 14,56 441,89 79 61 3722,97
Tableau 17: Statistiques des estimations de la variable ρ 3
Compte tenu des statistiques des données initiales de la variable ρ 3 (tableau 15), la
moyenne entre les vraies valeurs et les valeurs estimées est de même ordre de grandeur (80). La
variance de l’estimation est faible par apport à la variance des données initiales. Cela est dû à
l’effet de lissage pendant l’opération de krigeage et la différence entre les valeurs minimum et
maximum de l’estimation et le minimum et le maximum de données initiales est due à l’effet du
processus de krigeage.
III-2-4-Variable ρ 4
Le tableau 18 récapitule les statistiques de base de la variable ρ 4 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 4 148 2,5 708 80 97 9499,60
Tableau 18: Statistiques des estimations de la variable ρ 4
On a la même constatation à propos de la variance, écart type, moyenne du tableau 12 de la
variable ρ 2 et avec la variance qui diminue lorsqu’on pénètre en profondeur.
Le variogramme expérimental, qui renseigne sur l’évolution de l’écart quadratique moyen
des valeurs de résistivité en fonction de la distance est isotrope.
Le variogramme modélisé est la somme d’une structure pépitique (palier= 3933) et d’une
structure Sphérique (portée=20km, palier=2342).
51

Traitement par krigeage
Figure 32 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 4
III-2-4-1-Validation croisée
Le tableau 19 récapitule les caractéristiques des résultats de validations croisées.
Modèle Moyenne Variance
Données
Robustes
sur 148
Coefficient
de
corrélation
Voisinage glissant
Erreur -0,4360 Erreur 5952,3
Std-erreur -0,0054 Std-erreur 1,16
143 0,629
Voisinage unique
Erreur -0,3848 Erreur 5872,8
Std-erreur 0,0004 Std-erreur 1,15
143 0,638
Tableau 19: Récapitulation des résultats de validations croisées ρ 4 .
Compte tenu des résultats de validation croisée dans ce tableau, les résultats ne montrent
pas trop de différence entre le voisinage glissant et unique. Par contre, le voisinage unique du
modèle présente un coefficient de corrélation légèrement meilleur que le voisinage glissant
Finalement, le modèle avec voisinage unique sera utilisé.
III-2-4-2-Estimation de la variable ρ 4
Le tableau 20 montre les caractéristiques statistiques des résultats de l’estimation de la variable
ρ 4 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 4 4050 15.88 291.41 73 48,72 2374
Tableau 20: Statistiques des estimations de la variable ρ 4
Compte tenu des statistiques des données initiales de la variable ρ 4 (tableau 18), la
moyenne entre les vraies valeurs et les valeurs estimées est de même ordre de grandeur (70). La
52

Traitement par krigeage
variance de l’estimation est faible par rapport à la variance des données initiales. Cela est dû à
l’effet de lissage pendant l’opération de krigeage et la différence entre les valeurs minimum et
maximum de l’estimation et le minimum et le maximum de données initiales est due à l’effet du
processus de krigeage.
III-2-5-Variable ρ 5
Le tableau 21 montre les statistiques de base sur la variable ρ 5 :
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 5 137 2,5 462,0 69 80,61 6498,68
Tableau 21: Statistiques de bases de la variable ρ 5
On a la même constatation à propos de la variance, moyenne, écart type du tableau 12 de
la variable ρ 2 et avec la variance qui diminue lorsqu’on pénètre de plus en plus profond.
Le variogramme expérimental, qui renseigne sur l’évolution de l’écart quadratique moyen
des valeurs de résistivité en fonction de la distance est isotrope d’après III-2-1-1
Le variogramme modélisé est la somme d’une structure pépitique (palier= 3090) et d’une
structure Sphérique (portée=22km, palier=2147) cf figure 33b.
Figure 33 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 5 .
Le point en rouge sur le variogramme est un point où le nombre de pair est faible d’où le
point devient significatif.
53

Traitement par krigeage
III-2-5-1-Validation croisée
Le tableau 22 récapitule les caractéristiques des résultats de validations croisées.
Modèle Moyenne Variance
Données
Robustes
sur 137
Coefficient
de
corrélation
Voisinage glissant
Erreur -0,940 Erreur 3570,5
Std-erreur -0,013 Std-erreur 0,888
134 0,678
Voisinage unique
Erreur -0,387 Erreur 3556,4
Std-erreur -0,0005 Std-erreur 0,887
135 0,680
Tableau 22: Récapitulation des résultats de validations croisées en ρ 5
Compte tenu des résultats de validation croisée dans ce tableau. Les résultats ne montrent
pas trop de différence entre le voisinage glissant et unique. Par contre, le voisinage unique du
modèle présente un coefficient de corrélation légèrement meilleur que le voisinage glissant et
avec une faible erreur.
Finalement, le modèle avec voisinage unique sera utilisé.
III-2-5-2-Estimation de la variable ρ 5
Le tableau 23 montre les caractéristiques statistiques des résultats de l’estimation de la variable
ρ 5 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 5 3768 11,69 202,37 64 44,23 1957,13
Tableau 23: Statistiques des estimations de la variable ρ 5
Compte tenu des statistiques des données initiales de la variable ρ 5 (tableau 21), la
moyenne les vraies valeurs est semblable à la moyenne des valeurs estimées. La variance de
l’estimation est faible par rapport à la variance des données initiales. Cela est dû à l’effet de
lissage pendant l’opération de krigeage et la différence entre les valeurs extremum de
l’estimation et extremum de données initiales est due à l’effet du processus de krigeage.
III-2-6-Variable ρ 6
Le tableau 24 récapitule les statistiques de base de la variable ρ 6 :
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 6 122 7,7 243,0 50 53,79 2893,77
Tableau 24: Statistiques de bases de la variable ρ 6
54

Traitement par krigeage
On a la même constatation à propos de la variance, moyenne, écart type du tableau 12 de
la variable ρ 2 et avec la variance qui diminue lorsqu’on pénètre de plus en plus profond.
Le variogramme expérimental, qui renseigne sur l’évolution de l’écart quadratique moyen
des valeurs de résistivité en fonction de la distance est isotrope.
Le variogramme modélisé est la somme d’une structure pépitique (palier= 733) et d’une
structure Sphérique (portée=22km, palier=1277).
Figure 34 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 6 .
III-2-6-1-Validation croisée
Le tableau 25 récapitule les caractéristiques des résultats de validation croisée.
Données Coefficient
Modèle Moyenne Variance Robustes de
sur 122 corrélation
Voisinage glissant
Erreur -0,526 Erreur 1284
Std-erreur -0,014 Std-erreur 1,041
116 0,747
Voisinage unique
Erreur -0,490 Erreur 1271
Std-erreur -0,013 Std-erreur 1,033
116 0,750
Tableau 25: Récapitulation des résultats de validations croisées en ρ 6 .
Compte tenu des résultats de validation croisée dans ce tableau. Les résultats ne montrent
pas trop de différence entre le voisinage glissant et unique. Par contre, le voisinage unique du
modèle présente un coefficient de corrélation légèrement meilleure et avec une faible erreur par
rapport au voisinage glissant.
55

Traitement par krigeage
Finalement, le modèle avec voisinage unique sera utilisé.
III-2-6-2-Estimation de la variable ρ 6
Le tableau 26 montre les caractéristiques statistiques des résultats de l’estimation de la variable
ρ 6 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 6 3844 8,56 179,58 49 37,68 1420
Tableau 26: Statistiques des estimations de la variable ρ 6
Compte tenu des statistiques des données initiales de la variable ρ 6 (tableau 24), la
moyenne des valeurs vraies est semblable à la moyenne des valeurs estimées. La variance de
l’estimation est faible par rapport à la variance des données initiales. Cela est dû à l’effet de
lissage pendant l’opération de krigeage et la différence entre les valeurs extremum de
l’estimation et les valeurs extremum de données initiales est due à l’effet du processus de
krigeage.
III-2-7- Variable ρ 7
Le tableau 27 montre les statistiques de base sur la variable ρ 7 :
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 7 48 10,10 263 33 36,37 1322,55
Tableau 27: Statistiques de bases de la variable ρ 7
On a la même constatation à propos de la variance, moyenne, écart type du tableau 12 de la
variable ρ 2 et avec la variance qui diminue lorsqu’on pénètre de plus en plus profond.
Le variogramme expérimental, qui renseigne sur l’évolution de l’écart quadratique moyen
des valeurs de résistivité en fonction de la distance est isotrope d’après III-2-1-1
Le variogramme modélisé est la somme d’une structure pépitique (palier= 115) et d’une
structure Gaussienne (portée=25km, palier=339).
56

