Comparaisons multidimensionnelles de bien-être et de pauvreté ...

YÉLÉ MAWEKI BATANAComparaisons multidimensionnelles de bien-être et depauvreté : méthodes, inférence et applicationsThèse présentéeà la Faculté des études supérieures de l’Université Lavaldans le cadre du programme de doctorat Économiquepour l’obtention du grade de Philosophiae Doctor (Ph.D)FACULTÉ DES SCIENCES SOCIALESUNIVERSITÉ LAVALQUÉBECMai 2008c○Yélé Maweki Batana, 2008

RésuméL’objectif de cette thèse est de proposer une démarche statistique adéquate pour réaliserdes comparaisons robustes en bien-être lorsqu’on traite de distributions multivariées. Aprèsune revue critique des inférences statistiques basées sur des hypothèses composites, la formulationde type intersection-union a été retenue pour établir des comparaisons robustes etunivoques en termes de dominance stricte. Davidson et Duclos (2006) proposent dans cesens, une méthode basée sur le ratio de vraisemblance empirique pour tester la dominancestochastique dans le contexte de distributions univariées. Cette méthode est étendue ici auxdistributions multivariées, ce qui, dans le cadre de l’analyse de la pauvreté et du bien-être,concorde avec l’évolution récente de la littérature qui favorise l’usage de plusieurs dimensionspour étudier la répartition du bien-être.Un premier exercice consiste à analyser les performances d’une démarche proposée dansle contexte bidimensionnel. La démarche, basée sur la maximisation d’une fonction de vraisemblanceempirique, teste l’hypothèse nulle de non dominance contre l’alternative de dominance.La statistique de test est pivotale, ce qui permet de réaliser des simulations de MonteCarlo pour étudier le niveau et la puissance des tests asymptotiques et de bootstrap.Une fois les performances du test jugées acceptables, des applications sont réalisées pouranalyser les relations de dominance stochastique en pauvreté entre quelques pays africains.Pour définir les distributions, les deux dimensions considérées sont le statut nutritionnel etun indice de richesse estimé par les méthodes d’analyse factorielle à partir de données EDS(Enquêtes démographie et santé).

RésuméiiiUn troisième volet consiste à considérer le cas où l’une des deux dimensions de la distributionest une variable discrète. L’on teste alors des relations de dominance stochastiqueséquentielle en bien-être et en pauvreté, en utilisant une démarche statistique analogue à celledu chapitre précédent.Enfin, un dernier exercice analyse le phénomène de la mobilité qui constitue un aspectdynamique de la distribution de bien-être. Des conditions de dominance stochastique en mobilitéau premier et au second ordre sont dérivées et des tests sont à nouveau réalisés sousl’hypothèse nulle de non dominance contre l’alternative de dominance. L’application est faiteà partir des données américaines du PSID (Panel Studies of Income Dynamics).

AbstractThe main objective of this thesis is to purpose a suitable statistical method for comparingwelfare when we deal with multivariate distributions. After a critical literature review onstatistical inference based composite hypotheses, the intersection-union (IU) type of formulationhas been retained for making unambiguous robust comparisons in the sense of strictstochastic dominance. Davidson and Duclos (2006) suggest in this way, a method using theempirical likelihood ratio for testing the stochastic dominance in the univariate distributionscontext. This method is extended by this thesis to the multivariate distribution, which is inphase with the recent literature on poverty and welfare analysis that advocates the use ofseveral dimensions to measure the welfare.The first chapter consists in analyzing the performances of the suggested method in bidimensionalcontext. This method, based on the maximization of an empirical likelihoodfunction, tests for the null hypothesis of non dominance against the alternative of dominance.The test statistic is pivotal, which enable to perform Monte Carlo simulations for analyzingthe size and the power of asymptotic and bootstrap tests.Once the test performances judged satisfactory, illustrations are made to study the stochasticdominance relations in poverty between some African countries. Two dimensions areconsidered for drawing the bivariate distributions : The nutritional status and an asset indexderived from factor analysis methods using DHS (Demography and Health Surveys) data.The third chapter consists in considering the case where one of the two dimensions is adiscrete variable. We then test for the sequential stochastic dominance relations in welfare

Abstractvand poverty, by using a statistical process similar to the one of the previous chapter.Finally, a last chapter analyzes the mobility concept which is the dynamic aspect of thewelfare distribution. The first and second-order conditions of stochastic dominance in mobilityare derived and several tests are performed under the null hypothesis of non dominanceagainst the alternative of dominance. Some illustrations are done using the USA PSID (PanelStudies of Income Dynamics) data.

Avant-proposJe tiens avant tout à remercier mon directeur de thèse Jean-Yves Duclos pour avoir acceptéde me diriger. Sa disponibilité, sa rigueur scientifique et ses encouragements m’ont disposé àréaliser cette thèse dans de bonnes conditions.Je remercie également mon co-directeur John Cockburn pour son implication et ses suggestionsqui ont permis d’améliorer le travail.Mes études ont été rendues possibles grâce au soutien financier de l’ACDI (Agence Canadiennede Développement International) dans le cadre du Programme Canadien de Bourse dela Francophonie (PCBF). Qu’elle trouve ici l’expression de mes remerciements. Mes remerciementsvont également au PEP (Politiques Économiques et Pauvreté) et au CIRPÉE (CentreInteruniversitaire sur le Risque, les Politiques Économiques et l’Emploi) qui m’ont soutenuà divers moments de ma rédaction, rendant possible ma participation à plusieurs conférencesau Canada et à l’étranger.Je remercie les enseignants du département pour la qualité de l’enseignement reçu, ce quinous a adéquatement préparé à la rédaction de cette thèse.Je remercie également tous les collègues du département et particulièrement Guy Muhindoavec qui j’ai eu plusieurs discussions fructueuses dans le cadre de mon travail.Je remercie enfin toute ma famille pour le soutien et les encouragements qu’elle m’atémoignés.

Je dédie cette thèse à la mémoire de mon père Mathieu etde mon frère David.

Table des matièresRésuméAbstractAvant-proposTable des matièresListe des tableauxTable des figuresiiivviviiixiixiv1 Introduction 12 Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 42.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Les mesures de la pauvreté multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.1 Les approches non-axiomatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Les approches axiomatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Inférences statistiques et dominance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . 202.3.1 Les tests d’union-intersection et alternatives . . . . . . . . . . . . . . 202.3.2 Les tests d’intersection-union et alternatives . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Bibliographie 343 Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 42

Table des matièresix3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 La dominance stochastique multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.1 La dominance de premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2 La dominance stochastique d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . 473.3 Les méthodes d’estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.1 Le ratio de vraisemblance empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2 Les procédures de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4 Simulations de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.1 Méthodes de génération des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.2 Résultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Bibliographie 634 Dominance en pauvreté multidimensionnelle 684.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2 Estimation des indicateurs de pauvreté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.1 Le calcul de l’indicateur nutritionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.2 L’estimation de l’indicateur de la richesse . . . . . . . . . . . . . . . 714.3 Analyse de la dominance stochastique bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . 744.3.1 La dominance de premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.2 La dominance stochastique d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . 774.3.3 Inférence statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4 Analyse empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4.1 Les données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4.2 Résultats des tests de dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.6 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.6.1 Annexe : La méthode NBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.6.2 Annexe : Inférence sur la dominance d’ordres supérieurs . . . . . . . 89

Table des matièresx4.6.3 Annexe : Les principaux tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Bibliographie 945 Inférence statistique en dominance stochastique 975.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2 Dominance stochastique en bien-être . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.3 Dominance stochastique en pauvreté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4 Méthode d’inférence statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.5 Résultats empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.7 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.7.1 Annexe : Preuve de la proposition 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.7.2 Annexe : Preuve de la proposition 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.7.3 Annexe : Principaux tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Bibliographie 1246 Tests de dominance stochastique en mobilité 1266.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2 Mesures de mobilité et dominance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.2.1 Les mesures de mobilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.2.2 Les mesures basées sur les matrices de transition . . . . . . . . . . . 1346.3 Les méthodes d’inférence statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.3.1 L’inférence sur les mesures de mobilité absolue . . . . . . . . . . . . 1416.3.2 L’inférence sur les matrices de transition . . . . . . . . . . . . . . . 1456.4 Résultats empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.4.1 La mobilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.4.2 Les matrices de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.6 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Table des matièresxi6.6.1 Annexe : Mobilité d’échange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.6.2 Annexe : Mobilité avec croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Bibliographie 1587 Conclusion 162

Liste des tableaux3.1 Probabilités de rejet des tests asymptotiques en l’absence de corrélation . . . 613.2 Probabilités de rejet des tests asymptotiques en présence de corrélation . . . . 613.3 Puissances des tests asymptotiques en l’absence de corrélation . . . . . . . . 623.4 Puissances des tests asymptotiques en présence de corrélation . . . . . . . . . 623.5 Probabilités de rejet des tests de bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.6 Puissances des tests de bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1 Principales caractéristiques des enquêtes EDS . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2 Statistiques descriptives de l’indice de richesse (X) . . . . . . . . . . . . . . 914.3 Statistiques descriptives de l’indicateur nutritionnel (Z_score) . . . . . . . . 914.4 Analyse de sensibilité de l’indice de richesse X à travers des quartiles . . . . 914.5 Corrélation entre les indices de richesse des deux approches . . . . . . . . . 924.6 Tests de dominance stochastique de premier ordre, pays F versus pays G . . 924.7 Tests de dominance stochastique de premier ordre, zone rurale versus zoneurbaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.8 Tests de dominance stochastique d’ordres supérieurs, pays F versus pays G . 935.1 Tests de dominance restreinte de premier ordre, avec taille du ménage commeindicateur discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2 Surface de dominance de second ordre présentant les statistiques LR, Malivs Côte d’Ivoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.3 Surface de dominance de second ordre présentant les statistiques LR, Togovs Mali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Liste des tableauxxiii5.4 Tests de dominance de premier ordre, avec lieu de résidence comme indicateurdiscret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.5 Tests de dominance restreinte de second ordre avec, lieu de résidence commeindicateur discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.6 Tests de dominance de premier ordre, avec le niveau d’éducation comme indicateurdiscret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.1 Résultats des tests statistiques sur les courbes de Lorenz généralisé . . . . . . 1506.2 Résultats des tests statistiques sur les courbes de l’approche Mitra et Ok . . . 1516.3 Résultats de la dominance de premier ordre dans le cas de croissance . . . . . 1526.4 Résultats de la dominance non restreinte de second ordre pour les deux cas . . 1536.5 Résultats de la dominance restreinte (aux 4 premières classes) de secondordre pour les deux cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Table des figures2.1 Définitions d’union, d’intersection et intermédiaire du seuil de pauvreté . . . 133.1 Probabilités de rejet des tests asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 Probabilités de rejet des tests asymptotiques et de bootstrap . . . . . . . . . . 573.3 Probabilités de rejet comparées des cas de non-corrélation et de corrélation . 573.4 Courbes de puissances des tests asymptotiques et de bootstrap . . . . . . . . 583.5 Courbes de puissances comparées des cas de non-corrélation et de corrélation 593.6 Configuration alternative,lorsque les distributions se touchent en deux points . 604.1 Définitions d’union, d’intersection et intermédiaire du seuil de pauvreté . . . 764.2 Diagramme de dominance entre les pays de L’UEMOA . . . . . . . . . . . . 844.3 Diagrammes de dominance selon la localisation . . . . . . . . . . . . . . . . 855.1 Diagramme de dominance séquentielle entre les pays de L’UEMOA, avec lataille du ménage comme indicateur discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2 Diagramme de dominance séquentielle entre les pays de L’UEMOA, avec lelieu de résidence comme indicateur discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Diagramme de dominance séquentielle entre les pays de L’UEMOA, avec leniveau d’éducation comme indicateur discret . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.1 Différences entre les courbes de Lorenz généralisé . . . . . . . . . . . . . . . 1496.2 Différence entre les courbes de l’approche Mitra et Ok . . . . . . . . . . . . 150

Chapitre 1IntroductionCette thèse vise à comparer de manière statistiquement et normativement robuste le bienêtre,conçu comme un phénomène multidimensionnel. Elle s’appuie au départ sur un test deratio de vraisemblance empirique proposé par Davidson et Duclos (2006) pour comparer deuxdistributions univariées en terme de dominance stochastique. La démarche poursuivie ici estd’étendre cette méthode aux distributions multivariées et de l’appliquer à certains aspectsdu bien-être comme la pauvreté et la mobilité. La thèse se compose essentiellement de cinqchapitres.Le chapitre 2 fait une revue de littérature sur les principales mesures de la pauvreté multidimensionnelleet sur les différents tests statistiques utiles pour réaliser des comparaisonsrobustes entre distributions. On distingue tout d’abord deux tendances dans les mesures dela pauvreté multidimensionnelle, à savoir les approches non-axiomatiques et les approchesaxiomatiques. Les premières englobent entre autres les méthodes des ensembles flous, de lafonction de distance, de la théorie de l’information et de l’inertie. Les secondes sont plutôtune extension à deux dimensions ou plus de certaines classes d’indices de pauvreté proposéesdans le cadre unidimensionnel (Watts, 1968 ; Foster, Greer et Thorbecke, 1984 ; Foster etShorrocks, 1991). On présente ensuite des méthodes de dominance permettant de procéder àdes comparaisons normativement robustes de pauvreté multidimensionnelle. Une fois la mesureet les distributions déterminées, des comparaisons en terme de dominance stochastique

Chapitre 1. Introduction 2nécessitent la formulation d’hypothèses composites. On distingue alors essentiellement lesformulations de type union-intersection (UI) et celle du type intersection-union (IU). L’analysede la pertinence des démarches généralement utilisées nous amènent à adopter l’approched’intersection-union proposée par Davidson et Duclos (2006).Le chapitre 3 évalue les performances d’une telle approche telle qu’étendue au cas bidimensionnel.La statistique de test, basée sur le ratio de vraisemblance empirique, permet detester l’hypothèse nulle de non dominance entre deux distributions bivariées contre l’alternativede dominance. Cette formulation permet de conclure sans equivoque à l’existence de ladominance lorsque l’hypothèse nulle est rejetée. La procédure de test fournit des probabilitésqui rendent possible le tirage d’échantillons de bootstrap selon un processus de génération dedonnées qui satisfait l’hypothèse nulle de non dominance. La statistique de test est pivotale,ce qui permet de réaliser des simulations de Monte Carlo pour étudier les performances destests asymptotiques et de bootstrap. Les résultats suggèrent la pertinence d’une telle démarchemême si la convergence est plus lente que dans le cas univarié à cause de la malédiction de ladimensionnalité. Les tests de bootstrap sur les statistiques pivotales produisent des résultatsplus solides que les tests asymptotiques usuels.Le chapitre 4 est une extension empirique du chapitre précédent à quelques pays africains.Il analyse les relations de dominance de la pauvreté multidimensionnelle entre six pays del’UEMOA. Deux dimensions sont considérées à savoir le statut nutritionnel et l’indice derichesse. L’indice de richesse est déterminé selon deux méthodes d’analyse factorielle à partird’une série de variables qualitatives issues des enquêtes DHS (Demography and HealthSurveys). La première méthode s’appuie sur l’analyse des correspondances multiples (ACM)alors que la seconde se base sur la maximisation d’une fonction de vraisemblance et l’analysebayesienne. Les tests de bootstrap suggérés par les méthodes de maximisation de la vraisemblanceempirique permettent d’identifier l’existence de dominance entre plusieurs pays del’union, soit 12 relations sur les 15 possibles. Par ailleurs, la pauvreté apparaît plus importanteen milieu rural qu’urbain. Les résultats tendent à confirmer certaines relations établiesdans le cadre univarié.

Chapitre 1. Introduction 3Le chapitre 5 considère deux dimensions, comme dans le chapitre précédent, mais à ladifférence qu’une dimension est discrète. Le problème est alors reconsidéré en terme de dominancestochastique séquentielle multidimensionnelle. L’on formule les conditions de dominanceen bien-être et en pauvreté où la dimension continue est représentée par l’indice derichesse calculé par les méthodes d’analyse factorielle sur les données DHS. Pour la dimensiondiscrète, trois indicateurs sont successivement considérés à savoir la taille du ménage,le lieu de résidence et le niveau d’éducation. Les tests de bootstrap révèlent l’existence dequelques relations de dominance séquentielles en bien-être.Le chapitre 6, quant à lui, aborde plutôt un aspect dynamique de la distribution de bienêtre.Il s’agit notamment du concept de mobilité des revenus. Ce chapitre propose une applicationdes tests de dominance stochastique à la mobilité. On constitue quatre périodes demobilité (1970-75, 1975-80, 1980-85, 1985-90) construites à partir des données PSID (PanelStudies of Income Dynamics) des USA. Deux types de mesures généralement utiliséesdans la littérature de la mobilité sont considérés, notamment les mesures de mobilité absolueet celles utilisant les matrices de transition. Après avoir dérivé les conditions de dominancestochastique en mobilité au premier et au second ordres, des tests statistiques sont réaliséssous l’hypothèse nulle de non dominance contre l’alternative de dominance. Les analysesmontrent l’existence de quelques relations de dominance, mais seulement peu d’entre ellesse sont avérées significatives.

Chapitre 2Mesures de la pauvretémultidimensionnelle et inférencesstatistiques2.1 IntroductionComparer le bien-être et la pauvreté peut se révéler utile pour analyser les politiques dedéveloppement, notamment celles qui visent à alléger la pauvreté. Il peut également permettred’établir des priorités de développement, dépendamment des différences observéesentre pays et entre régions. Ces préoccupations sont en phase avec les principaux Objectifsdu Millénaire pour le développement (OMD) qui sont entre autres de réduire l’extrêmepauvreté, de rendre l’éducation primaire universelle, d’améliorer la santé (réduction de lamortalité infantile, amélioration de la santé maternelle, lutte contre le VIH/sida, le paludismeet les autres maladies), etc.Pour comparer la pauvreté, il faut au préalable en déterminer la mesure. Deux tendancessont généralement distinguées dans la littérature relative aux mesures de pauvreté : celle baséesur l’aspect financier ou monétaire (Ravallion et Chen, 1997) et celle qui met l’accentsur une définition beaucoup plus large que la simple considération monétaire (Drèze et Sen,1989 ; Sen, 1979 ; 1985 ; 1987). La première approche consiste à utiliser le revenu (dépenses)

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 5comme mesure de pauvreté à l’aide des fonctions de bien-être utilitaristes. Cette approche essentiellementaxiomatique qui, au départ, était unidimensionnelle peut être facilement adaptéeà un cadre de pauvreté multidimensionnelle. La seconde approche qui est basée sur lesbesoins fondamentaux et les facultés de Sen (1985, 1992) caractérise le bien-être comme unphénomène multidimensionnel. Sen (1992 ; 1995), dans cette optique, suggère de mesurer lebien-être directement en observant les facultés des individus et ménages, c’est-à-dire leurscapacités de se définir une vie plus ou moins décente. Les choix des attributs à inclure dansl’évaluation et de leurs poids respectifs sont généralement dérivés de façon non-axiomatiqueet sont essentiellement basés sur le jugement de leur nature, de leur mérite relatif et de leurimportance (Klasen, 2000). Les approches de mesure particulière de la pauvreté multidimensionnellepeuvent alors être résumées en deux : les approches non-axiomatiques et lesapproches axiomatiques. La section suivante fait une revue de ces principales mesures.La littérature suggère aussi d’effectuer des tests de comparaisons robustes de la pauvreté.Plutôt que d’effectuer des tests ponctuels de la moyenne ou d’autres statistiques descriptivesde la distribution du revenu, les comparaisons se font alors en termes de dominance stochastiqueet sont basées sur des hypothèses composites. En pareille circonstance, et dépendammentde la façon de formuler ces hypothèses, les tests usuels aussi bien paramétriques quenon paramétriques peuvent être appliqués alternativement avec des tests d’union-intersection(UI) ou des tests d’intersection-union (IU). La section 3 propose une revue de littérature surces tests et leurs variantes.La dernière section conclut ce chapitre en proposant une méthode d’inférence ainsi qu’uneapproche de mesure de la pauvreté pertinentes pour réaliser des comparaisons robustes etsatisfaisantes de bien-être.

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 62.2 Les mesures de la pauvreté multidimensionnelle2.2.1 Les approches non-axiomatiquesOn y distingue aussi bien les mesures basées sur les indicateurs agrégés de bien-être quecelles qui sont axées sur les données individuelles. Dans ce qui suit, on se focalise essentiellementsur la seconde catégorie 1 . On retrouve notamment les mesures s’inspirant des méthodesdes ensembles flous, celles exploitant la fonction de distance, celles faisant recours à la théoriede l’information et un ensemble d’autres mesures basées sur l’approche d’inertie.Les méthodes des ensembles flousCette théorie remonte à Zadeh (1965) qui caractérise la classe des ensembles flous comme“une classe avec un continuum de grades des membres” 2 . En supposant un ensemble X, etsoient x les éléments de cet ensemble, un sous-ensemble flou A de X est alors défini commeun ensemble de couples A = {x, M A (x)} ∀ x ∈ X où M A est une application de X dansl’intervalle [0, 1] appelée fonction de membre du sous-ensemble flou A. Elle représente end’autres termes, le degré d’appartenance de l’élément x à A. Ainsi, si A est un sous-ensembleflou, alors on a : M A (x) = 0 si x n’est pas élément de A, M A (x) = 1 si x appartientcomplètement à A et 0 < M A (x) < 1 si x appartient partiellement à APlus M A se rapproche de 1 et plus le degré d’appartenance est plus grand. Cerioli et Zani(1990) ont adopté ce concept pour mesurer la pauvreté à travers leur approche des ensemblesflous totaux. Ils prennent en compte un certain nombre de variables supposées mesurer unaspect particulier de la pauvreté et définissent la fonction d’appartenance en distinguant troiscas à savoir : le cas de variables dichotomiques, le cas de variables polytomiques et celui devariables continues. Si le premier cas, qui concerne la possession ou non d’un bien durable, seréduit à une fonction d’appartenance classique, les deux autres cas permettent de dériver des1 Voir Bibi (2005) pour une revue des mesures basées sur les indicateurs agrégés.2 Voir d’Ambrosio, Deutsch et Silber (2004) et Deutsch et Silber (2005) pour une revue détaillée.

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 7relations d’appartenance à des classes de pauvres correspondant aux sous-ensembles flous.Plusieurs autres études ont utilisé la même approche pour analyser les questions de bien-êtreet de pauvreté (Cheli et Lemmi, 1995 ; Chiappero, 2000 ; Maggio, 2004 ; Szeles, 2004 ; Betti,Cheli, Lemmi et Pannuzi, 2005).L’approche de la fonction de distanceCette approche s’inspire de la littérature sur la théorie de la production notamment surl’analyse de l’efficacité. Lovell, Richardson, Travers et Wood (1994) l’adoptent pour mesurerle bien-être tandis que Deutsch et Silber (2005) l’utilisent dans le cadre de l’analyse de lapauvreté multidimensionnelle. Anderson, Crawford et Liecester (2005) définissent ce conceptcomme une approche qui cherche, en considérant une mesure de la distance entre un vecteurde biens (ressourses et facultés) d’un individu et un vecteur de référence, à mesurer de quelmontant ajuster l’ensemble des attributs de cet individu pour réaliser le niveau de bien-êtrede référence. Analytiquement, la fonction de distance est exprimée comme suit :(x i , W ) ≡ mind{d : W (dx i ) = W ∗ , d > 0} , (2.1)où x i est un vecteur de caractéristiques de l’état de l’individu i, W la fonction de poids(bien-être) choisie, W ∗ la fonction de poids du niveau de référence tandis que d représentela mesure de la distance qui devrait correspondre au montant de l’ajustement minimal à effectuerpour ramener l’état de l’individu au niveau de référence. Pour analyser le problème,Lovell et al (1994) et Deutsch et Silber (2005) utilisent comme mesure de bien-être une fonctiontranslog qui agrège l’ensemble des caractéristiques de bien-être de chaque agent et ennormalisant par rapport à l’une d’elles. Anderson et al (2005) proposent une formulation généralequi ne nécessite pas le choix d’une fonction d’agrégation en particulier. Leur approches’appuie sur certaines propriétés générales de la fonction W telles que la monotonicité et laquasi-concavité pour dériver la borne inférieure de la mesure de distance du bien-être relatif

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 8comme suit :D (x i ) ≡ mind{d : W (dx i ) = W ∗ , d > 0, ∀ W monotone et quasi-concave} (2.2)Avec les propriétés de W , les ensembles des niveaux de bien-être sont convexes par rapportà l’origine. Il est alors possible de dériver un ensemble convexe dont la limite inférieurequi est une courbe convexe inf (X) correspond au niveau de bien-être de l’individu de référence.Dans le cas où l’on analyse le problème de pauvreté, cette courbe peut-être interprétéecomme la frontière ”rawlsienne” puisqu’elle représente alors la frontière des individus lesplus pauvres de la population.La théorie de l’information : les mesures d’entropieCette théorie, originellement développée dans le domaine des sciences de la communication,a été adaptée par Theil (1967) à l’économie. Maasoumi (1993) et Deutsch et Silber(2005) en exposent les principes de base. Soit P i = prob (x = x i ), i = 1, ..., n la probabilitéque le résultat d’une expérience soit x i avec 0 ≤ P i ≤ 1. On suppose alors une fonctiong (P i ) qui capte l’information générée par l’expérience comme une fonction de probabilité.Lorsque la probabilité a priori d’un évènement est élevée, on s’attend moins à une modificationdes attentes par les résultats de l’expérience. Par exemple, si P k = 1 pour un k donné etP i = 0 pour les autres i ≠ k, alors la réalisation d’un évènement x k ne contient aucune information.Ainsi, on pose que g (.) est une fonction décroissante avec g (1) = 0 et g(0) → ∞.L’information anticipée d’une expérience est finalement définie par :H (P ) =n∑P i g (P i ) ≥ 0, P = (P 1 , ..., P n ) (2.3)i=1Maasoumi (1993) définit l’entropie comme la mesure de l’incertitude ou de la volatilité

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 9associée à une variable aléatoire. Lorsque g (P i ) = − log P i , H (P ) est connu comme étantl’entropie de Shannon. Dans ce cas, pour un évènement sûr, par exemple P = (0, 1, 0, ..., 0),on a H (P ) = 0 alors que H (P ) = max H (P ) = log n pour des évènements équiprobablesoù on a P i= 1 ∀i. On a alors : 0 ≤ H (P ) ≤ log n. On définit alors des mesures pourncapter les divergences entre distributions. Soit une distribution a priori P = (P 1 , ..., P n ) eten supposant que l’on reçoit une information de nature à modifier cette distribution en unenouvelle distribution a posteriori Q = (Q 1 , ..., Q n ), la mesure de divergences D (Q, P ) entreles deux distributions est donnée par :D (Q, P ) =n∑i=1Q i log Q iP i(2.4)Maasoumi (1986) propose une classe alternative de mesures basée sur la famille de l’entropiegénéralisée :GE γ (Q, P ) =1γ (γ + 1)n∑[( ) γ ]QiQ i − 1 , avec γ ≠ 0, −1 (2.5)P ii=1L’adaptation d’une telle théorie aux mesures de pauvreté multidimentionnelle repose surla procédure suivante : supposons qu’on dispose de n individus indicés par i, avec i = 1, ..., net de m attributs de bien-être indicés par j, avec j = 1, ..., m, x ij représente alors la valeurd’un attribut j pour l’individu i. La première étape consiste à agréger le vecteur d’attributs(x i1 , ..., x im ) de l’individu i en une valeur unique x ic . L’idée suggerée par Maasoumi (1986)et Maasoumi et Nickelsburg (1988) est de trouver un vecteur x c = (x 1c , ..., x nc ) qui réflète leplus possible le niveau de bien-être procuré à chaque indidivu par l’ensemble de ses attributs.Il s’agit dans ce cas de minimiser la fonction d’entropie généralisée suivante :GE γ (x c , X; α) ={1m∑ n∑ [( ) γ ] }xicj x ic − 1 , avec γ ≠ 0, −1 (2.6)γ (γ + 1)j=1αxi=1ij

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 10α j représente le poids de l’attribut j. La solution du cas général (γ ≠ 0, −1) de cetteminimisation est donnée par :[ m] −1γ∑x ic ∝ δ j (x ij ) −γj=1avec δ j =α jm∑(2.7)α jj=1L’étape suivante consiste à identifier les critères de définition de la pauvreté. Pour Asselin(2002), cette démarche souffre un problème d’indétermination lié à la nature paramétriquedes mesures proposées. De plus, il existe le problème de détermination des poids des attributsdans un sens moins arbitraire. Les méthodes d’inertie apportent une piste de solutions à cetteseconde préoccupation.Les méthodes d’inertieLe but ici est d’éliminer le plus possible l’arbitraire dans le calcul d’un indicateur compositede la pauvreté multidimensionnelle 3 . Cette approche est basée sur les techniques d’analysesmultivariées (analyses factorielles) qui sont entre autres l’Analyse en Composante Principal(ACP), l’Analyse Canonique Généralisée (ACG) et l’Analyse de Correspondances Multiples(ACM) qui est un cas particulier de l’ACG (Meulman, 1992). En considérant N individusindicés par i = 1, ..., N, et J attributs pour chacun d’eux, avec chaque attributj = 1, ..., J, il s’agit de représenter par un nuage de points autour d’un centroïde (moyennespondérées) les N individus dans l’espace des J attributs avec un poids associé à chaque point.L’inertie totale du nuage de points, dépendamment de la métrique choisie, est la somme pondéréedes distances de chaque point par rapport au centroïde.L’ACP utilise la métrique euclidienne pour calculer les distances entre unités et centroïde.Elle est appropriée lorsque les attributs sont des variables quantitatives.3 Pour une revue détaillée, voir Asselin (2002).

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 11L’ACG quant à elle considère le cas où l’on distingue au moins deux ensembles d’attributs(variables). Cette démarche utilise la métrique de Mahalanobis pour le processus d’optimisationde l’inertie. L’ACM est un cas particulier de l’ACG qui est appliqué lorsque les variablessont qualitatives et prennent les valeurs binaires 0 ou 1.Klasen (2000) considère une mesure assez large de privation comme étant un indicateurcomposite de 14 attributs directement reliés aux capacités spécifiques. Pour dériver les poidsde chaque composante de l’indicateur, il utilise deux procédures, dont l’une consiste à calculerl’indicateur de privation comme une moyenne simple des scores de toutes les composantesindividuelles tandis que l’autre est basée sur l’ACP. Contrairement à Klasen, Sahn et Stifel(2000 et 2003) utilisent une analyse factorielle.Les méthodes d’inertie non seulement constituent une approche non paramétrique plusréaliste que le choix d’une forme fonctionnelle donnée, mais elles permettent aussi de réduirel’arbitraire inhérent aux méthodes d’entropie notamment dans la détermination des poids(Asselin, 2002).Cependant, la plupart des démarches passées en revue consistent à résumer plusieurs aspectsdu bien-être en un indicateur unique, ce qui réduit l’analyse statistique au cadre traditionnelunidimensionnel. Pour Bourguignon et Chakravarty (2002), les choix d’une mesureparticulière, de même que les conclusions subséquentes, comportent un degré d’arbitraireque l’on peut réduire en choisissant des mesures de pauvreté basées sur un certain nombre depostulats raisonnables.2.2.2 Les approches axiomatiquesL’idée ici est d’adapter certaines classes d’indices de pauvreté proposées dans le cadrede la pauvreté unidimensionnelle (Watts, 1968 ; Foster, Greer et Thorbecke, 1984 ; Foster etShorrocks, 1991) à un contexte de pauvreté multidimentionnelle. Pour ce faire, il est importantd’identifier les pauvres.

