Algorithme de Kohonen : classification et analyse exploratoire des ...

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ODE associée ✔ On peut écrire l’équation différentielle ordinaire associée dC ( i, u ) = du − ∑ j∈I σ ( i, j ) ∫ G j ( C (., u )) ( C ( i, u ) − x ) f ( x ) dx ✔ où C(i,t) est pour C i (t) ✔ C(.,t) for (C i (t), i ∈ I) ✔ f est la densité des données x ✔ G i (C) = {x / ||C i - x || = min j || C j - x || } est la i-ème classe formée des données pour lesquelles C(i) est le vecteur code gagnant. Ces classes dépendent des valeurs courantes de tous les vecteurs-codes. Elles forment une mosaïque (tesselation, ou couverture) de Voronoi. Mosaïque de Voronoï Dans l’espace des entrées, les classes forment une partition Par exemple en dimension 2 X appartient à G i ⇔ l’unité i gagne quand on présente i Page 12 12
Points fixes de l’ODE ✔ Si l’algorithme converge, il doit converger vers un équilibre de l ’ODE * ∑σ ( i, j) ∫ ( Ci − x) f ( x) dx = ∀i ∈I, 0 j G ( C *) j ✔ i.e. C * i = ∑ j ∑ σ ( i , j j ) ∫ G ( C *) σ ( i , j ) P ( G j f ( x ) dx j ( C * (1) ✔ Pour chaque i, C* i est le barycentre des toutes les classes, pondérées par les valeurs de la fonction σ(i,j), j ∈ I, (barycentre de la réunion de sa classe et des classes voisines) L’algorithme batch ✔ On définit un algorithme déterministe pour calculer les solutions C* ✔ On part de C(0) et on définit pour chaque composante i C k + 1 i = ∑ j ∑ σ ( i , j ) j ∫ k G j ( C ) σ ( i , j ) P ( G x f ( x ) dx j ( C k )) ✔ Quand il n ’y a qu’un nombre fini de données (c ’est le cas en analyse de données), le processus déterministe s’écrit : C k + 1 i , N = ∑ j ∑ σ ( i , j ) j σ ( i , j N ∑ l = ) ∑ l 1 N = 1 x l k G ( C ) 1 1 j j k G ( C ) ( x ) l l ( x ) (2) ✔ C’est exactement une extension de l ’algorithme de Forgy, où les centres de gravité se calculent sur les réunions de classes voisines. Page 13 13
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