Traitement par krigeage
Figure 35 : Carte de répartition et variogramme expérimental modélisé pour ρ 7
Même constatation à propos de l’interprétation que pour la variable ρ 5 . De plus, on observe que
l’effet de pépite diminue lorsqu’on est de plus en plus en profondeur même si on n’a pas assez
de donner pour l’estimation.
III-2-7-1-Validation croisée
Le tableau 28 récapitule les caractéristiques des résultats de validation croisée.
Modèle Moyenne Variance
Données
Robustes
sur 48
Coefficient
de
corrélation
Voisinage glissant
Erreur -0,024 Erreur 142,26
Std-erreur -0,015 Std-erreur 0,89
46 0,551
Voisinage unique
Erreur 0,748 Erreur 158,72
Std-erreur 0,044 Std-erreur 0,982
46 0,485
Tableau 28: Récapitulation des résultats de validations croisées en ρ 7
Compte tenu des résultats de validation croisée dans ce tableau. Les résultats montrent
que le voisinage glissant du modèle présente un coefficient de corrélation meilleure et avec une
faible erreur par rapport au voisinage unique. On a le même nombre de données robustes.
Finalement, le modèle avec voisinage glissant sera utilisé pour l’estimation de ρ 7 .
III-2-7-2-Estimation de la variable ρ 7
Le tableau 29 montre les caractéristiques statistiques des résultats de l’estimation de la variable
ρ 7 .
57

Traitement par krigeage
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 7 3328 10.54 204,58 4 3,24 42,43 1800
Tableau 29: Statistiques des estimations de la variable ρ 7
Compte tenu des statistiques des données initiales de la variable ρ 7 (tableau 27), la
moyenne des valeurs vraies est différente de la moyenne des valeurs estimées et la variance de
l’estimation est élevée par rapport à la variance des données initiales. Cela est dû non seulement
à la présence d’un point à forte valeur de résistivité mais aussi à la présence des grandes
distances entre les points de mesures. Faute de nombre de données, les valeurs extremum de
l’estimation et les valeurs extremum de données initiales sont semblables.
III-3- TRAITEMENT DES DONNEES PAR COKRIGEAGE
Le cokrigeage ordinaire sera utilisé pour la suite. Le principe du cokrigeage est le même
que celui du krigeage, mais il permet en plus d’effectuer une estimation simultanée de plusieurs
variables régionalisées.
Dans notre cas, les variables étudiées sont (ρ 2 , ρ 3 ), (ρ 3 , ρ 4 ), (ρ 4 , ρ 5 ) et (ρ 5 , ρ 6 ). Comme
nous l’avons vu au paragraphe III-1-6, ces couples de variables sont linéairement corrélées donc,
l’estimation par cokrigeage peut être utilisée pour améliorer les résultats.
III-3-1-Cokrigeage entre ρ 2 et ρ 3
Le coefficient de corrélation obtenu entre les variables ρ 2 et ρ 3 lors de l’analyse
statistique laisse à penser qu’on peut établir une corrélation linéaire entre ces variables.
III-3-1-1-Analyse variographique du variogramme croisé
Comme nous savons que le principe du cokrigeage est le même que celui du krigeage, le
premier travail à faire est l’analyse variographique. D’après les analyses précédentes, le calcul
du variogramme dans ce paragraphe se fait dans toutes les directions (variogramme
omnidirectionnel). Les paramètres choisis pour le calcul du variogramme sont : pas =4,5 km,
nombre de pas =14, tolérance = 50%.
III-3-1-2-Ajustement des variogrammes simples et croisés
L’ajustement des variogrammes (ou covariances) simples et croisés doit être
mathématiquement cohérent, de façon à garantir des variances positives. Les modèles linéaires
de corégionalisation sont les plus couramment employés. Dans ces modèles, les variables se
décomposent linéairement en composantes élémentaires, et leurs structures simple et croisée sont
donc des combinaisons linéaires des schémas élémentaires. Un schéma élémentaire donné ne
58

Traitement par cokrigeage
peut apparaître dans la structure croisée entre deux variables s’il n’est pas présent dans leurs
structures simples. Après ajustement, un tel modèle permet le cokrigeage des variables. La figure
36 présente l’ajustement des variogrammes simples et croisés ; grâce au modèle linéaire de
corégionalisation, un modèle cohérent a pu être ajusté à ces variogrammes.
Figure 36 : Covariogrammes modélisés des variables ρ 2 et ρ 3
Deux structures de base sont utilisées pour modéliser les variogrammes simples et
croisés. Il est composé d’un effet de pépite, d’une structure exponentielle de portée pratique
33,20 km, la matrice des paliers est présentée dans le tableau 30:
Effet de pépite ρ 2 ρ 3
Structure
ρ 2 ρ 3
ρ 2 4752 4271
exponentielle
ρ 2 9804 8415
ρ 3 4271 4889
ρ 3 8415 7266
Tableau 30 : Paliers du modèle de corégionalisation linéaire
Après avoir ajusté le modèle, on peut effectuer le cokrigeage de chaque variable.
59

Traitement par cokrigeage
III-3-1-3-Validation croisée des modèles ajustés
La validation croisée consiste à estimer un point dont on connaît la valeur en l’éliminant
des données d’entrées ; en faisant cela successivement sur tous les sites de mesure, on obtient un
nuage de points (valeurs vraies contre valeurs estimées) qui est d’autant plus proche de la
bissectrice que la carte est bien estimée.
Le voisinage utilisé pour valider ce modèle est le voisinage unique d’après les résultats de
validation croisée dans le chapitre précédent, le test en utilisant le voisinage unique et glissant ne
montre pas trop de différence. La figure 37 montre le résultat de validation croisée par
cokrigeage de la variable ρ 2 .
Figure 37: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 2
Les résultats de la validation croisée montrent un bon coefficient de corrélation entre les
valeurs vraies et les valeurs estimées. Il passe de 0,662 à 0,936 pour ρ 2 .
Le tableau 31 représente les statistiques de validation croisée par cokrigeage de la variable ρ 2 .
Données Coefficient
Moyenne
Variance
Variable
Robustes de
sur 149 corrélation
ρ 2
Erreur -0.1287 Erreur 1803.2
138 0.936
Sdt-erreur -0.0018 Std-erreur 1.48
Tableau 31: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable pour ρ 2
La contrainte du « non biais » est vérifiée car la moyenne d’erreur est proche de zéro. La
variance d’erreur standardisée est de 1,48 signe que l'erreur de krigeage expérimentale est
60

Traitement par cokrigeage
légèrement supérieure, le nombre des données mal estimé n’est pas très élevé. Finalement, la
variable ρ 2 est bien réestimée par cokrigeage.
III-3-1-4 Résultat de cokrigeage de la variable ρ 2
Le tableau 32 montre les caractéristiques statistiques de l’estimation par cokrigeage de la
variable ρ 2 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 2 636 10,63 575,49 83 75,65 5723,35
Tableau 32 : Statistiques d’estimation par cokrigeage de la variable ρ 2
Les résultats statistiques de l’estimation par cokrigeage de ρ 2 ici sont proches des
statistiques des données initiales (tableau 12) par rapport au résultat d’estimation par krigeage de
ρ 2 . La variance d’estimation par cokrigeage est encore beaucoup plus faible que celles de
données initiales. Cela est dû aux effets de lissage.
III-3-2-Cokrigeage entre ρ 3 et ρ 4
Le coefficient de corrélation obtenu entre les variables ρ 3 et ρ 4 lors de l’analyse statistique
(0,94) laisse à penser qu’on peut établir une corrélation linéaire entre ces variables.
III-3-2-1-Analyse variographique du variogramme croisé
Après plusieurs tests, les paramètres choisis pour le calcul du variogramme dans toutes
les directions sont : pas =5,5 km, nombre de pas =9, tolérance = 50%.
III-3-2-2-Ajustement des variogrammes simples et croisés
La figure 38 présente l’ajustement des variogrammes simples et croisés ; grâce au modèle
linéaire de corégionalisation, un modèle cohérent a pu être ajusté à ces variogrammes.
61