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 12L’identification des pauvresDans l’analyse de la pauvreté unidimensionnelle où le bien-être est représenté par le revenu,la préoccupation essentielle dans la définition des pauvres est de savoir quel seuil depauvreté retenir. Il existe deux principaux types de seuil à savoir : le seuil absolu et le seuilrelatif. Le seuil absolu est défini indépendamment du niveau général de bien-être de la sociététandis que le seuil relatif est déterminé par rapport à ce niveau notamment par le choix d’unecertaine proportion de la moyenne ou de la médiane. Cependant, jusqu’ici, toutes les analysesmultidimensionnelles de la pauvreté ont privilégié la définition absolue du seuil dans la mesureoù la définition relative s’avère ambiguë dans certaines dimensions. Toutefois, l’analysemultidimensionnelle introduit une autre considération dans la définition des seuils de pauvreté(Atkinson, 2003 ; Bouguignon et Chakravarty, 2003 ; Duclos, Sahn et Younger, 2006) :la distinction à faire entre l’approche de l’union et celle de l’intersection dans l’identificationdes pauvres.Soit une population de taille N, chaque individu i de la population possède un vecteur x ide J attributs, avec x i ɛ R+, J où R+ J est l’orthant non négatif de l’espace euclidien R J . SoitX une matrice N × J, où chaque élément x ij de la matrice donne la quantité d’attribut j quepossède l’individu i. Soit z j ɛ Z le seuil de pauvreté pour chaque attribut j, avec le vecteurZ ɛ R++ J l’orthant positif de l’espace euclidien R J . Le point fondamental est que l’approchemultidimensionnelle définit la pauvreté comme une insuffisance par rapport au seuil pourchaque attribut. L’approche d’intersection considère un individu i comme étant pauvre s’ill’est au niveau de tous les attributs, c’est-à-dire si x ij < z j pour tout j.En considérant le cas de deux attributs, x 1 et x 2 , cette situation est représentée par lerectangle 0Z 2 AZ 1 du graphique 1. Le seuil de pauvreté est alors donné par λ 1 (x 1 , x 2 ). Sil’on considère la distribution cumulative F (x 1 , x 2 ) définie pour des valeurs non négativesde x 1 et x 2 , F (x 1 ) et F (x 2 ) étant leurs distributions marginales respectives, le rectangle0Z 2 AZ 1 donne alors la proportion F (z 1 , z 2 ) de ceux qui sont pauvres dans les deux attributs.Bourguignon et Chakravarty (2003) trouvent cette définition trop restrictive dans la mesure

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 13où, même si elle permet d’identifier les individus les plus nécessiteux, elle ne permet pasd’appréhender tous les pauvres. Il serait ainsi erroné de considérer un vieux mendiant commeétant riche si les deux attributs sont la durée de vie et le revenu.L’autre approche extrême est celle de l’union qui considère un individu comme étantpauvre s’il l’est pour au moins un des attributs, auquel cas l’on a x ij < z j pour au moinsun j. Le seuil de pauvreté dans ce cas correspond à λ 2 (x 1 , x 2 ). En additionnant les proportionsde pauvres selon chaque attribut x 1 et x 2 , respectivement F (z 1 ) et F (z 2 ), on faitune double comptabilisation de ceux qui sont pauvres simultanément dans les deux attributs.C’est pourquoi la proportion des pauvres selon l’approche de l’union est donnée parF (z 1 ) + F (z 2 ) − F (z 1 , z 2 ).Duclos et al (2006) proposent une approche intermédiaire où le seuil de pauvreté estdéfini par une frontière de pauvreté telle qu’illustrée par λ 3 (x 1 , x 2 ) sur le graphique 2.1. Cetteapproche qui suggère une combinaison entre les deux attributs est basée sur l’idée qu’ils sontsubstituables dans une certaine mesure.FIG. 2.1 – Définitions d’union, d’intersection et intermédiaire du seuil de pauvretéx 2x ,xZ 11 2x 1,x 2Z 2Ax 1,x 20x 1

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 14Les indices de la pauvreté multidimensionnelle et leurs principesPlusieurs indices de la pauvreté multidimensionnelle ont été suggérés par la littérature récente(Tsui, 2002 ; Bourguignon et Chakravarty, 2002 et 2003 ; Chakravarty, Deutsch et Silber,2005). Ces indices sont dérivés à partir de différentes combinaisons d’un certain nombred’axiomes. Depuis les travaux de Sen (1976) qui introduit les axiomes de monotonicité etde transfert, plusieurs autres axiomes ont été proposés et sont généralement acceptés par lalittérature (voir entre autres Foster et al, 1984 ; Donaldson et Weymark, 1986 ; Foster et Shorrocks,1991 ; Bourguignon et Fields, 1997).Les différents axiomes sont les suivants :Axiome 1 La concentration : L’indice de pauvreté demeure inchangé lorsqu’un attribut jaugmente pour un individu i, les autres attributs de la matrice étant constants, si initialementla situation était caractérisée par x ij ≥ z j 4 .Axiome 2 La monotonicité : Pour x ij < z j , une augmentation de x ij n’accroît pas l’indicede pauvreté si les autres attributs restent inchangés.Axiome 3 Le principe de population 5 : Si la matrice des attributs X est reproduite plusieursfois alors l’indice de pauvreté ne change pas et l’on aura alors P (X; z) = P (X r ; z), où X rest la matrice X reproduite r fois.Axiome 4 La symétrie ou l’anonymat : Pour tout X ∈ M, toute permutation des individus dela matrice n’aura aucun impact sur l’indice de pauvreté, autrement dit P (X; z) = P (ρX; z),où ρ représente une quelconque matrice de permutation d’ordre N.4 Bourguignon et Chakravarty (2003) distinguent pour cet axiome une version forte et une version faible.Toutefois cette distinction ne change pas les développements à venir.5 Cet axiome est équivalent à celui de l’invariance de la réplication formulé par Tsui (2002).

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 15Axiome 5 La continuité : Pour tout z ∈ Z, P (X; z) est continu sur M, ce qui signifie quel’indice de pauvreté ne doit pas être très sensible à une variation marginale de la quantitéd’un attribut.Le premier axiome dit que lorsqu’un individu est bien loti au niveau d’un attribut, luien augmenter la valeur n’influe pas sur l’intensité de la pauvreté même s’il est pauvre dansd’autres attributs. Si cette idée est parfaitement compatible avec les définitions de l’unionet de l’intersection du seuil de pauvreté, elle exclut par contre l’idée de substitualité (mêmelimitée) ou de compromis contenue dans la définition intermédiaire du seuil de pauvreté. Eneffet, si on considère ce seuil introduit par Duclos et al (2006) dans le cas bidimensionnel etillustré dans le graphique 1, il est possible qu’une augmentation d’un attribut, l’autre restantinchangé, puisse rendre non pauvre un individu suffisamment proche du seuil de pauvreté.L’axiome 1 pourrait être conciliée avec cette idée s’il circonscrivait le postulat aux individusse situant au dessus du seuil de pauvreté global plutôt qu’au niveau de chaque attribut.L’axiome 2 nous dit que l’amélioration des conditions des pauvres n’augmente pas la mesurede la pauvreté. Au contraire, elle peut la réduire. L’axiome 3 permet par la réplication parexemple de réduire deux matrices de tailles différentes à la même taille, ce qui peut s’avérerutile pour les comparaisons ordinales de pauvreté entre régions et entre périodes. L’axiome4 requiert que les mesures de pauvreté ne dépendent pas des caractéristiques non pertinentesdes individus tandis que l’axiome 5 s’assure que les imprécisions qui caractérisent les donnéessur le bien-être ne les affectent pas significativement.Pour Tsui (2002), la mesure de la pauvreté multidimensionnelle est une valeur réelled’une fonction P : M × Z −→ R qui satisfait les cinq axiomes ci-dessus cités. Il existed’autres axiomes permettant de spécifier une forme aux mesures de pauvreté.Axiome 6 La décomposabilité par sous-groupe : Pour tout z ∈ Z et X 1 , X 2 ,..., X k ∈ Met tels que X = ∪ i=ki=1X i alors P (X; z) = ∑ k N ii=1P N (Xi ; z) où N i est la taille associée àchaque sous-groupe X i avec ∑ ki=1 N i = N.

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 16Cet axiome signifie que lorsque la population est partitionnée en plusieurs sous-groupesk, alors la mesure de pauvreté globale est une moyenne pondérée des mesures de pauvretépour chaque sous-groupe. Ceci permet notamment d’étudier la pauvreté selon différents sousgroupes(ethnique, géographique, etc.) et d’analyser leur contribution à la pauvreté globale,ce qui peut offrir des perspectives intéressantes pour le ciblage de la lutte contre la pauvreté.Si l’on ajoute cet axiome aux autres, Bourguignon et Chakravarty (2002) définissent l’indicede pauvreté multidimensionnelle suivant comme satisfaisant l’ensemble de ces axiomes :P (X; z) = 1 NN∑p (x i ; z) (2.8)i=1Cette forme est conforme à la forme générale dérivée par la proposition 1 de Tsui (2002)comme nécessaire et suffisante pour que l’indice de pauvreté multidimensionnelle P (X; z)satisfasse l’axiome 6 :[]1N∑P (X; z) = H λ (x i ; z) ; zNi=1(2.9)où H est une fonction continue et strictement croissante tandis que λ : M × Z −→ R estcontinue et non croissante par rapport aux attributs.Pour faciliter les comparaisons ordinales de pauvreté entre pays pouvant utiliser des unitésde mesures différentes, l’axiome suivant est proposé :Axiome 7 L’invariance aux variations d’échelle : Pour tout X ∈ M et tout z ∈ Z, soit unematrice Ω ∈ R J + et δ = diag (Ω), alors P (X; z) = P (Xδ; zδ).Cette propriété signifie que la mesure de pauvreté est homogène de degré 0 par rapport àX et z. Il s’agit ainsi de ne pas faire dépendre l’indice des unités de mesure.

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 17A ces propriétés s’ajoutent d’autres axiomes moins faciles à adapter au cadre multidimensionnelde la pauvreté (Bourguignon et Chakravarty, 2003).Axiome 8 Le principe de transfert : Pour tout z ∈ Z, X et Y ∈ M, lorsque Y est dérivéde X par une redistribution des attributs au niveau des pauvres avec Y P = BX P , où Best une matrice de transformation (et non de permutation) bistochastique appropriée, alorsP (Y ; z) ≤ P (X; z).Cet axiome s’appuie sur le principe de Pigou-Dalton qui, dans le cadre unidimensionnelhabituel, suggère qu’une redistribution égalitaire de revenu entre les pauvres qui n’engendrepas de reclassement entre ces derniers est de nature à diminuer la pauvreté. Bourguignon etChakravarty définissent une version unidimensionnelle du principe de transfert dans un cadremultidimensionnel en considérant que la redistribution ne s’opère que sur un attribut. Cetteversion simplifiée de l’axiome 8 est appelée principe de transfert en une dimension (PTUD).La version plus générale donnée à travers l’axiome s’inspire de Kolm (1977) et correspond,lorsqu’on l’applique aux pauvres plutôt qu’à toute la population, au principe de transfertmultidimensionnel (PTM) suggéré par Tsui (2002). Dans le cas bidimensionnel (j = 2) laproposition 2 de Bourguignon et Chakravarty montre que les courbes d’isopauvreté 6 dansl’espace des attributs sont convexes par rapport à l’origine, ce qui est la conséquence de lanon croissance du taux marginal de substitution entre les attributs impliquée par l’axiome 8.Cette propriété signifie que si par exemple les deux combinaisons d’attributs (1, 3) et (3, 1)garantissaient le même niveau de pauvreté, alors le point (2, 2) qui est une combinaison linéairedes deux correspondrait à un niveau de pauvreté inférieur ou égal.En outre, lorsqu’un indice de pauvreté multidimensionnelle satisfaisant l’axiome 6 dedécomposabilité et le PTUD possède des dérivés partielles de premier ordre, alors la proposition3 de Bourguignon et Chakravarty montre qu’il est additif entre les attributs. Dans ce cas,l’indice peut être explicité comme suit :6 Il s’agit, par analogie aux courbes d’indifférence, de courbes représentant, pour chacune, le lieu des combinaisonsd’attributs garantissant un même niveau de pauvreté.

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 18P (X; z) = 1 NN∑p (x i ; z) = 1 Ni=1N∑ J∑p j (x ij ; z j ) , (2.10)i=1 j=1où p j () est la fonction de pauvreté individuelle associée à l’attribut j.D’autres axiomes tenant compte de la nature multidimensionnelle et notamment de lacorrélation entre les attributs ont été développés (Bourguignon et Chakravarty, 2002 ; Chakravarty,Deutsh et Silber, 2005).Axiome 9 Non décroissance de la pauvreté suite à une augmentation de la corrélation entreattributs : Pour tout X ∈ M et z ∈ Z, si Y ∈ M est obtenu à partir de X par le transfertd’un attribut entre deux individus pauvres à la fois dans tous les attributs, ce qui accroît lacorrélation entre attributs, alors P (X; z) ≤ P (Y ; z) si les attributs sont substituables.Cet axiome peut être illustré dans le cadre de deux attributs comme suit : en supposantdeux individus pauvres à la fois dans deux attributs 1 et 2, avec toutefois chacun d’eux qui estmieux loti que l’autre dans l’un des attributs. Si l’on transfère un attribut de l’individu le plusloti vers le moins loti, on augmente la corrélation entre les attributs puisqu’ils se retrouvent,l’un, avec une combinaison d’attributs relativement élevés et, l’autre, avec une combinaisond’attributs relativement peu élevés. Cependant, les attributs étant substituables dans le sensqu’ils sont de la même nature, ce que gagne en termes de réduction de la pauvreté l’individuqui voit son attribut augmenter n’est pas suffisant pour compenser l’augmentation de la pauvretédu second individu. Il est alors raisonnable de s’attendre à une non décroissance de lapauvreté globale. C’est l’inverse dans le cas d’attributs complémentaires. En effet, puisque lapauvreté sera dépendante de l’attribut relativement rare pour chaque individu, l’on pourraitalors, en transférant la partie non contributive de l’attribut de l’individu 1 à l’individu 2, réduirela pauvreté au niveau du second individu sans affecter la situation du premier. C’est cequ’exprime l’axiome suivant qui n’est que la version du précédent, adaptée au cas d’attributscomplémentaires :

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 19Axiome 10 Non croissance de la pauvreté suite à un accroissement de la corrélation entreattributs : Pour tout X ∈ M et z ∈ Z, si Y ∈ M est obtenu à partir de X par le transfertd’un attribut entre deux individus pauvres à la fois dans tous les attributs, ce qui accroît lacorrélation entre attributs, alors P (X; z) ≥ P (Y ; z) si les attributs sont complémentaires.Plusieurs indices de la pauvreté multidimensionnelle, avec une forme explicite de p j (),satisfaisant une combinaison de ces axiomes ont été suggérés. Bourguignon et Chakravarty(2002) proposent un indice qui satisfait à tous ces axiomes. Il s’agit d’une extension de laclasse de mesure FGT de Foster et al (1984) à un cadre bidimensionnel :P α,β (X; z) = 1 N[N∑( ) β z1 − x i1I (x i1 < z 1 )+ b β α I (xi2 < z 2 )z 1i=1(z2 − x i2z 2) β] αβ,(2.11)où α ≥ 1, β ≥ 1, b > 0 et I() une fonction indicatrice prenant la valeur zéro ou un. b traduitl’importance relative accordée au second attribut. La condition α ≥ 1 garantit l’axiome 8 pourun seuil de pauvreté d’union tandis que lorsqu’elle est donnéé, la condition supplémentaireβ ≥ 1 assure l’axiome 8 dans le cas du seuil de pauvreté d’intersection. Lorsque 1 ≤ β ≤ α,alors l’indice satisfait l’axiome 9. Pour β > α, alors les attributs deviennent complémentaireset l’indice de pauvreté satisfait plutôt l’axiome 10. A la limite, lorsqu’on a des complémentsparfaits, c’est-à-dire β −→ ∞, l’indice devient :P α,∞ (X; z) = 1 NN∑i=1[1 − min(1, x i1z 1, x i2z 2)] α. (2.12)Même si ces axiomes satisfont le PTM, ils ne satisfont pas le PTUD et ne sont donc pasadditifs. Dans le cas général de J attributs, Bourguignon et Chakravarty (2003) suggèrent unindice additif cependant moins général dans la forme que le précédent :

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 20P θ (X; z) = 1 NJ∑ ∑j=1i∈S ja j ·(zj − x ijz j) θj, (2.13)avec a j représentant le poids de chaque attribut et S j l’ensemble des individus pauvres enattribut j. Cette formulation est une généralisation à J dimensions du cas α = β de l’indiceprécédent, en considérant que les θ j sont identiques et donc égaux à α et β.L’on peut considérer aussi pour cette formulation large le cas où les attributs sont parfaitementcomplémentaires et celui où ils sont substituables.Chakravarty et al (2005) dérivent un indice différent qui est une extension de l’indice depauvreté de Watts (1968). Il est de la forme suivante :P W (X; z) = 1 NJ∑ ∑j=1i∈S jω j log z jx ij, (2.14)où ω j est un paramètre d’échelle ≥ 0 avec des inégalités strictes pour certains j. Cette mesuresatisfait tous les axiomes hormis les deux derniers. En effet, une augmentation de la corrélationentre attributs due à un réaménagement dans la répartition d’un attribut n’affecte pasle niveau de cet indice, ce qui traduit que cet type de mesure considère les attributs commeétant indépendants, dans le sens qu’ils ne sont ni substituables, ni complémentaires.2.3 Inférences statistiques et dominance stochastique2.3.1 Les tests d’union-intersection et alternativesLe principe des tests d’union-intersection remonte à Roy (1953). Ce principe consiste,lorsque l’hypothèse nulle à rejeter est une intersection d’hypothèses simples et par conséquent

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 21l’hypothèse alternative une union de ces hypothèses, à tester chacune des hypothèses et àrejeter l’hypothèse nulle seulement lorsque au moins l’une de ces hypothèses simples estrejetée. La plupart des tests en dominance stochastique sont basés sur la formulation de typeunion-intersection. Trois hypothèses imbriquées sont généralement combinées pour réaliserles tests (Davidson et Duclos, 2000). Ces trois hypothèses H 0 , H 1 et H 2 sont respectivementla relation d’égalité, celle d’inégalité non stricte et la non restriction avec une imbricationH 0 ⊂ H 1 ⊂ H 2 .Il existe plusieurs tests paramétriques basés sur différentes combinaisons de ces hypothèsesavec notamment Gourieroux, Holly et Monfort (1982) et Wolak (1989) qui analysentle problème dans un contexte de modèles non-linéaires et de contraintes d’inégalité non linéaires7 . Mais leurs utilisations restent limitées en dominance stochastique dans la mesure oùles distributions à comparer ne sont généralement pas connues, ni issues de la même familleet que les préoccupations peuvent porter sur des caractéristiques plus générales que les deuxpremiers moments (Maasoumi, 2001).Soit µ 0 ∈ R K , la différence entre deux vecteurs de caractéristiques d’intérêt (par exemplequantiles, moyennes conditionnelles, courbes ordonnées de Lorenz et de Lorenz généralisé).Pour examiner la dominance des courbes de Lorenz, Beach et Davidson (1983) suggèrent untest de Wald basé sur la formulation suivante :H 0 : µ 0 = 0 vs H 2 : µ 0 ≠ 0. (2.15)H 0 est un vecteur de K hypothèses simples H 0,i basées sur µ 0,i avec i = 1, ..., K. Suivantles travaux de Beach et Richmond (1985), Bishop, Formby et Thistle (1989,1992) proposentun test d’union-intersection pour ce type de formulation. Il est basé sur les hypothèses suivantes:7 Pour une revue détaillée des tests paramétriques, voir Maasoumi (2001).

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 22H 0,i : µ 0,i = 0 ∀ i = 1, ..., K vs H 2 : µ 0,i ≠ 0 pour certains i. (2.16)L’hypothèse nulle globale H 0 : µ 0 = 0 est l’intersection de toutes les hypothèses simplesH 0,i , tandis que l’hypothèse alternative H 2 : µ 0 ≠ 0 représente plutôt leur union. Ainsi, onne rejette pas l’hypothèse H 0 seulement lorsqu’on ne rejette aucune des hypothèses H 0,i . Ensupposant que ̂µ 0 est un estimateur de µ 0 , Bishop et al (1989) établissent à partir d’une sériede théorèmes, s’inspirant en partie de Rao (1965) et de Beach et Davidson (1983), que sousl’hypothèse nulle H 0 : µ 0 = 0, on a :̂µ 0 ∼ d N (0, Σ) . (2.17)Sous l’hypothèse d’indépendance entre deux distributions a et b, ils dérivent la statistique :Z i =̂µ a 0,i − ̂µ b 0,i[(̂σaii /N a ) + (̂σ b ii /N b)] 1/2 , (2.18)avec ̂µ 0,i = ̂µ a 0,i − ̂µ b 0,i, ̂σ ii a et ̂σ ii b les variances respectives de ̂µ a 0,i et ̂µ b 0,i, tandis que N a etN b sont les nombres d’observations respectivement pour les deux distributions a et b. Cettestatistique est asymptotiquement normale standard pour i = 1, ..., K. Pour contrôler la tailleα du test, ils utilisent des valeurs critiques basées sur la distribution SMM 8 dont la table estfournie par Stoline et Ury (1979) pour tester chacune des hypothèses simples. H 0,i est rejetéelorsque |Z i | ≥ m α (K, ∞) et acceptée dans le cas contraire. Un avantage des procédures decomparaison multiple est qu’elles permettent d’identifier les tests qui rejettent et ceux qui nerejettent pas (Savin, 1980).La formulation de l’hypothèse nulle d’égalité contre l’hypothèse alternative de non restrictionpeut paraître assez vague et non informative dans la mesure où l’on ne peut distinguer8 Studentized maximum modulus.

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 23la dominance de l’absence de restriction en cas de rejet de l’hypothèse nulle (Fisher, Willsonet Xu, 1996). C’est surtout le cas lorsque l’on est plus préoccupé par l’aspect de dominanceplutôt que celui de non dominance. C’est ainsi qu’il existe une autre spécification où l’onteste l’hypothèse nulle d’égalité contre l’alternative de dominance :H 0 : µ 0 = 0 vs H 1 : µ 0 ≥ 0 (2.19)Ce cas n’est pas à proprement parler une formulation de type UI puisque aussi bien l’hypothèsenulle que l’alternative sont formulées comme des intersections d’hypothèses. Pourcomparer les courbes de Lorenz et les indices de Gini, Gastwirth et Gail (1985) proposentdes statistiques qui permettent de détecter des relations de dominance éventuelles. Bishop,Chakravarty et Thistle (1989) étendent l’analyse à la dominance en termes de Lorenz généralisé.Pour tester cette formulation, Anderson (1996) utilise une extension du test de Pearson.En considérant Y une variable aléatoire qu’on partitionne en K catégories exclusives aprèsl’avoir ordonnée et soit x i le nombre d’observations de Y dans la i e catégorie, x i suit unedistribution multinomiale avec les probabilités P i , i = 1, ..., K telle que :K∑x i = n eti=1K∑P i = 1. (2.20)i=1En utilisant le théorème central limite multivarié, le vecteur de fréquences empiriques xde dimension (K × 1) ∼ d N (µ, Ω) avec :⎡n −1 µ =⎢⎣P 1P 2··P K⎤⎥⎦⎡et n −1 Ω =⎢⎣P 1 (1 − P 1 ) −P 1 P 2 · · · −P 1 P K−P 2 P 1 P 2 (1 − P 2 ) · · · −P 2 P K· · · · · ·· · · · · ·−P K P 1 −P K P 2 · · · P K (1 − P K )⎤. (2.21)⎥⎦

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 24En supposant deux vecteurs de fréquences x A et x B issus de deux populations A et B,à partir de la définition analytique de la dominance stochastique aux trois premiers ordres,Anderson (1996) modifie la règle trapézoïdale de Goodman (1967) pour l’approximationdes intégrales et définit deux matrices I f et I F . I f est une matrice triangulaire inférieure dedimension (K × K) alors que I F est une matrice de même dimension de la forme :⎡I F =⎢⎣⎤d 1 0 · · · 0d 1 + d 2 d 2 · · · 0· · · · · ·⎥· · · · · · ⎦d 1 + d 2 d 2 + d 3 · · · d Koù d i représente la longueur de l’intervalle de la partition i. Il dérive alors un test de Waldbasé sur les hypothèses suivantes :H 1 0 : I f(P A − P B) = 0 vs H 1 1 : I f(P A − P B) ≤ 0H 2 0 : I F I f(P A − P B) = 0 vs H 2 1 : I F I f(P A − P B) ≤ 0H 3 0 : I F I F I f(P A − P B) = 0 vs H 3 1 : I F I F I f(P A − P B) ≤ 0Ces hypothèses concernent respectivement les dominances stochastiques de premier ordre,de second ordre et de troisième ordre. Pour Barrett et Donald (2003), l’estimation de la fonctionde distribution cumulée (CDF) à des points d’évaluation par Anderson produit des résultatspotentiellement biaisés et non convergents, ce qui n’est pas le cas lorsque la méthoded’estimation du CDF est plutôt basée sur l’intégration directe comme chez Davidson et Duclos(2000). Ils pensent que, même si ce biais ne peut en général pas conduire à rejeter une

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 25H 0 vraie, il introduit la possibilité d’accroître l’erreur de seconde espèce c’est-à-dire de nepas rejeter H 0 lorsqu’elle est fausse.En général, cette formulation est meilleure si l’on suppose que µ 0 ≥ 0, c’est à dire qu’ona la relation de dominance. Un inconvénient majeur par exemple dans le cas des courbes deGL est que ni H 0 ni H 1 ne couvrent le cas où les courbes sont croisées (Morimune et Murasawa,2002). Or il est possible que les deux courbes se croisent et que les distributions soientalors non comparables. Il existe un troisième type de formulation, le plus usité, particulièrementdans la littérature relativement récente. Il s’agit dans ce cas de tester l’hypothèse dedominance H 1 contre l’alternative de non H 1 . La majorité de ces tests sont basés sur le typede test Kolmogorov-Smirnov (KS).McFadden (1989) propose une statistique basée sur le supremum pour tester l’hypothèsenulle H 1 contre l’hypothèse alternative de non H 1 . Schmid et Trede (1996,1998) testent ladominance de second ordre à partir de la même formulation :H 0 : µ 0 ≤ 0 vs H A : non H 0 . (2.22)L’hypothèse nulle implique qu’une des deux distributions domine stochastiquement l’autreou lui est équivalente alors que l’hypothèse alternative stipule qu’il n’existe pas de dominance.Tout comme McFadden (1989), ils utilisent des tests de permutation en considérantun supremum de la forme :T 1 = Supˆµ 0 (t) (2.23)t ∈ RCela est similaire à la statistique de KS dans le cas de la dominance du premier ordre.Schmid et Trede (1996) en particulier réalisent des tests alternatifs dont l’un est basé sur lanormalité asymptotique de ˆµ 0 et l’autre sur l’intégration. D’autres études ont proposé des

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 26extensions du test KS en faisant recours aux techniques de simulation et de bootstrap pouranalyser la dominance stochastique du premier et du second ordre (Heshmati et Maasoumi,1998 et 2005 ; Linton, Maasoumi et Whang, 2005 ; Linton, Post et Whang, 2005 ; Maasoumiet Millimet, 2005).Linton, Maasoumi et Whang (2005) en particulier proposent une procédure d’estimationdes valeurs critiques dans le cas de K options. En considérant K options 9 X 1 , ..., X K ,soient A = {X k : k = 1, ..., K} et ℵ = {X k,i : i = 1, ..., N} les réalisations de X k pourk = 1, ..., K, ils définissent l’expression suivante pour la distribution jointe typiquementdans le cas de la dominance du premier ordre :d ∗ = mink≠lsup [F k (x) − F l (x)] l, k = 1, ..., K. (2.24)x ∈ℵIls dérivent alors les hypothèses H d 0 : d ∗ ≤ 0 vs H d 1 : d ∗ > 0, où l’hypothèse nulleH d 0 implique que les perspectives dans A ne sont pas stochastiquement optimales au premierordre, ce qui signifie qu’il existe au moins une option qui domine les autres.Des études comme celles de Barrett et Donald (2003), Horváth, Kokoszka et Zitikis(2006) et Scaillet et Topaloglou (2005) étendent l’analyse à la dominance stochastique d’ordre≥ 2. Comme les distributions asymptotiques sont alors complexes, ces auteurs utilisent desapproches basées sur les simulations et le bootstrap pour réaliser des inférences valides. Morimuneet Murasawa (2002) ainsi que Barrett, Bhattacharya et Donald (2004), quant à eux,circonscrivent l’analyse respectivement à la dominance de la courbe GL et à celle de la courbede Lorenz.En s’inspirant de Kodde et Palm (1986) et de Wolak (1989), Xu (1997) et Fisher, Willsonet Xu (1998) proposent une alternative aux tests de la famille KS, le premier pour analyserla dominance de la courbe GL et les seconds pour la dominance stochastique du premier9 Il peut s’agir par exemple des différents actifs d’un portefeuille.

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 27et du second ordre. Cette alternative consiste à construire une statistique de test basée surl’estimation non contrainte de µ 0 (ˆµ 0 ) et sur l’estimation de µ 0 sous la contrainte µ 0 ≥ 0(˜µ 0 ). La statistique T obtenue est une mesure normalisée entre les deux séries d’estimation etpermet de tester l’hypothèse nulle µ 0 ≥ 0. En effet, lorsque les deux estimations coïncident,cela indique que la contrainte d’inégalité n’est pas liante et donc que la valeur de la statistiquesera proche de zéro, ce qui accroît la probabilité de non rejet de l’hypothèse µ 0 ≥ 0. C’estl’inverse dans le cas où la valeur de la statisque dévie fortement de zéro. La statistique utiliséeest de la forme :T = ∆ ′ ˆΩ−1 ∆, (2.25)avec ∆ = [ˆµ 0 − ˜µ 0 ] et ˆΩ, la matrice de variances-covariances. Elle suit une somme pondéréede khi-deux à différents degrés de liberté. Kodde et Palm (1986) fournissent les bornesinférieures et supérieures des valeurs critiques.Certaines études suggèrent plusieurs formulations à la fois. Dardanoni et Forcina (1999)analysent le classement des courbes de Lorenz dans un contexte multivarié. En effet, en supposantm distributions avec m ≥ 2, ils considèrent les trois hypothèses suivantes :H 0 : µ 1 = · · · = µ mH 1 : µ 1 ≥ · · · ≥ µ mH 2 : Les m courbes de Lorenz sont sans restriction.Ils effectuent des tests de distance de H 0 vs H 2 , H 0 vs H 1 , H 1 vs H 2 ainsi que de H 2−1vs H 1 . Ils suggèrent également l’approche de la comparaison multiple et utilisent l’analyse

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 28de Monte Carlo pour comparer les performances. Aura (2000) réalise des tests d’unionintersectionpour tester aussi plusieurs formulations. En considérant une grille de points, typiquementdes points de décile, il propose de tester simultanément l’hypothèse nulle H 0,i :µ 0,i = 0 ∀ i contre trois alternatives à savoir :1. A domine B si µ 0,i ≥ 0 ∀ i et µ 0,i > 0 pour au moins un i ;2. B domine A dans le cas inverse ;3. non comparabilité si µ 0,i > 0 pour au moins un i et µ 0,j < 0 pour au moins un j.En s’appuyant sur des mesures de pauvreté P (Z) où Z est le seuil de pauvreté, Davidsonet Duclos (2000) dérivent la distribution asymptotique et la matrice de covariances asymptotiquespour une distribution jointe lorsque les distributions sont de même taille, issues de lamême population et donc dépendantes. Ils suggèrent d’intégrer cette structure de covariancesaux anciens tests en vue d’améliorer leur puissance. Ils dérivent également la distribution etla structure de covariances asymptotiques pour la distribution jointe tronquée lorsque Z leseuil de pauvreté est estimé à partir des informations de l’échantillon et donc aléatoire. Cecipermet d’examiner les questions de dominance en pauvreté. Peu de travaux ont été menésen vue de comparer les performances statistiques des différents tests proposés. On peut citercependant Tse et Zhang (2004) qui, à partir de simulations de monte Carlo de distributionsindépendantes, comparent les tests d’Anderson (1996), de Davidson et Duclos (2000) et deKaur, Rao et Singh (1994). Ils trouvent entre autres que l’utilisation de la structure de covariancessuggérée par Davidson et Duclos, à travers les tests d’union-intersection, donne lesmeilleurs résultats.Ce troisième type de formulation qui est la plus usitée semble aussi non satisfaisante. Eneffet, le non rejet de l’hypothèse nulle de dominance ne permet pas d’accepter la dominancequi est généralement l’intérêt des études. D’un point de vue logique, il peut alors être préférablede spécifier l’hypothèse nulle de non dominance de façon à conclure forcément à ladominance lorsque les tests rejettent cette hypothèse (Davidson et Duclos, 2006). Les limitesde la première et de la seconde formulations (H 0 : µ 0 = 0 vs H 1 ou H 2 ) étant établies, cette

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 29nouvelle perspective n’est envisageable qu’à travers les formulations de type intersectionunion.2.3.2 Les tests d’intersection-union et alternativesLe principe des tests intersection-union a été introduit par Gleser (1973) et Berger (1982).A l’inverse des tests d’union-intersection, l’hypothèse nulle est une union d’hypothèses simplestandis que l’hypothèse alternative en est une intersection. Dans ce cas, on rejette l’hypothèsenulle seulement lorsque toutes les hypothèses simples sont rejetées. Lorsque les tests individuelssur les hypothèses simples H 0,i sont de niveau α, alors les théorèmes 1 et 2 de Berger(1982) et Berger et Sinclair (1984) montrent que, non seulement le test de H 0 contre H 1 estde niveau α, mais est exactement de taille α sous certaines conditions. Berger et Sinclair(1984) dérivent également un test de ratio de vraisemblance pour ce type de formulation etmontrent qu’un test intersection-union proprement dit est plus puissant qu’un test de ratiode vraisemblance lorsque les paramètres testés au niveau de chaque hypothèse simple sontde dimensions différentes. Le même résultat est obtenu par Berger (1989), Berger et Saikali(2002) et Perlman et Wu (2003). La plupart de ces travaux se situent dans le cadre des inférencesparamétriques. Il y a peu d’applications de ce principe à l’analyse de la dominancestochastique qui a plutôt recours essentiellement à des outils non paramétriques.Kaur et al (1994) sont parmi les précurseurs de l’utilisation du principe intersectionunionpour tester la dominance stochastique. Leur approche a pour point de départ certainesinsuffisances du test de McFadden (1989). Selon eux, la statistique de McFadden n’a pasune forme analytique facile à manipuler et sa distribution asymptotique n’est pas entièrementcaractérisée sous l’hypothèse nulle retenue par ce dernier. Ainsi, les statistiques de test nepeuvent être obtenues que par les méthodes de Monte Carlo, même pour les échantillons degrande taille. De plus le test de McFadden suppose que les distributions sont de même taille.En supposant deux fonctions de distributions cumulées F et G et x un point quelconque sur lesupport [a, b], pour analyser la dominance stochastique du second ordre, les auteurs proposent

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 30alors un test basé sur la formulation suivante :H 0 : ∫ xF (u) du ≤ ∫ xG (u) du pour certains x ∈ [a, b]−∞ −∞vsH 1 : ∫ xF (u) du > ∫ xG (u) du ∀ x ∈ [a, b]−∞ −∞L’hypothèse nulle H 0 signifie la non dominance de F par G. Kaur et al (1994) montrentque ce test est convergent et asymptotiquement borné supérieurement par α et dérivent,comme statistique, un infimum inf Z m,n (x) qui est tel qu’on rejette H 0 si et seulement sia≤x≤binf Z m,n (x) > Z α , où Z α est le (1 − α) ième percentile de la distribution normale standarda≤x≤bN (0, 1) avec P (Z > Z α ) = α. Cette approche ne nécessite pas le recours aux méthodes deMonte Carlo et s’applique aux distributions de tailles différentes. Howes (1993) propose uneapproche similaire à la différence que les statistiques sont calculées pour des intervalles depoints.Cebrián, Denuit et Scaillet (2004) et Denuit et Scaillet (2004) réalisent également destests d’IU à partir des hypothèses :H 0 : µ l ≤ 0 pour certains l vs H 1 : µ l > 0 ∀ l. (2.26)La statistique de test est alors basée sur le minimum de la statistique t. Cebrián et al (2004)pensent que cette définition des hypothèses nulles et alternatives est la plus appropriée à restituerdes résultats plus proches de la vérité et donc devrait posséder les meilleures propriétés.Ils reconnaissent cependant que les approches basées sur les tests de distance de l’hypothèsenulle de dominance exploitent la structure de covariance relativement à celles basées sur lesstatistiques t.

