Constante de Stefan-Boltzmann

Expérience N o 39Constante de Stefan-Boltzmann1 IntroductionTout corps à température T ≠ 0 K émet et absorbe une radiation électromagnétique dansle domaine des longueurs d’onde λ variant de 0 à l’infini. Cette radiation électromagnétiqueest engendrée par les fluctuations de charges dues à l’agitation thermique de la matière.Un corps est en équilibre thermique avec le milieu environnant lorsqu’il absorbe autant derayonnement qu’il en émet. A température ambiante le rayonnement est important dansl’infrarouge (I-R, λ ≈ 10 µm). A plus haute température, le spectre d’émission se déplacevers le visible, à commencer par le rouge (loi de Wien : filament de lampe incandescente).Le point à étudier dans cette expérience est l’expression de l’intensité du rayonnement enfonction de la température (loi de Stefan-Boltzmann).Pour introduire cette loi, voyons quelques grandeurs caractéristiques de la radiation thermique:Emission Lorsqu’une surface émet un rayonnement, la puissance dP rayonnée danstoutes les directions par une unité de surface dS s’écrit :dP = E dSE étant l’émittance 1 . Mais pour préciser la distribution spatiale et la composition spectraleon introduit la luminance spectrale L θλ de manière à écrire :dP = L θλ dS dΩ dλoù dΩ est l’angle solide dans la direction θ (voir Fig. 1). La luminance spectrale d’un corpsest en relation avec son pouvoir d’absorption (loi de Kirchhoff).Absorption Lorsqu’un rayonnement de puissance incidente P i tombe sur un corps,celui-ci peut en réfléchir une partie P r , en transmettre une partie P t , le reste P a étantabsorbé.Le rapport P a /P i = A λ est appelé le facteur d’absorption monochromatique (lumière delongueur d’onde λ donnée). Ce facteur dépend en général de la nature du corps, de l’étatde sa surface, de la température et de la direction de la lumière incidente.1 Unité de l’émittance : [E] = watt/m 2 1

Fig. 1 –Un corps pour lequel A λ = 1 pour tout λ et T est par définition un corps noir : toutrayonnement tombant sur un tel corps est totalement absorbé. Cependant, une telle surfacematérielle n’existe pas (la meilleure réalisation d’un corps noir est l’orifice d’une enceinteà parois absorbantes) et donc en général A λ < 1.Loi de Kirchhoff La luminance spectrale d’une surface quelconque est égale à celled’une surface noire (n) de même température, multipliée par le facteur d’absorption :La luminance spectrale du corps noirL (n)λθL θλ (T ) = A λ (T ) L (n)λθ (T )(T ) = L(n)λ(T ) cos θ (cos θ provient de la loi de Lambert)est directement liée à la densité spectrale d’énergie u(λ, T ) par la relation :L (n)λ(T ) = c4π u(λ, T )et u(λ, T ) est donnée par la célèbre loi de distribution de Planck :u(λ, T ) = 8πhcλ 5 1e hc/λkT − 1h = 6.63 × 10 −34 Js constante de Planckk = 1.38 × 10 −23 JK −1 constante de Boltzmannc = 2.998 × 10 8 ms −1 vitesse de la lumièreT [K] température absolue du corps consideré.(1)Loi de Stefan-Boltzmann Pour calculer l’émission totale d’énergie par unité de tempset de surface d’un corps noir, on intègre L (n)λθ(T ) sur toutes les directions du demi-espaceet sur toutes les longueurs d’onde. Cette intégrale est l’émittance énergétique du corpsnoir E (n) et est donnée par :E (n) = σ T 4 (2)2