Traitement par cokrigeage
Figure 38: Covariogrammes modélisés des variables ρ 3 et ρ 4
Deux structures de base sont utilisées pour modéliser les variogrammes simples et
croisés. Il est composé d’un effet de pépite, d’une structure exponentielle de portée pratique
18,28 km, la matrice des paliers est présentée dans le tableau 33 :
Effet de pépite ρ 3 ρ 4
Structure
ρ 3 ρ 4
ρ 3 3252,71 3951,67
exponentielle
ρ 3 7961,4657 5558,7149
ρ 4 3951,67 4540,20
ρ 4 5558,7149 4257,6438
Tableau 33: Paliers du modèle de corégionalisation linéaire
La stationnarité du phénomène est vérifiée par la présence du palier et portée.
Après avoir ajusté le modèle, on peut effectuer le cokrigeage de chaque variable.
62

Traitement par cokrigeage
III-3-2-3-Validation croisée des modèles ajustés
Le voisinage utilisé pour valider ce modèle est le voisinage unique. Les figures 39, 40 montrent
le résultat de validation croisée par cokrigeage des variables ρ 3 et ρ 4 .
Figure 39: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 3
Figure 40: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 4
Les résultats de la validation croisée montrent un bon coefficient de corrélation entre
valeurs vraies et valeurs estimées. Il passe de 0,621 à 0,953 pour ρ 3 et de 0,638 à 0,968 pour ρ 4 .
Le tableau 34 représente les statistiques de validation croisée par cokrigeage des variables
ρ 3 et ρ 4 .
63

Traitement par cokrigeage
Variables Moyenne Variance
Données
Robustes
Coefficient
de
corrélation
ρ 3
ρ 4
Erreur -0,66920 Erreur 1149,9
Sdt-erreur -0,01100 Std-erreur 1,0572
Erreur -0,06881 Erreur 419,28
Sdt-erreur -0,03050 Std-erreur 0,6471
146/149 0,953
146/148 0,968
Tableau 34: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable pour ρ 3 et ρ 4 .
La contrainte du « non biais » est vérifiée car la moyenne d’erreur est proche de zéro, la
variance d’erreur standardisée pour ρ 3 est de 1,05, très proche de 1, signe que l'erreur de krigeage
expérimentale est faible, le nombre des données mal estimé n’est pas très élevé. Finalement, les
variables ρ 3 et ρ 4 sont bien réestimées par cokrigeage.
III-3-2-4- Résultat de cokrigeage des variables ρ 3 et ρ 4
Le tableau 35 montre les caractéristiques statistiques de l’estimation par cokrigeage des variables
ρ 3 et ρ 4 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 3 615 19,49 588,12 81 68,62 4709,24
ρ 4 615 22,71 415,99 76 50,37 2537,64
Tableau 35: Statistiques des estimations par cokrigeage des variables ρ 3 et ρ 4 .
Les résultats statistiques de l’estimation par cokrigeage de ρ 3 et ρ 4 ici sont proches des
statistiques des données initiales (tableau 15 et 18) par rapport au résultat d’estimation par
krigeage de ρ 3 et ρ 4 . La variance d’estimation par cokrigeage est encore beaucoup plus faible que
celles de données initiales voir tableau 35, 17, 20. Cela est dû aux effets de lissage pendants le
processus de cokrigeage.
III-3-3-Cokrigeage entre ρ 4 et ρ 5
Le coefficient de corrélation (0,85) obtenu entre les variables ρ 4 et ρ 5 lors de l’analyse
statistique laisse à penser qu’on peut établir une corrélation linéaire entre ces variables.
III-3-3-1-Analyse variographique du variogramme croisé
Après plusieurs tests, les paramètres choisis pour le calcul du variogramme dans toutes
les directions sont : pas =4,9 km, nombre de pas =9, tolérance = 50%.
64

Traitement par cokrigeage
III-3-3-2-Ajustement des variogrammes simples et croisés
La figure 41 présente l’ajustement des variogrammes simples et croisés ; grâce au modèle
linéaire de corégionalisation, un modèle cohérent a pu être ajusté à ces variogrammes.
Figure 41: Covariogrammes modélisés des variables ρ 4 et ρ 5
Deux structures de base sont utilisées pour modéliser les variogrammes simples et
croisés. Il est composé d’un effet de pépite, d’une structure exponentielle de portée pratique
32,51 km, la matrice des paliers est présentée dans le tableau 36:
Effet de pépite ρ 4 ρ 5
Structure
ρ 4 6027,48 3927,22
exponentielle
ρ 4 ρ 5
ρ 4 2816,5490 1952,2643
ρ 5 3927,22 3251,27
ρ 5 1952,2643 2276,4975
Tableau 36: Paliers du modèle de corégionalisation linéaire
La stationnarité est vérifiée par la présence de ces paliers.
65

Traitement par cokrigeage
Après avoir ajusté le modèle, on peut effectuer le cokrigeage de chaque variable mais la variable
ρ 4 présente de bon résultat pour la couple précédente donc il ne reste plus que la variable ρ 5 .
III-3-3-3Validation croisée des modèles ajustés
Le voisinage utilisé pour valider ce modèle est le voisinage unique. La figure 42 montre
le résultat de validation croisée par cokrigeage de la variable ρ 5 .
Figure 42: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 5
Les résultats de la validation croisée montrent un bon coefficient de corrélation entre les
valeurs vraies et les valeurs estimées. Le tableau 37 présente les statistiques de validation
croisée par cokrigeage de la variable ρ 5 .
Variables Moyenne Variance
ρ 5
Erreur 0,04766 Erreur 871,05
Sdt-erreur 0,00095 Std-erreur 0,8019
Données Coefficient
Robustes de
sur 137 corrélation
132 0,931
Tableau 37: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable pour ρ 5
La contrainte du non biais est vérifiée car la moyenne d’erreur est proche de zéro, la
variance d’erreur standardisée est de 0,80 signe que l'erreur de krigeage expérimentale est
légèrement supérieure, le nombre des données mal estimé n’est pas très élevé.
Finalement, la variable ρ 5 est bien réestimée par cokrigeage.
66

Traitement par cokrigeage
III-3-3-4-Résultat de cokrigeage des variables ρ 5
Le tableau 38 montre les caractéristiques statistiques de l’estimation par cokrigeage de la
variable ρ 5 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 5 624 16,41 215.56 69 48,95 2396,28
Tableau 38: Statistiques des estimations par cokrigeage de la variable ρ 5
Les résultats statistiques de l’estimation par cokrigeage de ρ 5 ici est proches des
statistiques des données initiales (tableau 21) par rapport au résultat d’estimation par krigeage de
ρ 5 . La moyenne est la même ; la variance d’estimation par cokrigeage est encore beaucoup plus
faible que celles de données initiales. Cela est dû aux effets de lissage pendants le processus de
cokrigeage.
III-3-4-Cokrigeage entre ρ 5 et ρ 6
Le coefficient de corrélation (0,86) obtenu entre les variables ρ 5 et ρ 6 lors de l’analyse
statistique laisse à penser qu’on peut établir une corrélation linéaire entre ces variables.
III-3-4-1-Analyse variographique du variogramme croisé
Après plusieurs tests, les paramètres choisis pour le calcul du variogramme dans toutes
les directions sont : pas =2.8 km, nombre de pas =15, tolérance = 50%.
III-3-4-2-Ajustement des variogrammes simples et croisés
La figure 43 présente l’ajustement des variogrammes simples et croisés ; grâce au modèle
linéaire de corégionalisation, un modèle cohérent a pu être ajusté à ces variogrammes.
67