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 31Davidson et Duclos (1997) adaptent l’analyse au cas où les échantillons à comparer nesont pas nécessairement indépendants. Ils établissent la distribution asymptotique des estimateursde quantiles et réalisent des inférences statistiques pour mesurer les incidences destaxes et transferts. Ils adoptent la procédure de Howes (1993) en posant l’hypothèse nulle denon dominance contre l’alternative de dominance et en rejetant l’hypothèse nulle en faveurde l’hypothèse alternative seulement si chaque point de l’un des échantillons se trouve êtrestatistiquement plus élevé que le point correspondant dans l’autre échantillon au seuil de 5%.Dardanoni et Forcina (1999) spécifient également une formulation de type intersectionunionen testant H 2−1 vs H 1 et proposent un test de distance D 21 qui coïncide avec celuide Howes (1993) dans le contexte de la comparaison de deux courbes de Lorenz (m = 2).Pour eux, si le souci est de minimiser l’erreur d’accepter la dominance stricte à tort, alorsla procédure de test D 21 est la plus adaptée même si elle implique un coût en termes defaiblesse de la puissance. Lorsqu’il existe de fortes présomptions de dominance stricte cetteprocédure, même si elle n’est plus la plus désirable, demeure pratique lorsque m = 2, ce quin’est plus le cas au delà de deux distributions car elle devient trop faible en puissance. Enintégrant la structure de covariances asymptotiques qu’ils ont dérivée, Davidson et Duclos(2000) réalisent à la fois des tests d’union-intersection (Bishop, Formby et Thistle, 1989),de Wald (Wolak, 1989) et d’intersection-union (Howes, 1993) et montrent que ce dernier,conformément à Dardanoni et Forcina, fonctionne bien lorsqu’il s’agit de comparer deuxdistributions.Davidson et Duclos (2006) adoptent une démarche originale dans le domaine de la dominancestochastique, basée sur la statistique du ratio de vraisemblance empirique. Ils montrent,avec leur formulation, qu’il est impossible de rejeter l’hypothèse nulle de non dominancelorsque les distributions sont continues dans les extrémités inférieures. Cependant en discrétisantles distributions, singulièrement dans les extrémités inférieures, ils dérivent à la foisdes tests asymptotiques et des tests basés sur le bootstrap pour l’hypothèse nulle. Ils montrenten outre que la statistique basée sur la vraisemblance asymptotique est numériquement trèsproche de celle de Kaur et al (1994).

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 32A la lumière de la littérature existante, quelques observations méritent d’être soulevées :1. il existe très peu d’études sur la dominance stochastique dont la formulation est de typeintersection-union alors que l’hypothèse nulle de dominance souvent testée n’est pastoujours la meilleure spécification ;2. très peu d’études ont essayé de faire le point des études antérieures notamment par unecomparaison de leurs performances statistiques ;3. l’application de ces inférences au cas de distributions multivariées (typiquement bivariées)est très limitée alors que Anderson (2005) montre que l’intégration d’une dimensionsuplémentaire dans la mesure du bien-être, ce qui est conforme aux suggestionsde Sen (1992), pourrait modifier les analyses effectuées dans le cadre habituel de distributionsunivariées 10 .2.4 ConclusionLe bien-être est maintenant largement reconnu comme un phénomène multidimensionnelpar les économistes. Plusieurs mesures ont ainsi été proposées pour appréhender la pauvretémultidimensionnelle. Certaines de ces mesures sont non axiomatiques. On y distingue entreautres les méthodes des ensembles flous (Zadeh, 1965 ; Cheli et Lemmi, 1995 ; Chiappero,2000 ; Szeles, 2004 ; Betti et al, 2005), l’approche de la fonction de distance (Lovell et al,1994 ; Anderson et al, 2005 ; Deutsch et Silber, 2005), la théorie de l’information (Theil,1967 ; Maasoumi, 1986 et 1993 ; Maasoumi et Nickelsburg, 1988 ; Deutsch et Silber, 2005)et les méthodes d’inertie (Meulman, 1992 ; Klasen, 2000 ; Sahn et Stifel, 2000 et 2003).Cependant, certains économistes jugent ces méthodes assez arbitraires, notamment dansle choix d’une mesure particulière et les conclusions subséquentes (Bourguignon et Chakravarty,2002). Par ailleurs, la plupart de ces méthodes reviennent à réduire plusieurs aspects du10 Pour les études ayant traité de dominance stochastique dans le cadre de distributions multivariées, voir entreautres Crawford (2005) et Duclos et al (2006)

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 33bien-être à un indicateur unique, occultant dans une large mesure la nature et les spécificitésde chaque aspect. Les mesures axiomatiques permettent alors de réduire ce degré d’arbitraireen proposant des indices de pauvreté basés sur un certain nombre de postulats raisonnables. Ilest alors possible de comparer la pauvreté dans plusieurs dimensions à la fois sans être obligéde les synthétiser en une moyenne. Cependant, le problème de la malédiction de la dimensionnalitépeut se poser lorsqu’on considère un grand nombre de dimensions. C’est pourquoi,la plupart des études se limitent à des indices comportant deux ou trois dimensions.Au niveau des inférences statistiques, il apparaît que la plupart des tests de dominancestochastique sont basés sur des formulations du type union-intersection. Toutefois, pour établirdes comparaisons robustes et univoques en terme de dominance stricte, une formulationdu type intersection-union s’avère plus pertinente. Les méthodes, basées sur le ratio de vraisemblanceempirique, développées par Davidson et Duclos (2006), si elles sont étendues auxcas de distributions multivariées, peuvent constituer un cadre statistique adéquat pour réaliserdes comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle. La problématique du chapitre suivantest basée sur une synthèse de la littérature sur les inférences statistiques en dominance stochastique.

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Chapitre 3Tests de comparaisons de la pauvretémultidimensionnelle basés sur le ratio devraisemblance empirique3.1 IntroductionPlusieurs tests ont été développés depuis les cinq dernières décennies dont certains onttrouvé leurs applications dans les comparaisons de bien-être. Il s’agit entre autres de comparerdeux ou plusieurs distributions représentant des profils de pauvreté ou d’inégalité. Enprésence d’hypothèses composites et dépendamment de la façon de les formuler, les testsusuels aussi bien paramétriques que non paramétriques peuvent être appliqués alternativementavec des tests d’union-intersection (UI) ou des tests d’intersection-union (IU).Le principe des tests UI qui remonte à Roy (1953) consiste, lorsque l’hypothèse nulleH 0 est une intersection d’hypothèses simples H 0i et l’hypothèse alternative (H 1 ) une union,à tester chacune des hypothèses simples et à rejeter H 0 seulement quand au moins une deshypothèses H 0i est rejetée. La plupart des tests de dominance stochastique sont basés sur laformulation de type UI. Une première spécification est de poser l’hypothèse nulle d’égalitéentre deux distributions contre l’alternative de non restriction. Beach et Davidson (1983)proposent un test de Wald tandis que Bishop, Formby et Thistle (1989,1992), s’appuyant sur

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 43les travaux de Beach et Richmond (1985), suggèrent plutôt un test d’UI où leur statistique quiest asymptotiquement normale standard N (0, 1) est comparée aux valeurs critiques baséessur la distribution SMM 1 dont la table est fournie par Stoline et Ury (1979). Cette formulationpeut cependant paraître vague et non informative dans la mesure où, si l’on rejette l’hypothèsenulle d’égalité, il est alors difficile de discerner entre la dominance et la non comparabilité(Fisher, Willson et Xu, 1996). En pratique, si la position des courbes de dominance peutpermettre de lever partiellement l’ambiguïté dans le cas de la dominance de premier ordre,la situation peut se révéler compliquée pour les ordres de dominance supérieurs ou dans uncontexte multidimensionnel.La formulation la plus usitée et relativement récente est de tester l’hypothèse nulle dedominance contre l’hypothèse alternative de non dominance. La majorité de ces tests sontde type Kolmogorov-Smirnov (KS) où la statistique de test est basée sur un supremum (Mc-Fadden, 1989 ; Schmid et Trede, 1996 et 1998). Certaines études proposent des extensionsdu test KS en faisant recours aux techniques de simulations et de bootstrap pour analyserla dominance stochastique du premier et du second ordre (Heshmati et Maasoumi, 1998 et2005 ; Linton, Maasoumi et Whang, 2005 ; Linton, Post et Whang, 2005 ; Maasoumi et Millimet,2005). D’autres études comme celles de Barrett et Donald (2003), Horváth, Kokoszkaet Zitikis (2006) et Scaillet et Topaloglou (2005) étendent l’analyse à la dominance d’ordresupérieur à deux. En s’inspirant de Kodde et Palm (1986) et de Wolak (1989), Xu (1997)et Fisher, Willson et Xu (1998) proposent une alternative aux tests de la famille KS quiconsiste à construire une statistique de test basée sur une mesure normalisée entre un estimateurcontraint et un estimateur non contraint. Davidson et Duclos (2000) dérivent une structurede covariances asymptotiques susceptible d’améliorer la puissance des tests précédents. Toutefois,cette seconde formulation, tout comme la première, semble aussi peu satisfaisante. Eneffet, le non rejet de l’hypothèse nulle de dominance ne permet pas d’accepter la dominancequi est généralement l’intérêt des études, puisque l’hypothèse nulle est formulée de telle façonqu’on ne distingue pas entre la dominance et l’équivalence entre les deux distributions.D’un point de vue logique, il peut alors être préférable, selon Davidson et Duclos (2006), de1 Studentized maximum modulus.

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 44spécifier l’hypothèse nulle de non dominance de façon à conclure forcément à la dominancelorsque les tests rejettent cette hypothèse. Ceci est envisageable à travers les formulations detype IU.Le principe des tests IU introduit par Gleser (1973) et Berger (1982), à l’inverse des testsUI, consiste à spécifier H 0 comme une union d’hypothèses simples et H 1 comme une intersection,et à rejeter l’hypothèse nulle seulement lorsque toutes les hypothèses simples sontrejetées. Si les avantages d’une telle formulation ont été discutés dans le cadre des inférencesparamétriques (Berger, 1982 et 1989 ; Berger et Sinclair, 1984 ; Berger et Saikali, 2002), ily a peu d’applications de ce principe à l’analyse de la dominance stochastique qui a plutôtrecours essentiellement à des outils non paramétriques. S’appuyant sur l’hypothèse nulle denon dominance contre l’alternative de dominance, Howes (1993), Kaur, Rao et Singh (1994),Cebrián, Denuit et Scaillet (2004) ainsi que Denuit et Scaillet (2004) proposent une statistiquede test basée sur l’infimum qui suit la distribution normale standard N (0, 1). Davidson et Duclos(2006) adoptent une démarche originale axée sur la statistique du ratio de vraisemblanceempirique. Même s’ils obtiennent que leur statistique est asymptotiquement équivalente à lastatistique de Kaur et al (1994), son estimation offre, à travers des calculs de probabilités souscontraintes, la possibiliter de procéder à des tests de bootstrap qui apparaissent meilleurs auxtests asymptotiques. À la lumière de la littérature existente, un double constat peut être fait :(i) il existe très peu d’études dont la formulation est de type IU alors que l’hypothèsenulle de dominance souvent testée n’est pas toujours la meilleure spécification ;(ii) l’application de ces inférences au cas de distributions multivariées est très limitéealors que Anderson (2005) montre que l’intégration d’une dimension suplémentaire dans lamesure du bien-être, ce qui est conforme aux suggestions de Sen (1992), pourrait modifierles analyses effectuées dans le cadre habituel de distributions univariées 1 .1 Les rares études ayant testé la dominance stochastique dans le cadre de distributions multivariées sont cellesde Crawford (2005) et de Duclos, Sahn et Younger (2006)

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 45Pour répondre à cette double préoccupation, le présent papier étend la démarche de Davidsonet Duclos (2006) à un contexte de distributions bivariées.La section 2 décrit l’approche multidimensionnelle de la dominance stochastique. La section3 présente les méthodes d’estimation basées sur la fonction de vraisemblance empirique.On y dérive la statistique du ratio de vraisemblance ainsi que les procédures du test. La section4 décrit les expériences de Monte Carlo, en présentant la méthodologie de génération desdonnées et les résultats des simulations. La dernière section conclut le papier.3.2 La dominance stochastique multidimensionnelleIl s’agit dans cette section de décrire les extensions multidimensionnelles de l’approche dela dominance stochastique développée par Atkinson (1987) et Foster et Shorrocks (1988a,b,c)dans un cadre unidimensionnel. Cela permet de procéder à des comparaisons ordinales depauvreté. Bourguignon et Chakravarty (2002) proposent une démarche qui s’inspire de Levyet Paroush (1974) et de Atkinson et Bourguignon (1982). L’analyse multidimensionnelle introduitune nouvelle considération qui est de faire la distinction entre l’approche de l’unionet de celle de l’intersection dans l’identification des pauvres (Atkinson, 2003 ; Bourguignonet Chakravarty, 2003 ; Duclos, Sahn et Younger, 2006).Soient deux fonctions de distributions cumulatives F et G definies sur [0, a 1 ] × [0, a 2 ], lesindices de pauvreté associés à ces distributions sont :P (F, z) = ∫ a 10∫ a20π (x 1 , x 2 ; z 1 , z 2 ) dF (x 1 , x 2 )P (G, z) = ∫ a 10∫ a20π (x 1 , x 2 ; z 1 , z 2 ) dG (x 1 , x 2 )π() est la fonction de pauvreté individuelle. L’objectif étant de comparer les indices depauvreté, l’on s’intéresse plutôt à leur différence :

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 46∆P (z) = P (F, z) − P (G, z) = ∫ a 10∫ a20π (x 1 , x 2 ; z 1 , z 2 ) dH (x 1 , x 2 ) ,avec H (x 1 , x 2 ) = F (x 1 , x 2 ) − G (x 1 , x 2 ).On dira alors que F domine (faiblement) G en pauvreté si ∆P (z) est négatif (non positif).3.2.1 La dominance de premier ordreDuclos et al (2006) définissent un indice additif 2 de pauvreté compatible avec les troistypes de seuil (intersection, union et intermédiaire) :∫ ∫P (λ) = π (x 1 , x 2 ; λ) dF (x 1 , x 2 ) , (3.1)Λ(λ)où λ (x 1 , x 2 ) est un indicateur résumé du bien-être, λ (x 1 , x 2 ) = 0 la frontière ou le seuil depauvreté et Λ (λ), l’ensemble des pauvres dépendant bien entendu du type de seuil retenu.Ils présentent alors un exemple d’indice de pauvreté multidimensionnelle qui n’est autrequ’une extension bidimensionnelle de l’indice FGT de Foster et al (1984) :P α1 ,α 2(z 1 , z 2 ) =∫ z1∫ z20 0(z 1 − x 1 ) α 1(z 2 − x 2 ) α 2dF (x 1 , x 2 ) . (3.2)α 1 , α 2 ≥ 0 captent l’aversion à l’inégalité vis-à-vis de la pauvreté dans les deux dimensions.Ils donnent certaines interprétations de P α1 ,α 2(z 1 , z 2 ) pour diverses combinaisons deα 1 et α 2 . Ils utilisent cet indice pour générer des surfaces de dominance stochastique à deuxdimensions, ce qui est utile pour des comparaisons robustes de pauvreté. Les ordres de dominancesont donnés par s 1 = 1 + α 1 et s 2 = 1 + α 2 . La surface de dominance est donnéepar :2 Dans le sens de la décomposabilité par sous-groupes.

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 47∆P s 1s 2(z 1 , z 2 ) =∫ z1∫ z20 0(z 1 − x 1 ) s 1−1 (z 2 − x 2 ) s 2−1 dH (x 1 , x 2 ) . (3.3)Duclos et al (2006) fournissent cependant une classe de mesures de pauvreté multidimensionnelleΨ 1,1 (λ ∗ ) plus générale que la forme arbitraire FGT et qui est compatible avec tousles types de seuil. Cette classe est donnée par :⎧⎪⎨Ψ 1,1 (λ ∗ ) = P (λ)⎪⎩∣Λ (λ) ⊂ Λ (λ ∗ )⎫⎪π (x 1 , x 2 ; λ) = 0 si λ (x 1 , x 2 ) = 0 ⎬∂x 1≤ 0 et ∂π(x 1,x 2 ;λ). (3.4)∂x 2≤ 0 ∀ x 1 , x 2∂ 2 π(x 1 ,x 2⎪;λ)⎭∂x 1 ∂x 2≥ 0 ∀ x 1 , x 2∂π(x 1 ,x 2 ;λ)La première ligne définit l’ensemble maximal des pauvres. La seconde indique la continuitédes indices de pauvreté le long de la frontière de pauvreté. La troisième ligne provientde l’axiome de monotonicité et suggère que les indices sont faiblement décroissants dans lesattributs x 1 et x 2 . La dernière ligne renvoie à l’axiome de la non décroissance de la pauvreté.Cette hypothèse introduit cependant des restrictions dans la classe Ψ 1,1 (λ ∗ ) dans la mesureoù, dépendamment de la nature des attributs, il est possible qu’on ait plutôt une relation decomplémentarité ou d’indépendance comme l’ont révélé Bourguignon et Chakravarty (2002).Le théorème 1 de Duclos et al (2006) établit alors la condition de dominance de premier ordrequi suggère que, pour des classes de mesures Ψ 1,1 (λ ∗ ), la pauvreté sera plus forte en F qu’enG, ou que G domine F en pauvreté, si et seulement si ∆P 1,1 (x 1 , x 2 ) > 0 ∀ (x 1 , x 2 ) ∈ Λ (λ ∗ ).3.2.2 La dominance stochastique d’ordre supérieurIl est aussi possible, en s’inspirant de Atkinson et Bourguignon (1982), de définir lesconditions de dominance stochastique de second ordre pour les cas de substituabilité et decomplémentarité. Mais cela requiert des hypothèses fortes sur les signes des dérivées d’ordresupérieur (troisième et quatrième). Dans les classes de dominance spécifiées par Duclos et al

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 48(2006), l’on peut augmenter l’ordre dans l’une ou l’autre des dimensions ou dans les deuxsimultanément. Ainsi, l’on peut définir les classes Ψ 2,1 (λ ∗ ), Ψ 2,2 (λ ∗ ), Ψ 1,2 (λ ∗ ) etc. La premièreest explicitée par Duclos et al. comme suit :⎧P (λ) ∈ Ψ 1,1 (λ ∗ )⎪⎨∂π(x 1 ,x 2 ;λ)Ψ 2,1 (λ ∗ ∂x) = P (λ)1= 0 si λ (x 1 , x 2 ) = 0∂ 2 π(x 1 ,x 2 ;λ)≥ 0 ∀ x(∂x⎪⎩1 ) 2 1∂∣π(x 1 ,x 2 ;λ)≤ 0 ∀ x(∂x 1 ) 2 ∂x 1 , x 2 2⎫⎪ ⎬.⎪ ⎭(3.5)La première ligne signifie que les conditions de la classe Ψ 1,1 (λ ∗ ) sont respectées. Laseconde suggère que la dérivée première par rapport à l’attribut x 1 est continue le long de lafrontière de pauvreté. La troisième indique que le principe de transfert (PTUD) est vérifié auniveau de l’attribut x 1 . La dernière ligne quant à elle révèle que l’effet égalisateur inhérent autransfert décroît faiblement en fonction de x 2 .D’après leur théorème 2, il y a dominance stochastique, ou G domine F en pauvreté, pourla classe Ψ 2,1 (λ ∗ ) si et seulement si ∆P 2,1 (x 1 , x 2 ) > 0 ∀ (x 1 , x 2 ) ∈ Λ (λ ∗ ).3.3 Les méthodes d’estimationCette section développe d’abord la statistique de test qui n’est autre que le ratio de vraisemblanceempirique, puis décrit les procédures de test.3.3.1 Le ratio de vraisemblance empiriqueOn suppose deux distributions bivariées A et B et leurs fonctions de répartitions F A etF B . Soient U 1 et U 2 les unions des supports des deux distributions dans les deux dimensions,avec z 1 ∈ U 1 et z 2 ∈ U 2 , en adoptant la définition d’intersection du seuil, on dira alors quela distribution B domine stochastiquement A au premier ordre si F A (z 1 , z 2 ) ≥ F B (z 1 , z 2 )pour tous les couples (z 1 , z 2 ) ∈ U = U 1 ⊗ U 2 , avec une inégalité stricte pour au moins un

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 49couple. Supposons qu’on dispose de deux échantillons de tailles N A et N B représentant lesdeux distributions. Les ensembles des réalisations dans les deux échantillons sont donnés par( ) ( )XA1 , X2A et XB1 , X2B et leur union par (X1 , X 2 ). De façon générale, pour une distributionquelconque L, si ( ( )x L i1, xi2) L représente un couple de points de l’ensemble XL1 , X2L , lafonction de répartition empirique pour un couple (z 1 , z 2 ) ∈ U est donnée par :̂F (z 1 , z 2 ) = 1 ∑N LI ( )x L i1 ≤ z 1 , x L i2 ≤ z 2 , (3.6)N Li=1où I (·) est une fonction indicatrice qui prend la valeur 1 lorsque la condition est vérifiée et 0sinon. Cette formulation est compatible avec les trois définitions de seuil, la seule expressionà modifier étant la condition qui définit la fonction indicatrice. En s’inspirant de Davidsonet Duclos (2006), le problème de maximisation de la fonction de vraisemblance empirique(FVE) est alors donné par :∑max n LPiL i log PiLisujet à ∑ iP Li = 1.Les P Li représentent les probabilités de réalisations de ( x L i1, x L i2)tandis que les nLi représententle nombre de réalisations égales à ( x L i1, x L i2). Pour les deux distributions A et B, laFVE non contrainte maximisée est la suivante :− N A log N A − N B log N B + ∑ in A i log n A i+ ∑ jn B j log n B j . (3.7)Si l’on considère l’hypothèse nulle que B ne domine pas A, cela signifie qu’il existe aumoins un couple (z 1 , z 2 ) ∈ U pour lequel F A (z 1 , z 2 ) ≤ F B (z 1 , z 2 ). Pour les valeurs extrêmesdu support U, les fonctions de répartition sont respectivement 0 et 1 et l’on aura toujoursF A (z 1 , z 2 ) = F B (z 1 , z 2 ) aux extrémités. En pratique, l’on exclut les valeurs extrêmes de

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 50façon à éviter ce résultat trivial. Dans ce cas, lorsque ̂F A (z 1 , z 2 ) ≤ ̂F B (z 1 , z 2 ), on a la nondominance dans les échantillons et l’on ne va alors pas rejeter l’hypothèse nulle. En l’absencede dominance dans les échantillons, la contrainte ci-dessus n’est pas liante et la valeur maximalede la FVE contrainte est la même que celle non contrainte. En revanche, lorsqu’il y adominance, le maximum de la FVE contrainte est inférieur à celui de la FVE non contrainteet la différence est d’autant plus grande que la contrainte est liante. Ainsi, comme le suggèrentDavidson et Duclos (2006), en imposant plutôt la condition F A (z 1 , z 2 ) = F B (z 1 , z 2 ),on force la contrainte à être la moins liante possible, ce qui donne la valeur la plus grandepour la FVE contrainte. Cette spécification est par ailleurs utile d’un point de vue analytiqueet opérationnel. La contrainte est alors la suivante :∑P Ai I ( ) ∑x A i1 ≤ z 1 , x A i2 ≤ z 2 = Pj B I ( )x B j1 ≤ z 1 , x B j2 ≤ z 2 . (3.8)ijLe nouveau problème de maximisation est défini par :maxPiA,P jB∑n A i log PiA + ∑ijn B j log P B jsujet à∑iPiA= 1, ∑ jP B j = 1,et∑iP Ai I ( ) ∑x A i1 ≤ z 1 , x A i2 ≤ z 2 = Pj B I ( )x B j1 ≤ z 1 , x B j2 ≤ z 2 .jLes résultats de la maximisation nous donnent les nouvelles probabilités pour les distributionsA et B :Pi A = nA i I i (z 1 , z 2 )+ nA i (1 − I i (z 1 , z 2 ))ϖψ(3.9)

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 51Pj B = nB j I j (z 1 , z 2 )N − ϖ + nB j (1 − I j (z 1 , z 2 ))N − ψ(3.10)avec I i (z 1 , z 2 ) ≡ I ( x A i1 ≤ z 1 , x A i2 ≤ z 2),I j (z 1 , z 2 ) ≡ I ( x B j1 ≤ z 1 , x B j2 ≤ z 2),ϖ =N×N A (z 1 ,z 2 ), ψ = N×M A (z 1 ,z 2 ), N N A (z 1 ,z 2 )+N B (z 1 ,z 2 ) M A (z 1 ,z 2 )+M B (z 1 ,z 2 ) A (z 1 , z 2 ) = ∑ in A i I i (z 1 , z 2 ),N B (z 1 , z 2 ) = ∑ jn A j I j (z 1 , z 2 ), N = N A + N B , M A (z 1 , z 2 ) = N A − N A (z 1 , z 2 ),M B (z 1 , z 2 ) = N B − N B (z 1 , z 2 ).Le ratio de vraisemblance empirique est obtenu en multipliant par 2 la différence entre lemaximum de la FVE non contrainte et celui de la FVE contrainte. On obtient alors :12 LR (z 1, z 2 ) =⎧⎪⎨⎪⎩N log N − N A log N A − N B log N B+N A (z 1 , z 2 ) log N A (z 1 , z 2 ) + N B (z 1 , z 2 ) log N B (z 1 , z 2 )+M A (z 1 , z 2 ) log M A (z 1 , z 2 ) + M B (z 1 , z 2 ) log M B (z 1 , z 2 )− (N A (z 1 , z 2 ) + N B (z 1 , z 2 )) log (N A (z 1 , z 2 ) + N B (z 1 , z 2 ))− (M A (z 1 , z 2 ) + M B (z 1 , z 2 )) log (M A (z 1 , z 2 ) + M B (z 1 , z 2 ))⎫⎪⎬.(3.11)⎪⎭Dans ce cas, lorsque l’hypothèse nulle est vérifiée, c’est-à-dire qu’il y a absence de dominancealors la statistique sera proche de 0 alors que dans le cas contraire elle en sera éloignée.D’après le théorème 1 de Davidson et Duclos (2006), sous l’hypothèse nulle F A (z 1 , z 2 ) =F B (z 1 , z 2 ), la statistique LR (z 1 , z 2 ) est équivalente au carré de la statistique t utilisée parHowes (1993) et Kaur et al (1994). Cette statistique, en bidimensionnel, peut être donnéepar :

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 52t 2 (z 1 , z 2 ) =N B ̂FA (z 1 , z 2 )(N A N B ̂FA (z 1 , z 2 ) − ̂F) 2B (z 1 , z 2 ))(1 − ̂F A (z 1 , z 2 )+ N A ̂FB (z 1 , z 2 )(1 − ̂F). (3.12)B (z 1 , z 2 )3.3.2 Les procédures de testNous voulons tester la non dominance de la distribution A par la distribution B. Celasignifie qu’il existe un point (z 1 , z 2 ) pour lequel F A (z 1 , z 2 ) ≤ F B (z 1 , z 2 ). Comme Davidsonet Duclos (2006) l’ont montré, pour qu’il y ait possibilité de rejet de l’hypothèse nulle lorsqueles distributions sont continues, l’on doit exclure les valeurs extrêmes de z 1 et de z 2 . Si ondéfinit alors des bornes inférieures z 1 et z 2 , et des bornes supérieures z 1 et z 2 , l’hypothèsenulle de non dominance est donnée par la relation suivante :min F A (z 1 , z 2 ) − F B (z 1 , z 2 ) ≤ 0. (3.13)z 1 ∈[z 1 ,z 1 ],z 2 ∈[z 2 ,z 2 ]Sous la contrainte F A (z 1 , z 2 ) = F B (z 1 , z 2 ), l’utilisation du minimum de la statistiquet (t min ), qui n’est autre que la racine carrée de la statistique donnée par l’équation (3.12),est relativement triviale (voir Howes, 1993 ; Kaur et al, 1994 ; Cebrián et al, 2004) ; Denuitet Scaillet (2004). En effet, aussi bien Berger (1982) que Kaur et al (1994) montrentque la statitisque de test ainsi basée sur l’infimum est de niveau α, ce qui signifie que,si l’hypothèse nulle H 0 est vraie, sa probabilité de rejet est bornée supérieurement par α.Lorsque le t min est supérieur à la statistique critique au seuil α, alors l’on rejette l’hypothèsenulle, ce qui équivaut à ne pas rejeter l’hypothèse alternative de dominance, c’est-à-dire queF A (z 1 , z 2 ) − F B (z 1 , z 2 ) > 0 pour tout (z 1 , z 2 ) ∈ [z 1 , z 1 ] ⊗ [z 2 , z 2 ]. Pour ce qui concernela statistique du ratio de vraisemblance empirique (LR) dont l’expression est donnée parl’équation (3.11), son utilisation n’est pas aussi directe que pour la précédente. Puisqu’elleest toujours positive, elle ne permet pas dans l’hypothèse de dominance de distinguer si c’estA qui domine B ou si c’est plutôt l’inverse. Cependant, si l’on s’intéresse à l’hypothèse nulle

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 53de la non dominance de A par B, il n’y a pas de coût à contraindre l’égalité entre ̂F A (z 1 , z 2 )et ̂FB (z 1 , z 2 ), lorsque ̂F A (z 1 , z 2 ) ≤ ̂F B (z 1 , z 2 ). En effet, dans ce cas, la contrainte n’estpas liante et la FVE contrainte est égale à la FVE non contrainte, ce qui donne un ratio devraisemblance nul. L’expression du ratio LR (z 1 , z 2 ) peut être résumée comme suit :LR (z 1 , z 2 ) ={0 si ̂F A (z 1 , z 2 ) ≤ ̂F B (z 1 , z 2 )LR sinon}. (3.14)La racine carrée du minimum de LR (z 1 , z 2 ) dénotée par LR min peut être alors utiliséetout comme le t min pour tester l’hypothèse nulle de non dominance contre l’alternative dedominance.3.4 Simulations de Monte CarloCette section présente les modes de génération de données pour les répétions de MonteCarlo et le rééchantillonnage de bootstrap, puis les résultats de l’expérience de simulation.3.4.1 Méthodes de génération des donnéesPour étudier les performances du test de ratio de vraisemblance au niveau des distributionsbivariées, l’on spécifie diverses façons de générer ces distributions. D’abord, on génère lesdeux distributions A et B de telle sorte que l’hypothèse nulle soit vraie. Le premier casque l’on considère est celui où B domine A sauf aux extrémités et en un point à l’intérieurdu support. La nature bidimensionnelle permet de distinguer la situation où il y a absencede corrélation entre les deux dimensions de chaque observation et celle dans laquelle l’onadmet l’existence d’une corrélation. Dans la situation d’indépendance, chaque dimension dela distribution A est générée selon une loi uniforme sur l’intervalle [0, 1], avec F A (x i1 ) =x i1 et F A (x i2 ) = x i2 pour x i1 , x i2∈ [0, 1]. Si l’on divise cet intervalle en huit segments

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 54égaux dont les bornes supérieures sont 0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75, 0.875 et 1, lesprobabilités cumulées marginales pour A à chaque borne sont égales aux valeurs des bornes.Pour la distribution B par contre, les probabilités cumulées dans chaque dimension pources bornes supérieures sont respectivement 0.05, 0.15, 0.25, 0.50, 0.55, 0.65, 0.75, et 1, detelle sorte que les deux distributions A et B se touchent au point (z 1 , z 2 ) = (0.5, 0.5) oùl’on a alors F A (0.5, 0.5) = F B (0.5, 0.5) = 0.25. Au sein de chaque segment, la fonctionde densité cumulée est linéaire. Toutefois, on exclut les valeurs extrêmes en les discrétisant.Ainsi, l’intervalle [0, 0.1] est discrétisé à 0.1 tandis que [0.9, 1] est discrétisé à 0.9. Dans uneseconde configuration, l’on introduit la corrélation entre les deux attributs. Dans ce cas, lesobservations (x i1 , u i2 ) pour la distribution A et (x j1 , u j2 ) pour la distibution B sont généréescomme précédemment, puis on remplace u i2 et u j2 respectivement par x i2 et x j2 qui sontobtenus comme suit :x i2 = 0.40x i1 + 0.60u i2x j2 = 0.40x j1 + 0.60u j2 .Pour étudier la puissance du test, on modifie la configuration de base de sorte que ladistribution B domine légèrement la A. Cette fois-ci, les probabilités cumulées sont 0.05,0.15, 0.25, 0.40, 0.55, 0.65, 0.75, et 1. On effectue 10000 répétitions de Monte Carlo pourdifférents nombres d’observations notamment 50, 100, 200, 500 et 1000. Pour réaliser destests de bootstrap, l’on adopte le procédé suivant décrit par Davidson et MacKinnon (1999) :(i) pour chacune des 10000 répétitions, on calcule la statistique de test ̂LR qui satisfaitl’hypothèse nulle, ainsi que les probabilités qui lui sont associées (équations 9 et 10). Cependant,ceci n’est réalisé que lorsque les deux distributions révèlent l’existence de la dominanceDavidson et Duclos (2006) ;

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 55(ii) ensuite, les probabilités calculées en (i) sont utilisées pour générer T = 399 3 échantillonsde bootstrap pour les deux distributions A et B. L’on calcule alors pour chaque échantillonla statistique ̂LR t avec t = 1, ..., T ;(iii) enfin, la valeur P du bootstrap (p T ) est calculée comme étant la proportion de statistiqueŝLR t supérieures à ̂LR. Ainsi, pour un test effectué au seuil α, on rejette l’hypothèsenulle si p T < α. Pour chaque répétition de Monte Carlo, lorsqu’il y a absence de dominance,c’est-à-dire si les deux distributions se coupent ou se touchent, l’hypothèse nulle ne peut êtrerejetée et pour s’en assurer l’on affecte la valeur 1 à p T .3.4.2 Résultats des simulationsIl ressort des simulations que les tests asymptotiques du ratio de vraisemblance (LR min ) etde la statistique t min donnent des résultats approximativement identiques. Comme le montrele tableau 3.1 en annexe, les probabilités de rejet sont plus faibles que les seuils nominaux,surtout dans les échantillons de tailles faibles. Même si les résultats sont conformes à ceuxobtenus par Davidson et Duclos (2000), la nature bidimensionnelle dans le cas présent ralentitla vitesse de convergence. En effet, les estimateurs non paramétriques sont souvent affectéspar ce problème connu sous l’expression de la malédiction de la dimensionalité. Ceci sembles’expliquer surtout par l’absence de corrélation entre les deux dimensions de chaque distribution.En effet, lorsqu’on admet l’existence de la corrélation, la convergence apparaît meilleurecomme on peut le voir dans le tableau 3.2. On remarque également, selon les deux tableaux,que la convergence des probabilités de rejet ne commence que lorsque les échantillons sont degrande taille, notamment autour de 500. Les tableaux ne concernent cependant que certainesvaleurs extrêmes du seuil nominal α en l’occurrence 1%, 5% et 10% et donc n’apportent quedes informations limitées. Pour avoir plus d’information, Davidson et MacKinnon (1998)suggèrent des méthodes graphiques qui permettent de tracer les courbes de probabilités de3 Davidson et MacKinnon (2000) suggèrent, pour réduire la perte de puissance inhérente au bootstrapping,de choisir un nombre assez élevé d’échantillons de bootstrap. Le nombre 399 est jugé assez raisonnable pourréaliser des tests au seuil de 5%.

