1 Expérience no 5 ETUDE DU PENDULE 1. RAPPEL Les lois ...

1Expérience no 5ETUDE DU PENDULE1. RAPPELLes lois fondamentales de la dynamique sont:- la loi d'inertie: un corps soumis à aucune force est en mouvementrectiligne uniforme- la loi d'action = réaction: tout corps agissant sur un autrecorps par une force est soumis de la part de celui-ci à uneforce égale, opposée en direction- la loi du mouvement: postulée par Newton, elle s'exprime ainsil'accélération produite par une force F agissant sur unmobile de masse m, est inversement proportionnelle à la masse:a =1 Fmou: d2 rdt 2 =1 Fmd'où l'on tire l'équation du mouvement:m d2 rdt 2 = FDans le cas d'un solide rigide possédant un point fixe, on définit:forceA: point d'attache de la forceO: centre fixele moment d'une force extérieure F par rapport au point 0, commeM 0 = r × Fproduit vectoriel de la force F et du vecteur support (entre lecentre fixe et le point d'application de la force)M 0 = F ⋅r ⋅sinα , M 0 est ⊥ au plan contenant r et F .Ce moment de force Mva engendrer (ou faire varier) unerotation de ce corps, donc de son moment cinétique B .

Le théorème du moment cinétique:2dB 0= M dt 0montre que la variation du moment cinétique est égale à la sommedes moments extérieurs.Rappel: Dans le cas simple d'une masse ponctuelle tournantautour d'un centre 0, le moment cinétique vaut:b 0 = r × m vPour un solide rigide, en rotation autour d'un axe z fixe à lavitesse angulaire ω, le moment cinétique vaut:b i = r i × m iv iM =∑m icomme v i = ω × r i on peut écrire: B =[ ( r )]ii∑ r i × m i ω × B =∑ b i =i∑i r i × m iSous certaines conditions de symétrie qui sont réalisées danscette expérience, on trouve que:B = B z = θ z ⋅ω zv ioù θ z = moment d'inertie par rapport à l'axe z.Le moment cinétique B est donc parallèle à ωlieu dans le cas général).(ce qui n'a pas

2. APPLICATION AU PENDULE3Définition: Un pendule est un corps solide pouvant tournerautour d'un axe horizontal et qui oscille sous l'effet de lagravitation autour d'une position d'équilibre stable.2.1. Le pendule physiqueaxe de rotationG: centre de gravitéθ: moment d'inertie du solide parrapport à l'axe de rotation.Le théorème du moment cinétique nous donne:dB odt= M o => θ φ ˙ = - Mgsinφouφ ˙ + Mg sinφ = 0 (I)θéquation différentielle du mouvement du pendule physique d'oùl'on tire l'équation horaire du mouvement: φ = φ(t)La solution de l'équation (I) est difficile si φ peut êtregrand; dans ce cas, la période des oscillations varie avecl'amplitude. En revanche, si φ est petit, sinφ ≈ φ, et l'équation(I) devient:φ ˙ + Mgθφ = 0 (II)Cette équation différentielle est du type:˙ x +Ω 2 x = 0 équation différentielle de l'oscillateur harmonique.2.2. Le pendule simpleC'est le cas idéal dupendule composé d'un pointde masse m suspendu à un filsans poids de longueur (pendule mathématique).

4Ici, on a : θ 0 = m 2 moment d'inertieM 0 = −mgsinφ moment de forceet l'équation du mouvement devient:dB 0= M dt 0 ou: d dt θ˙ φ( ) = −mgsinφd'où:˙ ˙ φ + g sinφ = 0Si φ petit, sinφ ≈ φ, alors:φ ˙ + g φ = 0 (III) (oscillateur harmonique)2.3. Résolution des équationsLes équations II et III sont du même type; l'intégration de ceséquations permet de trouver la solution générale pour φ = φ(t):φ( t) = A⋅sin(ωt + α)(on peut vérifier en introduisant cette solution dans les équations).avec:ω 2 = g pour le cas du pendule simpleω 2 = Mgθpour le cas du pendule physiqueA et α sont des constantes d'intégration qui dépendent desconditions initiales.Par exemple, si le pendule est lâché à vitesse nulle avec unangle de départ φ o , on obtient:A = φ o et α = π/2 (sachant que φ(t=O) = φ o et ˙ φ (t=0) = 0) soit:φ = φ 0 cos(ωt)C'est une oscillation harmonique sinusoïdale dont la périodevaut:T = 2π ω = 2π gdans le cas du pendule simpleT = 2π ω = 2π θMgdans le cas du pendule physique