Traitement par cokrigeage
Figure 43: Covariogrammes modélisés des variables ρ 5 et ρ 6
Deux structures de base sont utilisées pour modéliser les variogrammes simples et
croisés. Il est composé d’un effet de pépite, d’une structure sphérique de portée pratique 27 km.
Le nombre de paires est très faible (≤10) pour le premier point expérimentale du variogramme
donc on ne considère plus du tout le point.
La matrice des paliers est présentée dans le tableau 39 :
Effet de pépite ρ 5 ρ 6
ρ 5 2751 751
ρ 6 751 705.35
68
Structure
exponentielle
ρ 5 ρ 6
ρ 5 2594,0000 1769,4487
ρ 6
1769,4487 1566,7089
Tableau 39: Paliers du modèle de corégionalisation linéaire
Après avoir ajusté le modèle, on peut effectuer le cokrigeage de chaque variable mais il reste ici
la variable ρ 6 .
III-3-4-3-Validation croisée des modèles ajustés
Le voisinage utilisé pour valider ce modèle est le voisinage unique. La figure 44 montre le

Traitement par cokrigeage
résultat de validation croisée par cokrigeage de la variable ρ 6 .
Figure 44: Carte de répartition et Nuage de corrélation de la variable ρ 6
Les résultats de la validation croisée montrent un bon coefficient de corrélation entre
valeurs vraies et valeurs estimées. Le tableau 40 représente les statistiques de validation croisée
par cokrigeage de la variable ρ 6 .
Variables Moyenne Variance
Données
Robustes
sur 122
Coefficient
de
corrélation
ρ 6
Erreur 0,01783 Erreur 530,29
Sdt-erreur 0,00053 Std-erreur 0,7196
118 0,922
Tableau 40: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable pour ρ 6
La contrainte du « non biais » est vérifiée car la moyenne d’erreur est très proche de zéro,
la variance d’erreur standardisée est de 0,71 signe que l'erreur de krigeage expérimentale est
légèrement supérieure, le nombre des données mal estimé n’est pas très élevé. Finalement, la
variable ρ 6 est bien réestimée par cokrigeage.
III-3-4-4- Résultat de cokrigeage de la variable ρ 6
Le tableau 41 montre les caractéristiques statistiques de l’estimation par cokrigeage de la
variable ρ 6 .
Variable Nombre Minimum Maximum Moyenne Ecart-type Variance
ρ 6 992 7.96 199,64 58 39,98 1598,70
Tableau 41: Statistiques des estimations par cokrigeage de la variable ρ 6
Les résultats statistiques de l’estimation par cokrigeage de ρ 6 ici sont proches des
statistiques des données initiales (tableau 24) par rapport au résultat d’estimation par krigeage de
ρ 6 . La moyenne est la même ; la variance d’estimation par cokrigeage est encore beaucoup plus
69

Comparaison des résultats
faible que celles de données initiales. Cela est dû aux effets de lissage pendant le processus de
cokrigeage.
III-4- COMPARAISON DES RESULTATS DES DEUX METHODES
Vue sur les différents types de modèles ajusté aux variables par krigeage et cokrigeage, la
contrainte du non biais est vérifiée ; le nombre de données mal estimées n’est pas très différent.
L’estimation directe par krigeage fournit des valeurs (tableau 14) pour ρ 2 , (tableau 17) pour ρ 3 ,
(tableau 20) pour ρ 4 , (tableau 23) pour ρ 5 , (tableau 26) pour ρ 6 , tandis que l’estimation par
cokrigeage donne des valeurs proches de ces valeurs.
Cependant les résultats de la validation croisée des deux méthodes sont très différents.
Variables Moyennes Variances
Données
Robustes
Coefficient
de
corrélation
Cokrigeage ρ
Erreur -0.128 Erreur 1803,2
2
Sdt-erreur -0,001 Std-erreur 1,480
138/149 0,936
Krigeage ρ
Erreur -1,750 Erreur 8748,7
2
Std-erreur -0,020 Std-erreur 1,580
142/149 0,636
Cokrigeage ρ
Erreur -0,669 Erreur 1149,9
3
Std-erreur -0,011 Std-erreur 1,057
146/149 0,953
Krigeage ρ
Erreur -0,960 Erreur 7664,4
3
Std-erreur -0,010 Std-erreur 1,400
143/149 0,621
Cokrigeage ρ
Erreur -0,068 Erreur 419,2
4
Std-erreur -0,030 Std-erreur 0,647
146/148 0,968
Krigeage ρ
Erreur -0,384 Erreur 5872,8
4
Std-erreur 0,0004 Std-erreur 1,150
143/148 0,638
Cokrigeage ρ
Erreur 0,047 Erreur 871,0
5
Std-erreur 0,0009 Std-erreur 0,801
132/137 0,931
Krigeage ρ
Erreur -0,387 Erreur 3556,4
5
Std-erreur -0,0005 Std-erreur 0,880
135/137 0,680
Cokrigeage ρ
Erreur 0.017 Erreur 530.2
6
Std-erreur 0.0005 Std-erreur 0.719
118/122 0,922
Krigeage ρ
Erreur -0,490 Erreur 1271,0
6
Std-erreur 0,013 Std-erreur 1,030
116/122 0,750
Tableau 42: Statistiques de la validation croisée du modèle multivariable et monovariable
Le tableau 42 est un peu fastidieux pour l’interprétation donc nous avons établi une
figure 45 récapitulative qui facilite la comparaison des deux méthodes d’estimations.
70

Comparaison des résultats
Figure 45: Comparaison des résultats obtenus par krigeage et cokrigeage
D’après la figure 45, on voit que l’erreur d’estimation (std erreur) soit par krigeage, soit
par cokrigeage est proche de zéro (courbes en rouge et en bleu presque superposées pour
l’ordonnée zéro), mais les courbes de corrélation entre les données de résistivité mesurées et
celles estimées (courbes en violet et en vert-jaune) sont très distinctes ; ce qui montre que les
valeurs des coefficients de corrélation sont meilleures pour l’estimation par cokrigeage que
celles par krigeage. Le nombre de données robustes (erreur standardisée comprise dans
l'intervalle [-2,5 ; 2,5]), donné par l’avant dernière colonne du tableau 42 à titre d’exemple
prenant le cas de la première ligne où le nombre de donnée robuste indiqué dans la colonne est
138/149 ; cela signifie qu’il y a 138 donnée robuste sur 149 donnée initiale, est à peu près le
même. C’est ainsi que l’estimation par cokrigeage des variables ρ 2 , ρ 3 , ρ 4 , ρ 5 , ρ 6 améliore
sensiblement la qualité de l’estimation par krigeage.
Finalement, la méthode de krigeage a été utilisée pour estimer les variables ρ 1 et ρ 7 ; la
méthode de cokrigeage a été utilisée pour estimer les variables ρ 2 , ρ 3 , ρ 4 , ρ 5 , et ρ 6 .
Le dernier paragraphe de ce mémoire nous montre les cartes ainsi obtenues et leurs
interprétations.
71

Partie 4
PARTIE IV
CARTES DE RESISTIVITE ET DISCUSSIONS
72

Cartes de résistivité et discussions
La dernière partie de ce présent mémoire concerne la visualisation des cartes obtenues en
utilisant la méthode d’estimation par krigeage pour les deux variables (ρ 1 , ρ 7 ) et la méthode par
cokrigeage pour les variables ρ 2 , ρ 3 , ρ 4 , ρ 5 et ρ 6 .
Les cartes représentent la variation de la résistivité apparente en deux dimensions, pour
une longueur de ligne donnée AB/3 afin de mettre en évidence l’évolution latérale des structures
géoélectriques.
Carte de résistivité électrique à AB/3 = 4m
D’après le paragraphe I-2-1-3, la carte de résistivité représentée par la figure 46 est environ à
2 m de profondeur.
Figure 46 : Estimation par krigeage de la variable ρ 1
La figure 46 nous montre trois gammes de résistivités différentes :
la première, de résistivité inférieure à 52Ωm, représente une couche conductrice. Selon
les données des forages existants, elle correspond à des argiles alluvionnaires et à des sables
argileux ; il occupe presque la totalité de la zone d’étude.
la seconde, une résistivité comprise entre 52Ωm à 150Ωm se trouve sur l’axe Sud Ouest
-Nord Est de la zone d’étude. Elle représente des sables et graviers imbibés d’eau douce.
et enfin une couche ayant une résistivité élevée supérieure à 150Ωm, représentant des
sables roux et des carapaces sableux.
73