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 56rejet (valeur P ) en fonction des seuils nominaux sur un intervalle assez grand. On réaliseles graphiques pour α ∈ [0, 0.5]. Le graphique 3.1, réalisé pour N A = 100 et N A = 200,confirme la similitude entre les deux tests, puisque les deux courbes respectivement LR min ett min se confondent pour la plupart des points α.FIG. 3.1 – Probabilités de rejet des tests asymptotiques0.50.4T min , N A = 100LR min , N A = 100T min , N A = 200LR min , N A = 2000.3P−value0.20.10.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Seuil nominalLes tests de bootstrap donnent de meilleurs résultats comme on peut le voir dans le graphique3.2. Même pour N A = 100, la convergence du bootstrap est nettement meilleure quecelle du test asymptotique obtenue pour N A = 200. Cependant, le test de bootstrap tendà rejeter plus que le niveau α pour des échantillons plus grands. Bien que chaque dimensionsoit générée indépendamment de l’autre, il existe toujours une très faible corrélationentre elles. La méthode de génération en deux étapes des observations de B fait que la corrélationy est relativement plus faible que celle dans la distribution A. Cela implique qu’enpratique F A (0.5, 0.5) se retrouve souvent légèrement au dessus F B (0.5, 0.5) comme c’est lecas en situation de dominance. Cela explique pourquoi les probalilités de rejet ont tendance àêtre supérieures aux seuils nominaux lorsqu’on accroît la taille des échantillons. On observeune saturation des courbes de probabilités pour le bootstrap puisque, pour des valeurs de αproches de 50%, leurs valeurs se réduisent à celles des tests asymptotiques et correspondenten fait aux pourcentages des distributions qui contiennent de la dominance.

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 57FIG. 3.2 – Probabilités de rejet des tests asymptotiques et de bootstrap0.50.4Asymptotique, N A = 100Bootstrap, N A = 100Asymptotique, N A = 200Bootstrap, N A = 2000.3P−value0.20.10.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Seuil nominalFIG. 3.3 – Probabilités de rejet comparées des cas de non-corrélation et de corrélation0.50.4Sans corrélation, N A = 100Avec corrélation, N A = 100Sans corrélation, N A = 200Avec corrélation, N A = 2000.50.4Sans corrélation, N A = 100Avec corrélation, N A = 100Sans corrélation, N A = 200Avec corrélation, N A = 2000.30.3P−valueP−value0.20.20.10.10.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Seuil nominal(a) Asymptotique0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Seuil nominal(b) Bootstrap

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 58Le graphique 3.3 fait une comparaison entre le cas d’indépendance entre dimensions etle cas où l’on admet l’existence de la corrélation. Le graphique de gauche concerne les testsasymptotiques et celui de droite, les tests de bootstrap. Ces graphiques confirment le fait quel’existence de la corrélation positive accroît les probabilités de rejet.La même expérience est réalisée pour étudier la puissance des tests. Pour N A = 100, lestests asymptotiques donnent des probabilités de rejet inférieures aux seuils nominaux commele suggère le graphique 3.4. Même pour N A = 200, ces tests n’affichent pas une bonnepuissance. Par contre, les tests de bootstrap apparaissent uniformément plus puissants que lestests asymptotiques. Pour N A = 200, les probabilités de rejet des tests de bootstrap sont de2.5%, 18% et 33% respectivement pour les seuils α de 1%, 5% et 10% (voir tableau 3.6 enAnnexes). Le graphique 3.5 confirme que l’introduction d’une corrélation positive entre lesattributs permet d’obtenir des puissances plus élevées.FIG. 3.4 – Courbes de puissances des tests asymptotiques et de bootstrap0.50.4P−value0.30.20.1Asymptotique, N A = 100Bootstrap, N A = 100Asymptotique, N A = 200Bootstrap, N A = 2000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Seuil nominalUne autre configuration est spécifiée. Dans celle-ci, lorsqu’on exclut les extrémités, lesdeux distributions se touchent en deux points au lieu d’un seul point comme précédemment.Pour cette nouvelle configuration, la distribution B est donnée par : 0.05, 0.25, 0.30, 0.40,0.55, 0.75, 0.80, et 1. Pour étudier la puissance, les points 0.25 et 0.75 sont remplacés res-

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 59FIG. 3.5 – Courbes de puissances comparées des cas de non-corrélation et de corrélation0.60.5Sans corrélation, N A = 100Avec corrélation, N A = 100Sans corrélation, N A = 200Avec corrélation, N A = 2000.60.50.40.4P−value0.3P−value0.30.20.20.10.1Sans corrélation, N A = 100Avec corrélation, N A = 100Sans corrélation, N A = 200Avec corrélation, N A = 2000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Seuil nominal(a) Asymptotique0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Seuil nominal(b) Bootstrappectivement par 0.30 et 0.65 de telle sorte que B domine légèrement A. Le graphique 3.6montre, conformément aux attentes, que les tests deviennent plus conservateurs et moinspuissants. Dans ce graphique, l’illustration de la gauche présente les résultats obtenus quandl’hypothèse nulle de dominance est vraie, tandis que celle de la droite est relative aux testsde la puissance. Les tests de bootstrap semblent toujours plus fiables. Le caractère conservateurdes tests indique toutefois que si l’on rejette l’hypothèse nulle c’est qu’il y a de bonnesraisons de le faire. L’on peut alors conclure forcément à la dominance.De façon générale, la statistique du ratio de vraisemblance semble identique au carré dela statistique t. Pour les tests de bootstrap, l’une ou l’autre de ces deux statistiques peut êtreutilisée indifféremment pour calculer la valeur P qui est la proportion des statistiques deséchantillons de bootstrap supérieures à la statistique de l’échantillon initial. Pour que les testssoient crédibles, les résultats semblent indiquer que les distributions devraient avoir une tailleminimale d’au moins 500 pour les tests asymptotiques et d’au moins 200 pour les tests debootstrap. Cela ne devrait pas constituer un problème pour les comparaisons de bien-êtredans la mesure où les distributions disponibles sont généralement au-delà de ces chiffres.

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 60FIG. 3.6 – Configuration alternative, lorsque les distributions se touchent en deux points0.50.4Asymptotique, N A = 100Bootstrap, N A = 100Asymptotique, N A = 200Bootstrap, N A = 2000.50.40.30.3P−valueP−value0.20.20.10.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Seuil nominal(a) Probabilités de rejet0.1Asymptotique, N A = 100Bootstrap, N A = 100Asymptotique, N A = 200Bootstrap, N A = 2000.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Seuil nominal(b) Courbes de puissance3.5 ConclusionLe but du présent papier est d’analyser la performance d’un test basé sur le ratio de vraisemblanceempirique en présence de distributions bivariées. Il constitue ainsi une extensionde la démarche proposée par Davidson et Duclos (2006) dans un cadre univarié standard.L’avantage d’une telle démarche est qu’elle permet de conclure sans équivoque à une relationde dominance lorsque celle-ci existe. Les résultats obtenus ici semblent corroborer les leurs,même si l’introduction d’une dimension supplémentaire ralentit la vitesse de convergence.Lorsque l’on utilise les probabilités obtenues par la maximisation de la fonction de vraisemblancesous l’hypothèse nulle de non dominance pour les rééchantillonnages de bootstrap,les tests apparaissent alors meilleurs que les tests asymptotiques, c’est-à-dire à la foisplus puissants et moins conservateurs. Cependant, à cause de la malédiction de la dimensionalité,les distributions devraient être de tailles suffisamment grandes pour que les testssoient pertinents. Ces tests sont également sensibles aux corrélations existant entre les deuxcomposantes de chaque distribution.L’analyse bidimensionnelle proposée ici va dans le sens des préoccupations actuelles dans

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 61le domaine de l’économie du bien-être. En effet, depuis les suggestions de Sen, les mesuresde pauvreté et de bien-être sont de plus en plus inspirées du cadre multidimensionnel. Il estdésormais question de considérer non pas uniquement le revenu comme mesure de bien-être,mais également d’autres variables pertinentes comme le loisir, la nutrition, etc.3.6 AnnexesTAB. 3.1 – Probabilités de rejet des tests asymptotiques en l’absence de corrélationt minLR minα = 0.01 α = 0.05 α = 0.10 α = 0.01 α = 0.05 α = 0.10N A = 50 0.0000 0.0000 0.0012 0.0000 0.0007 0.0025N A = 100 0.0000 0.0008 0.0039 0.0000 0.0017 0.0055N A = 200 0.0000 0.0030 0.0156 0.0000 0.0044 0.0187N A = 500 0.0022 0.0222 0.0674 0.0023 0.0254 0.0701N A = 1000 0.0082 0.0515 0.1134 0.0086 0.0518 0.1146TAB. 3.2 – Probabilités de rejet des tests asymptotiques en présence de corrélationt minLR minα = 0.01 α = 0.05 α = 0.10 α = 0.01 α = 0.05 α = 0.10N A = 50 0.0000 0.0001 0.0018 0.0000 0.0010 0.0044N A = 100 0.0000 0.0017 0.0084 0.0001 0.0029 0.0114N A = 200 0.0002 0.0065 0.0255 0.0005 0.0088 0.0285N A = 500 0.0018 0.0272 0.0776 0.0018 0.0282 0.0792N A = 1000 0.0081 0.0528 0.1070 0.0085 0.0530 0.1073

Chapitre 3. Tests de comparaisons de la pauvreté multidimensionnelle 62TAB. 3.3 – Puissances des tests asymptotiques en l’absence de corrélationt minLR minα = 0.01 α = 0.05 α = 0.10 α = 0.01 α = 0.05 α = 0.10N A = 50 0.0000 0.0002 0.0022 0.0001 0.0016 0.0047N A = 100 0.0000 0.0018 0.0108 0.0001 0.0036 0.0154N A = 200 0.0004 0.0166 0.0570 0.0011 0.0252 0.0688N A = 500 0.0412 0.2257 0.4172 0.0487 0.2506 0.4343N A = 1000 0.3499 0.6860 0.8250 0.3762 0.6936 0.8353TAB. 3.4 – Puissances des tests asymptotiques en présence de corrélationt minLR minα = 0.01 α = 0.05 α = 0.10 α = 0.01 α = 0.05 α = 0.10N A = 50 0.0000 0.0004 0.0035 0.0001 0.0020 0.0084N A = 100 0.0001 0.0033 0.0211 0.0004 0.0076 0.0300N A = 200 0.0011 0.0315 0.0927 0.0037 0.0394 0.1028N A = 500 0.0669 0.2905 0.4889 0.0709 0.3060 0.5071N A = 1000 0.4475 0.7702 0.8850 0.4625 0.7740 0.8878TAB. 3.5 – Probabilités de rejet des tests de bootstrapSans corrélationAvec corrélationα = 0.01 α = 0.05 α = 0.10 α = 0.01 α = 0.05 α = 0.10N A = 50 0.0007 0.0128 0.0410 0.0009 0.0174 0.0558N A = 100 0.0024 0.0301 0.0826 0.0037 0.0372 0.0949N A = 200 0.0055 0.0579 0.1403 0.0071 0.0617 0.1428TAB. 3.6 – Puissances des tests de bootstrapSans corrélationAvec corrélationα = 0.01 α = 0.05 α = 0.10 α = 0.01 α = 0.05 α = 0.10N A = 50 0.0017 0.0238 0.0689 0.0030 0.0335 0.0879N A = 100 0.0068 0.0723 0.1609 0.0076 0.0829 0.1801N A = 200 0.0251 0.1801 0.3326 0.0327 0.1991 0.3580

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Chapitre 4Dominance en pauvretémultidimensionnelle : inférencestatistique et application aux pays del’UEMOA4.1 IntroductionDeux approches sont généralement distinguées dans la littérature des mesures de la pauvreté: celle basée sur l’aspect financier ou monétaire (Ravallion et Chen, 1997) et celle quimet l’accent sur une définition plus large que la considération monétaire (Drèze et Sen, 1989 ;Sen, 1979 ; 1985 ; 1987). La première approche consiste essentiellement à considérer le revenucomme mesure de bien-être. Plusieurs tests de comparaisons robustes de ce bien-êtreont été proposés dans ce cadre (Anderson, 1996 ; Davidson et Duclos, 2000 ; Barrett et Donald,2003). Cependant, comme le souligne Anderson (2005), l’intégration d’une dimensionsupplémentaire dans la mesure du bien-être pourrait modifier les analyses effectuées dans lecadre habituel de distributions univariées.La seconde approche caractérise le bien-être comme un phénomène multidimensionel.Sahn et Stifel (2000 ; 2003) utilisent l’analyse factorielle pour dériver un indicateur de la

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 714.2.2 L’estimation de l’indicateur de la richesseL’approche d’inertie sera utilisée pour dériver l’indicateur de richesse. Il s’agit d’une approchepratique dont le but est de réduire dans la mesure du possible l’arbitraire dans le calculde l’indicateur 1 . En considérant N individus indicés par i = 1, ..., N, et J attributs pour chacund’eux, avec chaque attribut j = 1, ..., J, il s’agit de représenter par un nuage de pointsautour d’un centroïde (moyennes pondérées) les N individus dans l’espace des J attributsavec un poids associé à chaque point. L’inertie totale du nuage de points, dépendammentde la métrique choisie, est la somme pondérée des distances de chaque point par rapport aucentroïde.Il s’agit alors de construire un indicateur de la richesse pour chaque ménage basé sur lasomme pondérée de différents attributs de bien-être. Soit X i l’indicateur de richesse pour leménage i, x ij sa dotation en attribut j et α j le poids de chaque attribut, l’expression de X i estdonnée par :X i = α 1 x i1 + ... + α J x iJ . (4.2)Afin de réduire l’arbitraire dans le choix de la méthode de réduction de données, deuxapproches sont utilisées : d’abord l’ACM usuelle et ensuite une méthode basée sur la maximisationde la vraisemblance. Les techniques de l’ACM sont assez connues et ne seront doncpas développées ici. Pour ce qui concerne l’autre méthode, qui s’appuie sur l’analyse factorielleconfirmatoire avec variables qualitatives, la littérature propose essentiellement deuxapproches : l’approche de la variable de réponse sous-jacente et l’approche de la fonction deréponse (Moustaki, 2000 ; Jöreskog et Moustaki, 2001).Dans la première approche, on suppose que chaque variable qualitative est générée parune variable de réponse inobservée et continue (variable latente) qui suit une distributionnormale. Cette approche a été adoptée par plusieurs auteurs qui ont estimé le modèle en deuxétapes (Lee, Poon et Bentler, 1992) ou en trois (Muthèn, 1983 ; Jöreskog, 1994).1 Asselin (2002) en fait une revue détaillée.

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 73un total de paramètres à estimer de Σ J j=1m j . Soit θ l’ensemble des paramètres à estimer etsoit r une des configurations possibles des J réponses respectives au niveau des J variablesqualitatives, la probabilité de réalisation d’une configuration est donnée par :π r (θ) = P r (x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , ..., x J = a J ) =∫ γ(1)a 1γ (1)a 1 −1∫ γ(2)a 2γ (2)a 2 −1...∫ γ(J)a Jγ (J)a J −1φ J (ε 1 , ε 2 , ..., ε J |Γ) dε 1 , dε 2 , ..., dε J . (4.5)On remplace π r (θ) par son expression dans l’équation de la fonction de vraisemblancesuivante :L NMS (θ) = ∑ rP r ln π r (θ), (4.6)avec P r= n rN , où n r est le nombre de réalisations de la configuration r et N la taille del’échantillon questionné. En maximisant L(θ) par rapport à θ, on obtient les estimateurs dumaximum de vraisemblance à information complète. Cependant, lorsque J > 4, l’estimationn’est plus numériquement faisable à cause de la faible puissance relative de la plupart desordinateurs actuels. C’est pourquoi Jöreskog et Moustaki (2001) proposent d’estimer plutôtune approche basée sur la normale bivariée sous-jacente (NBS). Ici, au lieu de s’intéresser auxprobabilités des différentes configurations des J réponses, l’on se contente des probabilitésstandards π (j)aprobabilités π (jh)abd’obtenir, pour une variable j, une réponse dans la catégorie a, ainsi que desd’avoir simultanément une réponse dans la catégorie a pour la variable jet une réponse dans la catégorie b pour la variable h. Elles sont respectivement expriméescomme suit :∫ (j) γπ a (j)a(θ) = φ (u) du (4.7)γ (j)a−1∫ (j) γπ (jh)aab(θ) =γ (j)a−1∫ γ(h)bγ (h)b−1φ 2 (u, v|ρ jh ) dudv. (4.8)φ (u) est une fonction de densité normale standard tandis que φ 2 (u, v|ρ) est une fonctionde densité normale bivariée de corrélation ρ. Les paramètres sont alors estimés par la

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 74maximisation de la fonction suivante :m J∑ ∑ jL NBS (θ) =j=1 a=1P (j)aln π (j)a (θ) +j−1 m J∑ ∑∑j∑m hj=2 h=1 a=1 b=1P (jh)abln π (jh)ab(θ). (4.9)Même si cette technique ne s’appuie pas sur une base théorique solide, Jöreskog et Moustaki(2001) trouvent qu’elle donne les mêmes résultats que les autres démarches à informationcomplète basées sur l’approche de la fonction de réponse. De plus, elle est moins coûteuseen terme de temps d’exécution du programme économétrique et s’applique bien quand lenombre de variables ordonnées est grand.L’étape ultérieure consiste à estimer les scores factoriels. Dans le cas de variables ordonnées,il n’existe pas de relation linéaire entre les facteurs et les variables observées. Pourestimer alors le score, Shi et Lee (1997) proposent une approche bayésienne basée sur la distributiona posteriori des facteurs. Dans ce qui suit, f est un scalaire, λ, x et x ∗ des vecteurs(J × 1) et ψ une matrice diagonale (J × J). Si l’on suppose que p(f) est la fonction de densitéde f, p(x ∗ |f) la fonction de densité conditionnelle de x ∗ par rapport à f, et Pr(x|f) laprobabilité conditionnelle de x par rapport à f, la distribution conditionnelle de f par rapportà x est donnée, d’après le théorème de Bayes, par :p(f|x) =∫Rp(f) Pr(x|f). (4.10)p(f) Pr(x|f)dfA partir de ce théorème, on peut dériver l’estimateur du score par :X i = ̂f B = E(f|x) = 1 B λ′ ψ −1 x ∗ W . (4.11)Les différentes étapes ainsi que les expressions de B et x ∗ Wsont données en annexe.4.3 Analyse de la dominance stochastique bidimensionnelleLes techniques présentées ici sont des extensions multidimensionnelles de l’approche dela dominance stochastique développée par Atkinson (1987) et Foster et Shorrocks (1988a,b,c)

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 75dans le cadre unidimensionnel. Elles permettent de procéder à des comparaisons ordinales depauvreté (voir par exemple Bourguignon et Chakravarty (2002) et Atkinson et Bourguignon(1982)). L’analyse multidimensionnelle introduit une nouvelle considération : la distinctionentre l’approche de l’union et celle de l’intersection dans l’identification des pauvres (Atkinson,2003 ; Bourguignon et Chakravarty, 2003 ; Duclos, Sahn et Younger, 2006).4.3.1 La dominance de premier ordreL’approche adoptée ici est celle de Duclos et al (2006) qui définissent un indice additif 3de pauvreté compatible avec les trois types de seuil (intersection, union et intermédiaire) :∫ ∫P (λ) = π (x 1 , x 2 ; λ) dF (x 1 , x 2 ) , (4.12)Λ(λ)où λ (x 1 , x 2 ) est un indicateur résumé du bien-être, λ (x 1 , x 2 ) = 0 la frontière ou le seuilde pauvreté et Λ (λ), l’ensemble des pauvres dépendamment bien entendu du type de seuilretenu.Il est à noter que λ (x 1 , x 2 ) peut être défini comme un seuil de pauvreté d’union, d’intersectionou intermédiaire. Ceci est illustré dans le graphique Figure 4.1, où x 1 et x 2 sontdeux dimensions du bien-être. λ 1 (x 1 , x 2 ) représente le seuil de pauvreté d’intersection : ilconsidère un individu comme étant pauvre seulement s’il est pauvre à la fois dans deux dimensions.λ 2 (x 1 , x 2 ) définit plutôt un seuil d’union qui considère qu’un individu est pauvrelorsqu’il l’est dans au moins une des dimensions. λ 3 (x 1 , x 2 ) donne, quant à lui, une définitionintermédiaire du seuil de pauvreté : une individu est alors jugé pauvre même avec x 1 > Z 1 , sila valeur de son x 2 est suffisamment faible pour qu’il se retrouve à gauche de λ 3 (x 1 , x 2 ) = 0.Inversement, un individu sera considéré comme non-pauvre même avec x 1 < Z 1 si la valeurde son x 2 suffisamment élevée pour qu’il se retrouve à droite de λ 3 (x 1 , x 2 ) = 0.Duclos et al (2006) présentent un exemple d’indice de pauvreté multidimensionnelle quin’est autre qu’une extension bidimensionnelle de l’indice FGT de Foster, Greer et Thorbecke3 Dans le sens de la décomposabilité par sous-groupes.

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 76FIG. 4.1 – Définitions d’union, d’intersection et intermédiaire du seuil de pauvretéx 2x ,xZ 11 2x 1,x 2Z 2Ax 1,x 20x 1(1984) :P α1 ,α 2(z 1 , z 2 ) =∫ z1∫ z20 0(z 1 − x 1 ) α 1(z 2 − x 2 ) α 2dF (x 1 , x 2 ) . (4.13)α 1 , α 2 ≥ 0 captent l’aversion à l’inégalité vis-à-vis de la pauvreté dans les deux dimensions.Ils donnent certaines interprétations de P α1 ,α 2(z 1 , z 2 ) pour diverses combinaisons deα 1 et α 2 . Ils utilisent cet indice pour générer des surfaces de dominance stochastique à deuxdimensions, ce qui est utile pour des comparaisons robustes de pauvreté. Les ordres de dominanceétant s 1 = 1 + α 1 et s 2 = 1 + α 2 , la surface de dominance est donnée par :∆P s 1s 2(z 1 , z 2 ) =∫ z1∫ z20 0(z 1 − x 1 ) s 1−1 (z 2 − x 2 ) s 2−1 dH (x 1 , x 2 ) . (4.14)Pour dériver la dominance stochastique bidimensionnelle du premier ordre, Duclos et al(2006) fournissent cependant une classe de mesures Ψ 1,1 (λ ∗ ) plus générale que la forme FGTet compatible avec tous les types de seuil :⎧Λ (λ) ⊂ Λ (λ ∗ )⎪⎨Ψ 1,1 (λ ∗ π (x 1 , x 2 ; λ) = 0 si λ (x 1 , x 2 ) = 0) = P (λ)∂π(x 1 ,x 2 ;λ)⎪⎩∂x 1≤ 0 et ∂π(x 1,x 2 ;λ)∂x 2≤ 0 ∀ x 1 , x 2∣∂ 2 π(x 1 ,x 2 ;λ)∂x 1 ∂x 2≥ 0 ∀ x 1 , x 2 .⎫⎪⎬⎪⎭(4.15)

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 77La première ligne définit l’ensemble maximal des pauvres. La seconde indique la continuitédes indices de pauvreté le long de la frontière de pauvreté. La troisième ligne provientde l’axiome de monotonicité et suggère que les indices sont faiblement décroissants dans lesattributs x 1 et x 2 . La dernière ligne renvoie à l’axiome de la non décroissance de la pauvreté.Cette hypothèse introduit cependant des restrictions dans la classe Ψ 1,1 (λ ∗ ) dans la mesureoù, dépendamment de la nature des attributs, il est possible qu’on ait plutôt une relation decomplémentarité comme l’ont révélé Bourguignon et Chakravarty (2002). Le théorème 1 deDuclos et al(2006) établit alors la condition de dominance de premier ordre qui indique que,pour des classes de mesures Ψ 1,1 (λ ∗ ), la pauvreté sera plus forte en F qu’en G, ou que Gdomine F en pauvreté, si et seulement si ∆P 1,1 (x 1 , x 2 ) > 0 ∀ (x 1 , x 2 ) ∈ Λ (λ ∗ ).4.3.2 La dominance stochastique d’ordre supérieurIl est aussi possible, en s’inspirant d’Atkinson et Bourguignon (1982), de définir les conditionsde dominance stochastique de second ordre pour les cas de substituabilité et de complémentarité.Mais cela requiert des hypothèses fortes sur les signes des dérivées d’ordresupérieur (troisième et quatrième). Dans les classes de dominance spécifiées par Duclos et al(2006), l’on peut augmenter l’ordre dans l’une ou l’autre des dimensions ou dans les deuxsimultanément. Ainsi, l’on peut définir les classes Ψ 2,1 (λ ∗ ), Ψ 2,2 (λ ∗ ), Ψ 1,2 (λ ∗ ) etc. La premièreest explicitée par Duclos et al comme suit :⎧P (λ) ∈ Ψ 1,1 (λ ∗ )⎪⎨∂π(x 1 ,x 2 ;λ)Ψ 2,1 (λ ∗ ∂x) = P (λ)1= 0 si λ (x 1 , x 2 ) = 0∂ 2 π(x 1 ,x 2 ;λ)≥ 0 ∀ x(∂x⎪⎩1 ) 2 1∂∣3 π(x 1 ,x 2 ;λ)≤ 0 ∀ x(∂x 1 ) 2 ∂x 1 , x 2 .2⎫⎪⎬⎪⎭(4.16)La première ligne signifie que les conditions de la classe Ψ 1,1 (λ ∗ ) sont respectées. Laseconde suggère que la dérivée première par rapport à l’attribut x 1 est continue le long de lafrontière de pauvreté. La troisième indique que le principe de transfert (PTUD) est vérifié auniveau de l’attribut x 1 . La dernière ligne quant à elle révèle que l’effet égalisateur inhérent autransfert décroît faiblement en fonction de x 2 .

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 78D’après leur théorème 2, il y a dominance stochastique, ou G domine F en pauvreté, pourla classe Ψ 2,1 (λ ∗ ) si et seulement si ∆P 2,1 (x 1 , x 2 ) > 0 ∀ (x 1 , x 2 ) ∈ Λ (λ ∗ ).4.3.3 Inférence statistiqueLa démarche proposée permet de tester la non dominance de la distribution F par la distributionG. La non dominance implique qu’il existe un point (z 1 , z 2 ) pour lequel ∆P s 1s 2(z 1 , z 2 ) ≤0. Formellement, on teste l’hypothèse :H 0 : ∆P s 1s 2(z 1 , z 2 ) ≤ 0 pour certains couples (z 1 , z 2 )versusH 1 : ∆P s 1s 2(z 1 , z 2 ) > 0 ∀ (z 1 , z 2 ).Le ratio de vraisemblance empirique proposé par Davidson et Duclos (2006) dans lecontexte de distributions univariées sera utilisé. Cette démarche permet de conclure sanséquivoque à la dominance si les tests sont concluants. Le ratio est obtenu en résolvant leproblème de maximisation de la fonction de vraisemblance empirique suivante :maxPiF ,P jG∑in F ilog P Fi+ ∑ jn G j log P G j (4.17)sujet à∑iP Fi = 1,∑Pj G = 1jet∑iP Fi (z 1 − x F i1) s 1−1 (z 2 − x F i2) s 2−1 I ( x F i1 ≤ z 1 , x F i2 ≤ z 2)=

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 79∑Pj G (z 1 − x G j1) s1−1 (z 2 − x G j2) s2−1 I ( )x G j1 ≤ z 1 , x G j2 ≤ z 2jn F i et n G j représentent les nombres de réalisations égales respectivement à ( x F i1, xi2) F et( )xGj1 , x G j2 . I (·) est une fonction indicatrice qui prend la valeur 1 lorsque la condition estvérifiée et 0 sinon. s 1 et s 2 constituent les ordres de dominance tandis que P Fi et P G j sontles probabilités empiriques. Le ratio de vraisemblance mesure la distance entre le maximumde la vraisemblance non contrainte et le maximum de la vraisemblance contrainte ci-dessusprésentée. Une valeur de 0 signifie que la contrainte n’est pas liante et qu’on ne peut pasrejeter l’hypothèse nulle de non dominance. Une valeur positive indique plutôt la possibilitéde dominance, ce qui devrait alors être testé formellement. Comme l’on s’intéresse à la nondominance de F par G, il n’y a pas de coût à contraindre l’égalité ∆P s 1s 2(z 1 , z 2 ) = 0 lorsque∆P s 1s 2(z 1 , z 2 ) ≤ 0. Dans ce cas la contrainte n’est pas liante et le ratio de vraisemblance aune valeur nulle. L’expression du ratio de vraisemblance LR (z 1 , z 2 ) peut alors être résuméecomme suit :LR (z 1 , z 2 ) ={0 si ∆ ̂P s 1s 2(z 1 , z 2 ) ≤ 0LR sinon}(4.18)L’expression du ratio LR sera développée plus loin. Le test étant basé sur une formulationde type intersection-union, pour les différentes valeurs (z 1 , z 2 ) du support [z 1 , z 1 ] ⊗ [z 2 , z 2 ],la statistique est donnée par le minimum de LR. z 1 et z 2 sont les bornes inférieures du supporttandis que z 1 et z 2 en sont les bornes supérieures. Pour la dominance de premier ordre, on as 1 = s 2 = 1 et la seconde contrainte du problème de maximisation (équation 4.17) devient :∑i I ( ) ∑x F i1 ≤ z 1 , x F i2 ≤ z 2 = Pj G I ( )x G j1 ≤ z 1 , x G j2 ≤ z 2P Fij(4.19)La solution analytique du problème de maximisation donnent les expressions de nouvellesprobabilités pour les distributions F et G :Pi F = nF i I i (z 1 , z 2 )+ nF i (1 − I i (z 1 , z 2 ))ϖψ(4.20)

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 80Pj G = nG j I j (z 1 , z 2 )N − ϖ + nG j (1 − I j (z 1 , z 2 ))N − ψ(4.21)avec :I i (z 1 , z 2 ) ≡ I ( x F i1 ≤ z 1 , x F i2 ≤ z 2), Ij (z 1 , z 2 ) ≡ I ( x G j1 ≤ z 1 , x G j2 ≤ z 2),ϖ =N F (z 1 , z 2 ) = ∑ iN × N F (z 1 , z 2 )N F (z 1 , z 2 ) + N G (z 1 , z 2 ) , ψ = N × M F (z 1 , z 2 )M F (z 1 , z 2 ) + M G (z 1 , z 2 ) ,n F i I i (z 1 , z 2 ) ,N G (z 1 , z 2 ) = ∑ jn F j I j (z 1 , z 2 ) , N = N F + N G ,M F (z 1 , z 2 ) = N F − N F (z 1 , z 2 ) , M G (z 1 , z 2 ) = N G − N G (z 1 , z 2 )Le ratio de vraisemblance empirique est obtenu en multipliant par 2 le minimum de ladifférence entre la vraisemblance non contrainte et la vraisemblance contrainte. On obtientalors :12 LR (z 1, z 2 ) =⎧⎪⎨⎪⎩N log N − N F log N F − N G log N G+N F (z 1 , z 2 ) log N F (z 1 , z 2 ) + N G (z 1 , z 2 ) log N G (z 1 , z 2 )+M F (z 1 , z 2 ) log M F (z 1 , z 2 ) + M G (z 1 , z 2 ) log M G (z 1 , z 2 )− (N F (z 1 , z 2 ) + N G (z 1 , z 2 )) log (N F (z 1 , z 2 ) + N G (z 1 , z 2 ))− (M F (z 1 , z 2 ) + M G (z 1 , z 2 )) log (M F (z 1 , z 2 ) + M G (z 1 , z 2 ))⎫⎪⎬(4.22)⎪⎭D’après le théorème 1 de Davidson et Duclos (2006), sous l’hypothèse nulle, la statistiqueLR (z 1 , z 2 ) est asymptotiquement équivalente au carré de la statistique t utilisée par Kaur etal (1994). Cette statistique en bidimensionnel est donnée par :t 2 (z 1 , z 2 ) =(N F N G ̂F (z1 , z 2 ) − Ĝ (z 1, z 2 )(N G ̂F (z1 , z 2 ) 1 − ̂F)() (4.23)(z 1 , z 2 ) + N F Ĝ (z 1 , z 2 ) 1 − Ĝ (z 1, z 2 )) 2Les tests de bootstrap sont réalisés suivant le procédé décrit par Davidson et Duclos(2006). Lorsqu’il y a existence de dominance dans l’échantillon, on calcule le minimum dela statistique de test LR et on calcule les probabilités qui lui sont associées qui permettentaux échantillons de satisfaire tout juste l’hypothèse nulle. Ces probabilités sont utilisées pourgénérer T = 399 échantillons de bootstrap pour les deux distributions. Ensuite l’on calcule,pour chaque paire d’échantillon, la statistique LR t (avec t = 1, ..., T ) donnée par (4.22).

