Une remarque sur la valeur absolue dans certains espaces de ...

Une remarque sur la valeur absolue dans certains espaces de Sobolev ou de Besov.Pierre Gilles LEMARIÉ–RIEUSSET (plemarie@univ-evry.fr)Laboratoire Analyse et Probabilités, EA2172, Université d’Évry Val d’Essonne, 91025 Évry Cedex, FranceRésumé :Nous démontrons, pour 1/2 < s < 1, l’équivalence entre la norme H s de f et celle de |f|.Abstract: Remark on the absolute value in Sobolev spaces. We show, for 1/2 < s < 1, the equivalencebetween the H s norm of f and the norm of |f|.1. Énoncé des théorèmes.Définition 1 :Si 0 < s < 1, l’espace Ḣs (IR n ) est l’espace des fonctions f localement de carré intégrable qui vérifient∫‖f‖ 2 |f(x) − f(y)|= Ḣ∫IR 2s n ×IR n |x − y| n+2s dx dy < +∞Nous allons démontrer le résultat suivant :Théorème 1 :Si 1/2 < s < 1, si f est une fonction continue de IR n vers IR, alors f ∈ Ḣs si et seulement si |f| ∈ Ḣs et ilexiste une constante C s,n > 0 qui ne dépend que de s et de n telle que‖ |f| ‖Ḣs ≤ ‖f‖Ḣs ≤ C s,n ‖ |f| ‖ḢsLe théorème s’étend au cas des espaces de Besov Ḃs,p p :Définition 2 :Si 0 < s < 1 et 1 ≤ p ≤ +∞, l’espaceLebesgue qui vérifient‖f‖Ḃs,ppḂs,p p (IR n ) est l’espace des fonctions f mesurables pour la mesure de= ‖ ‖f(x) − f(x + h)‖ p|h| s ‖ Lp ( dh|h| n ) < +∞On a alors le résultat suivant :Théorème 2 :Si 1 < p ≤ +∞ et 1/p < s < 1, si f est une fonction continue de IR n vers IR, alors f ∈ Ḃs,p p (IR n ) si etseulement si |f| ∈ Ḃs,p p (IR n ) et il existe une constante C s,p,n > 0 qui ne dépend que de s, de p et de n telle que‖ |f| ‖Ḃs,pp≤ ‖f‖Ḃs,pp≤ C s,p,n ‖ |f| ‖Ḃs,pp2. Le cas p = +∞.Le cas p = +∞ est trivial. L’espace Ḃs,∞ ∞ est l’espace des fonctions höldériennes. Pour vérifier que f esthöldérienne si |f| l’est, il suffit de remarquer que si f(x)f(y) < 0 et si f est continue, alors (théorème des valeursintermédiaires) il existe z ∈ [x, y] tel que f(z) = 0. On écrit alors|f(x) − f(y)| ≤ ∣ ∣ |f(x)| − |f(z)|∣ + ∣ ∣ |f(z)| − |f(y)|1∣∣ ≤ 2‖ |f| ‖Ḃs,∞∞|x − y| s

3. Le cas n = 1 et p < +∞.Dans le cas de la dimension 1, l’espace Ḃs,p p pour 1/p < s < 1 est composé de fonctions continues et nousallons montrer une version précisée de l’inégalité de Hardy [2] [6] :Lemme 1 :Si 1/p < s < 1 et 1 < p < +∞, il existe une constante C s,p > 0 telle que, pour tous a < b ≤ +∞∫ ba|f(x) − f(a)| p ∫|f(x) − f(y)||x − a| ps dx ≤ C s,p∫[a,b]×[a,b]p|x − y| 1+ps dx dyPreuve : Par convergence monotone, il suffit de traiter le cas b < +∞. Par invariance par translation ou pardilatation, on peut supposer a = 0 et b = 1. Quitte à régulariser f en ω ∗ f avec ω ∈ D, on peut supposer que fest C ∞ et donc que le membre de gauche de l’inégalité est fini. On pose N(f) = ∫ ∫ |f(x)−f(y)| p[0,1]×[0,1] |x−y|dx dy et1+psA(f) = ∫ 1 |f(x)−f(0)| p0 |x|dx.psPour estimer A(f), on écritA(f) =∫ps 12 ps − ( 3 2 )ps0|f(x) − f(0)| p ∫ x/2x/3dydx|x − y|1+pset doncet finalement(A(f)) 1/p≤( ps2 ps − ( 3 2 )ps N(f)) 1/p+( ps2 ps − ( 3 2 )ps ∫ 10∫ x/2(A(f)) 1/p≤( ps2 ps − ( 3 2 )ps