Cartes de résistivité et discussions
Carte de résistivité électrique à AB/3 = 14m
D’après le paragraphe I-2-1-3, la carte de résistivité représentée par la figure 47 est environ à
7 m de profondeur.
Figure 47: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 2
La figure 47 montre une formation identique à celle présentée sur la carte de la figure 46
sauf que sur la partie Nord Ouest une formation moyennement résistante comprise entre 52 Ωm à
150Ωm apparaît. Elle correspond à une formation présentant des marnes, des calcaires ainsi que
des carapaces sableuses. Deux discontinuités latérales des résistivités apparentes ont été
constatées entre la zone 1 et la zone 2 puis la zone 2 et la zone 3. Elle marque la variation
latérale des structures (passage de la formation sédimentaire du bassin d’Ambovombe vers
l’affleurement du socle cristallin au environ d’Antanimora et vers la formation des dunes de
sable côtière).
Carte de résistivité électrique à AB/3 = 30m
D’après le paragraphe I-2-1-3, la carte de résistivité représentée par la figure 48 est environ à
15 m de profondeur.
74

Cartes de résistivité et discussions
Figure 48: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 3
La figure 48 nous montre les mêmes gammes de résistivités dont la première,
conductrice, se situe presque au centre de la zone d’étude (zone 2). Selon la coupe des forages
existant dans cette zone, elle correspond à une formation d’argile, de sédiments alluvionnaires.
La seconde de résistivité moyennement résistante, apparait au Nord Ouest et sur la côte Sud Est
de la zone ; elle correspond à des marnes, des calcaires, des dunes récentes.
Carte de résistivité électrique à AB/3 = 52m
D’après le paragraphe I-2-1-3, la carte de résistivité représentée par la figure 49 est environ à
26 m de profondeur.
Figure 49: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 4
La figure 49 met en évidence l’existence de trois gammes de résistivités :
75

Cartes de résistivité et discussions
la première, conductrice, de couleur bleu claire, présente la même formation au centre de
la zone d’étude (le bassin fermé d’Ambovombe : zone 2).
la deuxième, moyennement résistante, de couleur bleu foncé, apparait encore au Nord
Ouest (zone 1) sur une formation de marnes et de calcaires de plus en plus volumineux et sur
l’axe de la côte Sud Est (zone 3) d’une formation de dunes de sable.
la troisième, résistante, de couleur jaune, n’est autre que la formation au Nord Ouest
(zone 1) caractérisée par un socle et au Sud Est (zone 3) par des Dunes de Sable.
Carte de résistivité électrique à AB/3 = 100m
D’après le paragraphe I-2-1-3, la carte de résistivité représentée par la figure 50 est environ à
50 m de profondeur.
Figure 50: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 5
La figure 50 nous montre également trois gammes de résistivités : la première de
résistivité inférieure à 52 Ωm couvre la même partie centrale (zone 2) avec les mêmes
formations donc c’est un épais sédiment de quelques dizaines de mètre. La seconde, comprise
entre 52 Ωm à 150 Ωm, une interface entre la formation conductrice et la formation résistante
correspond probablement à une altération de cette dernière. La troisième, de résistivité
supérieure à 200 Ωm, de couleur verte jaune, se trouve nettement au Nord Ouest de la zone
d’étude (zone 1) : c’est la terminaison du socle cristallin ; au Sud Est (zone 3) apparait aussi la
formation de dunes de sable épaisse de quelques dizaines de mètre selon la carte géologique.
76

Cartes de résistivité et discussions
Carte de résistivité électrique à AB/3 = 150m
D’après le paragraphe I-2-1-3, la carte de résistivité représentée par la figure 51 est environ à
75 m de profondeur.
Figure 51: Estimation par cokrigeage de la variable ρ 6
Les trois gammes de résistivité ainsi que leur emplacement dans la zone d’étude sont
encore visibles mais sur la partie Nord Ouest (zone 1), le socle cristallin apparaît très net et sa
limite est très visible.
Carte de résistivité électrique à AB/3 = 300m
D’après le paragraphe I-2-1-3, la carte de résistivité représentée par la figure 52 est environ à
150 m de profondeur.
Figure 52: Estimation par krigeage de la variable ρ 7
77

Cartes de résistivité et discussions
Les trois gammes de résistivité persistent encore même si on n’a pas assez de données pour
l’estimation. Cela est dû par le fait qu’à cette profondeur les techniques de SEV ne donnent plus
de bons résultats.
En pensant à des interprétations suivant la verticale, la figure 53 nous montre la
superposition des sept cartes de résistivité.
Figure 53:superposition des 7 cartes
D’après la figure 53, on peut dire qu’en pénétrant de plus en plus en profondeur :
la couche ayant une résistivité élevée aux environs d’Antanimora augmente de
volume et commence à apparaître à partir d’une profondeur d’environ 26 m. C’est la formation
du socle cristallin de pendage Est car il prolonge légèrement dans la direction Sud Est et
disparaît sous les sédiments.
78

Cartes de résistivité et discussions
la couche faiblement résistante apparaît toujours, c’est un épais sédiment qui est
le bassin fermé d’Ambovombe constitué de sable argileux légèrement sablonneux, sable fin très
argileux, argiles grises compactes légèrement sableuses, Néogène Quaternaire. La persistance de
cette couche est l’effet vraisemblablement de la présence de la couche très conductrice en
surface.
les dunes de sable constituées de sables (fins et moyens) et d’argiles dans l’axe
Sud Ouest- Nord Est de la zone d’étude persistent aussi.
Les cartes nous montrent aussi les limites des formations (socle qui affleure aux environs
d’Antanimora, l’épais sédiment du bassin fermé d’Ambovombe Androy et les dunes de sable
côtière).
Le forage donne en un point donné et à une profondeur donnée la nature de la couche ou
de la formation. L’avantage de l’étude géostatistique des données de résistivité est de suggérer à
cette profondeur l’extension latérale de cette couche ou de formation sans faire de nouvelles
mesures et toute en rappelant que les données de résistivité doivent être fiables pour que l’étude
géostatistique soit valable. Toute les extensions latérales correspondantes à une résistivité donné
et donc à une couche donnée sont validées par au moins un forage effectué au voisinage de
l’emplacement de la couche ou de la formation.
79

CONCLUSION
Conclusion
L’objectif principal dans cette étude était d’établir les cartes d’iso valeur de résistivité
apparente tant en superficie qu’en profondeur à l’aide d’outils géostatistiques, à partir de
données de sondages électriques disponibles. Les données ne sont pas régulières et sont
entachées de diverses incertitudes, comme l’erreur de mesure, d’où l’importance d’une étape
préalable dans ce rapport, d’analyser et de critiquer les comportements de ces données.
L’approche monovariable dans un premier temps est nécessaire pour la recherche des
anisotropies, pour avoir les statistiques d’estimation de chaque variable.
L’analyse exploratoire des données a montré que les couples de variables (ρ 2 , ρ 3 ), (ρ 3 , ρ 4 ),
(ρ 4 , ρ 5 ), (ρ 5 , ρ 6 ) montrent une bonne corrélation donc l’estimation par cokrigeage est possible ;
cela nous conduit à l’approche multivariable qui permet de travailler avec le deux variables en
même temps.
Le cokrigeage des variables ρ 2 , ρ 3, ρ 4, ρ 5, ρ 6 améliore très sensiblement la qualité de
l’estimation par krigeage.
Les différentes cartes obtenues par krigeage des variables ρ 1, ρ 7 et par cokrigeage des
variables ρ 2 , ρ 3, ρ 4, ρ 5, ρ 6 ont mis en évidence les variations en profondeur et latérales des valeurs
de résistivité. Ces variations de résistivité sont calées par rapport à des données de forage pour
identifier la nature de la couche ou de la formation.
La zone d’étude peut être divisée en trois secteurs :
au Nord et Nord Ouest où le Socle, de résistivité supérieure à 225Ωm, se trouve à
quelques dizaines de mètres.
le bassin sédimentaire d’Ambovombe Androy, de résistivité moyenne 20Ωm, (partie
centrale) où la formation argileuse domine.
la zone littorale, de résistivité moyenne 150Ωm, (partie sud) formée par des dunes de
sables.
Ainsi les cartes obtenues à partir de la méthode géostatistique et tout en tenant compte
des données des forages existants dans la zone d’étude apportent un intérêt non négligeable à
l’identification et à la modélisation des structures du sous sol. L’avantage de cette étude réduit
beaucoup les travaux de terrain qui coûte cher (matériel, déplacement et personnel).
80