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 81Enfin, la valeur p T du bootstrap est calculée comme étant la proportion de statistiques LR tsupérieures à LR.Pour les ordres de dominance supérieurs, il n’existe pas de solution analytique. Les détailssont donnés en annexe.4.4 Analyse empirique4.4.1 Les donnéesLes données proviennent essentiellement des enquêtes démographiques et santé (EDS).Il s’agit d’enquêtes nationales auprès des ménages en milieux urbain et rural. Six pays del’UEMOA sont concernés par l’étude à savoir : le Bénin, le Burkina, la Côte d’Ivoire, leMali, le Niger, et le Togo. Le Sénégal a été exclu parce que, pour la période considérée, lesdonnées nutritionnelles n’ont pas été collectées. En effet, l’étude se focalise sur les enquêtesmenées au milieu des années 90 (1996-98) dans ces pays. On y retrouve essentiellement 3questionnaires à savoir : le questionnaire ménage, le questionnaire individuel femme et lequestionnaire individuel homme. L’enquête individuelle femme s’adresse aux femmes âgéesde 15 à 49 ans tandis que celle des hommes concerne en général les hommes de 15 à 59 ans.Les principales caractéristiques de ces enquêtes sont résumées dans le tableau 4.1 en annexes.Ces enquêtes fournissent des informations qui permettent d’estimer l’indicateur nutritionnel(Z_score) et l’indice de la richesse (X). Pour calculer le Z_score, on utilise les donnéessur la taille des enfants, leur âge, leur sexe et sur les valeurs standards pour une populationde référence. Pour cela, on considère uniquement les ménages pour lesquels les données nutritionnellessur les enfants ont été collectées. Quant au X, pour l’estimer l’on se sert desinformations sur la possession de biens durables (radio, télévision, réfrigérateur, bicyclette,moto, car) et sur l’accès à d’autres biens et services (électricité, type de toilette, qualité duplancher, eau potable, éducation). Toutes les variables sont qualitatives d’où l’utilisation de

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 82l’ACM et de l’approche NBS.L’échantillon global a été utilisé pour générer les scores factoriels. Pour la méthode NBS,l’on estime d’abord les paramètres grâce à la maximisation de l’équation (4.9). Ces estiméssont alors considérés pour calculer les scores factoriels d’après l’équation (4.11). Pourl’intégration de Monte Carlo, 100000 vecteurs aléatoires ont été générés chacun selon la loiuniforme. Les deux méthodes de réduction de données ont également tenu compte du poidséchantillonnal de chaque observation.Les principales statistiques décrivant les deux indices calculés sont présentées dans lestableaux 4.2 et 4.3 en annexes. La Côte d’Ivoire, le Togo et le Mali affichent en moyenne lesmeilleurs niveaux de bien-être alors que Le Burkina et le Niger enregistrent quant à eux lesplus faibles indices.Le tableau 4.4 présente une analyse de sensibilité de l’indice de richesse. La deuxièmeligne représente les quartiles. Il s’agit de savoir si les indices estimés décrivent assez bien lephénomène de pauvreté. Cela est le cas lorsque le pourcentage de ménages qui n’ont pas accèsà un bien diminue quand on passe du plus petit quartile au plus grand. L’ACM et l’approcheNBS donnent tous deux des indices de richesse qui semblent bien appréhender la pauvreté.Par ailleurs, le tableau 4.5 établit que ces deux indices sont corrélés avec un coefficient de corrélationpour l’échantillon global de 96%. Pour l’analyse de dominance, l’estimateur obtenupar l’approche NBS est considéré pour la présentation des résultats. Toutefois, l’existence dedominance n’est admise que si elle est confirmée pour les deux méthodes.4.4.2 Résultats des tests de dominancePour effectuer en pratique des comparaisons robustes de pauvreté, on définit une grille depoints (z 1 , z 2 ) plutôt que de considérer l’ensemble des points des deux distributions F et G.En théorie, s’il est possible de considérer l’ensemble de ces points, cela se révèle difficile enpratique lorsque les distributions sont de tailles assez grandes. De plus, le choix d’une grille

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 83de points permet d’analyser plus aisément, à travers un tableau, les surfaces de dominance.L’on peut alors définir des intervalles [ ]z1 − , z 1+ ⊂ [z1 , z 1 ] et [ ]z2 − , z 2+ ⊂ [z2 , z 2 ] sur lesquelson peut tester la dominance. Pour constituer la grille, l’on considère 20 quantiles pour l’indicede richesse et 10 déciles pour l’indice nutritionnel, qu’on détermine après fusion desdeux distributions à comparer. Au lieu de considérer les quantiles en tant que tels, la grilleest déterminéee en prenant plutôt les moyennes de chaque intervalle de quantile et de décile.Cela permet de ne pas exclure spontanément le point [z 1 , z 2 ] pour lequel l’indice de pauvretéau premier ordre aurait été de facto de 100% pour les deux distributions si l’on avait considérésimplement les quantiles. Cela donne un total de 200 points. Avec les 6 pays, il y a 15combinaisons possibles et donc 15 relations de dominance possibles.Le tableau 4.6 présente les résultats des tests de dominance du premier ordre. Le premierpays représente la distribution F et le second la distribution G. Le test est réalisé sous l’hypothèsenulle que G ne domine pas F . Les résultats révèlent l’existence de 12 relations dedominance. Hormis le cas BK-CI qui est une relation de dominance complète, les 11 autresrelations de dominance sont restreintes en ce sens qu’il a fallu préalablement exclure certainspoints de la grille (dans les parties inférieures et/ou supérieures) pour obtenir la dominance.Le tableau donne également le pourcentage d’individus situés dans la grille de dominance[ ] [ ]z−1 , z 1+ ⊗ z−2 , z 2+ . Les 3 cas de non dominance relevés ici correspondent à des situationsoù il existe plusieurs points d’intersection entre les deux distributions de telle sorte qu’il n’apas été possible d’obtenir des différences dans les surfaces de dominance assez significatives.La Côte d’Ivoire (CI) domine tous les pays, suivie du Togo (TG) qui dominent également3 autres pays à savoir le Bénin (BN), le Burkina (BK) et le Niger (NG). Le Bénin et le Mali(ML) dominent quant à eux le Burkina et le Niger. On note l’absence de dominance entre leMali et le Togo, le Mali et le Bénin et entre le Burkina et le Niger. Les résultats montrentégalement que les deux statistiques utilisées pour le bootstrap (les statistiques LR et t) sonttrès proches sinon identiques.Le tableau 4.7 montre que le milieu urbain domine en pauvreté le milieu rural. Ceci s’est

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 84FIG. 4.2 – Diagramme de dominance entre les pays de L’UEMOAavéré aussi bien dans chacun des pays que pour l’échantillon global. Dans ce cas ci, 4 des7 relations de dominance établies sont des dominances complètes notamment dans le cas duBurkina, du Mali, du Togo et de l’échantillon global. Les autres relations de dominance sontrestreintes.L’analyse des ordres de dominance supérieurs confirme la non dominance entre le Mali etle Togo (confère le tableau 4.8). Cela n’est pas le cas pour les deux autres relations puisquele Mali domine stochastiquement le Bénin au second ordre tandis que le Niger domine leBurkina au troisième ordre. Ici également la non dominance implique l’intersection entre lesdistributions. Le graphique 4.2 indique le classement des pays en terme de dominance. Lesflêches en continu traduisent la dominance au premier ordre alors que celles en pointillésreprésentent les dominances d’ordres supérieurs. La position de chaque pays par rapport ausommet indique sa position eu égard au niveau de pauvreté. Si au sommet on retrouve la Côted’Ivoire qui affiche le plus faible niveau de pauvreté, à l’inverse en bas on retrouve le BurkinaFaso qui présente le niveau le plus élevé.Pour affiner l’analyse, on fait une décomposition de la dominance en tenant compte de la

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 85FIG. 4.3 – Diagrammes de dominance selon la localisation(a) Milieu rural(b) Milieu urbainlocalisation des individus. On obtient ainsi deux diagrammes dont l’un présente les relationsde dominance en milieu rural et l’autre celles en milieu urbain. Le graphique 4.3 présenteces deux diagrammes dont celui de gauche est celui du milieu rural tandis que celui de droiteconcerne le milieu urbain. L’on observe que les relations de dominance en milieu rural sontquasiment identiques à celles du graphique 4.2. La seule différence est que la zone ruralede la Côte d’Ivoire domine celle du Mali à l’ordre 2, et non à l’ordre 1. Les résultats de ladominance pour le milieu urbain sont beaucoup plus surprenants. En effet, le Burkina quiétait dominé précédemment par tous les pays n’est plus dominé que par la Côte d’Ivoire. LeBénin apparaît cette fois-ci comme le plus pauvre au niveau de la population citadine. Cettesituation peut signifier un déséquilibre important entre le niveau de vie en milieu rural et celuien milieu urbain pour certains pays comme le Burkina.4.5 ConclusionLa dominance stochastique a été le plus souvent analysée dans le cadre de distributionsunivariées. Plus récemment, Bourguignon et Chakravarty (2002) proposent un cadre théo-

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 86rique de dominance stochastique en pauvreté multidimensionselle. Crawford (2005) et Ducloset al (2006) effectuent des études empiriques dans ce sens. Le présent papier s’inscritdans cette lignée, en recourant au test du ratio de vraisemblance empirique proposée par Davidsonet Duclos (2006) pour comparer la pauvreté multidimensionnelle dans six pays del’UEMOA.La démarche utilisée ici concilie les deux grandes catégories d’approches de mesures dela pauvreté multidimensionnelle à savoir les approches non axiomatiques et les approchesaxiomatiques. Ainsi, des méthodes d’analyse factorielle qui relèvent de la première catégoried’approches ont permis d’estimer un indicateur de richesse à partir des données DHS. Pourréduire l’arbitraire inhérent au choix d’une méthode particulière de réduction de données,deux méthodes d’analyse factorielle ont été utilisées : l’ACM et une méthode basée sur lafonction de vraisemblance. Pour produire les indices de pauvreté bidimensionnelle suggéréspar les approches axiomatiques, le statut nutritionnel a été considéré comme une nouvelledimension associée à l’indicateur de la richesse.La méthode d’inférence statistique basée sur le ratio de vraisemblance empirique produitdes probabilités qui permettent de déterminer les échantillons de bootstrap. Les résultats destests montrent que sur les 15 relations de dominance possibles, 12 se sont avérées statistiquementrobustes au premier ordre, même si, pour la plupart, il s’agit de dominance restreinte.La Côte d’Ivoire domine tous les autres pays en pauvreté. Il y a ensuite le Togo qui domine lereste des pays, excepté le Mali. Pour sa part, le Mali, tout comme le Bénin, domine le Burkinaet le Niger. Les tests de dominance d’ordres supérieurs confirment la non dominance entrele Mali et le Togo alors que le Mali et le Niger dominent respectivement le Bénin à l’ordre2 et le Burkina à l’ordre 3. La pauvreté est aussi apparue plus importante en milieu ruralequ’urbain. Les résutats traduisent également dans certains pays un écart considérable entre lapauvreté rurale et urbaine.

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 874.6 Annexes4.6.1 Annexe : La méthode NBSConsidérons :p(f|x) =∫Rp(f) Pr(x|f),p(f) Pr(x|f)dfp(f) peut-être dérivée puisque l’on a supposé que f suit une loi N(0, 1). Puisque la distributionconditionnelle de x ∗ par rapport à f suit une loi N(fλ, ψ), on a :⎡∣ ⎤γa 1 1 −1 ≤ x ∗ 1 ≤ γ 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 1·Pr(x|f) = Pr· f=⎢⎥⎣ ·⎦γa J J −1 ≤ x ∗ J ≤ γJ a Javecoù∫Ω{(2π) −J/2 |ψ| −1/2 exp⎡− (x∗ − fλ) ′ ψ −1 (x ∗ − fλ)2γa 1 1 −1 ≤ x ∗ 1 ≤ γa 1 1·Ω =·⎢⎣ ·γa K K −1 ≤ x ∗ K ≤ γK a K∫p(f) Pr(x|f) = (2π) −(J+1)/2 |ψ| −1/2g(x ∗ ) = f 2 + (x ∗ − fλ) ′ ψ −1 (x ∗ − fλ) = BΩ⎤,⎥⎦}dx ∗{ }exp − g(x∗ )dx ∗2[f − 1 ] 2B (λ′ ψ −1 x ∗ ) + x ∗′ Ax ∗On a :B = 1 + λ ′ ψ −1 λA = ψ −1 − 1 B ψ−1 λλ ′ ψ −1Lorsqu’on adopte la fonction de perte quadratique, l’estimateur bayésien qui minimise laperte est donné par la moyenne de la distribution a posteriori, en l’occurrence celle du score

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 88factoriel.=∫E (f|x) = fp(f|x)dfR∫fp(f) Pr(x|f)dfR= ∫p(f) Pr(x|f)dfR∫R f ∫ } {− exp g(x∗ )dx ∗ dfΩ 2= ∫} {−R∫Ω exp g(x∗ )dx2∗ df∫} {−Ω∫R f exp g(x∗ )dfdx ∗2= ∫} {−Ω∫R exp g(x∗ )dfdx2∗∫Ω exp { {} ∫− x∗′ Ax ∗f exp 2 R 2∫Ω exp { {} ∫− x∗′ Ax ∗exp 2 R 2}− [f− 1 B (λ′ ψ −1 x ∗ )] 2dfdx ∗− [f− 1 B (λ′ ψ −1 x ∗ )] 2}dfdx ∗Sans perte de généralités, en déplaçant la moyenne de f de 0 à 1 B λ′ ψ −1 x ∗ , il découle despropriétés des fonctions de densité normale que :∫ { [f −1Bexp −(λ′ ψ −1 x ∗ ) ] }2df = 1 etR2∫ { [f −1Bf exp −(λ′ ψ −1 x ∗ ) ] }2df = 1 2B λ′ ψ −1 x ∗ .RCela implique alors que :∫X i = ̂f B = E (f|x) =avec :Ωx ∗ W =1B λ′ ψ −1 x ∗ exp { }− x∗′ Ax ∗2 dx∗∫Ω exp { }− x∗′ Ax ∗dx∗∫Ω x∗ exp { }− x∗′ Ax ∗2 dx∗∫Ω exp { }− .x∗′ Ax ∗dx∗22= 1 B λ′ ψ −1 x ∗ WSachant que exp {x ∗′ Ax ∗ /2} est proportionnelle à la fonction de densité de la loi N(0, A −1 ),Shi et Lee (1997) recommandent l’utilisation d’une méthode simple de Monte Carlo. Il s’agitde générer L vecteurs aléatoires u 1 , ..., u L où chaque vecteur est généré suivant la loi uniformesur Ω. Si le but est de calculer une intégrale de la forme ∫ Ω Q(x∗ )dx ∗ , alors l’on a :∫V (Ω) [Q(u 1 ) + ... + Q(u L )] /L → Q(x ∗ )dx ∗ si L → ∞Ω

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 89où V (Ω) dénote le volume de Ω. En appliquant ce résultat à l’expression de x ∗ W , on a :avec :D(u 1 ) + ... + D(u L )d(u 1 ) + ... + d(u L ) → x∗ W , si L → ∞}D(x ∗ ) = x ∗ exp{− x∗′ Ax ∗2}et d(x ∗ ) = exp{− x∗′ Ax ∗.24.6.2 Annexe : Inférence sur la dominance d’ordres supérieursLes statistiques de test sont alors dérivées numériquement. Pour ce faire, l’on considèrele Lagrangien (L) associé au problème de maximisation sous contrainte. En posant :∑P Fi (z 1 − x F i1) s 1−1 (z 2 − x F i2) s 2−1 I ( x F i1 ≤ z 1 , x F i2 ≤ z 2)=∑iiPi F Γ s 1,s 2F,i()I i (z 1 , z 2 )et∑Pj G (z 1 − x G j1) s1−1 (z 2 − x G j2) s2−1 I ( ) ∑x G j1 ≤ z 1 , x G j2 ≤ z 2 = Pj G Γ s 1,s 2G,j ()I j (z 1 , z 2 ) ,jjalors L est donné par :L = ∑ in F ilog P Fi+ ∑ jn G j log P G j+ λ F (1 − ∑ iP Fi ) + λ G (1 − ∑ jP G j )− µ( ∑ iPi F Γ s 1,s 2F,i()I i (z 1 , z 2 ) − ∑ jP G j Γ s 1,s 2G,j ()I j (z 1 , z 2 )), (4.24)où λ F , λ G et µ ∈ R sont des multiplicateurs de Lagrange. Les conditions de premier ordresont les suivantes :λ F + λ G = N F + N G = N,P Fi =n F iλ + µΓ s 1,s 2F,i()I i (z 1 , z 2 ) et P G j =n G jN − λ − µΓ s 1,s 2G,j ()I j (z 1 , z 2 )(4.25)avec λ = λ F . Il est alors plus aisé de résoudre le problème en recherchant ̂λ et ̂µ comme suit :(̂λ, ̂µ) = arg minλ,µ∈R− ∑ in F i log(λ + µΓ s 1,s 2F,i()I i (z 1 , z 2 ))− ∑ jn G j log(N − λ − µΓ s 1,s 2G,j ()I j (z 1 , z 2 )) (4.26)

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 90Si on considère que (z ∗ 1, z ∗ 2) est le couple de seuils qui minimise la fonction ci-dessus, lesprobabilités ̂P Fi (z ∗ 1, z ∗ 2) et ̂P G j (z ∗ 1, z ∗ 2) sont obtenues en remplaçant, dans l’équation 4.25, λ etµ par leurs estimés. Le ratio de vraisemblance est alors donné par l’expression :⎧⎪⎨ −N F log N F − N G log N G + ∑ n F i log n F i + ∑ ⎫n G j log n G j⎪⎬ijLR s1 ,s 2= 2⎪⎩ − ∑ n F i log ̂P i F (z1, ∗ z2) ∗ − ∑ n G j log ̂P j G (z1, ∗ z2)∗ ⎪⎭ (4.27)ijL’équivalence entre cette statistique et la statistique t peut être démontrée à l’aide desméthodes de Davidson (2007).4.6.3 Annexe : Les principaux tableauxTAB. 4.1 – Principales caractéristiques des enquêtes EDSBénin Burkina CI Mali Niger TogoAnnées de sondage 1996 1998-99 1998-99 1995-96 1998 1998Nombre de zones dedénombrement 200 210 140 300 268 288Nombre de ménages :- Enquêtés 4499 4812 2122 8716 5928 7517- Milieu urbain (%) 32 26 67 32 28 32- Milieu rural (%) 68 74 33 68 72 68Nombre de femmes :- Enquêtés 5491 6445 3040 9704 7577 8569- Milieu urbain (%) 33 26 68 36 31 36- Milieu rural (%) 67 74 32 64 69 64Nombre d’hommes :- Enquêtés 1535 2641 886 2474 3542 3819- Milieu urbain (%) 33 30 66 36 34 35- Milieu rural (%) 67 70 34 64 66 65Source : Enquêtes EDS

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 91TAB. 4.2 – Statistiques descriptives de l’indice de richesse (X)Pays Approche NBS ACMMoy. Ecart-t. Max Min Moy. Ecart-t. Max MinBénin 0.009 0.573 1.930 −0.486 0.020 0.587 2.819 −0.456Burkina −0.150 0.472 2.045 −0, 486 −0.133 0.496 2.819 −0.456CI 0.663 0.754 2.044 −0.481 0.566 0.788 2.819 −0.449Mali 0.066 0.498 1.989 −0.490 −0.010 0.496 2.647 −0.456Niger −0.179 0.482 2.009 −0.479 −0.159 0.485 2.819 −0.449Togo 0.138 0.583 1.931 −0.491 0.104 0.580 2.819 −0.456Ensemble 0.023 0.574 2.045 −0.491 0.000 0.572 2.819 −0.456TAB. 4.3 – Statistiques descriptives de l’indicateur nutritionnel (Z_score)Pays Moy. Ecart-t. Max MinBénin −1.265 2.724 19.527 −28.471Burkina −1.749 2.512 17.108 −28.921CI −1.350 2.312 7.294 −27.808Mali −1.294 2.428 45.800 −23.978Niger −1.762 1.944 10.954 −13.117Togo −1.196 2.345 37.817 −29.016Ensemble −1.449 2.389 45.800 −29.016TAB. 4.4 – Analyse de sensibilité de l’indice de richesse X à travers des quartilesApproche NBSACM1 er 2 eme 3 eme 4 eme 1 er 2 eme 3 eme 4 emePas d’élect. 100 100 100 57.3 100 100 99.7 57.0Pas de radio 82.7 31.6 35.2 18.9 72.0 56.2 20.7 16.7Pas de TV 100 100 100 59.0 100 100 99.8 58.5Pas de frigo 100 100 100 84.4 100 100 100 84.2Pas de bicyclette 54.0 39.7 51.5 67.4 46.8 57.1 42.7 68.3Pas de moto 100 82.9 80.8 60.8 100 83.6 78.4 59.4Pas de car 100 100 99.9 87.4 100 100 99.9 87.2Plancher pauvre 100 68.8 72.6 28.5 100 80.5 60.0 25.2Pas de latrine 100 95.0 36.0 14.8 100 78.4 45.5 18.2Pas d’éducation 100 99.7 76.7 41.3 99.6 89.2 80.1 46.8Pas d’accès à l’eau 14.1 15.5 11.5 5.2 14.8 18.2 9.4 4.3

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 92TAB. 4.5 – Corrélation entre les indices de richesse des deux approchesPays CoefficientsBénin 0.97Burkina 0.98CI 0.94Mali 0.96Niger 0.97Togo 0.96Ensemble 0.96TAB. 4.6 – Tests de dominance stochastique de premier ordre, pays F versus pays GIntervalles Nature de la P-valueX Z_score dominance LR tBN-CI [−0.46, 1.23] [−2.96, 2.18] restreinte 0.000 ∗∗∗ 0.000 ∗∗∗BK-CI [−0.48, 1.87] [−5.97, 2.23] complète 0.005 ∗∗∗ 0.003 ∗∗∗ML-CI [−0.44, 1.52] [−3.27, 2.30] restreinte 0.000 ∗∗∗ 0.000 ∗∗∗NG-CI [−0.45, 1.85] [−3.46, 1.85] ” 0.000 ∗∗∗ 0.000 ∗∗∗TG-CI [−0.44, 1.00] [−2.87, 2.18] ” 0.000 ∗∗∗ 0.000 ∗∗∗BN-TG [−0.46, 0.24] [−2.92, 2.36] ” 0.090 ∗ 0.090 ∗BK-TG [−0.47, 1.18] [−5.64, 2.23] ” 0.013 ∗∗ 0.013 ∗∗ML-TG − − − non dominanceNG-TG [−0.44, 1.63] [−5.03, 1.97] restreinte 0.033 ∗∗ 0.033 ∗∗BN-ML − − − non dominanceBK-ML [−0.47, 1.08] [−5.46, 2.44] restreinte 0.000 ∗∗∗ 0.000 ∗∗∗NG-ML [−0.45, 1.62] [−3.47, 2.28] ” 0.000 ∗∗∗ 0.000 ∗∗∗BK-BN [−0.47, 1.64] [−5.85, 0.44] ” 0.000 ∗∗∗ 0.003 ∗∗∗NG-BN [−0.44, 1.10] [−3.38, 2.11] ” 0.070 ∗ 0.070 ∗BK-NG − − − non dominance

Chapitre 4. Dominance en pauvreté multidimensionnelle 93TAB. 4.7 – Tests de dominance stochastique de premier ordre, zone rurale versus zone urbaineIntervalles Nature de la P-valueX Z_score dominance LR tBénin [−0.48, 1.58] [−3.00, 2.37] restreinte 0.028 ∗∗ 0.018 ∗∗Burkina [−0.48, 1.68] [−6.03, 2.43] complète 0.033 ∗∗ 0.028 ∗∗CI [−0.40, 1.92] [−2.86, 1.84] restreinte 0.013 ∗∗ 0.013 ∗∗Mali [−0.46, 1.57] [−5.02, 2.44] complète 0.028 ∗∗ 0.033 ∗∗Niger [−0.45, 1.62] [−4.88, 1.63] restreinte 0.023 ∗∗ 0.025 ∗∗Togo [−0.47, 1.58] [−5.08, 2.07] complète 0.020 ∗∗ 0.008 ∗∗∗Ensemble [−0.47, 1.73] [−5.33, 2.27] ” 0.000 ∗∗∗ 0.000 ∗∗∗TAB. 4.8 – Tests de dominance stochastique d’ordres supérieurs, pays F versus pays GIntervalles Nature de la P-valueX Z_score dominance LR tBN-ML (2) [−0.47, 0.10] [−3.23, 2.71] restreinte 0.023 ∗∗ 0.020 ∗∗ML-TG − − − non dominanceBK-NG (3) [−0.45, 1.69] [−5.44, −0.55] restreinte 0.035 ∗∗ 0.040 ∗∗

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Chapitre 5Inférence statistique en dominancestochastique en présence d’un indicateurdiscret de bien-être5.1 IntroductionDepuis les travaux de Sen (1979,1985,1987), la pauvreté est reconnue comme un phénomènemultidimensionnel. Outre le revenu, un certain nombre de variables peuvent êtreidentifiées comme étant des manifestations de la pauvreté à savoir, entre autres, l’état de lasanté, le niveau d’éducation, la possession de biens durables, l’accès à des services de base,etc. La plupart de ces dimensions sont discrètes, ce qui suggère d’établir des conditions decomparaisons de la pauvreté multidimensionnelle qui tiennent compte de cette nature.Par exemple, de nombreux économistes estiment que la taille et la composition du ménagesont des déterminants de son niveau de vie. Ainsi, Bourguignon (1989) propose un critère dedominance en bien-être social qui tient compte de la taille du ménage. Atkinson (1992),Atkinson et Bourguignon (1987) et Jenkins et Lambert (1993) proposent des conditions dedominance séquentielle en bien-être et en pauvreté qui tiennent compte des différences detaille des ménages. Chambaz et Maurin (1998) analysent la pertinence empirique de cette démarche.Plus récemment, Duclos et Makdissi (2005) étendent l’analyse aux ordres supérieurs

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 98de dominance.Cependant, il n’y a pas que la taille des ménages qui constitue une dimension discrète.Il existe plusieurs autres aspects que l’on peut considérer. Ainsi, l’alphabétisation, le lieu derésidence (rural vs urbain), le type d’activités sont autant d’aspects qui peuvent influencerle bien-être de chaque ménage. Par ailleurs, la plupart des études s’en sont tenus à dériverles conditions de dominance et à effectuer des comparaisons d’estimés de la pauvreté entrepays, périodes ou régions. Duclos, Sahn et Younger (2007) proposent des comparaisons robustesde la pauvreté multidimensionnelle dont une ou plusieurs dimensions sont discrètes.Ils s’appuient sur un test asymptotique. Notre objectif est de réaliser des inférences statistiquesen dominance stochastique basée sur l’approche d’intersection-union. Cette approchepermet de tester l’existence d’une dominance stricte. Davidson et Duclos (2006) proposent,dans le cadre des distributions univariées, un test de ratio de vraisemblance empirique quisera étendu au cas de la pauvreté multidimensionnelle en présence d’un indicateur discret debien-être.La section suivante expose les conditions de dominance en bien-être tandis que la section3 décrit plutôt celle de la dominance en pauvreté. Ces conditions sont empruntées à Atkinsonet Bourguignon (1987), Jenkins et Lambert (1993), Chambaz et Maurin (1998) et Ducloset al (2007). La section 4 présente la méthode d’inférence qui s’appuie sur le ratio de vraisemblanceempirique et des échantillonnages de bootstrap. La section 5 présente quelquesillustrations empiriques de comparaisons de la pauvreté basées sur la méthode proposée. Ladernière section conclut le chapitre.5.2 Dominance stochastique en bien-êtreCette partie s’inspire des travaux d’Atkinson et Bourguignon (1987), de Jenkins et Lambert(1993) et de Chambaz et Maurin (1998). On suppose une population hétérogène quel’on peut partitionner en K sous-groupes selon un indicateur discret. On admet également

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 99que les sous-groupes peuvent être classés par ordre croissant ou décroissant selon leurs utilités.Soient x le revenu et u k (x) la fonction d’utilité concave et croissante du sous-groupede ménages k ; soit F k (x) la fonction de densité cumulative des ménages dans chaque sousgroupek ; soit φ F k∑ Kk=1 φF kla proportion des ménages du sous-groupe k dans la population totale avec= 1 ; la fonction d’utilité sociale W de cette population est donnée par :W F =K∑k=1φ F k∫ x0u k (x)dF k (x) dx, (5.1)où x correspond au supremum des revenus maximaux des sous-groupes, avec F k (x) = 1 ∀k = 1, ..., K. On fait l’hypothèse suivante :u (1)1 (x) ≥ u (1)2 (x) ≥ · · · ≥ u (1) (x) ≥ 0 ∀ x. (5.2)KCette hypothèse signifie que, pour un même niveau de revenu x, les sous-groupes ayantplus de besoins (les sous-groupes sont ordonnés de telle façon que 1 correspond au plusnécessiteux et K au moins nécessiteux) valorisent le plus une augmentation de leur revenupar rapport aux sous-groupes ayant moins de besoins. Les ménages ayant plus de besoins sontdes ménages qui nécessitent plus de ressources pour atteindre le même niveau de bien-êtrequ’un ménage avec moins de besoins. Pour tenir compte du fait que l’on fait abstraction dedifférences éventuelles dans les besoins pour les ménages à hauts revenus, on peut poser unehypothèse supplémentaire (Jenkins et Lambert, 1993 ; Chambaz et Maurin, 1998) :u 1 (x) = u 2 (x) = · · · = u K (x). (5.3)Considérons une autre population dont les fonctions de densité cumulative pour les Ksous-groupes sont données par G k (x). On dénote alors par φ G kla proportion des ménages

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 100dans chaque sous-groupe k. La condition de dominance séquentielle de premier ordre enbien-être de F par G est donnée par la proposition 1.Proposition 1 W G ≥ W F ∀ u k (x), avec k = 1, ..., K, satisfaisant les hypothèses (2) et (3),L∑ (si et seulement si φFk F k (x) − φ G k G k (x) ) ≥ 0 ∀ x et ∀ L = 1, ..., K.k=1Pour la preuve, voir Chambaz et Maurin (1998) qui s’inspirent de la démonstration d’Atkinsonet Bourguignon (1987) tout en relâchant l’hypothèse φ F k = φG k .Pour examiner la dominance stochastique sequentielle de second ordre, l’on introduit unehypothèse additionnelle :u (2)1 (x) ≤ u (2)2 (x) ≤ · · · ≤ u (2) (x) ≤ 0 ∀ x. (5.4)KCette hypothèse signifie que les différences entre les utilités marginales sont en valeurabsolue plus faibles pour les sous-groupes ayant moins de besoins. Autrement dit, la décroissancede l’utilité marginale est plus forte pour les sous-groupes ayant plus de besoins etdiminue au fur et à mesure que l’on considère les sous-groupes avec de moins en moins debesoins. La condition de dominance stochastique séquentielle de second ordre en bien-êtrede F par G est donnée par la proposition 2.Proposition 2 W G ≥ W F ∀ u k (x), avec k = 1, ..., K, satisfaisant les hypothèses (2), (3) etL∑ [(4), si et seulement si φFk F k (y) − φ G k G k (y) ] dy ≥ 0 ∀ x et ∀ L = 1, ..., K.k=1∫ x0Jenkins et Lambert (1993) donnent la preuve de la suffisance de cette proposition dans lecas général où φ F k et φG k ne sont pas forcément égales. Chambaz et Maurin (1998) en donnentla preuve de la nécessité.