N(f)) 1/p+( 1 − 2 −ps2 ps − ( 3 2 )s A(f)) 1/px/3|f(y) − f(0)| p|x − y| 1+ps dy dx ) 1/pAppliquant les accroissements finis à 2 ps − 1 ps et à 4 ps − 3 ps , et puisque ps > 1, on voit quepermet de contrôler A(f) par N(f).Cette inégalité a pour corollaires les lemmes suivants :1−2 −ps2 ps −( 3 2 )ps < 1, ce quiLemme 2 :Si 1/p < s < 1 et 1 < p < +∞, il existe une constante C s,p > 0 telle que, pour tout f ∈ Ḃs,p p (IR) et toutintervalle ouvert I tels que f(x) = 0 aux extrémités de I, on a‖f1 I ‖Ḃs,pp≤ C s,p ‖f‖Ḃs,ppLemme 3 :Si 1/p < s < 1 et 1 < p < +∞, il existe une constante C s,p > 0 telle que, pour tout f ∈intervalle ouvert I tels que f(x) = 0 pour tout x /∈ I, on a∫ ∫IR×IR|f(x) − f(y)| p|x − y| 1+ps dx dy ≤ C s,p∫ ∫I×I|f(x) − f(y)| p|x − y| 1+ps dx dy˙Ḃps,p(IR) et tout|f(x)−f(y)| p|x−y| 1+ps|f(x)−f(a)| p|x−a| psPreuve : On écrit I =]a, b[. On pose N(f) = ∫ ∫ dx dy, A(f) = ∫ dx (si a = −∞,I×IIon pose A = 0) et B(f) = ∫ |f(x)−f(b)| pI |b−x|dx (si b = +∞, on pose B = 0). Si f est nulle en dehors de I, on vérifiepsfacilement ‖f‖ p = N(f) + 2 Ḃps,pps(A(f) + B(f)) et on applique le lemme 1.Nous pouvons alors énoncer le lemme principal :2

Lemme 4 :Si 1/p < s < 1 et 1 < p < +∞, il existe une constante C s,p > 0 telle que, pour tout f ∈ Ḃs,p p (IR), siΩ f = {x ∈ IR / f(x) ≠ 0} et si Ω f = ∑ k∈K I k, K ⊂ IN, est la décomposition de Ω f en intervalles ouvertsdisjoints, on a∑k∈K∫|f(x) − f(y)|∫I p ∫ ∫|f(x) − f(y)| p∑∫|f(x) − f(y)|k ×I k|x − y| 1+ps dx dy ≤IR×IR |x − y| 1+ps dx dy ≤ C sk∈K∫I pk ×I k|x − y| 1+ps dx dyPreuve : On pose f k = 1 Ik f, I k =]a k , b k [. Enfin, on note ∆ = ∑ k∈K I k × I k . En remarquant que |f(x)| p =∑k∈K |f k(x)| p , on écrit (avec la convention1|c−x| ps = 0 si c = −∞ ou c = +∞) :∫ ∫IR×IR|f(x)−f(y)| p|x−y| 1+ps dx dy =≤≤∑∫ ∫|f(x)−f(y)| p∆ |x−y|∫ ∫I 1+ps|f(x)−f(y)| pk ×I k∑ k∈K|x−y|∫ 1+ps|f(x)−f(y)|k∈K∫I pk ×I kOn conclut alors en appliquant à f k les lemmes 2 et 3.dx dy + ∫ ∫ IR×IR−∆dx dy + 2 p ∑ k∈K∫|x−y| 1+ps dx dy + C s∑k∈KLe théorème 1 dans le cas n = 1 est alors une conséquence directe du lemme 4.4. Le cas n > 1.|f(x)−f(y)| p|x−y|dx dy∫ ∫x∈I 1+ps|f(x)| pk , y /∈I k|x−y| 1+psdx dyI k|f(x)| p (1|x−a k | ps +1|b k −x| ps ) dxPour traiter le cas général, on utilise les coordonnées sphériques : on a‖f‖ p Ḃ s,pp= 1 2∫S n−1 ∫IR∫IR n |f(x + ρσ) − f(x)| p|ρ| 1+spdx dρ dσpuis en écrivant x = y + tσ avec y ∈ σ ⊥‖f‖ p Ḃ s,pp= 1 2∫S n−1 ( ∫ σ ⊥ ( ∫ IR×IR|f(y + (ρ + t)σ) − f(y + tσ)| p|ρ| 1+spdt dρ ) )dy dσLa démonstration des Théorèmes 1 et 2 dans le cas général se ramène donc au cas n = 1.5. Un exemple d’application.Comme exemple d’application, nous allons considérer le problème de la régularité des solutions faibles del’équation quasi-géostrophique dissipative. Notons Λ = √ −∆ l’opérateur de Calderón. Pour 0 < α ≤ 1, l’équationquasi-géostrophique dissipative (QG α ) est l’équation :⎧⎨ ∂ t θ + ⃗u. ∇θ ⃗ = −Λ 2α θ⃗u = (−R⎩2 θ, R 1 θ)θ(0, .) = θ 0où R j est la transformation de Riesz R j = 1 √ −∆∂ j . Le terme d’advection ⃗u. ⃗ ∇θ peut se réécrire div(θ ⃗u) et on peutdonc considérer les solutions peu régulières de l’équation modifiée :⎧⎨ ∂ t θ + div(θ ⃗u) = −Λ 2α θ⃗u = (−R 2 θ, R 1 θ)⎩θ(0, .) = θ 0En 2008, Marchand [5] a étudié le cas d’une donnée initiale θ 0 ∈ L p ; pour 2 ≤ p < +∞, il a établi l’existence desolutions faibles qui vérifient de pluspour t > 0,∫ t ∫‖θ(t, .)‖ p p + p03θ|θ| p−2 Λ 2α θ dx ds ≤ ‖θ 0 ‖ p p

