Cours de Calcul stochastique Master 2IF EVRY

Cours de Calcul stochastiqueMaster 2IF EVRYMonique JeanblancSeptembre 2006

Contents1 Généralités 71.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Définition d’une tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Mesurabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Tribu engendrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Ensembles négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Existence d’une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Intégrabilité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.5 Probabilités équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Convergence de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1 Convergence presque sûre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dans L 2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.2 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.3 Processus croissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6.4 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.2 Espérance conditionnelle par rapport à une tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.3 Espérance conditionnelle par rapport à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7.4 Propriétés de l’espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7.5 Variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7.6 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8.2 Cas Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9.2 Cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10 Temps d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10.2 Théorème d’arrêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10.3 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11 Rappels d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11.1 Dérivation sous le signe somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

4 CONTENTS1.11.2 Espace complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11.3 Théorème de Lebesgue dominé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 LE MOUVEMENT BROWNIEN 232.1 Le mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Généralisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Promenade aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.2 Une notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.3 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.4 Propriété de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.5 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.6 Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.7 Propriétés de martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.8 Temps d’atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.9 Brownien multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Intégrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.3 Processus lié à l’intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.4 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.1 Le brownien géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5.3 Modèle de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 INTÉGRALE STOCHASTIQUE 393.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.1 Cas de processus étagés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.1 Linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 Propriétés de martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.4 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.5 Inégalité maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Processus d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.3 Intégrale par rapport à un processus d’Itô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.4 Crochet d’un processus d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Lemme d’Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.1 Première forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.2 Fonction dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.4 Cas du Brownien multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.5 Application à la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES 494.1 Equations différentielles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.2 Théorème d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.3 Propriété de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.4 Théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.5 Exemple : Martingale exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

CONTENTS 54.2 Equations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.1 Problème parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.3 Formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.4 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 EXEMPLES DE PROCESSUS D’ITO 555.1 Le brownien géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2 Modèle de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Processus de Bessel et carré de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4.1 Euclidian norm of n-dimensional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4.2 General definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.4.3 Scaling properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.4.4 Absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5.1 Additivity of BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5.2 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5.3 Transition densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.5.4 Hitting times for Bessel processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.5.5 Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.6 Cox-Ingersoll-Ross processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.6.1 CIR processes and BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.6.2 Transition probabilities for a CIR process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.6.3 CIR model for spot rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 CHANGEMENT DE PROBABILITÉ 676.1 Théorème de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1.1 Changement de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1.2 Théorème de Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.1.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.1.5 Cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.2 Application aux modèles financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.1 Application à la valorisation d’un actif contingent en marché complet . . . . . . 716.2.2 Arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2.3 Hedging methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2.4 Arbitrage et mme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.2.5 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 Probabilité forward-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3.2 Changement de numéraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.3.3 Changement de numéraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.3.4 Valorisation d’une option sur obligation à coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Begin at the beginning, and go on till you come to the end. Then, stop.L. Caroll, Alice’s Adventures in Wonderland

6 CONTENTS

Chapter 1GénéralitésDans ce chapitre aride sont rassemblées les notions de base de théorie des probabilités qui seront utiliséesdans tout le cours 1 . Ces notions ne seront pas reprises dans le cours. L’espace de probabilité sur lequelon travaille est noté Ω. Pour les démonstrations et de plus amples informations, consulter les ouvragesde Breiman [?], Grimmett et Stirzaker [?], Jacod et Protter [?] ou encore Williams [?]. Voir aussi desexercices dans [?] ou dans [?].1.1 TribuL’espace Ω est un espace abstrait dont les éléments sont notés ω. Un sous-ensemble de Ω est unévénement. Dans certaines parties de cours, on précisera la structure de Ω en construisant explicitementcet espace. Dans la plupart des cas, la structure de Ω n’a pas de rôle à jouer. Par contre, lorsque l’onveut construire une variable aléatoire de loi donnée, un choix judicieux de Ω s’impose : il est impossiblede construire une v.a. sur un espace quelconque donné à l’avance. Cette difficulté s’accroit quand ils’agit de construire plusieurs v.a. (ou une suite) indépendantes. Nous n’aborderons pas ces problèmes ici(Voir Breiman [?]). On pourra regarder le paragraphe concernant l’existence d’une v.a. (voir ci-dessous)pour une approche du problème.1.1.1 Définition d’une tribuDéfinition 1.1.1 Une tribu (σ-algebra en Anglais) sur Ω est une famille de parties de Ω, contenantl’ensemble vide, stable par passage au complémentaire, union dénombrable et intersection dénombrable.Une tribu contient donc l’espace Ω.Un espace mesurable est un espace muni d’une tribu.Proposition 1.1.1 Une intersection de tribus est une tribu.Attention : ce n’est pas vrai pour la réunion : une réunion de tribus n’est pas une tribu.Soit F une tribu. Une sous-tribu de F est une tribu G telle que G ⊂ F, soit A ∈ G implique A ∈ F.La plus petite tribu contenant une famille d’ensembles est l’intersection de toutes les tribus qui contiennentcette famille. Elle est en général difficile (voire impossible) à décrire plus précisement.Exemple 1.1.1 Tribu des boréliens de IR. C’est la plus petite tribu contenant tous les intervallesouverts (ou fermés, ou ouverts à droite fermés à gauche...). On la note B IR . On peut trouver des sousensembles de IR qui ne sont pas des boréliens, mais ils sont difficiles à exhiber. Voir Neveu [?].1 Give us the tools, and we will finish the work. Winston Churchill, February 9, 1941.7