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 1015.3 Dominance stochastique en pauvretéPour établir les conditions de dominance en pauvreté, quelques autres hypothèses sontnécessaires. On considère les ensembles de séquences de seuils de pauvreté suivantes :Z 1 ≥ Z 2 ≥ · · · ≥ Z k (5.5)Cette condition signifie que les seuils de pauvreté des différents sous-groupes peuventêtre ordonnés décroissants des plus nécessiteux aux moins nécessiteux. Cette supposition estraisonnable lorsqu’on prend par exemple le cas de la taille des ménages, où le sous-groupele plus nécessiteux correspond aux ménages de grandes tailles (sous-groupe 1) tandis quele moins nécessiteux correspond aux ménages d’un seul individu (sous-groupe K). Dans cecas, il est approprié de supposer qu’un ménage d’un sous-groupe k ait au moins autant debesoins que celui d’un sous-groupe k + 1 et, par conséquent, un seuil de pauvreté au moinsaussi grand.On définit par P k (Z k ), la mesure de pauvreté dans chaque sous-groupe k :P k (Z k ) =∫ Zk0π k (x) dF k (x) dx, (5.6)où π k (x) est la contribution à la pauvreté d’un ménage du sous-groupe k ayant un niveaude revenu x. L’on a π k (x) = 0 si x ≥ Z k . Il est assez intuitif d’imaginer que, pour unmême niveau de revenu x, une même augmentation du revenu d’un individu diminuera lapauvreté d’un sous-groupe k au moins autant que celle d’un sous-groupe k + 1. C’est ce quel’hypothèse suivante exprime :π (1)1 (x) ≤ π (1)2 (x) ≤ · · · ≤ π (1) (x) ≤ 0, ∀ x. (5.7)K

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 102Cette condition admet également, par la non positivité de π (1)k(x), l’axiome de monotonicitédéfini dans les mesures axiomatiques de la pauvreté 1 .Considérons la mesure de la pauvreté pour l’ensemble de la population :K∑∫ ZkK∑P (Z) = φ k π k (x) dF k (x) dx = φ k P k (Z k ) , (5.8)k=10k=1avec Z = (Z 1 , Z 2 , ..., Z K ). Soient P F (Z) la mesure de la pauvreté pour une population Fet P G (Z) celle pour une population G, avec ∆P (Z) = P F (Z) − P G (Z). Dénotons parΠ 1 (Z), la classe des mesures de pauvreté satisfaisant l’ensemble des hypothèses ci-dessusénumérées. On définit des limites supérieures de seuils de pauvreté Z 1 + ≥ Z 2 + ≥ · · · ≥ Z + kde telle sorte que Z k ≤ Z + k, ∀ k. La condition de premier ordre en pauvreté de F par G estdonnée par la proposition 3.Proposition 3 ∆P (Z) > 0, ∀ P (Z) ∈ Π 1 (Z) et ∀ Z k ∈ [ ]0, Z + k , k = 1, ..., K si etL∑ [seulement si φFk F k (Z k ) − φ G k G k (Z k ) ] > 0, ∀ Z k ∈ [ ]0, Z + L et ∀ L = 1, ..., K.k=1Jenkins et Lambert (1993) et Chambaz et Maurin (1998) en donnent la preuve.Duclos et al (2007) considèrent également, par simplicité, la classe de mesures de pauvretéadditives. Mais ils dérivent des conditions de dominance en utilisant directement cettemesure comme alternative aux fonctions de répartitions. Ils prennent l’exemple des mesuresdu type F GT (Foster, greer et Thorbecke, 1984) où l’expression de π k (x) est donnée par :π k (x) = (Z k − x) α (5.9)Nous avons alors :1 Voir Bourguignon et Chakravarty (2002,2003) ainsi que Tsui (2002) pour une discussion de cet axiome etdes autres principaux axiomes qui caractérisent les indices de pauvreté.

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 103P k (Z k ; α) =∫ Zk0(Z k − x) α dF k (x) dx. (5.10)α = 0 correspond à l’incidence de la pauvreté, α = 1 à l’écart de la pauvreté et α = 2à l’indice de sévérité de la pauvreté. La mesure retenue (notamment le choix de α) indiquel’ordre de dominance en pauvreté qui est égal à α + 1. Ainsi, la seconde condition de laproposition 3 est identique à celle dérivée par Duclos et al (2007) pour la dominance enpauvreté de premier ordre :L∑ [φFk Pk F (Z k ; 0) − φ G k Pk G (Z k ; 0) ] > 0, ∀ Z k ∈ [ ]0, Z + Lk=1et ∀ L = 1, ..., K. (5.11)Duclos et al (2007) considèrent aussi le cas où les indices de pauvreté ne sont pas continusau niveau du seuil de pauvreté. On a alors π k (x) = 0 si x > Z k et l’on postule l’hypothèseadditionnelle suivante :π 1 (x) ≥ π 2 (x) ≥ · · · ≥ π K (x) ≥ 0, ∀ x. (5.12)Cette condition signifie simplement que, pour un même niveau de revenu x, un ménaged’un sous-groupe k est perçu comme étant au moins aussi pauvre que celui d’un sous-groupek+1. La condition de dominance du premier ordre requiert alors, en plus de l’équation (5.11),la condition suivante :L∑ [φFk PkFk=1(Z+k ; 0) − φ G k P G k(Z+k ; 0)] > 0, ∀ L = 1, ..., K. (5.13)Il est possible d’établir la condition de dominance en utilisant un seuil unique Z u pourtous les sous-groupes plutôt qu’une séquence de seuils Z 1 ≥ Z 2 ≥ · · · ≥ Z k . Dans ce cas,

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 104lorsqu’on a Z u + ≥ Z 1 + avec Z u ∈ [0, Z u + ], alors cette condition de dominance est plus forteque celle de la proposition 3. Autrement dit, cette dominance implique la dominance de laproposition 3 alors que la réciproque n’est pas vraie. Par ailleurs, lorsqu’on considère plutôtZ u∈ [0, x], la condition de dominance en pauvreté devient équivalente à la condition dedominance en bien-être exprimée par la proposition 1.Pour étendre l’analyse à la dominance de second ordre, l’on considère l’hypothèse suivante:π (2)1 (x) ≥ π (2)2 (x) ≥ · · · ≥ π (2)K(x) ≥ 0, ∀ x. (5.14)Dénotons par Π 2 (Z), la classe des mesures de pauvreté respectant en plus l’hypothèse cidessus.La proposition 4 établit les conditions d’équivalence en dominance de second ordrede F par G en pauvreté.Proposition 4 Les conditions suivantes sont équivalentes :(i) ∆P (Z) > 0, ∀ P (Z) ∈ Π 2 (Z) et ∀ Z k ∈ [ ]0, Z + k , k = 1, ..., K(ii) L ∑k=1∫ Zk0[φFk F k (x) − φ G k G k (x) ] dx > 0, ∀ Z k ∈ [ ]0, Z + L et ∀ L = 1, ..., K.∑(iii) L [φFk Pk F (Z k; 1) − φ G k P k G (Z k; 1) ] > 0, ∀ Z k ∈ [ ]0, Z + L et ∀ L = 1, ..., K.k=1avec :P F k (Z k ; 1) =∫ Zk0(Z k − x) dF k (x) dx et P G k (Z k ; 1) =∫ Zk0(Z k − x) dG k (x) dx(5.15)Proof. Voir la preuve en annexes.

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 105Ici aussi, le choix d’un Z u ∈ [0, x] unique pour tous les sous-groupes rend la condition dedominance équivalente à la dominance de second ordre en bien-être (proposition 2).5.4 Méthode d’inférence statistiqueOn considère une population de taille N qu’on partitionne en K sous-groupes selon un indicateurdiscret d (niveau d’éducation, lieu de résidence, taille du ménage, etc). On considèreégalement un indicateur continu x de bien-être (revenu, dépenses, etc). Soit P i la probabilitérattachée au ménage i, avec i = 1, ..., N et ∑ Ni=1 P i = 1. Soit p ki la probabilité rattachéeau ménage i relativement au sous-groupe k de telle sorte que P i = φ k p ki . En considérant ycomme un niveau quelconque de revenu dans l’ensemble [0, x], la fonction de distributioncumulative normalisée (F k ) 2 d’un sous-groupe peut être estimée par :̂F k (y) =N∑P i I (x i ≤ y, d i = k) (5.16)i=1I(·) est une fonction indicatrice qui prend la valeur 1 lorsque la condition est vérifiée et lavaleur 0 sinon. Supposons maintenant qu’on veuille comparer deux distributions bivariées Fet G de tailles respectives N F et N G . La proposition 1 suggère l’existence d’une dominancestochastique séquentielle du premier ordre en bien-être de F par G si :L∑ [̂Fk (y) − (y)]Ĝk > 0 ∀ y et ∀ L = 1, ..., K. (5.17)k=1∑Ainsi, il y a absence de dominance lorsqu’on a L [F k (y) − G k (y)] ≤ 0 pour au moinsun couple (y, L). Le test est réalisé sous l’hypothèse nulle de non dominance contre l’alternativede dominance :2 On a ainsi que F k (∞) = φ k .k=1

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 106L∑H 0 : [F k (y) − G k (y)] = 0 pour certains couples (y, L)k=1versusL∑H 1 : [F k (y) − G k (y)] > 0 ∀ y et ∀ L = 1, ..., K.k=1Davidson et Duclos (2006) proposent dans le cadre univarié une méthode de comparaisonrobuste basée sur le ratio de vraisemblance empirique. Cette méthode est étendue ici auxdistributions bivariées dont une des dimensions est discrète. Le problème de maximisation dela fonction de vraisemblance empirique est donné par :maxPiF ,P jG∑N Fi=1∑N Glog Pi F +jlog P G j (5.18)sujet à :∑iP Fi= 1 et ∑ jP G j = 1En résolvant le problème, on obtient la fonction de vraisemblance empirique maximiséenon contrainte ÊL. Dans une seconde étape, le problème (5.18) est maximisé en tenantcompte de la contrainte supplémentaire :∑N F∑N Gi I(x F i ≤ y, d F i ≤ L) − Pj G I(x G j ≤ y, d G j ≤ L) = 0. (5.19)P Fi=1j=1On obtient alors la fonction de vraisemblance empirique contrainte ÊL c. Le ratio de vraisemblanceLR est obtenu en multipliant par 2 la différence entre ÊL et ÊL c. Son expressionest donnée par :

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 107⎧⎪⎨LR(y, L) = 2⎪⎩N log N − N F log N F − N G log N G+N F (y, L) log N F (y, L) + N G (y, L) log N G (y, L)+M F (y, L) log M F (y, L) + M G (y, L) log M G (y, L)−(N F (y, L) + N G (y, L)) log(N F (y, L) + N G (y, L))−(M F (y, L) + M G (y, L)) log(M F (y, L) + M G (y, L))⎫⎪⎬⎪⎭(5.20)où N h (y, L) = ∑ N hi=1 I i(y, L), M h (y, L) = N F − N h (y, L) et I i (y, L) = I(x h i ≤ y, d h ß ≤ L),avec h = F, G. Lorsqu’on aborde la dominance séquentielle en pauvreté, la contrainte (19)peut être reécrite comme suit :∑N F∑N Gi I(x F i ≤ Z L , d F i ≤ L) − Pj G I(x G j ≤ Z L , d G j ≤ L) = 0, avec Z L ∈ [0, Z + L ].(5.21)P Fi=1j=1Comme l’ont montré Davidson et Duclos (2006), le ratio LR est asymptotiquement équivalentreau carré de la statistique t de Kaur, Rao et Singh (1994) dans le cas univarié. Ilest assez trivial de montrer que cela tient dans le cas bivarié. La proposition 5 établit cetteéquivalence :∑Proposition 5 Sous l’hypothèse F (y, L) = G(y, L), avec F (y, L) = L F k (y) et G(y, L) =L∑G k (y), lorsque N → ∞, alors LR(y, L) est équivalente à t 2 (y, L).k=1k=1Proof. Voir la preuve en annexe.L’expression du carré de la statistique t est la suivante :t 2 (y, L) =( ) 2N F N G ̂F (y, L) − Ĝ (y, L)N G ̂F (y, L)(1 − ̂F)). (5.22)(y, L) + N F Ĝ (y, L)(1 − Ĝ (y, L)L’avantage avec l’approche du ratio de vraisemblance est que son estimation permet égalementd’estimer les probabilités P Fi et P G j qui vont servir à dériver les échantillons du boots-

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 108trap 3 . Dans la démarche précédente, qui concerne la dominance du premier ordre, les solutionssont déterminées analytiquement. Les expressions de P Fi et P G j sont données par :Pi F = I i(y, L)+ (1 − I i(y, L))θφ(5.23)P G j =I j (y, L)N F + N G − θ + (1 − I j(y, L))N F + N G − φ(5.24)avecθ = (N F + N G ) × N F (y, L)N F (y, L) + N G (y, L)et φ = (N F + N G ) × M F (y, L)M F (y, L) + M G (y, L) .Les statistiques LR(y, L) et t(y, L) correspondent aux minimums respectifs parmi l’ensembledes combinaisons (y, L) possibles. Si ce minimum est égal à 0, alors la courbe dedominance donnée par ( ∑ i P Fi I i (y, L) − ∑ j P G j I j (y, L)) prend au moins une valeur négativeou nulle pour certains couples (y, L). Dans le cas contraire, il y a alors possibilité dedominance et les tests de bootstrap seront effectués en adoptant la démarche de Davidson etDuclos (2006). En utilisant P Fiet P G j , on génère 399 échantillons de bootstrap respectivementpour les distributions F et G. La P − value qui représente la probabilité rattachée àl’hypothèse nulle H 0 est égale à la proportion des échantillons pour lesquels les statistiquesLR et t de bootstrap sont respectivement supérieures aux minimums LR(y, L) et t(y, L)obtenus avec les échantillons initiaux.Pour la dominance stochastique d’ordre supérieur, il n’existe pas de solution analytique.On considère cette fois-ci une contrainte de la forme :3 Les statistiques LR 1/2 (y, L) et t 1/2 (y, L) sont asymptotiquement pivotales. En effet, sous l’hypothèsenulle F (y, L) = G(y, L), la statistique LR 1/2 (y, L) est équivalente à la statistique t 1/2 (y, L) qui est, sous cettemême hypothèse, asymptotiquement distribuée selon la loi N(0, 1), ce qui est valable pour leurs minimums.Voir Kaur, Rao et Singh (1994) et Davidson et Duclos (2006) pour la démonstration dans le cadre univarié.

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 109∑N F∑N Gi (y − x F i ) s I i (y, L) − Pj G (y − x G j ) s I j (y, L) = 0, (5.25)P Fi=1j=1où s + 1 est l’ordre de dominance. On pose le Lagrangien (L) associé au nouveau problèmede maximisation comme suit :L = ∑ ilog P Fi+ ∑ jlog P G j+ λ F (1 − ∑ iP Fi ) + λ G (1 − ∑ jP G j )∑N F− µ(i=1∑N Gi (y − x F i ) s I i (y, L) − Pj G (y − x G j ) s I j (y, L)). (5.26)P Fj=1λ F , λ G et µ ∈ R sont des multiplicateurs de Lagrange. Pour s ≥ 1, il n’y a pas de solutionanalytique. Mais il est possible de faire quelques transformations pour dériver les solutionsnumériques plus facilement. Pour cela, on obtient d’abord les conditions de premier ordre duproblème de maximisation précédent :λ F + λ G = N F + N GP Fi =1λ F + µ(y − x F i )s I i (y, L) et P G j =1N F + N G − λ F − µ(y − x G j )s I j (y, L) . (5.27)On peut maintenant résoudre le problème en recherchant ̂λ F et ̂µ :(̂λ F , ̂µ) = arg minλ F ,µ∈R− ∑ ilog(λ F + µ(y − x F i ) s I i (y, L))− ∑ jlog(N F + N G − λ F − µ(y − x G j ) s I j (y, L)). (5.28)

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 110Il s’agira ensuite de remplacer λ F et µ par leurs estimés ̂λ F et ̂µ dans l’équation (5.26)pour obtenir les probabilités ̂P Fiet ̂P G j . Ces probabilités sont alors utilisées pour déterminerle ratio LR(y, L). On retient finalement la statistique qui correspond au minimum parmil’ensemble des couples de points (y, L). Dans quelques extensions des méthodes de Davidsonet Duclos, Davidson (2007) montre dans le cas univarié que, sous l’hypothèse nulle de nondominance de second ordre ∫ yF (y) = ∫ yG(y) pour au moins un seuil (y), cette statistique0 0est équivalente au carré de la statistique t correspondante. L’extension au cas ∫ yF (y, L) =∫ y0G(y, L) est triviale.05.5 Résultats empiriquesNous utilisons les données issues des enquêtes démographiques et de santé (EDS) poursix pays de l’UEMOA (Bénin, Burkina, Côte d’Ivoire, Mali, Niger, Togo) afin d’illustrerl’existence de dominance stochastique séquentielle stricte en présence d’un indicateur discretde bien-être. La première variable que nous considérons est un indice multidimensionnel derichesse calculé selon les méthodes d’analyse factorielle. Plus précisement, on le calcule enappliquant l’analyse des correspondances multiples (ACM) à un ensemble de 11 variablesqualitatives indiquant la possession de biens durables (radio, télévision, réfrigérateur, bicyclette,moto, car) et l’accès à d’autres biens et services (électricité, type de toilette, qualitédu plancher, eau potable, éducation) 4 . Comme indicateur discret, nous utilisons la taille duménage. On partitionne alors les échantilons en 10 groupes dont le premier est composé desménages de 10 individus et plus alors que le 10 ème groupe ne comprend que les ménagesd’un seul individu. Un autre indicateur discret considéré par l’étude est la zone de résidence.Les échantillons sont alors divisés en deux groupes à savoir, ceux qui vivent en zone ruraleet ceux qui vivent en zone urbaine. Le niveau d’éducation du chef de menage constitue ledernier indicateur discret.Pour effectuer les comparaisons de pauvreté, avec la taille du ménage comme indicateur4 Voir Greenacre (1993) et Greenacre et Blasius (2006) pour des détails sur les méthodes ACM

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 111discret, on constitue une grille de points (z y , L), soit 20 points pour y et 10 points pour L.Pour l’indice de richesse, on considère 20 quantiles, après fusion des deux distributions àcomparer, et les points z y sont donnés par les moyennes dans chaque classe de quantile. Ondéfinit ensuite L = [1, 2, ..., 10] où L = 1 correspond aux ménages de 10 individus et plus,L = 2 à celui de 9 individus, ainsi de suite jusqu’à L = 10 qui correspond à celui composéd’un seul individu.Le graphique 5.1 décrit les relations de dominance entre les six pays. Les flèches encontinu traduisent la dominance de premier ordre alors que celles en pointillés indiquent ladominance d’ordre 2. La Côte d’Ivoire domine tous les autres pays, suivie du Mali qui sembledominer les 4 autres pays, puis du Togo qui domine les 3 pays restants. On note une absencede dominance entre le Bénin et le Niger, ainsi qu’entre le Niger et le Burkina. La dominancede second ordre entre la Côte d’Ivoire et le Mali n’est obtenue que lorsqu’on exclutles comparaisons touchant uniquement les ménages de 8 individus et/ou plus. En effet, lescomparaisons entre ces groupes exclusivement ne donnent pas de relation de dominance carles courbes se croisent. Mais, lorsqu’on élargit les échantillons de sorte à inclure des ménagesde tailles inférieures à 8, alors la dominance apparaît. Dans le cas du Mali et du Togo, c’estplutôt en excluant les ménages de 4 individus et moins qu’on obtient de la dominance.Les résultats plus détaillés des tests sont reportés dans les tableaux 5.1, 5.2 et 5.3 en annexes.Le tableau 5.1 décrit les résultats de la dominance du premier ordre. Les P − valuesont les probabilités associées à l’hypothèse H 0 que le second pays ne domine pas séquentiellementle premier. Les résultats selon le ratio LR et la statistique t sont identiques. Letableau 5.2 présente la surface de dominance de second ordre dans le cas Mali-Côte d’Ivoire,notamment les valeurs du ratio LR. Les valeurs de LR égales à 0 signifient que les courbesse croisent, ce qui exclut la possibilité de dominance sur la portion de la surface considérée.Pour tester la dominance restreinte de second ordre, les minimums obtenus sont respectivementde 1, 919 pour le ratio LR et de 2, 409 pour la statistique t. Les P − value obtenuespar le bootstrap sont égales à 0, 000 pour les deux statistiques, ce qui signifie que le rejet del’hypothèse de non dominance se fait à un seuil de confiance de moins de 1%. Le tableau 5.3

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 112FIG. 5.1 – Diagramme de dominance séquentielle entre les pays de L’UEMOA, avec la tailledu ménage comme indicateur discretquant à lui décrit plutôt les résultats dans le cas Togo-Mali. Dans ce cas, les statistiques LRet t sont respectivement de 2, 193 et 2, 195 avec des P − value égales aussi à 0, 000.L’autre spécification considère plutôt le lieu de résidence comme indicateur discret. Legraphique 5.2 présente le diagramme de dominance dans ce cas là. Comme précédemment,la Côte d’Ivoire domine tous les autres pays en pauvreté séquentielle, suivie du Mali et duTogo entre lesquels on note une absence de dominance. On obtient également une absencede dominance entre le Bénin et le Niger, ainsi qu’entre le Niger et le Burkina. La dominancedu Mali et du Togo sur le Bénin n’a été obtenu qu’au second ordre. Hormis les relations dedominance qui impliquent la Côte d’Ivoire, les autres relations de dominance sont restreintesen ce sens qu’il a fallu en général exclure les valeurs extrêmes de z y pour obtenir de ladominance.Les résultats détaillés de la dominance de premier ordre sont présentés dans le tableau 5.4en annexes. Le tableau 5.5 quant à lui décrit les résultats de la dominance de second ordre.Une troisième spécification considère le niveau d’éducation comme variable discrète.

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 113FIG. 5.2 – Diagramme de dominance séquentielle entre les pays de L’UEMOA, avec le lieude résidence comme indicateur discretPour ce faire, cette variable a été exclue de l’évaluation de l’indice de richesse, ce qui arestreint l’évaluation aux 10 variables qualitatives restantes. Le niveau d’éducation comporteici trois modalités à savoir l’absence d’éducation, le niveau d’éducation primaire et le niveausecondaire ou plus. Le graphique 5.3 présente le diagramme de dominance obtenu dans cetroisième cas qui se révèle assez proche de celui obtenu au niveau de la seconde spécification.Les différences ici sont que le Togo domine le Bénin au premier ordre tandis que ce dernier,contrairement à la seconde spécification, domine le Niger également au premier ordre. Onnote toujours l’absence de dominance entre le Togo et le Mali et entre le Burkina et le Niger.Les résultats chiffrés de la dominance de premier ordre sont présentés dans le tableau 5.6.Pour l’unique dominance de second ordre, les minimums des statistiques LR et t sont respectivement3, 154 et 3, 181 et correspondent à une même P − value de 0, 000, ce qui suggèredonc le rejet de l’hypothèse nulle de non dominance.Au niveau de la première spécification (avec la taille du ménage comme indicateur discret),l’on obtient 13 relations de dominance sur les 15 relations possibles, parmi lesquelles11 sont des dominances de premier ordre et 2 des dominances de second ordre. Au niveau de

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 114FIG. 5.3 – Diagramme de dominance séquentielle entre les pays de L’UEMOA, avec le niveaud’éducation comme indicateur discretla deuxième spécification (avec le lieu de résidence comme indicateur discret), c’est plutôt12 relations de dominance dont 10 relations de dominance de premier ordre. Dans la dernièrespécification, on a 13 relations de dominance avec 12 dominances de premier ordre. Lorsquela dominance s’avère pour la dernière colonne de la surface de dominance (par exemple ladernière colonne du tableau 5.2), cela signifie qu’on aurait obtenu la dominance dans le casunivarié si l’on avait fait abstraction de l’indicateur discret. Au niveau de cette relation dedominance du Mali par la Côte d’Ivoire, en réduisant le nombre des classes de ménages, e.g.la première classe constituée de ménages de 7 individus et plus, la dominance restreinte obtenuepourrait alors être perçue comme une dominance entière. C’est la même chose dans lecas de la dominance du Togo par le Mali (tableau 5.3), sauf qu’ici la réduction du nombrede classes se fait en considérant une dernière classe avec plus d’individus (e.g. une classe de5 individus). Ceci peut être justifié dans le cas de pays en développement où les ménagessont généralement de grandes tailles. Par ailleurs, les dominances en bien-être établies sontplus fortes que la dominance en pauvreté et impliquent cette dernière. Si on prend l’exempledu tableau 5.3, une situation de dominance en pauvreté caractérisée par une non dominanceen bien-être serait celle où des valeurs nulles tendraient à apparaître plutôt dans la partie du

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 115bas et de la droite du tableau. Dans ce cas, il serait possible d’obtenir une séquence de seuilsZ + 1 ≥ Z + 2 ≥ · · · ≥ Z + krobustes.pour lesquels on obtient des statistiques positives et suffisamment5.6 ConclusionA part le revenu qui est généralement utilisé comme indicateur de bien-être, plusieursautres variables peuvent permettre de caractériser divers aspects de la pauvreté. Ainsi, lataille du ménage, le lieu de résidence et le niveau d’éducation constituent autant d’indicateursqui peuvent influencer les besoins des ménages. Réaliser alors l’analyse de la dominancestochastique univariée basée sur le revenu ou sur un indicateur de richesse n’est pas tout àfait convenable dans la mesure où l’on occulte les différences dans les besoins des ménages.Il est alors plus adéquat de faire des analyses de dominance en considérant des variablessupplémentaires qui captent ces différences. Mais ces variables sont généralement discrèteset les nouvelles conditions de dominance devraient en tenir compte. Ceci est fait à traversles conditions de dominance stochastique séquentielle en bien-être et en pauvreté dérivéesentre autres par Atkinson (1992), Atkinson et Bouguignon (1987), Jenkins et Lambert (1993),Chambaz et Maurin (1998) et, plus récemment, Duclos et Makdissi (2005) ainsi que Ducloset al (2007).La présente étude effectue des inférences statistiques en dominance stochastique séquentielleen se basant sur le ratio de vraisemblance empirique. L’approche permet de tester l’hypothèsenulle de non dominance contre l’alternative de dominance. Les données DHS permettentde procéder à quelques illustrations empiriques de comparaisons entre six pays del’Afrique de l’Ouest. La première spécification considère l’indice de richesse et la taille duménage comme indicateurs de bien-être. La seconde utilise le lieu de résidence à la place dela taille du ménage alors que la troisième spécification retient plutôt le niveau d’éducation.Les résultats basés sur les tests de bootstrap révèlent l’existence de plusieurs relations

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 116de dominance au niveau des trois spécifications. Ils ont permis d’ailleurs d’établir trois diagrammesde dominance entre ces pays, respectivement pour les trois spécifications. La Côted’Ivoire apparaît ainsi dominer tous les autres pays, suivie du Mali et du Togo. Ces résultatssuggèrent aussi que les tests de dominance stricte basés sur le ratio de vraisemblancesont pratiques pour analyser la dominance stochastique multidimensionnelle lorsque l’unedes dimensions est discrète.5.7 Annexes5.7.1 Annexe : Preuve de la proposition 4Si on part de l’équation (5.8), Chambaz et Maurin (1998) prouvent que la condition (i) dela proposition implique la condition (ii).Considérons maintenant la première expression de la partie de droite de la condition (ii) :L∑∫ Zk[φFk F k (x) − φ G k G k (x) ] dxk=10=L∑k=1φ F k∫ Zk0F k (x) dx −L∑φ G kk=1∫ Zk0G k (x) dx (5.29)En intégrant par parties ∫ Z k0F k (x) dx et ∫ Z k0G k (x) dx, on obtient que l’expression (5.29)est égale à :=L∑k=1φ F k∫ ZkL∑(Z k − x)dF k (x) dx − φ G k0k=1∫ Zk0(Z k − x)dG k (x) dx (5.30)

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 117En utilisant les expressions de l’équation (5.15), on aura alors :L∑∫ Zk[φFk F k (x) − φ G k G k (x) ] dx =L∑ [φFk Pk F (Z k ; 1) − φ G k Pk G (Z k ; 1) ] ,k=10k=1d’où la preuve que (ii) implique (iii).Enfin, Duclos et Makdissi (2005) montrent que (iii) implique (i).5.7.2 Annexe : Preuve de la proposition 5Cette preuve est inspirée de celle fournie par Davidson et Duclos (2006). On dérived’abord une expression asymptotique du carré de t donnée en équation (5.22). On supposeque F (y, L) = G(y, L). On pose également que ∆(y, L) ≡ ̂F (y, L) − Ĝ(y, L). Par ailleurs,lorsque N → ∞, alors N F /N → r, où r est une constante comprise entre 0 et 1. Ainsi, siN → ∞, on a les égalités suivantes :̂F (y, L) = Ĝ(y, L) = F (y, L) + O P( )N − 1 2(5.31)et∆(y, L) = O P(N − 1 2). (5.32)La statistique (5.22) peut être alors exprimée asymptotiquement comme suit :t 2 (y, L) =r(1 − r)( )F (y, L) (1 − F (y, L)) P limN→∞ N∆2 (y, L) + O P N − 1 2(5.33)Davidson et Duclos montrent que la statistique LR est asymptotiquement équivalente àla statistique ci-dessus. En effet, considérons la statistique LR(y, L) donnée en (5.7.2). En

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 118suivant leur démonstration, sachant que N F (y, L) = N F F (y, L), N G (y, L) = N G G(y, L),M F (y, L) = N F −N F (y, L) et M G (y, L) = N G −N G (y, L), on peut transformer l’expression(5.7.2) comme étant la somme multipliée par 2 des deux expressions suivantes :{( )( ) }−N F ̂F (y, L) logNF ̂F (y,L)+NG Ĝ(y,L)N ̂F − N(y,L)G Ĝ(y, L) logNF ̂F (y,L)+NG Ĝ(y,L)(5.34)NĜ(y,L)et⎧⎨⎩−N F (1 − ̂F (y, L)) log( )N−(NF ̂F (y,L)+NG Ĝ(y,L))N−(1− ̂F (y,L)) )N−(1−Ĝ(y,L))−N G (1 − Ĝ(y, L)) log (N−(NF ̂F (y,L)+NG Ĝ(y,L))⎫⎬⎭ . (5.35)On peut réécrire la première expression (5.34) comme suit :−(N F ̂F (y, L) + NG Ĝ(y, L)) log(N F ̂F (y, L) + NG Ĝ(y, L))+N F ̂F (y, L) log(N ̂F (y, L)) + NG Ĝ(y, L) log(NĜ(y, L)) . (5.36)Si on introduit ∆(y, L) dans l’expression (5.36), sachant que ∆(y, L) ≡̂F (y, L) −Ĝ(y, L) et par conséquent N F ̂F (y, L) + NG Ĝ(y, L) =, par un développement de Tayloron obtient l’expression réduite suivante :1 N F N G ∆ 2 (y, L))2 N ̂F+ O P(N − 1 2 . (5.37)(y, L)Etant donné l’équation (5.31), l’expression ci-dessus est égale à :12N F N G ∆ 2 (y, L). (5.38)NF (y, L)En réduisant la seconde expression 5.35 de façon similaire et en multipliant par 2, l’équation() devient :

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 119N F N G ∆ 2 (y, L)( )NF (y, L)(1 − F (y, L)) + O P N − 1 2 . (5.39)Sachant que N F /N → r lorsque N → ∞, l’équation deviens alors :r(1 − r)( )F (y, L)(1 − F (y, L)) + O P N − 1 2 P limN∆ 2 (y, L), (5.40)Ce qui est equivalent au terme à droite de l’équation (5.33).5.7.3 Annexe : Principaux tableauxTAB. 5.1 – Tests de dominance restreinte de premier ordre, avec taille du ménage commeindicateur discretF n’est pas dominé par G Ratio LR Statistique t(F -G) LR P − value t P − valueBénin-Côte d’Ivoire 2,295 0,000*** 2,317 0,000***Burkina-Côte d’Ivoire 2,360 0,000*** 2,377 0,000***Niger-Côte d’Ivoire 2,337 0,000*** 2,379 0,000***Togo-Côte d’Ivoire 3,180 0,000*** 3,259 0,000***Bénin-Mali 2,478 0,000*** 2,491 0,000***Burkina-Mali 7,197 0,000*** 6,227 0,000***Niger-Mali 2,656 0.025** 2,668 0.025**Bénin-Togo 2,635 0.005*** 2,512 0.005***Burkina-Togo 4,173 0.003*** 4,071 0.003***Niger-Togo 2,922 0.090* 2,921 0.090*Burkina-Bénin 2,584 0.035** 2,631 0.035**

