Comparaisons multidimensionnelles de bien-être et de pauvreté ...

Chapitre 2. Mesures de la pauvreté multidimensionnelle et inférences statistiques 22H 0,i : µ 0,i = 0 ∀ i = 1, ..., K vs H 2 : µ 0,i ≠ 0 pour certains i. (2.16)L’hypothèse nulle globale H 0 : µ 0 = 0 est l’intersection de toutes les hypothèses simplesH 0,i , tandis que l’hypothèse alternative H 2 : µ 0 ≠ 0 représente plutôt leur union. Ainsi, onne rejette pas l’hypothèse H 0 seulement lorsqu’on ne rejette aucune des hypothèses H 0,i . Ensupposant que ̂µ 0 est un estimateur de µ 0 , Bishop et al (1989) établissent à partir d’une sériede théorèmes, s’inspirant en partie de Rao (1965) et de Beach et Davidson (1983), que sousl’hypothèse nulle H 0 : µ 0 = 0, on a :̂µ 0 ∼ d N (0, Σ) . (2.17)Sous l’hypothèse d’indépendance entre deux distributions a et b, ils dérivent la statistique :Z i =̂µ a 0,i − ̂µ b 0,i[(̂σaii /N a ) + (̂σ b ii /N b)] 1/2 , (2.18)avec ̂µ 0,i = ̂µ a 0,i − ̂µ b 0,i, ̂σ ii a et ̂σ ii b les variances respectives de ̂µ a 0,i et ̂µ b 0,i, tandis que N a etN b sont les nombres d’observations respectivement pour les deux distributions a et b. Cettestatistique est asymptotiquement normale standard pour i = 1, ..., K. Pour contrôler la tailleα du test, ils utilisent des valeurs critiques basées sur la distribution SMM 8 dont la table estfournie par Stoline et Ury (1979) pour tester chacune des hypothèses simples. H 0,i est rejetéelorsque |Z i | ≥ m α (K, ∞) et acceptée dans le cas contraire. Un avantage des procédures decomparaison multiple est qu’elles permettent d’identifier les tests qui rejettent et ceux qui nerejettent pas (Savin, 1980).La formulation de l’hypothèse nulle d’égalité contre l’hypothèse alternative de non restrictionpeut paraître assez vague et non informative dans la mesure où l’on ne peut distinguer8 Studentized maximum modulus.