TRIGONOMÉTRIE ET GÉOMÉTRIE 1Fichier PDF - e-nautia

5TRIGONOMÉTRIE ET GÉOMÉTRIENOMBRES ET TRIGONOMÉTRIEA. RappelsDans le triangle rectangle BAC : [BC] est l'hypoténuse. [AC] est le côté opposé à l'angle B . [AC] est le côté adjacent à l'angle C .(compris entre l'angle C et l'angle droit).A = 90° ; B + C = 90° Théorème de Pythagore : BC ² AB ² AC ²B. Nombres trigonométriques dans le triangle rectangle1. Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport entre la mesure du côté del'angle droit adjacent à cet angle et la mesure de l'hypoténuse.cos BˆABBCcos CˆACBC2. Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport entre la mesure du côté de l'angledroit opposé à cet angle et la mesure de l'hypoténuse.sin BˆACBCsin CˆABBC3. La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport entre la mesure du côté del'angle droit opposé à cet angle et la mesure du côté de l'angle droit adjacent à cet angle.tg BˆACABtg CˆABAC4. La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport entre la mesure du côté del'angle droit adjacent à cet angle et la mesure du côté de l'angle droit opposé à cet angle.cotg ˆABB cotg CˆACACAB

6C. Mesure des angles et des arcs1. Le degré (°) est la 90 e partie de l’angle droit.• Degrés décimaux : le degré est divisé en dixièmes, centièmes, …• Degrés sexagésimaux : le degré est divisé en 60 minutes () et la minute en 60 secondes ().2. Le radian (rad) est la mesure d'un angle au centre d'un cercle qui intercepte un arc de longueurégale au rayon. 1BExemple : AOB ˆ est un angle de 1 rad.rOrA3. Le grade 2 (gr) est la 100 ème partie de l’angle droit. Cette unité, qui apparaît sur la plupart descalculatrices scientifiques, est moins utilisée que les précédentes.4. Conversion degrés radians360° = 2 rad21° = rad 360.° = rad 180Exemples :convertir 12° en radians2 rad = 360°3601 rad =2180. rad =convertir 1,2 rad en degrés.12 12° = rad = rad = 0,21 rad180 15180.1,21,2 rad == 68,75° = 68°45'

7D. Le cercle trigonométriqueDans un repère orthonormé, le cercle trigonométrique est lecercle dont le centre est l'origine du repère, dont le rayon vaut 1 etqui est orienté positivement dans le sens contraire des aiguillesd’une montre.Chaque angle orienté sera placé sur le cercle de la manièresuivante :yV10.. A.U1x son sommet en O ; un côté confondu avec la partie positive de l’axe Ox ; orienté dans le sens positif s’il est positif et dans l’autre sens s’il est négatif.Ainsi chaque angle correspond à un et un seul point A du cercle trigonométrique (l’intersection dusecond côté avec ce cercle).De même, un arc sera placé sur le cercle trigonométrique de la manière suivante : son origine en U; son extrémité du côté positif s’il est positif, du côté négatif s’il est négatif.A tout angle correspond un et un seul arc et à tout arc correspond un et un seul angle. Il sera doncinutile, à l’avenir, de préciser s’il s’agit d’un angle ou d’un arc : tout ce qui est vrai pour les angles estvrai pour les arcs et réciproquement.Un arc est toujours limité d’un côté par le point U (origine des arcs) et, de l’autre côté, par un pointA du cercle trigonométrique (point-image de l’arc).De même un angle est toujours limité par [OU et par une demi-droite issue de O; le pointd’intersection de cette demi-droite et du cercle trigonométrique est le point A image de l’angle .

8Valeurs particulières des angles et quadrants :y2 e quadrant90° ou /2rad11 er quadrantA180° ou rad01x0° ou 360° ou 2 rad3 e quadrant 4 e quadrant270° ou 3/2radE. Nombres trigonométriques d'un angle orienté1. Cosinus et sinussin 1yA (cos , sin )0 cos 1xLe cosinus de l'angle est l'abscisse du point-image A de l’angle sur le cercle trigonométrique.Le sinus de l'angle est l'ordonnée du point-image A de l’angle sur le cercle trigonométrique.Propriété : comme tout point du cercle de rayon 1 et centré à l’origine a ses coordonnéescomprises entre -1 et 1, on a :-1 sin 1 et -1 cos 1Formule fondamentaley1Asin 0 cos B 1xLe triangle ABO est rectangle en B donc :OB ² AB ² OA²(Théorème de Pythagore)et donc :cos² + sin²

92. TangenteTraçons la droite d, tangente au cercle en U. Soit P, le point d’intersection de [OA et de d.VX1Asin O cos BXPPU1tg dLa tangente de l'angle est le quotient de son sinus par soncosinus.sintg cos avec cos 0 c’est-à-dire /2 + k (k Z). Le triangle OBA est semblable au triangle OUP (trois angles égauxchacun à chacun) et donc :AB PU sinPU tg PUOB OU cos1tg est l’ordonnée de P.Cette démonstration peut être aisément adaptée au cas où l’angle n’estpas dans le premier quadrant.3. CotangenteTraçons la droite d’, tangente au cercle en V. Soit P, le point d’intersection de [OA et de d’.-1Xd’sin OV1cotg A1 UXcos 1PLa cotangente de l'angle est le quotient de son cosinus par sonsinus.coscotgsinavec sin 0 c’est-à-dire 0 + k (k Z). cotg est l’abscisse de P.La démonstration est semblable à la précédente.4. Valeurs particulières des nombres trigonométriquesIl est facile de lire, sur le cercle trigonométrique, les résultats suivants : 0 /2 3/2 20° 90° 180° 270° 360°sin 0 1 0 -1 0cos 1 0 -1 0 1tg 0 / 0 / 0