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 120TAB. 5.2 – Surface de dominance de second ordreprésentant les statistiques LR, Mali vs Côted’IvoireTaille du ménagez y 10 et + 9 et + 8 et + 7 et + 6 et + 5 et + 4 et + 3 et + 2 et + 1 et +-0,46 3,88 1,13 1,21 1,92 2,51 2,54 2,51 2,99 2,99 2,99-0,44 2,01 1,10 1,44 2,33 3,06 3,91 4,38 5,43 5,43 5,43-0,35 1,69 0,86 1,78 2,84 4,37 6,19 6,97 8,71 8,73 8,73-0,30 1,94 1,33 2,39 3,64 5,38 7,26 8,03 9,86 9,89 9,89-0,17 1,05 0,67 1,56 3,12 5,02 6,95 7,68 9,62 9,60 9,60-0,13 0,24 0,00 0,83 2,57 4,53 6,51 7,30 9,29 9,27 9,27-0,12 0,02 0,00 0,67 2,49 4,48 6,50 7,33 9,36 9,33 9,33-0,04 0,00 0,00 0,31 2,53 4,69 6,91 8,01 10,20 10,14 10,14-0,03 0,00 0,00 0,30 2,58 4,77 7,02 8,16 10,38 10,32 10,32-0,02 0,00 0,00 0,48 2,81 5,03 7,32 8,52 10,77 10,71 10,71-0,00 0,00 0,00 0,69 3,08 5,33 7,66 8,92 11,20 11,14 11,140,05 0,00 0,27 1,67 4,27 6,69 9,30 10,80 13,30 13,23 13,230,11 0,25 0,93 2,47 5,21 7,77 10,60 12,28 14,98 14,91 14,910,18 0,75 1,60 3,26 6,18 8,92 12,06 14,03 16,99 16,92 16,920,33 1,03 2,14 4,04 7,17 10,21 13,82 16,33 19,78 19,72 19,720,71 1,02 2,41 4,72 8,12 11,60 15,99 19,66 24,22 24,14 24,141,02 0,58 2,04 4,51 7,99 11,58 16,30 20,62 25,88 25,80 25,801,24 0,00 1,19 3,70 7,26 10,88 15,82 20,60 26,43 26,35 26,351,52 0,00 0,00 2,42 6,04 9,65 14,81 20,12 26,70 26,62 26,621,82 0,00 0,00 0,92 4,54 8,10 13,46 19,29 26,78 26,698 26,698

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 121TAB. 5.3 – Surface de dominance de second ordre présentant les statistiques LR, Togo vsMaliTaille du ménagez y 10 et + 9 et + 8 et + 7 et + 6 et + 5 et + 4 et + 3 et + 2 et + 1 et +-0,47 2,40 3,04 3,29 3,56 3,45 2,75 2,95 2,64 2,64 2,64-0,45 4,68 5,68 6,37 5,16 5,76 4,61 4,01 2,91 2,91 2,91-0,39 4,61 5,48 6,11 5,71 4,98 2,81 1,43 0,00 0,00 0,00-0,34 4,62 5,50 5,99 5,67 4,70 2,32 0,77 0,00 0,00 0,00-0,31 5,03 6,00 6,29 5,96 4,83 2,34 0,66 0,00 0,00 0,00-0,24 7,15 8,46 8,79 8,67 7,72 5,50 3,75 1,11 1,16 1,16-0,19 8,66 10,12 10,50 10,49 9,64 7,65 5,93 3,30 3,36 3,36-0,14 10,29 11,83 12,28 12,35 11,62 9,82 8,11 5,53 5,60 5,60-0,12 10,70 12,25 12,72 12,76 12,05 10,30 8,56 5,98 6,06 6,06-0,05 11,40 12,89 13,35 13,23 12,48 10,75 8,80 6,27 6,37 6,37-0,03 11,52 12,97 13,42 13,24 12,49 10,77 8,76 6,23 6,34 6,34-0,01 11,40 12,78 13,16 12,93 12,14 10,39 8,31 5,76 5,88 5,880,01 11,04 12,30 12,60 12,27 11,43 9,60 7,40 4,76 4,89 4,890,09 9,95 10,96 11,17 10,63 9,75 7,72 5,29 2,41 2,56 2,560,14 9,18 10,04 10,22 9,58 8,67 6,54 3,96 0,91 1,09 1,090,23 8,14 8,78 8,94 8,23 7,31 5,13 2,32 0,00 0,00 0,000,38 7,10 7,49 7,69 6,88 5,96 3,79 0,64 0,00 0,00 0,000,76 5,84 5,90 6,14 5,29 4,47 2,43 0,00 0,00 0,00 0,001,14 5,44 5,35 5,56 4,79 4,08 2,19 0,00 0,00 0,00 0,001,60 5,27 5,07 5,30 4,67 4,11 2,55 0,00 0,00 0,00 0,00

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 122TAB. 5.4 – Tests de dominance de premier ordre, avec lieu de résidence comme indicateurdiscretF n’est pas dominé par G Ratio LR Statistique t Nature de la(F -G) LR P − value t P − value dominanceBénin-Côte d’Ivoire 1,545 0,000*** 1,539 0,000*** non restreinteBurkina-Côte d’Ivoire 5,466 0,000*** 5,021 0,000*** non restreinteNiger-Côte d’Ivoire 7,150 0,000*** 5,573 0,000*** non restreinteTogo-Côte d’Ivoire 4,358 0,000*** 5,303 0,000*** non restreinteMali-Côte d’Ivoire 4,463 0,000*** 4,665 0,000*** non restreinteBurkina-Mali 6,244 0,098* 6,359 0,100* restreinteNiger-Mali 7,391 0,000*** 7,232 0,000*** restreinteBurkina-Togo 6,396 0,000*** 6,230 0,000*** restreinteNiger-Togo 7,360 0,040** 7,301 0,040** restreinteBurkina-Bénin 4,312 0,013** 4,351 0,013** restreinteTAB. 5.5 – Tests de dominance restreinte de second ordre avec, lieu de résidence commeindicateur discretF n’est pas dominé par G Ratio LR Statistique t(F -G) LR P − value t P − valueBénin-Mali 1,998 0,000*** 2,000 0,000***Bénin-Togo 2,811 0,000*** 2,813 0,000***

Chapitre 5. Inférence statistique en dominance stochastique 123TAB. 5.6 – Tests de dominance de premier ordre, avec le niveau d’éducation comme indicateurdiscretF n’est pas dominé par G Ratio LR Statistique t Nature de la(F -G) LR P − value t P − value dominanceBénin-Côte d’Ivoire 6,073 0,000*** 5,649 0,000*** non restreinteBurkina-Côte d’Ivoire 4,987 0,000*** 4,0784 0,000*** non restreinteMali-Côte d’Ivoire 2,279 0,000*** 2,314 0,000*** non restreinteNiger-Côte d’Ivoire 8,250 0,000*** 6,339 0,000*** non restreinteTogo-Côte d’Ivoire 2,752 0,000*** 2,742 0,000*** restreinteBénin-Togo 2,920 0,003*** 2,942 0,003*** restreinteBurkina-Togo 5,516 0,000*** 5,409 0,000*** restreinteNiger-Togo 6,423 0,063* 6,373 0,063* restreinteBurkina-Mali 9,200 0,000*** 8,366 0,000*** restreinteNiger-Mali 7,177 0,000*** 7,026 0,000*** restreinteBurkina-Bénin 3,786 0,005*** 3,846 0,005*** restreinteNiger-Bénin 3,951 0,058* 4,001 0,058* restreinte

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Chapitre 6Tests de dominance stochastique enmobilité6.1 IntroductionPour cerner l’aspect dynamique de la distribution de bien-être d’une société, l’on analysesouvent la mobilité des revenus. On considère généralement qu’une société connaissant ungrand degré de mobilité jouit d’un bien-être plus grand, dans la mesure où il existe danscette société assez d’opportunités pour qu’un individu pauvre devienne plus riche. Il existeessentiellement deux sources de mobilité : la première source de mobilité resulte de la simpleréallocation des revenus tandis que la seconde tient aux changements dans le revenu total(Fields et Ok, 1996).Depuis Prais (1955), plusieurs mesures de la mobilité ont été proposées dans la littérature.A côté des mesures assez triviales s’appuyant sur des statistiques élémentaires comme lecoefficient de corrélation entre des individus à différentes dates (Atkinson, Bourguignon etMorrisson, 1992 ; Peters, 1992 ; Bjorklund et Jantti, 1997 ; Chadwick et Solon, 2002 ; Corak,2006), on distingue d’autres mesures plus élaborées basées sur les matrices de transition oud’autres processus dynamiques.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 127Certaines études adoptent le concept relatif dans lequel la mobilité est considérée commeun phénomène de reclassement où les individus changent de position. Les mesures de mobilitésouvent proposées sont alors fonctions des matrices de transition (Shorrocks, 1978a ;Bartholomew, 1996).D’autres études considèrent plutôt la mobilité comme un concept absolu dans lequel toutchangement de revenu d’un individu par rapport à la situation initiale est synonyme d’augmentationde la mobilité (Fields et Ok, 1996). Ici, la mobilité d’un individu i peut être directementdérivée sans tenir compte de la situation des autres individus de la population.D’Agostino et Dardanoni (2005) proposent une interprétation de la distinction entre la mobilitéabsolue et la mobilité relative.Il existe également une autre catégorie d’études proposant des mesures de mobilité baséessur des interprétations spécifiques, notamment sur ses implications sur le bien-être social.Ainsi, Shorrocks (1978b) et Maasoumi et Zandvakili (1986) mesurent l’indice de mobilitécomme un ratio de l’inégalité du revenu moyen sur un certain nombre d’années par rapportà la moyenne des inégalités de revenu sur chaque année. Schluter et Trede (2003) adoptentla même mesure et en donnent une approximation sous forme d’intégrale d’une distributionpondérée. Chakravarty, Dutta et Weymark (1985) construisent des indices éthiques dela mobilité du revenu en explorant la comparaison de bien-être entre une structure de revenusréelle (distribution de revenus sur une séquence de périodes données) et une structurede référence (hypothétique) traduisant l’immobilité de l’économie. Toutefois, pour l’analyseempirique, ces mesures ne sont pertinentes que pour les pays disposant de données de panelsur une période assez longue, ce qui n’est généralement pas le cas des pays en développement.D’autres études, en considérant la façon dont la mobilité de l’économie influence lebien-être, proposent un cadre d’analyse de la mobilité valable même lorsqu’on ne dispose dedonnées que sur deux années ou deux périodes (Atkinson, 1983 ; Markandya, 1984 ; Conlisk,1989 ; Dardanoni, 1993).Si plusieurs études ont porté sur les mesures de mobilité, relativement peu se sont intéres-

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 128sées à des comparaisons robustes de mobilité entre pays, régions ou entre plusieurs périodes.Certaines études proposent un cadre d’analyse pour les classements partiels de la mobilité.Ainsi, Atkinson (1983), Conlisk (1989), Dardanoni (1993), Benabou et Ok (2001) et Formby,Smith et Zheng (2003) dérivent des conditions de dominance en mobilité basées sur les matricesde transition. Mitra et Ok (1998) considèrent le cas d’une mesure absolue de la mobilitéde revenu comme celles proposées par Fields et Ok (1996), tandis que Schluter et Trede(2003) se basent plutôt sur les mesures proposées par Shorrocks (1978b) et généralisées parMaasoumi et Zandvakili (1986).Les rares études empiriques qui ont introduit l’inférence statistique à l’analyse ont consistéà comparer la mobilité aux Etats-unis et en Allemagne (Schluter, 1998 ; Schluter et Trede,2003 ; Maasoumi et Trede, 2001 ; Formby, Smith et Zheng, 2004). Fields, Leary et Ok (2002)comparent la mobilité des revenus entre plusieurs périodes de 5 années chacune aux Etatsunisde 1970 à 1995. Fabig (1999), quant à lui, effectue une comparaison entre les Etats-unis,la Grande-Bretagne et l’Allemagne. La démarche générale de ces études a consisté à dériver,pour des indices de mobilité différentiables, une distribution asymptotique normale grâceà la méthode delta. Formby et al (2004) définissent différentes approches de constructiond’une matrice de transition et déterminent, pour chaque approche, les structures de variancescovariances.Par ailleurs, hormis Fields et al (2002) qui intègrent explicitement la fonctionde densité cumulative pour dériver les conditions de dominance stochastique et Formby etal (2004) qui font des comparaisons entre deux vecteurs d’indicateurs de mobilité (hypothèsescomposites), les autres études se contentent de tester ponctuellement l’égalité entredeux indices de mobilité. Le but du présent papier est de contribuer à l’aspect inférentiel del’analyse de la mobilité en utilisant la statistique basée sur le ratio de vraisemblance pour testerl’existence de dominance stochastique en mobilité. Deux types de mesures de la mobilitésont retenus, notamment les mesures de mobilité absolue et celles qui utilisent les matrices detransition. Ces deux approches sont, en effet, plus faciles à concilier avec les outils comme lafonction de densité cumulative dont l’utilisation dans la méthode de vraisemblance empiriqueproposée par Davidson et Duclos (2006) est primordiale. Par ailleurs, les mesures basées surles matrices de transition offrent l’opportunité d’appliquer de façon triviale cette méthode de

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 129vraisemblance.Le reste du papier est organisé comme suit. La section 2 présente les mesures de mobilitéet un cadre théorique de leurs classements partiels. On y développe quelques exemples desdeux types de mesures retenus ainsi que les conditions de la dominance stochastique en mobilité.La section 3 décrit les méthodes d’inférence statistique basées sur la maximisation dela vraisemblance empirique et les tests de bootstrap. La section 4 donne quelques illustrationsbasées sur des comparaisons robustes de mobilité aux USA. La dernière section conclut lechapitre.6.2 Mesures de mobilité et dominance stochastiqueLa mobilité de revenu est un phénomène qui traduit le degré de changement à traversle temps d’une distribution de revenus. Il peut s’agir aussi bien de changements relatifs auxmêmes individus qu’entre générations d’individus (par exemple entre un père et son fils).Supposons une distribution croissante de revenus x = (x 1 , x 2 , ..., x i , ..., x n ) ∈ R n + où x i est lerevenu du ième individu d’une population de taille n. Soit y i le revenu de l’individu i à une dateultérieure ou le revenu de son descendant de telle sorte qu’on a une nouvelle distribution derevenu y = (y 1 , y 2 , ..., y i, ..., y n ) ∈ R n + obtenue par le processus de transformation (x → y).Les écarts entre revenus individuels traduisent l’ampleur de la mobilité.La mesure de mobilité est alors définie comme une fonction continue M : R n + ×R n + → R.Soient deux autres distributions x ′ et y ′ qui suivent le processus de transformation (x ′ →y ′ ), on dira alors qu’un processus (x → y) est plus mobile qu’un autre processus (x ′ → y ′ )lorsqu’on a M(x, y) ≥ M(x ′ , y ′ ).Il existe plusieurs mesures de mobilité. La présente étude retient deux catégories de mesuresdont la première capte les deux types de mobilité que constituent la mobilité structurelleou de croissance et la mobilité d’échange ou latérale. La mobilité structurelle augmente lors-

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 130que’on enregistre un mouvement général de baisse ou de hausse du revenu tandis que la mobilitéd’échange traduit simplement un changement de position ou, dans un cas extrême, unepermutation des revenus entre individus 1 . La seconde catégorie de mesures capte essentiellementla mobilité d’échange. Les mesures de mobilité absolue correspondent à la premièrecatégorie tandis que la seconde catégorie concerne les mesures qui s’appuient sur les matricesde transition.6.2.1 Les mesures de mobilité absolueFields et Ok (1996) dérivent une mesure de mobilité absolue du revenu basée sur unefonction de distance M d . Ils postulent un certain nombre d’axiomes dont l’homogénéité linéaire,l’invariance par rapport à la translation, le principe de normalisation, la décomposabilitéfaible, la consistance par rapport à la population, la sensibilité à la croissance et lacontribution individualiste 2 . Ils proposent une mesure générique satisfaisant l’ensemble deces axiomes hormis la contribution individualiste :M d (x, y) =( n∑i=1|x i − y i | α ) 1/α∀ x, y ∈ R n +, et α > 0. (6.1)Posons ∆ i = |x i − y i |, avec i = 1, ..., n. Les ∆ i sont les contributions individuelles à lamobilité. Considérons une classe de fonctions M d = M d (∆) = M d (∆ 1 , ..., ∆ i , ..., ∆ n ). Bienqu’une augmentation de M d ne signifie pas forcément une amélioration de bien-être, il estcependant possible, en s’inspirant de Willig (1981), de Shorrocks (1983) et de Foster et Shorrocks(1988), d’utiliser les propriétés d’une fonction de bien-être pour établir les conditionsde dominance en mobilité. Cette démarche est conforme à l’esprit de Fields et al (2002) quiproposent d’intégrer la fonction de densité cumulative (cdf ) à l’analyse de la mobilité. La désirablepropriété de monotonicité (H A ) de la fonction de bien-être conférée par le principe de1 Voir Fields et Ok (1999) pour une discussion plus détaillée.2 Voir Fields et Ok (1996,1999) et Mitra et Ok (1998) pour une description de ces axiomes.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 131Pareto est évidente dans le cas de M d . En effet, ∆ i étant interprété comme la contribution del’individu i à la mobilité totale, son augmentation, toutes choses égales par ailleurs, ne peutqu’entraîner une augmentation de la mobilité. Par ailleurs, on suppose vérifiée l’hypothèsede symétrie (H B ) : M d (∆) = M d (Γ∆), avec Γ une matrice de permutation. Si ce principe netient pas à l’étape initiale de détermination de la mobilité individuelle, une fois cette dernièreestimée pour chaque individu, une permutation des contributions entre individus laisse lamobilité totale inchangée. Dénotons par M + d, la classe des fonctions de mobilité satisfaisantles hypothèses H A et H B . Soient ∆ = ∆(x, y) et ∆ ′ = ∆(x ′ , y ′ ) deux profils de mobilitésindividuelles dont les cdf sont respectivement F (Z) et G(Z) :F (Z) =∫ Z0dF (t)dt et G(Z) =∫ Z0dG(t)dt (6.2)où Z est un élément de l’ensemble des quantiles. Soient Q F (p) et Q G (p) les courbes dequantiles respectives, par analogie aux conditions de dominance dérivées par Duclos et Araar(2006), le théorème 1 établit les conditions de dominance de premier ordre en mobilité.Theorème 1 Les conditions suivantes sont équivalentes :(i) M d (∆) ≥ M d (∆ ′ ) pour tout M d ∈ M + d(ii) F (Z) ≤ G(Z) pour tout Z ∈ [0, +∞[(iii) Q F (p) ≥ Q G (p) pour tout p ∈ [0, 1]Lorsqu’on ajoute l’hypothèse de Schur-concavité (H C ) pour la fonction M d , on peut égalementdériver les conditions de dominance de second ordre. On définit alors par M ++dclasse des fonctions de mobilité qui respectent les hypothèses H A , H B et H C . DéfinissonsF 2 (Z) et G 2 (Z) :la

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 132F 2 (Z) =∫ Z0F (t)dt et G 2 (Z) =∫ Z0G(t)dt. (6.3)Considérons également les courbes de Lorenz généralisé GL F (p) et GL G (p) telles que :GL F (p) =∫ pQ F (q)dq et GL G (p) =∫ p00Q G (q)dq, (6.4)avec p ∈ [0, 1]. On peut remplacer GL F (p) et GL G (p) par leurs estimés sans biais (Zheng,2002) :ĜL F (p) = 1 nn∑∆ i I(∆ i ≤ ̂Q F (p)) et ĜL G (p) = 1 m∑∆ ′mjI(∆ ′ j ≤ ̂Q G (p)). (6.5)i=1j=1Le théorème 2 établit les conditions de dominance en mobilité au second ordre.Theorème 2 Les conditions suivantes sont équivalentes :(i) M d (∆) ≥ M d (∆ ′ ) pour tout M d ∈ M ++d(ii) F 2 (Z) ≤ G 2 (Z) pour tout Z ∈ [0, +∞[(iii) GL F (p) ≥ GL G (p) pour tout p ∈ [0, 1]L’hypothèse de Schur-concavité (principe de Pigou-Dalton) signifie qu’un transfert égalitairedes mobilités individuelles est de nature à accroître la mobilité totale. Cependant, l’interprétationéconomique de cette hypothèse est ambiguë dans le cas présent. En effet, lorsqueles contributions individuelles à la mobilité correspondent toutes à des augmentations de revenus,cela signifie qu’une augmentation égalitaire de revenus est désirable dans la mesure où

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 133elle est susceptible de réduire les inégalités de revenus. Dans la classe des fonctions de mobilitéproposée par Fields et Ok (1996), cette hypothèse est vérifiable pour α ≤ 1. Toutefois,leur classe de fonctions ne distingue pas une mobilité “positive” (augmentation de revenu)d’une mobilité “négative” (diminution de revenu), ce qui ne donne pas un sens économiqueréel à l’hypothèse H C .Mitra et Ok (1998) retiennent plutôt la classe de fonctions Schur-convexes en choisissantα ≥ 1. Ils développent une approche pour les classements partiels où (x → y) est plus mobileque (x ′ → y ′ ) si :n∑∆ α i (x, y) ≥i=1n∑∆ α i (x ′ , y ′ ) ∀ α ≥ 1. (6.6)i=1Cependant, la condition dépend du paramètre α, ce qui rend quasiment impossible d’établirun classement de la mobilité en dehors des cas triviaux. Mitra et Ok dérivent alors uneautre condition plus réaliste de classement partiel. Ainsi, en disposant ∆ et ∆ ′ par ordredécroissant de j, la dominance de (x ′ → y ′ ) par (x → y) tient lorsqu’on a :s∑∆ j (x, y) ≥j=1s∑∆ j (x ′ , y ′ ) ∀ s = 1, ..., n, . (6.7)j=1Il s’agit d’une approche alternative à celle de la dominance en terme de Lorenz généralisédérivée dans le théorème 2 où les ∆ i étaient plutôt disposés par ordre croissant. Ici, on accordeplus de poids aux individus les plus mobiles, ce qui est normal à cause de l’hypothèse deSchur-convexité retenue par le choix de α ≥ 1. Lorsqu’on considère α ≤ 1, on a plutôtl’hypothèse de Schur-concavité où un “transfert égalitaire de mobilité” est désirable. Dans cecas, l’approche du Lorenz généralisé sera privilégiée. Lorsqu’on a α = 1, tous les individusont le même poids quelque soit leur niveau de mobilité et les deux approches peuvent êtreutilisées. Ce cas correspond à la fonction M d de Fields et Ok (1996) qui satisfait l’axiome dela contribution individualiste :

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 134M d (x, y) =n∑∆ i . (6.8)i=1Une faiblesse des approches précédentes est que l’on n’est pas intéressé à savoir si lamobilité est plus le fait des individus les plus pauvres ou des plus riches. Van Kerm (2006)propose une autre approche qui exclut l’anonymat puisque les individus ne sont plus ordonnésselon leur contribution à la mobilité totale, mais plutôt selon leur revenus initiaux. Il considèreson approche comme complémentaire et non substitut aux précédentes.6.2.2 Les mesures basées sur les matrices de transitionLa matrice de transitionIl est convenable de définir d’abord une matrice de transition. On suppose que le revenusuit un processus de Markov discret de η états, par exemple très pauvre, pauvre, moyen,riche et très riche. Soit P = [P kl ], la matrice de transition (η × η) supposée régulière (i.e.P d est strictement positive pour des valeurs suffisamment élevées d’un entier d) qui est tellequ’il existe un vecteur de probabilités π de l’état stationnaire, solution unique de l’équationπ τ= π τ P . τ désigne la transposée. L’élément P kl représente la probabilité qu’un individuinitialement dans l’état k se retrouve dans l’état l.Reconsidérons le processus (x → y) où x = (x 1 , x 2 , ..., x i , ..., x n ) et y = (y 1 , y 2 , ..., y i, ..., y n ).On suppose que les x i et y i sont bornés supérieurement respectivement par des valeurs strictementpositives x et y. Soient Ω k chacune des η partitions de l’intervalle [0, x] représentant lesclasses de rang k, et Γ l , chacune des η partitions de l’intervalle [0, y] représentant les classesde rang l. On définit également p i comme la probabilité associée à chaque couple (x i , y i ) avecn∑p i = 1. L’expression de P kl est donnée par :i=1

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 135P kl = Pr ([x i ∈ Ω k ] ∩ [y i ∈ Γ l ])Pr (x i ∈ Ω k )=n∑p i I (x i ∈ Ω k , y i ∈ Γ l )i=1n∑p i I (x i ∈ Ω k )i=1(6.9)où Pr exprime la probabilité et I(.) une fonction indicatrice prenant la valeur 1 si la conditionest vérifiée et 0 sinon. On note également les probabilités marginales suivantes :π k =n∑p i I (x i ∈ Ω k ) et π l =i=1n∑p i I (y i ∈ Γ l ) . (6.10)i=1π (k) et π (l) sont des vecteurs contenant respectivement les probabilités marginales π k etπ l , avec π (k) = π (l) = π à l’état stationnaire.Les indices de mobilitéPlusieurs indices de mobilité s’appuyant sur les matrices de transition ont été proposésdans la littérature 3 . Une première mesure est proposée par Prais (1955) et Shorrocks (1978a)et s’appuie sur la trace de la matrice de transition :M P S =η − η ∑P kkk=1η − 1(6.11)Cet indice néglige les probabilités de la matrice de transition qui n’appartiennent pasà la diagonale principale. Ainsi, il ne respecte pas, d’après Maasoumi (1998), le principedes transferts dynamiques de Pigou-Dalton 4 . Si l’on considère deux matrices de transition3 Voir Maasoumi (1998) et Fields et Ok (1999) pour une revue détaillée de ces mesures.4 Le transfert D.P.D. est un transfert qui améliore les chances d’un individu de la classe initiale k d’avoir unmeilleur revenu dans la seconde période, alors qu’il détériore celles d’un individu de la classe initiale k + h(avec k + h ≤ η), tout en préservant la monotonicité de la matrice de transition. Voir Dardanoni (1993) pourplus de détails.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 136monotones P et ˜P où ˜P est dérivée à partir de P par ce type de transfert, alors le principe estrespecté lorsque ˜P affiche plus de mobilité que P . Cela n’est pas le cas pour l’indice M P S ,particulièrement lorsqu’un transfert se traduit par l’accroissement de n’importe quel élémentde la diagonale. Par ailleurs, cet indice ne prend pas en compte l’ampleur des mouvements.Prenons l’exemple de deux matrices de transition P et ˜P suivantes :P =⎡⎢⎣0.5 0.5 00.5 0.5 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ et ˜P = ⎣0.5 0 0.50 1 00.5 0 0.5⎤⎥⎦D’après l’indice M P S , ces deux matrices affichent le même niveau de mobilité 1 . Il est2pourtant raisonnable de penser que ˜P décrit une plus grande mobilité dans la mesure où lemouvement se fait entre les deux extrêmes. Une autre mesure a été proposée et tient comptede cette distance entre les classes de rang k et l (Bartholomew, 1996). Son expression estdonnée par :M BA = 1η − 1η∑ η∑π k P kl |k − l| (6.12)k=1 l=1Cet indice respecte également le principe des transferts dynamiques de Pigou-Dalton. Ilexiste en fait plusieurs autres indices de mobilité qui ont, chacun, leurs avantages et inconvénients.Ces indices sont assez disparates en réalité qu’il est quasiment impossible d’utilisercette diversité pour établir des conditions de dominance. Certains auteurs analysent alorsl’implication de la mobilité sur le bien-être social pour établir des critères de dominance.La mobilité et le bien-être socialLes conditions de dominance dérivées par Atkinson (1983) peuvent permettre de classerla mobilité pour une classe de fonctions de bien-être social satisfaisant un certain nombre de

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 137propriétés. Considérons le cas de deux périodes, notamment un processus (x → y). SoientF (x, y) la cdf bivariée, F (x) et F (y) les cdf marginales, et dF les fonctions de densitérespectives. La fonction de bien-être social est la suivante :W (x, y) =∫ x ∫ y0 0U (x, y) dF (x, y) dxdy, (6.13)avec U x > 0, U y > 0 et U xy ≤ 0. Considérons que G(x, y) représente la cdf bivariéed’un autre processus (x ′ → y ′ ). G(x) et G(y) sont les cdf marginales et l’on suppose queF (x) = G(x) et F (y) = G(y).Si un processus de mobilité est décrit par la matrice de transition P , on a :π τ (l) = π τ (k)P ou π l =η∑P kl π k ∀ l = 1, ..., η (6.14)k=1où π(k) et π(l) sont deux vecteurs colonne (η × 1) contenant respectivement les densitésmarginales π k et π l relatives aux rangs respectifs k et l. Soient x k et y l , les revenus respectivementdes rangs k et l, la fonction de bien-être anticipé devient alors :W =η∑ η∑U ( x k , y l) P kl π k . (6.15)k=1 l=1Une distribution F domine stochastiquement une distribution G si elle engendre un niveaud’utilité espérée au moins aussi grand pour toutes les fonctions d’utilité de la classe U.S’appuyant sur les travaux de Hadar et Russell (1974), Atkinson montre que, pour des distributionsmarginales identiques (C’est à dire F (x k ) = G(x k ) et F (y l ) = G(y l )), le processus(x → y) domine stochastiquement au premier ordre le processus (x ′ → y ′ ) si :F (x k , y l ) ≤ G(x k , y l ) ∀ k, l = 1, ..., η. (6.16)

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 138Il s’agit d’une dominance en terme d’utilité espérée puisqu’elle implique que le niveaud’utilité espérée engendré par la distribution F est au moins aussi élevé que celui engendrépar la distribution G pour la classe des fonctions d’utilité U. Il est également possible dedériver la condition de dominance au second ordre qui est moins forte que celle du premierordre. Si on définit :F ( 2 x k , y l) =∫ x k ∫ y lF (s, t) dtds et G 2 (x, y) =∫ x ∫ y0 00 0la dominance de second ordre implique alors que :G (s, t) dtds, (6.17)F 2 ( x k , y l) ≤ G 2 ( x k , y l) ∀ k, l = 1, ..., η, (6.18)pour la classe U telle que U xy < 0,sont moins intuitives.U xxy , U xyy ≥ 0 et U xxyy ≤ 0. Les dernière hypothèsesUne différence entre π (k) et π (l) permettrait de tenir compte de la mobilité structurelletandis que P permet de capter la mobilité pure (mobilité d’échange). Lorsqu’on suppose queles distributions marginales sont égales, i.e. π (k) = π (l) = π, alors l’on isole la mobilitépure. Dardanoni (1993) considère une durée de vie identique de t périodes pour tous lesindividus et introduit un système de pondération λ qui accorde au moins autant de poidsaux individus qui ont les plus bas niveaux de revenu dans la société. On suppose un vecteurd’utilités instantanées u = (u 1 , u 2 , ..., u η ) τ et un vecteur d’utilités intertemporelles V P =(V 1 , V 2 , ..., V η ) t tels que V P = u + ρP u + ρ 2 P 2 u + ... + ρ t P t u, avec ρ un facteur d’escompte(0 ≤ ρ < 0). Il adopte une fonction de bien-être social linéaire :W ( V P , λ ) =η∑k=1π k λ k V Pk (6.19)Pour sa démonstration, Dardanoni suppose des matrices de transition monotones. Unematrice monotone est une matrice pour laquelle chaque ligne domine stochastiquement la

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 139ligne au-dessus d’elle. Conlisk (1990) en donne une définition formelle. Il considère l’équationsuivante :∆P k (l) = (P k,1 + P k,2 + ... + P k,l ) − (P k+1,1 + P k+1,2 + ... + P k+1,l ) (6.20)Cette expression traduit la différence entre les lème densités cumulatives respectivementde la ligne k et de la ligne k + 1. Si ∆P k (l) ≥ 0 ∀ l = 1, 2, ..., η − 1, alors la ligne k + 1domine stochastiquement la ligne k. Et, si cette dominance s’avère pour k = 1, 2, ..., η − 1,alors on dit que la matrice P est monotone. Cela traduit qu’un individu initialement dansl’état k + 1 fait face à une meilleure loterie que celle à laquelle il aurait fait face dans l’étatinitial k 5 . En s’inspirant de Atkinson (1983) et de Dardanoni (1993), le théorème 3 établit lesconditions de dominance de premier ordre en mobilité basée sur les matrices de transition :Theorème 3 Soient deux matrices régulières et monotones P et ˜P ayant le même vecteur deprobabilités d’équilibre π, alors les conditions suivantes sont équivalentes :(i) F (x k , y l ) ≤ G(x k , y l )∀ k, l = 1, ..., η(ii) W P ≥ W ˜P , W P et W ˜P vérifiant les hypothèses appropriées 6((iii) T τ Π P − ˜P)T ≤ 0Π est une matrice (η × η) dont la diagonale principale contient les éléments du vecteurπ et T , une matrice triangulaire supérieure contenant des valeurs 0 en dessous de la diagonaleprincipale et des valeurs 1 partout ailleurs. Cette condition nécessaire et suffisante estune extension à l’horizon infini de la condition de dominance stochastique de premier ordre5 Dans le cas de la mobilité intergénérationnelle, cela peut vouloir dire simplement que l’enfant d’un parentriche (état k + 1) a de meilleures chances de s’en sortir que celui d’un parent moins riche (état k).6 Pour Atkinson, cela suppose que U x > 0, U y > 0 et U xy ≤ 0. Pour Dardanoni, cela requiert des vecteursde λ non croissants, ainsi que des fonctions d’utilité u non décroissantes.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 140d’Atkinson (1983). Si on pose que P = [P kl ] et ˜P =réécrite comme suit :[˜Pkl], la condition (iii) peut alors êtreK∑ L∑π k P kl ≤k=1 l=1K∑ L∑π k ˜Pkl ∀ K, L = 1, 2, ..., η, (6.21)k=1 l=1∑ce qui est identique à la condition (i) puisqu’on a K L∑K∑ L∑π k P kl = F (x K , y L ) et π k ˜Pkl =G(x K , y L ).k=1l=1k=1l=1Cependant, l’on peut relâcher l’hypothèse de l’état stationnaire π t = π t P = π t ˜P , de sorteà considérer la croissance (Formby et al, 2003). Il est possible, conformément à la suggestiond’Atkinson, de dériver les conditions de dominance du second ordre. En suivant Atkinsonet Bourguignon (1982), l’expression de F ( 2 x k , y l) dans l’équation (6.17) peut être, aprèsquelques intégrations par parties, réécrite comme suit :∫ x k ∫ y lF ( 2 x k , y l) = (x k − s)(y l − t)dF (s, t) dtds. (6.22)0 0Cette expression équivaut à la mesure de l’écart de la pauvreté bidimensionnelle basée surla classe des mesures FGT (Foster, Greer et Thorbecke, 1984), si on considère x k et y l commedes seuils de pauvreté respectifs dans chacune des deux dimensions. Atkinson et Bourguignon(1982) l’interprètent également comme étant la covariance incomplète. Le théorème 4 donneles conditions de dominance de second ordre en mobilité.Theorème 4 Soient deux matrices régulières et monotones P et ˜P ayant le même vecteur deprobabilités d’équilibre π, alors les conditions suivantes sont équivalentes :(i) F 2 ( x k , y l) ≤ G 2 ( x k , y l) ∀ k, l = 1, ..., η.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 141(6.18).(ii) W P≥ W ˜P , W P et W ˜P vérifiant les hypothèses énoncées au niveau de l’équation6.3 Les méthodes d’inférence statistiqueLes tests de dominance en mobilité suggérés ici vont s’appuyer sur la statistique duratio de vraisemblance empirique de Davidson et Duclos (2006). Il s’agit d’une approcheintersection-union permettant de tester la dominance stricte. Au niveau des mesures de mobilitéabsolue, la condition de dominance concerne une distribution univariée si bien quel’application de la méthode de Davidson et Duclos est directe. Quant à la comparaison desmesures basées sur les matrices de transition, elle nécessite une extension de la méthode aucas bidimensionnel.6.3.1 L’inférence sur les mesures de mobilité absolueSoient deux distributions de mobilités individuelles ∆ et ∆ ′ , de tailles respectives N F etN G , dérivées des processus (x → y) et (x ′ → y ′ ). On suppose également que ∆ et ∆ ′ sontdécrites par les cdf respectives F (Z) et G(Z) dont les estimées sont les suivantes :̂F (Z) = 1 ∑N FI (∆ s ≤ Z) et Ĝ(Z) = 1 ∑N GI (∆ ′ h ≤ Z) (6.23)N F N Gs=1h=1La condition de dominance de ∆ ′ par ∆ est satisfaite lorsque ̂F (Z) ≤ Ĝ(Z) pour toutZ. Le problème de maximisation de la fonction de vraisemblance empirique (FVE) noncontrainte est le suivant :