Annexes
ANNEXE A
Le tableau 1 montre l’ordre de grandeur de résistivité électrique dans la zone d’étude:
Tableau 1: Ordre de grandeur de résistivité électrique dans la zone d’étude [RAKOTO H., 2003]
La résistivité électrique des dépôts sédimentaires est relativement faible, inférieure à 50
Ωm et les résistivités électriques des formations affleurantes sont beaucoup plus élevées. Les
fortes valeurs de la résistivité électrique des formations superficielles justifient en outre
l’absence de l’humidité, due à la forte évaporation et à l’insuffisance de la précipitation.
ANNEXE B
A propos du logiciel Isatis
Le logiciel ISATIS a été créé en 1998 par la société française Geovariance en collaboration avec
l’Ecole des Mines de Paris. Les algorithmes sont conçus et codés en programme C++ au Centre de
Géostatistique de l’École des Mines de Paris. ISATIS est un logiciel multifonction et interactif
intégrant des modules diverses pour l’étude raisonnée des données. Il permet en d’autres l’analyse
exploratoire des données et l’obtention d’une carte d’iso valeur en deux et trois dimensions avec
carte de l’erreur d’estimation : c’est une interface graphique autonome.
Ce logiciel réalise deux fonctions principales :
la première est d’interpoler l’information entre les points de collecte, nécessairement en
nombre limité, et donc de créer la continuité spatiale à partir d’un espace discret : la technique
utilisée est le krigeage, selon Georges Matheron, fondateur de la discipline, en hommage au
Docteur Krige pour ses travaux sur les gisements d’or sud-africains;
la seconde est de pouvoir qualifier la confiance que l’on peut accorder à la carte obtenue
alors que l’on sait qu’il existe une erreur d’estimation (variance de krigeage). La fiabilité et la
robustesse de la technologie ISATIS sont reconnues par de nombreuses organisations dans des
domaines divers.
II

III
Annexes
Son apport dans la modélisation est certainement l’atout majeur du logiciel dans son
apprentissage à part ses multiples modules pour l’analyse des données et l’obtention d’une carte
précise de l’estimation effectuée.
ANNEXE C
Le tableau 2 montre les données de résistivité initiale. La première colonne présente le numéro
des stations de mesures, la deuxième et la troisième présente les coordonnés Laborde et le reste
des colonnes présentent les variables de résistivités à différentes profondeurs.
numerostation X(m) Y(m) ρ 1 ρ 2 ρ 3 ρ 4 ρ 5 ρ 6 ρ 7
w001 387792 106128 489 390 340 283 198 147 53
w002 381065 106397 174 155 165 175 168 130 68
w003 371854 106051 84 68 61 37 25 22 24
w004 364198 105804 35 13 10 8 7 8
w005 356523 105692 138 35 28 23 15 15
w006 346590 106491 215 85 102 78 35 21 18
w007 339766 106190 183 21 11 9 13 15 17
w008 330546 105139 10 9 12 16 17 17
w009 362436 97135 192 349 327 254 130 87 27
w010 355005 97564 370 131 118 91 50 39 28
w011 347105 97991 254 149 107 96 73 54 23
w012 338938 97039 122 58 50 39 26 28 25
w013 330508 96746 143 19 13 12 13 10 13
w014 330094 87814 72 87 52 24 10 9
w015 339312 88525 75 76 93 45 33 36 39
w016 347457 89186 178 146 108 78 45 34 15
w017 329512 79313 124 203 230 132 56 30 21
w018 321299 87515 56 28 7 4 6 9
w019 322055 96936 12 5 5 5 7 9
w020 330262 116097 20 19 22 22 17 17
w021 336093 116142 13 10 15 21 20 20
w022 347158 116621 70 25 18 20 14 11 13
w023 354989 115290 29 5 4 5 8 11
w024 363546 116136 189 120 81 46 27 26
w025 373817 115199 132 32 27 27 26 25 25
w026 380743 115266 126 42 39 38 45 47 32
w027 369946 124472 137 24 22 25 29 32
w028 363259 124770 327 54 36 53 35 26
w029 356787 124726 172 75 66 35 14 11
w030 345055 124957 24 8 5 6 9 14
w031 337869 124878 4 5 5 8 11 15 28
w032 329759 125146 22 11 6 7 10 15
w033 322914 124879 420 29 17 19 32 49
w034 322330 133832 31 79 139 188 210 204 263
w035 328194 131285 18 8 11 15 24 32
w036 335685 133502 16 10 9 12 20 27
w037 345829 133817 4 5 7 9 12 16
w038 354535 134168 55 10 9 11 15 16
w039 368611 136207 18 13 11 11 13 16 26
w040 321963 143010 132 236 324 405 462
w041 328849 143072 15 39 63 88 121 155
w042 339017 143306 8 26 67 78 133
w043 346487 146382 136 142 164 248

Annexes
w044 357334 143654 103 89 80 69 91
w045 319640 152307 50 62 93 132 201 240
w046 328540 153798 76 111 156 209
w047 337360 150765 73 144 249 305
w048 384256 111673 129 45 53 72 86 80 53
w049 377518 110743 140 95 77 81 91 77 44
w050 367996 111791 78 65 57 37 26 21
w051 360782 112066 12 13 15 15 13 14
w052 350994 111708 80 50 29 19 16 17 14
w053 342461 111799 18 11 12 15 19 19 17
w054 335341 110815 14 10 10 11 16 18
w055 325033 111763 23 27 26 23 24 31
w056 377695 102041 345 539 441 334 223 114
w058 358821 101486 148 132 131 109 61 42 27
w059 351396 102596 192 243 347 370 244 147 57
w060 343029 101059 173 115 133 141 84 59 43
w061 334166 101634 303 52 19 13 17 19
w062 350836 93659 295 371 237 166 126 87 38
w063 342583 92563 73 109 94 74 40 26 15
w064 333889 92686 144 135 42 12 8 9
w065 335380 83389 64 44 48 52 54 54 46
w066 376401 119667 103 47 31 24 24 25
w067 367121 121982 150 69 60 49 36 28
w068 358337 120460 44 14 15 15 14 14
w069 348793 120125 2 2 2 4 6 8
w070 342625 119589 26 25 26 17 10 11 19
w071 335132 120096 163 8 8 8 9 12
w072 324482 119936 29 44 40 39 55 66
w073 369894 129752 117 26 29 31 29 20
w074 360614 130370 206 94 94 74 41 30
w075 350275 130257 31 11 10 10 14 18
w076 341267 128268 7 5 5 6 10 15 28
w077 336502 129437 4 5 8 11 17 25
w078 322173 130134 47 33 49 71 126 189
w079 316329 129941 55 114 285
w080 358298 138579 40 13 19 24
w081 351453 139735 98 49 82 84 73 88
w082 340214 138946 35 28 68 117 226
w083 332574 138771 19 9 10 15 26 36
w084 324107 137355 170 70 48 77 100 145
w085 325787 148473 17 38 92 146
w086 332292 149119 123 158 167 230 260
w087 324857 116091 1407 57 22 14 3
w088 326486 92337 11 6 5 5 6 8 13
w089 368079 124481 164 235 203 135 89 72 39
w095 364216 109038 8 4 6 9 12 14
w097 367745 109268 123 76 66 51 37 29 16
w099 362644 109096 14 9 13 15 12 9
w102 359840 104016 115 83 108 140 122 87 29
w103 356961 103692 205 142 99 100 103 85 42
w104 368170 103677 131 56 67 77 58 41 24
w105 362071 101206 224 143 168 172 154 108 40
w106 363840 101361 142 117 94 93 97 70 31
w107 366018 111587 137 139 102 55 29 18
IV

