Algorithme de Kohonen : classification et analyse exploratoire des ...

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Démo en dimension 2 Étude Théorique ✔ On peut écrire C(t+1) = C(t) + e H( x(t+1), C(t) ) ✔ C’est un algorithme dont la forme fait penser à un algorithme de gradient ✔ Mais en général (si la distribution des entrées est continue), H ne dérive pas d'un potentiel (Erwinn). L’algorithme on-line SOM n’est pas un algorithme de gradient. ✔ On se restreint ici au cas où les entrées sont listées en nombre fini. Dans ce cas, il existe une fonction potentiel qui est (cf Ritter et al. 92) la somme des carrés intra classes étendue ✔ Dans ce cas, l'algorithme minimise la somme des carrés des écarts de chaque observation non seulement à son vecteur code, mais aussi aux vecteurs codes voisins (dans la structure fixée) Page 10 10
Somme des carrés intra ✔ L’algorithme SCL (0-voisin) est exactement l ’algorithme de gradient stochastique associé à la distorsion quadratique (ou somme des carrés intra) D( x) = ∑∫ i∈I G i ( x ) x −C i 2 f ( x) dx ✔ estimée par Dˆ( x) = 1 N n ∑ i = 1 ∑ x − Ci x ∈G i 2 Somme des carrés intra-classes étendue aux classes voisines ✔ C'est une extension de la notion de somme des carrés intra-classes, qui est étendue aux classes voisines D n 2 SOM ( x) = ∑ ∑ x −C i i= 1 x / i = i ( 0 x ) oui voisin de i 0 ( x) ✔ En fait cette fonction a de nombreux minima locaux ✔ L'algorithme converge, moyennant les hypothèses classiques (Robbins-Monro) sur les ε, qui doivent décroître ni trop, ni trop peu ✔ La démonstration mathématique complète n’est faite que pour des données de dimension 1 et pour une structure de voisinage en ficelle ✔ Pour accélérer la convergence, on prend au début une taille de voisinage assez grande et on la fait décroître Page 11 11
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