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 142maxp F s ,pG h∑N Fs=1∑N Glog p F s + log p G hh=1sujet à∑N F∑N Gp F s = 1, p G h = 1 (6.24)s=1h=1p F set p G h représentent les probabilités de réalisation respectivement de ∆ s et ∆ ′ h . La solutionde ce problème donne p F s = 1N Fet p G h = 1N Gmaximisée non contrainte est :telles que la valeur de la vraisemblancêF V E NC = −N F log N F − N G log N G (6.25)La dominance stricte en mobilité de G par F , i.e. (x → y) domine stochastiquementen mobilité (x ′ → y ′ ), implique que G(Z) > F (Z) pour tout Z. Cette condition n’est pasvérifiée s’il existe un point Z pour lequel G(Z) ≤ F (Z). Pour tester l’hypothèse nulle de nondominance de G par F , soit H 0 : G(Z) ≤ F (Z) pour certains Z vs l’hypothèse alternativeH 1 : G(Z) > F (Z) ∀ Z, le problème de maximisation est reformulé pour tenir compte dela contrainte de non dominance qu’on peut remplacer par l’égalité G(Z) = F (Z) pour desquestions d’ordres pratique et logique. Cette contrainte est donnée par :∑N G∑N Fp G h I (∆ ′ h ≤ Z) = p F s I (∆ s ≤ Z) (6.26)h=1s=1La statistique de test LR (qui est définie plus loin) capte la différence entre la valeurde la vraisemblance non contrainte maximisée (̂F V E NC ) et la valeur de la vraisemblancecontrainte maximisée (̂F V E C ). Au niveau des points Z pour lesquels on a Ĝ(Z) ≤ ̂F (Z), lacontrainte est non liante et LR est par conséquent nul. Par contre, lorsqu’on a Ĝ(Z) > ̂F (Z)pour un Z, la contrainte devient liante et ̂F V E C est inférieure à ̂F V E NC de telle sorte queLR correspond à un réel strictement positif :

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 143LR (Z) ={0 si Ĝ(Z) ≤ ̂F (Z)LR > 0 sinon}(6.27)La maximisation nous donne les résultats suivants :p G h = I(∆′ h ≤ Z)θ+ (1 − I(∆′ h ≤ Z))φ(6.28)p F s = I(∆ s ≤ Z)N − θ+ (1 − I(∆ s ≤ Z))N − φ(6.29)avec :θ =N × N G(Z)N G (Z) + N F (Z) et φ =N × M G(Z)M G (Z) + M F (Z)∑N G∑N FN G (Z) = I (∆ ′ h ≤ Z) et N F (Z) = I (∆ s ≤ Z)h=1s=1M G (Z) = N G − N G (Z), M F (Z) = N F − N F (Z) et N = N G + N FLe ratio de vraisemblance est donné par :⎧⎪⎨LR (Z) = 2⎪⎩N log N − N G log N G − N F log N F+N G (Z) log N G (Z) + N F (Z) log N F (Z)+M G (Z) log M G (Z) + M F (Z) log M F (Z)−(N G (Z) + N F (Z)) log(N G (Z) + N F (Z))−(M G (Z) + M F (Z)) log(M G (Z) + M F (Z)).⎫⎪⎬⎪⎭(6.30)

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 144Les tests de bootstrap seront réalisés selon le procédé décrit par Davidson et Duclos(2006). Lorsque les échantillons comparés exhibent de la dominance, on calcule la statistiquede test LR(Z) sous l’hypothèse nulle de non dominance, ainsi que les probabilités quilui sont associées. Ces probabilités sont alors utilisées pour générer B = 399 échantillonsde bootstrap pour chacune des deux distributions. L’on calcule ensuite, pour chaque paired’échantillons, la statistique LR b (Z) (avec b = 1, ..., B). La valeur p B du bootstrap est alorsdonnée par la proportion de statistiques LR b (Z) supérieures à LR(Z).Pour tester la dominance du second ordre, la condition (iii) du théorème 2 sera considérée.Il s’agit de la dominance en terme de Lorenz généralisé. Contrairement à la dominance dupremier ordre, ici on exclut la dominance de G par F s’il existe un couple (Z F , Z G ) pourlequel GL F (Z F ) ≤ GL G (Z G ). La contrainte (6.26) devient alors :∑N F∑N Gp F s ∆ s I (∆ s ≤ Z F ) = p G h ∆ ′ hI (∆ ′ h ≤ Z G ) (6.31)s=1h=1Z F et Z G correspondent à des quantiles de même rang. Le Lagrangien L du problème demaximisation est le suivant :L = ∑ slog P F s+ ∑ hlog P G h+ λ F (1 − ∑ sP F s ) + λ G (1 − ∑ hP G h )− µ( ∑ sP F s ∆ s I s (Z F ) − ∑ hP G h ∆ ′ hI h (Z G )), (6.32)λ F , λ G et µ ∈ R sont des multiplicateurs de Lagrange. Les solutions de ce problèmene peuvent être dérivées analytiquement. Cependant, en partant des conditions de premierordre, on peut déterminer plus facilement des solutions numériques. Ces conditions sont lessuivantes :λ F + λ G = N F + N G = N

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 145P G h =1N − λ F − µ∆ ′ h I h (Z G ) et P F s =1λ F + µ∆ s I s (Z F )(6.33)On résoud le problème en recherchant ̂λ F et ̂µ :(̂λ F , ̂µ) = arg minλ F ,µ∈R− ∑ slog(λ F + µ∆ s I s (Z F )) − ∑ hlog(N − λ F − µ∆ ′ hI h (Z G ))(6.34)Une fois estimés, ̂λ F et ̂µ permettent de calculer les probabilités et le ratio de vraisemblancepour chaque couple (Z F , Z G ). Cependant, Z F et Z G sont endogènes puisqu’ils dépendentrespectivement de P F set de Ph G. Ainsi, en partant du couple (Z0 F , Z0 G ) initial, onutilise les probabilités estimées pour déterminer le nouveau couple (ZF 1 , Z1 G ). On fait alorsune itération de l’optimisation du problème (6.34) et on recalcule les probabilités en utilisantles formules en (6.33). On arrête à la i ème itération lorsque les différences entre (Z i−1F, Zi−1 G )et (ZF i , Zi G ) deviennent négligeables. Deux approches seront considérée à savoir, l’approchedu Lorenz généralisé et celle de Mitra et Ok (1998).6.3.2 L’inférence sur les matrices de transitionConsidérons une matrice de transition P = [P kl ]. Considérons également l’expressionK∑ L∑π k P kl . Si on remplace P kl et π k par leurs expressions au niveau des équations (6.9) etk=1l=1(6.10), on obtient l’équation :K∑ L∑π k P kl =k=1 l=1K∑ L∑ n∑p i I (x i ∈ Ω k , y i ∈ Γ l ) ∀ K, L = 1, 2, ..., η (6.35)k=1 l=1 i=1Notons Ω k = [X k−1 , X k ] et Γ l = [Y l−1 , Y l ] avec Ω 1 = [0, X 1 ], Ω η =]X η−1 , x], Γ 1 = [0, Y 1 ]et Γ η =]Y η−1 , y]. Les X k et Y l (k, l = 1, ..., η) sont les η quantiles retenus au niveau de chaquedimension. Ainsi, l’expression (6.35) peut être réécrite comme suit :

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 146K∑ L∑π k P kl =k=1 l=1n∑p i I (x i ≤ X K , y i ≤ Y L ) ∀ K, L = 1, 2, ..., η. (6.36)i=1Soient deux densités cumulatives bivariées F et G décrivant respectivement les deux distributions(x → y) et (x ′ → y ′ ). La contrainte de non dominance de G par F selon le critèred’Atkinson (1983) et Dardanoni (1993) implique, pour au moins un couple (k, l), que :∑N Gj=1p G j I ( x ′ j ≤ X ′ k, y ′ j ≤ Y ′l) ∑N F= p F i I (x i ≤ X k , y i ≤ Y l ) (6.37)i=1X ′ k et Y ′lsont les quantiles issus de la distribution G correspondant aux mêmes rangsque X k et Y l issus de la distribution F . Le test suit la même procédure que dans la sectionprécédente. Les résultats de la maximisation donnent alors :p G j (k, l) = I ( x ′ j ≤ X k ′ , )y′ j ≤ Y l′+θ( (1 − I x′j ≤ X k ′ , ))y′ j ≤ Y l′φ(6.38)p F i (k, l) = I (x i ≤ X k , y i ≤ Y l )N − θ+ (1 − I (x i ≤ X k , y i ≤ Y l ))N − φ(6.39)avec :θ =N × N G (k, l)N G (k, l) + N F (k, l) et φ = N × M G (k, l)M G (k, l) + M F (k, l)∑N GN G (k, l) = I ( ) ∑N Fx ′ j ≤ X k, ′ y j ′ ≤ Y l′ et NF (k, l) = I (x i ≤ X k , y i ≤ Y l )j=1i=1

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 147M G (k, l) = N G − N G (k, l), M F (k, l) = N F − N F (k, l) et N = N G + N F .Le nouveau ratio de vraisemblance est :⎧⎪⎨LR (k, l) = 2⎪⎩N log N − N G log N G − N F log N F+N G (k, l) log N G (k, l) + N F (k, l) log N F (k, l)+M G (k, l) log M G (k, l) + M F (k, l) log M F (k, l)−(N G (k, l) + N F (k, l)) log(N G (k, l) + N F (k, l))−(M G (k, l) + M F (k, l)) log(M G (k, l) + M F (k, l)).⎫⎪⎬⎪⎭(6.40)Comme dans le cas de la mobilité asbolue, les couples (X k , Y L ) et (X k ′ , Y L ′ ) sont endogènesce qui rend nécessaire d’effectuer plusieurs itérations.Pour analyser la dominance de second ordre, l’on utilise l’expression de l’équation (6.22).La contrainte (6.37) devient :∑N Gj=1p G j (X k ′ − x ′ j)(Y l ′ − y j)I ( ′ x ′ j ≤ X k, ′ y j ′ ≤ Y l′∑N Fi=1)=p F i (X k − x i )(Y l − y i )I (x i ≤ X k , y i ≤ Y l ) (6.41)Les solutions seront dérivées de façon numérique en suivant la même procédure que dansle cas de la mobilité absolue.On va distinguer deux cas dépendamment de la façon de déterminer la matrice de transition.Le premier cas correspond à celui dans lequel l’on ne se soucie que de la mobilité pureou mobilité d’échange (Atkinson, 1983 ; Dardanoni, 1993). On y admet l’hypothèse de l’état

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 148stationnaire avec F (X k ) = F (Y l ) = G(X ′ k ) = G(Y ′l ) = π k pour k = l. La matrice est alorsdéterminée selon des classes de pourcentages identiques pour les distributions x et y.Le second cas intègre la croissance comme l’ont suggéré Formby et al (2003). Mais ici,la croissance considérée est celle observée dans la dynamique de chacune des populations àcomparer. Elle ne concerne pas les différences dans les niveaux de revenus initiaux entre lespopulations. C’est le cas lorsqu’on utilise les quantiles pour la distribution x et que les valeursde ces quantiles sont retenues pour établir le positionnement de la distribution y. Dans ce cas,nous n’avons que l’égalité F (X k ) = G(X k ′ ).6.4 Résultats empiriquesNos données proviennent des enquêtes PSID (Panel Study of Income Dynamics). L’analysea été restreinte aux individus agés de 24 à 49 ans ne travaillant pas pour leur proprecompte. Nous avons ainsi constitué pour les USA 4 périodes pour lesquelles on compare lamobilité : 1970-75, 1975-80, 1980-85 et 1985-90. Tous les revenus ont été évalués au prix del’année 1990.Certains individus peuvent se retrouver dans deux périodes différentes, ce qui suggèrel’existence d’une éventuelle corrélation entre les deux échantillons représentatifs. Cependant,cette corrélation est assez limitée parce qu’une grande partie de l’échantillon d’une périodedonnée n’est pas présente dans la période précédente. Par ailleurs, les 4 échantillons sont detailles différentes, respectivement 1982, 2570, 3603 et 4428 pour les périodes successives,ce qui fait que la probabilité pour un même individu peut varier d’un échantillon à un autredépendamment de son poids relatif. Cela ne permet pas de modéliser de manière commode leproblème de corrélations entre échantillons comme l’a suggéré Davidson (2007) 7 . Mais celade facto minimise également l’existence de ces corrélations dans nos échantillons.7 Davidson (2007) propose, pour deux échantillons corrélés de même taille issus de deux distributions F etG, de considérer une probabilité P i unique pour chaque couple (x G , x F ) au lieu de considérer le cas général dedeux probabilités P F i et P G i pour chaque élément du couple.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 1496.4.1 La mobilité absolueLes tests de dominance du premier ordre ont révélé une absence de dominance en mobilitéentre les 4 périodes de l’étude. Pour la dominance du second ordre l’approche du Lorenzgénéralisé et celle de Mitra et Ok (1998) sont considérées. On définit 100 quantiles (centiles)pour chacune des deux distributions, soient ̂Q F (p) et ̂Q G (p). L’on exclut cependant 5% desquantiles les plus faibles et 5% des plus élevés pour éviter une trop grande influence des extrêmes.Le graphique 6.1 présente les différences entre les courbes de Lorenz généralisé quise sont avérées positives. On obtient ainsi quatres courbes qui traduisent 4 relations de dominanceéventuelles des courbes des périodes 1970-75 et 1980-85 par les courbes des périodes1975-80 et 1985-90. Le fait que les quatres courbes se coupent confirme qu’il n’existe pasd’autres relations de dominance.FIG. 6.1 – Différences entre les courbes de Lorenz généraliséUS dollars (1,000)0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6(1975−80)−(1970−75)(1975−80)−(1980−85)(1985−90)−(1970−75)(1985−90)−(1980−85)0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9centilesAu niveau de l’approche Mitra et Ok (graphique 6.2), seule la période 1975-80 paraîtdominer toutes les autres puisque les différences entre la courbe de cette période et cellesdes autres périodes sont positives. Les trois courbes du graphique se coupe ce qui exclutl’existence d’autres relations de dominance. L’inférence statistique permet de confirmer laplupart de ces relations. En effet, les résultats des tableaux 6.1 et 6.2 montrent que, parmi

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 150les 7 relations de dominance identifiées, 5 se sont avérées significatives aux seuils de 5 ou1%. Les deux autres relations de dominance n’apparaissent pas suffisamment significativescomme peuvent en témoigner leurs P-values (les probabilités rattachées à l’hypothèse H 0 denon dominance). Dans tous les tableaux qui vont suivre, les relations de dominance de G vsF indiquent qu’on teste l’hypothèse nulle de non dominance de G par F . Le rejet de cettehypothèse qui est obtenu pour des P-value faibles signifie alors que F domine G en mobilité.FIG. 6.2 – Différence entre les courbes de l’approche Mitra et OkUS dollars (1,000)0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9(1975−80)−(1970−75)(1975−80)−(1980−85)(1975−80)−(1985−90)0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9centilesTAB. 6.1 – Résultats des tests statistiques sur les courbes de Lorenz généraliséG n’est pas dominé par F Ratio LR P-value1970-75 vs 1975-80 4.653 0.000**1970-75 vs 1985-90 2,898 0.010*1980-85 vs 1975-80 3,362 0.025*1980-85 vs 1985-90 1.108 0.208(*) et (**) dénotent que les statistiques sont significatives respectivement aux seuils de 5 et1%.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 151TAB. 6.2 – Résultats des tests statistiques sur les courbes de l’approche Mitra et OkG n’est pas dominé par F Ratio LR P-value1970-75 vs 1975-80 1.089 0.1631980-85 vs 1975-80 2.859 0.008**1985-90 vs 1975-80 3.015 0.000**(**) dénote que la statistique est significative au seuil de 1%.6.4.2 Les matrices de transitionLes matrices de transition ont été définies par commodité en divisant la population en 5classes de revenu comme Formby et al (2004). Pour le premier cas (mobilité d’échange), onsuppose l’état stationnaire avec F (x) = F (y) = G(x) = G(y) = π = (0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2).Il s’agit simplement de considérer pour chaque distribution bivariée les 5 quantiles (quintiles)de x et de y. De ce fait, les éléments de la dernière colonne et de la dernière ligne de la matricede dominance qu’on peut dénoter par { K L∑ ∑0.2( ˜P kl − P kl )}, sont égaux à zéro park=1l=1définition. L’inférence statistique proposée qui se fait plutôt en terme de dominance strictek=1 l=1nécessite l’exclusion de ces éléments. Ainsi, les tests sont réalisés en considérant la matrice{ K−1 ∑ L−1 ∑0.2( ˜P kl − P kl )}. Pour ce premier cas, il n’a pas été possible de déterminer des relationsde dominance éventuelles parce que toutes les courbes se croisent.Pour le second cas (mobilité avec croissance), on définit seulement l’égalité F (x) =G(x) = π = (0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2). Ici, seuls les quintiles du revenu initial x sont considérés.Ces quintiles sont alors utilisés pour définir les classes du revenu final y. Pour illustration, lesmatrices de transition estimées pour les périodes 1970-75, 1980-85 et 1985-90 sont donnéespar :⎡̂P 1970−75 =⎢⎣0.480 0.297 0.118 0.075 0.0320.190 0.369 0.254 0.125 0.0610.079 0.190 0.308 0.301 0.1180.021 0.057 0.186 0.401 0.4230.014 0.021 0.075 0.165 0.598⎤⎥⎦

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 152⎡̂P 1980−85 =⎢⎣⎡̂P 1985−90 =⎢⎣0.554 0.271 0.100 0.061 0.0140.210 0.415 0.248 0.092 0.0430.145 0.216 0.314 0.238 0.1200.049 0.090 0.183 0.316 0.3300.049 0.061 0.067 0.189 0.6190.449 0.278 0.138 0.078 0.0570.169 0.363 0.322 0.138 0.0770.081 0.120 0.265 0.321 0.1400.041 0.062 0.148 0.389 0.4180.034 0.029 0.054 0.163 0.663⎤⎥⎦⎤⎥⎦Au niveau de chaque matrice de transition P et ˜P , il est pris en compte l’effet de lacroissance au sein de chaque population. L’on peut également vérifier qu’elles sont toutesmonotones. Toutefois, les différences de revenus entre les deux populations respectives de Pet ˜P ne sont pas prises en compte. En effet, on peut supposer la même dynamique de revenuspour les deux populations de même taille de telle sorte que P = ˜P . On aura toujours unemobilité identique pour ces populations même si on suppose que la seconde population estune réplique de la première mais avec une échelle de revenus deux fois supérieure. Ceci estcomparable à l’axiome de l’invariance d’échelle postulé au niveau des indices de pauvreté 8 .Ici, seuls les éléments de la dernière colonne de la matrice de dominance sont nuls. Le test est∑alors effectué en considérant la matrice { K L−1 ∑0.2( ˜P kl − P kl )}. Ici, deux relations semblentk=1 l=1être des relations de dominance. Il s’agit notamment des courbes des périodes 1975-80 et1985-90 qui se retrouvent en dessous de celle de 1980-85. Mais les résultats des tests (voirtableau 6.3) montrent que ces relations de dominance ne sont pas significatives.TAB. 6.3 – Résultats de la dominance de premier ordre dans le cas de croissanceRelations de dominance Ratio LR P-value1980-85 vs 1970-75 0.409 0.3761980-85 vs 1985-90 0.205 0.459Pour tester la dominance de second ordre, on se sert de la contrainte (6.41). On compare8 L’invariance d’échelle stipule que la mesure de pauvreté est homogène de degré zero par rapport à sesarguments que sont les revenus et les lignes de pauvreté.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 153donc le produit moyen des écarts de revenus par rapport à un couple (X k , Y L ) donné. Onconsidère toujours les deux cas ci-dessus retenus. Une distribution F domine alors en mobilitéune distribution G si son produit moyen apparaît généralement plus faible pour tous lescouples.Ceci est assez intuitif. En effet, si on considère une distribution caractérisée par l’immobilisme,ce qui correspond à une matrice de transition diagonale, le produit moyen des écartsaura tendance à être élevé pour les individus à faible revenu surtout lorsqu’on considère descouples (X k , Y L ) où l’un des deux éléments correspond à une classe de revenus faibles etl’autre à une classe de revenus élevés. L’analyse prend en compte la croissance dans les revenus.En effet, supposons que l’on dérive, à partir de cette matrice diagonale, une matricetriangulaire inférieure. Cela correspondrait à une situation de mobilité où certains individusvoient plutôt leurs revenus finaux diminuer. Il est alors clair que le produit moyen des écartsva être encore plus élevé que dans le cas de la matrice diagonale. C’est l’inverse pour unematrice triangulaire supérieure.TAB. 6.4 – Résultats de la dominance non restreinte de second ordre pour les deux casRelations de dominance Ratio LR P-valueMobilité d’échange1975-80 vs 1970-75 0.135 0.6501975-80 vs 1985-90 0.023 0.808Mobilité avec croissance1970-75 vs 1985-90 0.499 0.5011975-80 vs 1970-75 0.241 0.3761975-80 vs 1985-90 1.364 0.3301980-85 vs 1985-90 0.174 0.702Pour réaliser les tests, le second échantillon issu de la distribution F est normalisé de tellesorte que, pour π = (0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2), il ait les mêmes quintiles que l’échantillon issu dela distribution G. Pour le cas de mobilité d’échange, cette normalisation se fait à la fois dansl’espace des revenus initiaux x et dans celui des revenus finaux y. Pour le cas de la mobilitéavec croissance, la normalisation est d’abord effectuée dans l’espace des x, puis les revenusfinaux y sont ajustés de telle sorte que les probabilités des classes des y ajustés définies par les

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 154quantiles des x normalisés soient équivalentes aux probabilités des classes des y non ajustésdéfinies par les quantiles des x non normalisés (cf. annexes).TAB. 6.5 – Résultats de la dominance restreinte (aux 4 premières classes) de second ordrepour les deux casRelations de dominance Ratio LR P-valueMobilité d’échange1970-75 vs 1985-90 0.088 0.8221975-80 vs 1970-75 0.135 0.1201975-80 vs 1980-85 0.057 0.9701975-80 vs 1985-90 1.900 0.010*Mobilité avec croissance1970-75 vs 1985-90 0.744 0.5061975-80 vs 1970-75 0.0.769 0.3131975-80 vs 1985-90 2.080 0.036*1980-85 vs 1985-90 0.591 0.719(*) dénotent que la statistique est significative au seuil respectifs de 5%.L’analyse de second ordre identifie d’abord 6 relations de dominance non restreinte potentiellespour lesquelles le minimum de la statistique LR n’est pas nul. Parmi ces 6 relations,on a 2 pour le cas de la mobilité d’échange et 4 pour le cas de la mobilité avec croissance.Comme on peut le voir dans le tableau 6.4, aucune de ces relations ne s’est révélée significativepuisque les probabilités associées à l’hypothèse nulle (P − value) sont suffisammentélevées pour qu’on ne puisse pas rejeter celle-ci. L’analyse porte ensuite sur l’identificationde quelques relations de dominance restreinte. Pour ce faire, on fait abstraction de la dernièrecolonne de la matrice de transition. Deux relations de dominance apparaissent significativeau seuil de 5% dont une pour chacune des deux cas (cf. tableau 6.5). Plus précisement, la période1985-90 domine la periode 1975-80 dans les deux cas. Même si les autres relations nese sont pas avérées significatives, la période 1985-90 semble avoir globalement connu plus demobilité que les autres. Toutefois, on note que les résultats dépendent du choix de la mesurede mobilité puisque des résultats différents ont été obtenus dans le cas de la mobilité absolue.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 1556.5 ConclusionPlusieurs mesures de la mobilité sont proposées dans la littérature. L’on peut alors, enutilisant une mesure spécifique, évaluer le degré de mobilité d’une société. Mais la vraiequestion n’est pas en soi d’évaluer la mobilité, mais de pouvoir dire si la mobilité dans unesociété A est plus ou moins importante que celle dans une société B. Il est généralementimpossible d’établir une comparaison qui soit robuste aux différentes mesures proposées. Peud’études ont essayé d’établir des comparaisons robustes de mobilité. Elles décrivent, pourl’essentiel, quelques cadres théoriques pour le classement partiel de la mobilité (Atkinson,1983 ; Conlisk, 1989 ; Dardanoni, 1993 ; Mitra et Ok, 1998 ; Formby et al, 2003).La présente étude propose, à l’instar de Maasoumi et Trede (2001) et de Formby et al(2004), un test statistique de comparaison de la mobilité. La différence est que, ici, le testse fait en terme de dominance stochastique stricte. Par ailleurs, l’étude retient deux types demesures. Le premier type repose sur les mesures de mobilité absolue proposées par Fields etOk (1996). Le second type s’appuie sur les matrices de transition et permet de réaliser descomparaisons de mobilité en terme de bien-être social. Les tests sont effectués sous l’hypothèsenulle de non dominance contre l’alternative de dominance. L’analyse a été étendue à ladominance stochastique de second ordre.Pour réaliser des applications, l’étude a été basée sur les données PSID des USA et acomparé quatres périodes comprises entre 1970 et 1990. Au niveau des mesures de mobilitéabsolue, il n’existe pas de relation de dominance au premier ordre car les courbes se coupent.Pour la dominance de second ordre, deux approches sont considérées : l’approche de Lorenzgénéralisé classique et l’approche de Mitra et Ok. Les analyses montrent l’existencede quelques relations de dominance, qui se sont révélées pour la plupart statistiquement robustes.Au niveau des mesures basées sur les matrices de transition, on note deux relationsde dominance au premier ordre (toutes deux dans le cas de la mobilité avec croissance) quine se sont pas avérées significatives. L’analyse de la dominance de second ordre révèle quantà elle l’existence de plusieurs relations de dominance dont deux sont apparues significatives.

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 156Les résultats suggèrent que, même si théoriquement on admet des différences dans les degrésde mobilité entre plusieurs économies ou entre plusieurs périodes d’une économie donnée,il est difficile d’obtenir des classements robustes de la mobilité basée sur le concept de ladominance stochastique stricte. Il est cependant important de réaliser des tests statistiquespour vérifier si des classements en terme de mobilité sont robustes plutôt que de se limiteraux comparaisons d’estimées qui sont insuffisantes.6.6 Annexes6.6.1 Annexe : Mobilité d’échangeSoient X K et Y K les quintiles issus de la distribution F , et X ′ K et Y ′ Kceux issus de ladistribution G, avec K, L = 1, ..., 5. On veut transformer les observations (x ′ , y ′ ) de G en(˜x, ỹ) de façon que leurs quintiles soient respectivement X K et Y K . Pour ce faire, on appliquela formule suivante :˜x j = X K−1 + (x ′ j − X K−1) ′ X K − X K−1XK ′ − , ∀ j = 1, ..., N G tq X X′ K−1 ′ < x ′ j ≤ X K. ′ (6.42)K−1Pour K = 1, X K−1 = X ′ K−1 = 0.La même chose est faite pour déterminer les ỹ j , soit :ỹ j = Y L−1 + (y j ′ − Y L−1) ′ Y L − Y L−1YL ′ − Y , ∀ j = 1, ..., NL−1′ G tq Y L−1 ′ < y j ′ ≤ Y L. ′ (6.43)Pour L = 1, Y L−1 = Y ′ L−1= 0. Après cette transformation, les nouvelles observations(˜x, ỹ) issues de G auront les mêmes quintiles que ceux obtenus pour F .

Chapitre 6. Tests de dominance stochastique en mobilité 1576.6.2 Annexe : Mobilité avec croissanceIci, seuls les quintiles du revenu initial sont déterminés à savoir X K pour F et X ′ K pourG, avec K = 1, ..., 5. Ces mêmes quintiles sont retenus pour déterminer les classes dansle revenu final. On suppose que les proportions d’individus dans les classes de revenu finalsont respectivement P K et P ′ K . Il s’agit dès lors de transformer (x′ , y ′ ) en (˜x, ỹ) de façonque les quintiles du revenu initial ˜x soient égaux à X K . De plus, cette transformation doitpréserver les proportions P K ′ dans les classes de revenu final. On procède de la même façonqu’au niveau de l’équation (6.42) pour déterminer les ˜x j . Les ỹ j sont alors calculés d’aprèsl’équation suivante :ỹ j = X K−1 + (y j ′ − X K−1) ′ X K − X K−1XK ′ − , ∀ j = 1, ..., N G tq X X′ K−1 ′ < y j ′ ≤ X K. ′ (6.44)K−1

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Chapitre 7ConclusionComparer le bien-être et la pauvreté est un exercice important pour analyser les différencesdans les niveaux de développement, ainsi que pour cerner l’incidence des politiquesde développement. L’analyse de la dominance stochastique s’est révélée dans le passé un outilindispensable pour réaliser des comparaisons robustes en pauvreté cohérentes avec des comparaisonsen termes d’utilité ou de bien-être. Cet outil a aussi été largement utilisé en financepour analyser l’efficacité des portefeuilles ou comparer le rendement de fonds mutuels.Plusieurs tests statistiques ont été proposés dans le passé dont la plupart permettent de testerla dominance faible. Davidson et Duclos (2006) suggèrent une méthode de vraisemblanceempirique pour réaliser des tests de dominance stricte basés sur l’hypothèse nulle de non dominance.Leur démarche semble intéressante à certains égards. D’abord, elle est basée surune formulation de type intersection-union qui permet d’accepter sans ambiguïté l’existencede la dominance lorsque celle-ci s’avère. Ensuite, elle fournit des probabilités qui serventà tirer des échantillons de bootstrap et à réaliser des tests sur des statistiques pivotales plusperformants que ceux réalisés avec les échantillonnages de bootstrap classiques.La présente thèse a consisté d’abord à étendre la méthode de Davidson et Duclos aucas de distributions multivariées de bien-être. Cette idée est compatible avec la littératureactuelle qui considère la pauvreté et le bien-être comme des phénomènes multidimensionnels

Chapitre 7. Conclusion 163qui vont au delà de la simple perception monétaire. Les simulations de Monte Carlo ontrévélé que les tests de bootstrap fonctionnent assez bien lorsqu’on considère des distributionsbivariées. Des applications sont faites à partir de données de quelques pays africains. Elles ontconfirmé la bonne puissance de ces tests puisque plusieurs relations de dominance stricte ontété mises en évidence. Par ailleurs, un cas particulier de distribution bivariée a été égalementconsidéré. Il s’agit de la situation dans laquelle une des dimensions est une variable discrète.Les tests ont là aussi été largement concluants avec la mise en exergue de l’existence deplusieurs relations de dominance séquentielle. Dans une dernière analyse, les tests ont étéappliqués à un domaine assez peu usité en terme de dominance stochastique. Il s’agit de lamobilité qui est un phénomène captant l’aspect dynamique du bien-être. Bien que dans nosillustrations relativement moins de relations se soient avérées être des relations de dominancesignificatives, dans l’ensemble, les tests semblent bien fonctionner.La présente thèse se veut une contribution à la littérature sur la dominance stochastiquemultidimensionnelle et étend des tests statistiques récents dans ce sens. En abordant l’analysestatistique en terme multidimensionnel, cette thèse s’inscrit dans le souci de plus en plusconsensuel de considérer le bien-être et la pauvreté comme des phénomènes multidimensionnels.Elle constitue à cet égard une contribution pertinente. Elle offre aussi des idées surles possibilités d’extension de l’analyse à plusieurs autres domaines de l’économie du bienêtre.On peut penser entre autres aux concepts d’inégalité et d’inégalité multidimensionnelle.L’analyse peut aussi être réalisée en présence de distributions corrélées. En effet, Davidson(2007) propose une extension dans cette direction qui peut aisément être adaptée au cas dedistributions multivariées. Il est aussi possible que l’analyse trouve des applications dansd’autres domaines tels que la finance si l’on souhaite faire des comparaisons qui vont au delàde la simple préoccupation du rendement moyen et du risque.