Annexes
w109 365162 105208 82 57 17 10 15 20 22
w111 360978 103072 231 94 128 155 161 130 64
w114 363606 107346 8 12 16 14 11 10
w115 367177 107431 28 32 34 35 24 22
w118 365516 102882 237 145 67 60 50 41 25
w120 360621 107694 82 101 112 110 74 35
w151 327012 145718 49 69 116 128 155 217
w152 325636 145784 91 45 60 76 120 189
w153 325467 147641 114 202 228 235 305
w154 320339 147526 11 23 36 56 101
w155 319014 146872 35 36 33 46 61 73
w156 325109 143453 66 93 113 153
w157 322585 142579 26 24 42 81 113 149
w158 319115 144712 59 95 170 229 302
w159 335358 125314 49 19 14 11 12 14
w160 331736 130552 16 9 10 11 17 24
w161 316981 124327 21 27 45 84 197
w162 322586 135873 24 32 50 99 141 166
w163 321412 145337 12 31 54 96 205
w164 323158 145618 93 169 311 375
w165 328902 144968 23 72 126 160 269
w166 317370 145047 49 72 103 136
w167 320073 144630 7 26 46 95 186 243
w168 322390 140330 13 32 62 136
w169 329148 142280 17 18 28 38 56
w170 332516 141196 13 20 33 49 80
w171 322322 133060 13 15 21 31 51 68
w172 324608 126116 9 12 14 16 20 27
w173 369845 145435 24 15 8 14 29 42
w175 352595 112379 29 41 54 41 23
w177 366293 105738 231 68 71 83 93 85
w178 372613 107565 60 78 63 58 55 35
w179 383874 114286 56 18 23 29 33 33
w180 390269 104352 816 192 31 17
w181 368011 96825 573 407 283 138 32 11
w182 354312 91034 760 147 121 67 19 11
w183 345300 85619 6 3 3 3
w184 335863 80673 460 438 235 115 40 19
w185 330595 78809 179 162 195 157 73 33
w186 340420 91980 111 138 93 49 29 22 12
w187 333890 98082 23 16 15 16 17 18
w188 338339 111423 5 8 9 12 17 21
w189 353795 102624 307 237 224 185 153 139
w190 369847 128777 28 19 25 24 21 21 21
w191 349347 114647 43 13 16 17 15 12 10
w192 362501 112929 295 334 142 52 37 26
w193 370216 114558 197 63 40 33 25 22
w194 356707 108209 82 56 32 17 10 11 13
w195 370635 108620 138 127 122 79 39 31 25
w197 357397 93545 195 137 109 96 80 53 13
w199 375242 100801 793 1001 910 708 361 147
w200 380509 102618 340 265 308 268 149 66
Tableau 2: les données de résistivité
V

Annexes
ANNEXE D
Voici quelques coupes des forages effectués dans la zone d’étude.
Tableau3: Manavy, coupe lithologique au
niveau du forage d’essai
Tableau4 : Soalapa, coupe lithologique au
niveau du forage d’essai
Tableau5: Ambovombe, coupe lithologique au
niveau du forage d’essai
Tableau6: Sarihangy, coupe lithologique au
niveau du forage d’essai
VI

Annexes
Tableau7: Talaky, coupe lithologique au niveau
du forage d’essai
VII

Références bibliographiques et webographiques
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
ET WEBOGRAPHIQUES
[1]Agence Japonaise de Cooperation Internationale (JICA), 2006. Etude sur
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[10]Essahlaoui, A., 2000. Contribution à la reconnaissance des formations aquifères dans le
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[12]Famantanantsoanirina, M. R., 2004. Etude de la sensibilité des dispositifs Wenner,
Wenner-Schlumberger et Dipôle-Dipôle en prospection électrique application a l’hydrogéologie
et a la détection de cavités. Rapport de stage DEA, faculté des sciences, Université
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d’entreprise. Habilitation Dirige de Recherche. Université Pierre et Marie Curie.
[14] Guiblin, Ph., 1997. Analyse géostatistique de campagnes (acoustique et chalutage) sur le
4

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Cas des hydrocarbures aromatiques polycycliques sur d'anciens sites de cokeries. Thèse de
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[24] Youcef, H, Laurent, M, Dominique, M .Caractérisation hydrogéophysique d’un aquifère
poreux complexe à l’aide des méthodes électriques et diagraphies, cas du site test kappelen.
[25] Rabemanana, V., 2002. Origine et Caractérisation de la salinité des eaux dans les aquifères
de socle : cas de la région de l’Androy (Sud de Madagascar). Thèse de doctorat de 3 ème cycle
en Sciences de la terre, Université de Paris 6.
[26] Rakoto, H., 2003. Caractérisation par géophysique, hydrogéologie classique et hydrochimie
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[27]Rakotondramano Heliarivonjy, S., 2005. Hydrogéophysique et alimentation en eau
potable cas de Manakara et d’ambovombe-Androy. Rapport de stage DEA, Faculté des sciences,
Université d’Antananarivo.
[28] http://www.geovariance.com(Juin 2010)
[29] http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?13,372710 (Juillet 2010)
[30] http://www.forumsig.org/showthread.php?t=3427 (Juillet 2010)
[31] http://cybergeo.revues.org/index54.htm (Juillet 2010)
[32] http://cg.ensmp.fr/bibliotheque/public/CHILES_These_00401.pdf (Août 2010)
5

TABLE DES MATIERES
Table des matières
INTRODUCTION………………………………………………………………………… .......... 1
PARTIE I ................................................................................................................................................ 3
PRESENTATION DE LA ZONE D’ETUDE ET PRESENTATION DES DONNEES .................. 3
I-1- PRESENTATION DE LA ZONE D’ETUDE .............................................................................................. 4
I-1-1- Contexte général de la zone d’étude ..................................................................................................... 4
I-1-2-Cadre géologique, hydrologique et hydrogéologique ............................................................................ 5
I-1-2-1-Contexte géologique (H. Besairie, 1963). ..................................................................................... 5
I-1-2-2-Hydrologie et hydrogéologie ......................................................................................................... 7
I-1-2-2-1-Hydrologie ............................................................................................................................. 7
I-1-2-2-2-Hydrogéologie ....................................................................................................................... 8
I-2- PRESENTATION DES DONNEES ............................................................................................................ 9
I-2-1-Les données issues des prospections géophysiques ............................................................................... 9
I-2-1-1- Définition de la résistivité du sous sol ........................................................................................ 10
I-2-1-2- Prospection électrique ................................................................................................................ 10
I-2-1-3-Dispositif Wenner ........................................................................................................................ 11
I-2-2-Les données des résultats des forages. ................................................................................................. 13
PARTIE II ............................................................................................................................................ 16
RAPPELS THEORIQUES.................................................................................................................. 16
II-1- ANALYSE STATISTIQUE DES DONNEES .......................................................................................... 17
II-1-1-Variables régionalisées Z(x), x à 2, 3 ou 4D ...................................................................................... 17
II-1-2- Support et champ............................................................................................................................... 17
II-1-3- Rappels des grandeurs fréquemment utilisées en statistique ............................................................. 17
II-1-4- Hypothèses de base ........................................................................................................................... 18
II-1-4-1-Stationnarité du second ordre ..................................................................................................... 18
II-1-4-2-Hypothèse intrinsèque ................................................................................................................ 18
II-2- ANALYSE VARIOGRAPHIQUE ............................................................................................................ 19
II-2-1- Variogramme expérimental ............................................................................................................... 19
II-2-2-Estimation du variogramme .......................................................................................................... 20
II-2-3- Variogramme croisé .......................................................................................................................... 21
II-2-4- Modélisation ...................................................................................................................................... 21
II-2-5- Phénomènes d’anisotropie et d’isotropie .......................................................................................... 22
II-2-5-1-Phénomène de structure isotropie .............................................................................................. 22
II-2-5-2-Phénomène de structure anisotropie ........................................................................................... 22
II-2-6-Voisinage unique et voisinage glissant .............................................................................................. 23
II-2-7-Validation croisée............................................................................................................................... 23
II-2-8- Krigeage et Cokrigeage ..................................................................................................................... 24
II-2-8-1-Krigeage ..................................................................................................................................... 24
II-2-8-2-Cokrigeage ................................................................................................................................. 26
PARTIE III ........................................................................................................................................... 27
ANALYSE STATISTIQUE ET TRAITEMENT DES DONNEES PAR LES TECHNIQUES
GEOSTATISTIQUES ......................................................................................................................... 27
III-1- ANALYSE STATISTIQUE DES DONNEES ....................................................................................... 28
III-1-1- Extremum de valeur de résistivité .................................................................................................... 29
III-1-1-1- Statistique des valeurs de résistivité minimum ........................................................................ 29
III-1-1-2- Statistique des valeurs de résistivité maximum ....................................................................... 30
III-1-3- Moyenne .......................................................................................................................................... 30
III-1-4- L’écart type ..................................................................................................................................... 31
III-1-5- Vérification de la stationnarité ......................................................................................................... 31
III-1-6- Relation entre les différentes valeurs de résistivité (ρ 1 , …., ρ 7 ) ....................................................... 32
III-2- TRAITEMENT DES DONNEES PAR KRIGEAGE ............................................................................. 33
III-2-1-Variable ρ 1 ........................................................................................................................................ 33
III-2-1-1-Analyse variographique ............................................................................................................ 34
III-2-1-2- Modélisation du variogramme ................................................................................................. 37
III-2-1-3-Choix de grille de l’estimation .................................................................................................. 39
3