avec σ = 2π5 k 4−8 watt= 5.67 × 10 =constante de Stefan-Boltzmann.15 h 3 c 2 m 2 K 4Pour un corps gris (A λ < 1) la relation ci-dessus s’écrit :où Ā < 1 est une valeur moyenne des A λ.E = Ā σ T 4 (3)Détermination expérimentale de σ D’après ce qui précède, un transfert de chaleurpar rayonnement thermique peut donc se produire entre deux corps de températuredifférente, séparés par le vide ou par un milieu transparent.Considérons deux sphères concentriques aux températures T 0 et T ayant des facteursd’absorption moyens Ā0 et Ā voisins de 1 (Fig. 2). Pour calculer, de manière simple, lapuissance perdue par radiation par la sphère intérieure, il faut supposer tout d’abordque d/r i ≪ 1 de telle façon que toute la radiation émise par la sphère extérieure ailledirectement sur la sphère intérieure. Ceci implique aussi l’approximation S = S 0 . Pourla sphère intérieure le bilan des puissances radiatives peut s’écrire, au premier ordre desréflexions 2 :Puissance émise par la sphère intérieure : P e = Ā S σ T 4 i)dont sera réfléchie par la sphère ext. : (1 − Ā0)P epuis absorbée par la sphère intérieure : Ā(1 − Ā0)P e ii)La puissance émise par la sphère ext. : Ā 0 S 0 σ T04dont sera absorbée par la sphère intérieure : Ā Ā0S 0 σ T0 4 iii)La puissance nette perdue par la sphère intérieure est donc :P = i)-ii)-iii)et comme S ≈ S 0P = Ā S σ T 4 − (1 − Ā0)Ā2 S σ T 4 − Ā Ā0S 0 σ T 4 0P = Ā Ā0S 0 σ( 1 − Ā + Ā Ā0Ā 0)T 4 0 − Ā Ā0S 0 σ T 4 0Avec Ā = 0.91 et Ā0 = 0.96 (voir page 5), le terme entre () vaut 1.004 ≈ 1. Alors :P ≈ α 0 S σ(T 4 − T 4 0 ) avec α 0 = Ā Ā0 (4)Connaissant Ā, Ā 0 et S, il suffit de mesurer P pour déterminer σ.2 Appareillage et méthode de mesureDétermination de σ Pour la détermination de σ, nous disposons de deux sphèresconcentriques (Fig. 2). L’espace entre les deux sphères est évacué de sorte qu’un échanged’énergie ne peut se faire que par rayonnement (pas de conduction thermique, pas de2 Si on tient compte de tous les ordres de réflexion, on arrive à un résultat identique.3

Fig. 2 – Appareillageconvection). Pour stabiliser la température To de la sphère extérieure, celle-ci est plongéedans un bain d’eau. La sphère intérieure sera remplie d’eau à la température T = T 0 + ∆.Elle se refroidira par rayonnement et, en mesurant la vitesse du refroidissement ˙∆ =d∆/dt, il sera possible de déterminer P .Si C = C eau + C verre est la capacité calorifique de la sphère intérieure, on auraC d∆ = −P dt(signe - car perte d’énergie)C d∆dt = +C ˙∆ = −α 0 S σ(T 4 − T 4 0 ) (5)Pour faciliter les calculs, nous travaillerons de préférence avec ∆ ≪ T 0 . De cette façon, ilest possible de faire l’approximation suivante (développement au deuxième ordre) :(T 4 − T 4 0 ) ≈ 4 T 3 0 ∆(1 + 1.5 ∆ T 0) (6)L’équation différentielle (5) devient doncdont la solution peut s’écrire 3 :ou.ln˙∆ = − 4α 0SσT 3 0C∆(1 + 1.5 ∆ T 0) (7)∆(1 + 1.5 ∆ T 0) = −4α 0SσT03 t + Cste (8)Cln3 par la methode de séparation de variables∆(1 + 1.5 ∆ T 0) = −γ 2t + Cste4

