Alternative au test joint sur plusieurs paramètres

■ Intuitivement, si H 0 est vrai, le modèle non-restreint est identique au modèlerestreint, alors les résidus des deux modèles, et leur somme au carré SCR ret SCR nr , devraient être similaires, donc la statistique ̂f devrait être prochede zéro.■ Par contre, si H 0 est faux et que les q variables devraient être incluses dansle modèle, alors le terme d’erreur du modèle restreint contient les variablesomises. On peut donc s’attendre à ce que la somme des résidus au carré dumodèle restreint soit toujours plus grande ou égale à la somme des résidusdu modèle non-restreint.■ Sous l’hypothèse nulle, ̂f suit une distribution de Fisher avec (q, n − k − 1)degrés de liberté. Nous pouvons calculer la valeur p de manière similaire àl’approche utilisée pour le test de plusieurs combinaisons de paramètres.■ Comme nous verrons, il est très facile de calculer ce test en STATA.■ À noter que, par défaut, la commande regress de STATA donne lastatistique ̂f du test de l’hypothèse nulle que toutes les variables explicatives(sauf la constante) sont à exclure du modèle, c’est-à-dire, la statistique dutest deH 0 : β 0 = β 1 = ... = β k = 0ECN-14758 Introduction à l’économétrie Inférence - p. 34/39

■ Il est possible d’écrire la statistique en fonction non pas des SCR, mais desR 2 des régressions du modèle restreint et non restreint. Cette équivalenceexploite la définition du R 2 , soitR 2 = 1 − SCRSCT■ Il est possible d’isoler SCR de cette expressionSCR = ( 1 − R 2) SCT■ Remplaçons SCR r par ( 1 − Rr) 2 SCT et SCRnr par ( 1 − Rnr) 2 SCT . Ensubstituant dans la statistique nous obtenons(SCR r − SCR nr ) (n − k − 1)SCR nr q( ) ( )1 − R2= r SCT − 1 − R2nr SCT(1 − Rnr) 2 SCT= SCT [( ) ( )]1 − Rr2 − 1 − R2nrSCT (1 − Rnr)2= R2 nr − R 2 r(1 − R 2 nr)(n − k − 1)q(n − k − 1)q(n − k − 1)qECN-14758 Introduction à l’économétrie Inférence - p. 35/39

■ Le Rnr 2 ≥ Rr 2 car ajouter des variables ne peut jamais faire diminuerl’importance de la partie systématique du modèle (i.e. le fit).( )■ 1 − R2nr ≥ 0 car 0 ≤ R2nr ≤ 1■ Donc, notre statistique est encore toujours plus grande ou égale à zéro.■ En pratique, il importe d’utiliser l’expression la plus simple a calculer, soitl’une des deux suivanteŝf = (SCR r − SCR nr ) (n − k − 1)SCR nr q= R2 nr − R 2 r(1 − R 2 nr)(n − k − 1)qECN-14758 Introduction à l’économétrie Inférence - p. 36/39

■ Quelques points importants à propos du test de Fisher1. Le rejet de H 0 n’indique pas la ou les variables qui sont responsables durejet2. Comme lorsque nous testons plusieurs combinaisons de paramètres, il enrésulte que l’hypothèse alternative du test est unilatéral.3. Il est possible que plusieurs paramètres soient significatifs dans un testjoint et que, individuellement, chaque paramètre ne soit pas significatifavec un test t (retourner voir l’exemple des joueurs de baseball). Souventdue à la forte collinéarité entre les variables.4. L’inverse est possible: individuellement, certains paramètres sontsignificatifs, mais que des paramètres ne sont pas significatifsconjointement.5. Dans le cas avec une seule exclusion (q = 1), il est possible de montrer (etde vérifier en STATA) que ̂f est égal au carré de la statistique ̂t du test del’hypothèse nulle que le β j pertinent est égal à zéro.6. Dans le cas avec une seule exclusion (q = 1), la simplicité du calcul de lastatistique t, ainsi que la possiblité de faire un test unilatéral ou bilatéral,favorise l’utilisation de cette statistique.ECN-14758 Introduction à l’économétrie Inférence - p. 39/39