10cotg / 0 / 0 /

122. Angles supplémentairesDeux angles sont supplémentaires si leur somme vaut ou 180°. Leurs points-images sontsymétriques par rapport à l'axe Oy. - - sin( - ) = sin cos( - ) = - cos tg( - ) = - tg cotg( - ) = -cotg 3. Angles antisupplémentairesDeux angles sont antisupplémentaires si leur différence vaut ou 180°. Leurs points-imagessont symétriques par rapport au centre O. + + sin( + ) = - sin cos( + ) = - cos tg( + ) = tg cotg( + ) = cotg 4. Angles opposésDeux angles sont opposés si leur somme vaut 0°. Leurs points-images sont symétriques parrapport à l'axe Ox.-- sin( - ) = - sin cos( - ) = cos tg( - ) = - tg cotg(-) = -cotg

14 Comme cos 45° = sin 45° , on a :cos² 45° + sin² 45° = 12.cos² 45° = 1cos² 45° = 1 2En résumé (angles du premier quadrant) :cos 45° = sin 45° = cos 45° = tg 45° = cotg 45° =12122222 12222 06 4 3 20° 30° 45° 60° 90°sin 0cos 1tg 01232332222cotg / 3 1H. Fonctions trigonométriques usuelles4Y32121 3 /331001. La fonction sinus21 yy = sin x02.5 2 .5 0.5 0 0.5 .5 2 2.5-1xX-2Son domaine de définition est R. Elle est impaire car sin(-x) = - sin x et est périodique depériode 2 car sin(x + 2) = sin x.-4

4Y152. La fonction cosinus21 y02.5 2 .5 0.5 0 0.5 .5 2 2.5-1y = cos xxX-2Son domaine de définition est R. Elle est paire car cos(-x) = cos x et périodique de période 2car cos(x + 2) = cos x.3. La fonction tangente-44Y2yy = tg x102.5 2 .5 0.5 0 0.5 .5 2 2.5-1xX-2Son domaine de définition est R\{/2 + -4 k, k Z}. Elle est impaire car tg(-x) = -tg x etpériodique de période car tg(x + ) = tg x.4. La fonction cotangente4y2yy = cotg x102.5 2 .5 0.5 0 0.5 .5 2 2.5-1xx-2-4Son domaine de définition est R\{k, k Z}.Elle est impaire car cotg(-x) = -cotg x etpériodique de période car cotg(x + ) = cotg x.

18J. Autres démonstrations1. Relation aux sinusDans tout triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.BAXYbcCaHypothèse : AC= b, AB= c, BC= a.Thèse :a b c sinsin sin Démonstration : construisons les hauteurs [CX] et [BY]. Dans le triangle rectangle AXC, on a Dans le triangle rectangle BYA, on aCXBYsin CX AC sinsin BY AB sinACABou CX bsinou BY csin Dans le triangle rectangle BXC, on a Dans le triangle rectangle BYCCXBYsin CX BC sin sin BY BC sin BCBCou CX asinou BY asindonc b.sin = a.sin or sin 0 et sin 0donc c.sin = a.sin or sin 0 et sin 0a ba cdonc (1)donc sinsin sinsin (2)a b cIl résulte de (1) et (2) que sinsin sin c.q.f.d.

192. Relations aux cosinusDans tout triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminuée dudouble produit de ces deux côtés par le cosinus de l'angle compris entre ceux-ci.BcXAaDémonstrationTraçons la hauteur [CX]bCHypothèse : AC= b, AB= c, BC= a.Thèse :a² = b² + c² - 2bc cosb² = a² + c² - 2ac cosc² = a² + b² - 2ab cosBC2BX2XC2Dans le triangle rectangle BXC, on a ( AB AB2AX )2 XC 2 AB AX AX22XC2AB2 ( AX2XC2) 2 ABAXDans le triangle rectangle AXC, on a AXet AX 2 XC2AC cosAC2DoncBC2AB2AC2 2 AB ACcosou a² = b² + c² - 2bc cos C.Q.F.D.Les deux autres égalités se démontrent de la même manière.

203. Aire d'un triangleL'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de deux côtés par le sinus de l'angle compris entreces côtés.Hypothèse : AC= b, AB= c, BC= a.1. C1Thèse : Aire = ab sin 21Aire = bc sin 24. A 1Aire = ac sin 5. B2. A 2 3. BDémonstration : (Aire d'un triangle =Traçons la hauteur [CX] Dans le triangle rectangle AXC, on aCXsin CX AC sinACDans le triangle rectangle BXC, on aCXsin CX BC sin BCTraçons la hauteur [BY] Dans le triangle rectangle BYC, on aBYsin BY BC sin BCDes relations (1), (2) et (3), on déduit que :base x hauteur)2ouououCXCXBY bsin asin asin(1)(2)(3)Aire = 21 bc sin 21 ac sin 21 ab sin .