Table des matières
III-2-1-4-Choix du bloc de discrétisation ................................................................................................. 39
III-2-1-5-Voisinage unique et voisinage glissant. .................................................................................... 40
III-2-1-6- Validation croisée .................................................................................................................... 42
III-2-1-7-Estimation de la variable ρ 1 ...................................................................................................... 45
III-2-2-Variable ρ 2 ........................................................................................................................................ 46
III-2-2-1-Modélisation du variogramme. ................................................................................................. 47
III-2-2-2-Test de voisinage ...................................................................................................................... 48
III-2-2-3-Validation croisée du modèle.................................................................................................... 48
III-2-2-4-Estimation de la variable ρ 2 ...................................................................................................... 49
III-2-3-Variable ρ3 ........................................................................................................................................ 50
III-2-3-1-Validation croisée ..................................................................................................................... 50
III-2-3-2-Estimation de la variable ρ 3 ...................................................................................................... 51
III-2-4-Variable ρ 4 ........................................................................................................................................ 51
III-2-4-1-Validation croisée ..................................................................................................................... 52
III-2-4-2-Estimation de la variable ρ 4 ...................................................................................................... 52
III-2-5-Variable ρ 5 ........................................................................................................................................ 53
III-2-5-1-Validation croisée ..................................................................................................................... 54
III-2-5-2-Estimation de la variable ρ 5 ...................................................................................................... 54
III-2-6-Variable ρ 6 ........................................................................................................................................ 54
III-2-6-1-Validation croisée ..................................................................................................................... 55
III-2-6-2-Estimation de la variable ρ 6 ...................................................................................................... 56
III-2-7- Variable ρ 7 ....................................................................................................................................... 56
III-2-7-1-Validation croisée ..................................................................................................................... 57
III-2-7-2-Estimation de la variable ρ 7 ...................................................................................................... 57
III-3- TRAITEMENT DES DONNEES PAR COKRIGEAGE ....................................................................... 58
III-3-1-Cokrigeage entre ρ 2 et ρ 3 ................................................................................................................... 58
III-3-1-1-Analyse variographique du variogramme croisé ....................................................................... 58
III-3-1-2-Ajustement des variogrammes simples et croisés ..................................................................... 58
III-3-1-3-Validation croisée des modèles ajustés ..................................................................................... 60
III-3-1-4 Résultat de cokrigeage de la variable ρ 2 .................................................................................... 61
III-3-2-Cokrigeage entre ρ 3 et ρ 4 ................................................................................................................... 61
III-3-2-1-Analyse variographique du variogramme croisé ....................................................................... 61
III-3-2-2-Ajustement des variogrammes simples et croisés ..................................................................... 61
III-3-2-3-Validation croisée des modèles ajustés ..................................................................................... 63
III-3-2-4- Résultat de cokrigeage des variables ρ 3 et ρ 4 ........................................................................... 64
III-3-3-Cokrigeage entre ρ 4 et ρ 5 ................................................................................................................... 64
III-3-3-1-Analyse variographique du variogramme croisé ....................................................................... 64
III-3-3-2-Ajustement des variogrammes simples et croisés ..................................................................... 65
III-3-3-3Validation croisée des modèles ajustés ...................................................................................... 66
III-3-3-4-Résultat de cokrigeage des variables ρ 5 .................................................................................... 67
III-3-4-Cokrigeage entre ρ 5 et ρ 6 ................................................................................................................... 67
III-3-4-1-Analyse variographique du variogramme croisé ....................................................................... 67
III-3-4-2-Ajustement des variogrammes simples et croisés ..................................................................... 67
III-3-4-3-Validation croisée des modèles ajustés ..................................................................................... 68
III-3-4-4- Résultat de cokrigeage de la variable ρ 6 .................................................................................. 69
III-4- COMPARAISON DES RESULTATS DES DEUX METHODES ........................................................ 70
PARTIE IV ........................................................................................................................................... 72
CARTES DE RESISTIVITE ET DISCUSSIONS ............................................................................ 72
CONCLUSION…………………………………………………………………………………. 80
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Titre du mémoire:
MODELISATION DE STRUCTURES GEOELECTRIQUES DU
BASSIN SEDIMENTAIRE AMBOVOMBE ANDROY PAR
METHODE GEOSTATISTIQUE
RESUME
La géophysique combinée à la géostatistique avec la validation des données de forage peut
contribuer à réduire ces travaux de terrain dans le cas de la recherche en eaux souterraines dans la partie
sud de Madagascar où l’eau reste un problème fondamental. C’est ce qui a été réalisé dans ce mémoire où
l’on a disposé des données de 149 sondages électriques et 8 forages.
Les variogrammes expérimentaux obtenus par calcul omnidirectionnel présentent un effet de
pépite potentiellement dû à des erreurs de mesures. Après ajustement, les estimations des données par
krigeage et cokrigeage sont réalisées pour chaque variable. Le cokrigeage des variables ρ 2 , ρ 3 , ρ 4 , ρ 5 , et ρ 6
améliorent très sensiblement la qualité de l’estimation par krigeage.
Les différentes cartes obtenues par krigeage des variables ρ 1 , ρ 7 et par cokrigeage des variables ρ 2 ,
ρ 3 , ρ 4 , ρ 5 , et ρ 6 ont mis en évidence les variations latérales et en profondeur des valeurs de résistivité. Ces
variations de résistivité ont été calées par rapport à des données de forage pour identifier la nature de la
couche ou de la formation.
Les modèles des cartes ainsi obtenues ont mis en évidence trois secteurs : au Nord Ouest, le socle
cristallin, l’épais sédiment au centre (bassin fermé d’Ambovombe) et les dunes de sable sur l’axe Sud
Ouest – Nord Est autour de la ville d’Ambovombe.
Mots clé : Ambovombe Androy, modélisation, géostatistique, structure géoéléctrique, krigeage,
cokrigeage
ABSTRACT
Geophysics and geostatistics method using drilling data validation can lead to reduce fieldworks
in the case of groundwater exploration in the southern part of Madagascar, where water remains a
fundamental problem. This has been achieved in this study report where data were available from 149
electrical soundings and 8 boreholes.
By the experimental variograms using omnidirectionel, moreover, show a potential nugget effect
produced by measurement errors. After fitting , the estimates by kriging and cokriging are effective for
each variable. The cokriging variables ρ2, ρ3, ρ4, ρ5 and ρ6 improve substantially the quality of
estimation by kriging.
The obtained map models using the kriging variables ρ1, ρ7 and the cokriging variables ρ2, ρ3,
ρ4, ρ5 and ρ6 revealed lateral and depth variations of the resistivity values. These variations in resistivity
were fitted to drilling data for identifying lithological nature.
The final maps showed three zones: in the North West, crystalline basement, in the center there is
a thick sediment (closed basin Ambovombe) and in the North West –South East there are sand dunes.
Keywords: Ambovombe Androy, modeling, geostatistics, geoelectric structure, electrical soundings,
kriging, cokriging
Encadreur
Pr RATSIMBAZAFY Jean Bruno
Impétrant :
Nom et prénom : RAZAFIMAHATRATRA Heritiana
Adresse : Lot VF 85 Ankorahotra
Tel : 032 49 172 66
E-mail : razheritiana1@gmail.com
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