où l’intégrale double donne une contribution positive, comme le montre l’inégalité de Córdoba [4] [∫2∫|Λ α (|θ| p/2 )| 2 dx ≤ pθ|θ| p−2 Λ 2α θ dx.Cette inégalité montre que |θ| p/2 appartient à L 2 t Ḣα , ce qui entraîne que |θ| appartient à L p Ḃp2α/p,p . Cependant,la régularité de la fonction θ elle-même restait obscure.En collaboration avec D. Chamorro, nous avons montré dans [3] une inégalité plus précise, pour 0 < α < 1,‖θ‖ p Ḃ 2α/p,pp∫≤ C p,α ‖θ|θ| p−22 ‖ ≤ C2Ḣα p,α′θ|θ| p−2 Λ 2α θ dxLa démonstration utilisait des propriétés élémentaires des semi-groupes de diffusion [1]. Dans le cas 1/2 < α < 1,le théorème 1 permet une autre démonstration de cette inégalité.6. Remarques finales.Le théorème 2 est faux si f est à valeurs complexes ou si 0 < s < 1/p, comme le montrent les contre-exemplessuivants :a) fonction à valeurs complexes : prendre f(t) = ϕ(t)e iln |x|où ϕ ∈ D(IR), ϕ(0) = 1 et ϕ(x) = 0 pour |x| ≥ 1/2.b) cas 0 < s < 1/p : prendre g(x) = 1 ]0,1[ (x); on a g ∈ Ḃs,p p (IR) pour 0 < s < 1/p (et g peut être approximée ennorme Ḃs,p ppar des fonctions continues); si f N = ∑ 2N−1k=0 (−1)k g(x − k), on a‖ |f N | ‖Ḃs,pp= ‖g( x2N )‖ Ḃps,p= (2N) 1/p−s ‖g‖Ḃs,ppet ‖f N ‖Ḃs,pp≥ N 1/p( ∫ 10∫ 211|x − y| 1+2s dx dy) 1/pde sorte que lim N→+∞‖ |f N‖f N| ‖Ḃs,pp‖Ḃs,pp= 0.Remerciements : Pour élémentaires que ces calculs soient, ils m’ont résisté deux ans durant. L’étincelle decompréhension est venue dans la salle de réveil de l’hôpital de jour de l’Hôpital Robert Debré, au chevet de mafille au sortir de son opération. Merci à l’équipe soignante de cet hôpital pour savoir créer dans des circonstancesdifficiles une atmosphère sereine pour les jeunes opéré(e)s et leur famille!Références.[1] BAKRY, D., Functional inequalities for Markov semigroups. In Probability measures on groups: recent directionsand trends, pp. 91–147. Tata Inst. Fund. Res., Mumbai, 2006.[2] BOURDAUD, G., Localisation et multiplicateurs des espaces de Sobolev homogènes, Manuscripta Math. 60(1988), pp. 93–130.[3] CHAMORRO, D. et LEMARIÉ–RIEUSSET, P. G., Quasi-geostrophic equations, nonlinear Bernstein inequalitiesand α-stable processes, à paraître in Revista Matematica Iberoamer..[4] CÓRDOBA, A., CÓRDOBA, D., A maximum principle applied to Quasi-Geostrophic equations, Commun.Math. Phys. 249 (2004), 511-528.[5] MARCHAND, F., Existence and Regularity of Weak Solutions to the Quasi-Geostrophic Equations in the SpacesL p or Ḣ−1/2 , Commun. Math. Phys. 277 (2008), 45–67.[6] YOUSSFI, A., Localisation des espaces de Lizorkin–Triebel homogènes, Math. Nach. 147 (1990), 107–121.4