5Remarque: On appelle longueur réduite du pendule physique lalongueur L du pendule simple ayant la même période, soit:θMg = L ⇒ L = θ g Met la période vaut alors: T = 2πL g2.4. Exemple de pendule physique3. EXERCICESConsidérons le cas d’un pendulecomposé d’une sphère Kde rayon R suspendue à un filde masse négligeable. Lemoment d’inertie θ 0 de lasphère par rapport à l’axe 0s’obtient par la règle deSteinerθ 0 = θ G + M 2θ G étant le moment d’inertiepar rapport à un axe passantpar le centre de gravité(voir l’introduction du TPgyroscope). Pour une sphèreθ G = 2MR 2 /5 (démonstrationvoir appendice). Dans cesconditions:⎛L = 2 5 MR2 + M 2 ⎞ 1⎝⎠ ML = + 2 5R 2 = + ε1) Déterminer la période du petit pendule en fonction de l’amplitudepour des amplitudes comprises entre 0 et 90°. Mesurertrois fois la durée de 20 oscillations pour la même amplitude.Soit T o la période pour une petite amplitude; on a vu qu’il ya un défaut d’isochronisme si l’amplitude augmente. On peutexprimer cette variation par une série (voir appendice):⎛ ⎛T(φ) = T 0 1 + 1 2⎞sin 2 φ⎝ 2⎠2 + 1⋅ 3 2⎛ ⎞sin 4 φ⎜⎝⎝ 2⋅ 4⎠2 + ...⎞⎟⎠T(φ) /T 0 = 1 + 1 2⎛ ⎞sin 2 φ⎝ 2⎠2 + 1⋅ 3 2⎛ ⎞sin 4 φ⎝ 2⋅ 4⎠2 + ...Calculer et tracer la courbe T(φ) /T 0 en fonction de φ et compareravec la courbe déterminée par les mesures T(φ) /T(5 ) enfonction de φ.

62) Déterminer la longueur réduite du grand pendule en mesurant lalongueur = OB + R et en ajoutant ε, après avoir mesuré Ravec le pied à coulisse. On fait varier entre 70 cm et 1.20m et on mesure pour chaque longueur la période T du pendule.Déterminer au chronomètre la durée de 20 oscillationscomplètes et répéter trois fois cette mesure. Tracer legraphique T 2 = f(L) et en tirer g. Comparer la valeur trouvée àla valeur g = 980,65 cm s -2 , valable pour Neuchâtel.APPENDICEA) Pour l'étude exacte de la période en fonction del'amplitude (défaut d'isochronisme), on a avantage à partird'une relation équivalente à l'équation du mouvement qu'onobtient par le théorème de l'énergie:Epot = 1 2 mv2Epot = mgh = mg (cosφ-cosφ o )or: v = dφdtdonc: ( dφdt )2 = 2gOn en tire:dt =2gdφcos φ − cos φ o(cosφ-cosφ o )La période T s'obtient en intégrant de φ = 0 à φ o , ce qui correspondà T/4 donc:T = 42gφ odφ∫ (1)cos φ − cos φ oL'intégrale se simplifie par la substitution:sin φ 2 = sin φ o2osinε (2)avec ε comme nouvelle variable d'intégration à prendre entre leslimites 0 et π/2. En appliquant la formule trigonométriqueconnuesin 2 φ 2 = 1 − cos φ2

On obtient d'abord:1 − cos φ= sin22 φ o2 sin2 ε et 1 − cos φ o2En soustrayant la première de la seconde relation:7= sin 2 φ o2cosφ - cosφ o = 2sin 2 φ o2 (1 - sin2 ε) = 2sin 2 φ o2 cos2 εD'autre part, en différenciant (2):et12 cos φ 2 dφ= sin φ o2 cosεdεdφ =2 sin φ o2 cos ε1 − sin 2 φ2dε =2 sin φ o2 cos ε1 − sin 2 φ o2 sin2 εdεAvec ces substitutions (1) devient:T = 4 gπ /2∫odε1 − sin 2 φ o2 sin2 εL'intégrale s'obtient sous forme d'une série de termessuccessifs si l'on remarque que l'intégrant(1-sin 2 φ o2 sin2 ε) -1/2est un binôme (1-x) -1/2 où x

8Cette formule montre bien que T dépend de l'amplitude et permetde calculer les déviations de l'isochronisme. En prenant laformule simple:T = 2πgon commet une erreur ne dépassant pas 1% pour φ o