Donc : en reportant ln∆(1+1,5 ∆ T 0)en fonction de t, on obtient une droite de pente :γ 2 = − 4α 0SσT 3 0C(9)Pour déterminer σ, il est nécessaire de connaître α 0 . Le verre, transparent pour la lumièrevisible, est fortement absorbant dans l’infrarouge pour des longueurs d’onde supérieures à≈ 50’000 Å. Comme tout corps diélectrique dont l’indice de réfraction n est > 1, le verreréfléchit une partie du rayonnement incident (lois de Fresnel). Le facteur de réflexiondans l’infrarouge autour de 1000’000 Å est d’environ R = 0.09 pour la sphère intérieure(valeur moyenne de tous les angles d’incidence) et de R 0 = 0.04 pour la sphère extérieure(incidence normale). Les facteurs d’absorption correspondants sont donc Ā = 0.91 etĀ 0 = 0.96. Le coefficient α 0 = 0.87.Détermination du coefficient α d d’un dewar 4 On peut réduire sensiblement l’échanged’énergie par rayonnement entre les deux sphères en argentant les surfaces (A λ < 1 pourles métaux). En mesurant ∆(t) en fonction de t pour le premier récipient (argenté ), il estpossible de déterminer α d .Comparaison avec la conduction thermique Nous disposons d’un troisième récipientsemblable au premier, mais rempli d’air entre les deux parois. La conductibilité parl’air a pour effet d’augmenter l’échange de chaleur. La conduction de chaleur dans l’aircompris entre les parois est donné par :dQdt = K∆L’équation (5) doit être complétée et devient :C d∆dt = −α 0Sσ(T 4 − T 4 0 ) − K∆ (10)En développant au premier ordre : T 4 − T 4 0 ≈ 4T 3 0 ∆ ce qui donne :qui s’intègre par séparation des variables pour donner :droite de pente γ 3 = γ 2 + K C .4 le mot scientifique pour un thermosd∆[dt = − 4α0 SσT03 σ + K ]∆ (11)C C[ln ∆ = − γ 2 + K ]t + ln ∆ 0 (12)C5

3 Problèmes et manipulations1. Calculer la puissance rayonnée par une surface noire de 1 m 2 à la température ambiante5 .2. Mesurer la températures T 0 des bains dans lesquel sont plongés les 3 récipients devolume identique. Les remplir chacun de 288 ml d’eau ayant une température entre15 et 20 ◦ C au-dessus de T 0 (pour respecter la condition ∆/T 0 ≪ 1)3. Déterminer le volume V intérieur et la surface S extérieure de la sphère intérieure(épaisseur de la paroi 1.5 mm) pour le récipient évacué-non argenté, admettant quela masse volumique de l’eau est ρ ≈ 1 g/cm 3 .4. A l’aide des 3 thermomètres à disposition, relever toutes les 5 ou 10 min la températureT des sphères intérieures des 3 récipients et ceci pendant environ une heureet demie. Reporter après chaque mesure :∆• ln en fonction de t pour les récipients évacués argenté1+1.5 ∆ T 0et non argenté.• ln ∆ en fonction de t pour le récipient rempli d’air• et déterminer les pentes γ 1 , γ 2 et γ 3 respectives.(a) Déterminer la constante de Stefan-Boltzmann σ pour lerécipient évacué-non argenté.c eau = 1 calg K , c verre = 0.2 calg K , m verre ≈ 82 g.Attention : C eau = m eau c eau , C verre = m verre c verre(b) Déterminer le coefficient α d du récipient évacué-argenté(dewar) et comparer avec α 0 du récipient non argenté.(c) Donner en % les contributions respectives de la conductionthermique et du rayonnement pour le troisième récipientrempli d’air en calculant (γ 3 − γ 2 )/γ 3 .(d) Estimer les erreurs possibles.5. Au fin, vider les sphères intérieures à l’aide de la trompe à eau (Fig. 3).Fig. 3 – trompe à eau5 Ce qu’on considere généralement comme 20 ◦ C6

4 Liste du matériel– 3 bacs– 3 thermomètres– 1 entonnoir– 1 trompe à eau avec tuyeau– 1 mesurette– 1 éprouvetteFig. 4 – Matériel à disposition5 décembre 2003 MG7