8 Généralités1.1.2 MesurabilitéDéfinition 1.1.2 Soit (Ω, F) et (E, E) deux espaces mesurables. Une application f de Ω dans E estdite (F, E) mesurable si f −1 (A) ∈ F, ∀A ∈ E, oùf −1 (A) def= {ω ∈ Ω |f(ω) ∈ A}.Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté sur les tribus employées, on dit simplement que f est mesurable.Une fonction f de IR dans IR est borélienne si elle est (B IR , B IR )-mesurable, soit f −1 (A) ∈ B IR ,B IR . Il suffit que cette propriété soit vérifiée pour les intervalles A.Les fonctions continues sont boréliennes.∀A ∈Définition 1.1.3 Soit (Ω, F) un espace mesurable. Une variable aléatoire réelle (v.a.r.) X est uneapplication mesurable de (Ω, F) dans IR ( donc telle que X −1 (A) ∈ F, ∀A ∈ B IR ).Une constante est une v.a. de même qu’une fonction indicatrice d’ensemble de la tribu F.Proposition 1.1.2 Si X est une v.a.r. G-mesurable et f une fonction borélienne, f(X) est G-mesurable.Une v.a. G mesurable est limite croissante de v.a. du typeborélienne est limite croissante de fonctions du type1.1.3 Tribu engendréen∑a i 1 Ai avec A i ∈ G. Une fonctioni=1n∑a i 1 Ai où A i est un intervalle.Définition 1.1.4 La tribu engendrée par une famille d’ensembles A est la plus petite tribu contenantcette famille, on la note σ(A). Elle est l’intersection de toutes les tribus contenant A.Si F 1 et F 2 sont deux tribus, on note F 1 ∨ F 2 la tribu engendrée par F 1 ∪ F 2 . C’est la plus petite tribucontenant les deux tribus F 1 et F 2 .i=1Définition 1.1.5 La tribu engendrée par une variable aléatoire X définie sur (Ω, F) est l’ensemble desparties de Ω qui s’écrivent X −1 (A) où A ∈ B IR . On note cette tribu σ(X).La tribu σ(X) est contenue dans F. C’est la plus petite tribu sur Ω rendant X mesurable.Une v.a.r. X est G-mesurable si σ(X) ⊂ G.Propriété: si Y est une application de Ω dans IR, σ(X) mesurable (c’est-à-dire telle que Y −1 (A) ∈σ(X), ∀A ∈ B IR ou encore σ(Y ) ⊂ σ(X)), il existe une fonction borélienne f, de IR dans IR telle queY = f(X), et réciproquement.Définition 1.1.6 La tribu engendrée par une famille de variables aléatoires (X t , t ∈ [0, T ]) est la pluspetite tribu contenant les ensembles {X −1t (A)} pour tout t ∈ [0, T ] et A ∈ B IR . On la note σ(X t , t ≤ T ).1.2 Probabilité1.2.1 DéfinitionUne probabilité sur (Ω, F) est une application P de F dans [0, 1] telle quea) P (Ω) = 1,b) P (∪ ∞ n=0A n ) = ∑ ∞n=0 P (A n) pour des A n appartenant à F deux à deux disjoints.Notation: P (A) = ∫ A dP = ∫ Ω 1 A dP où 1 A (fonction indicatrice) est la fonction définie sur Ω par1 A (ω) = 1 si ω ∈ A et 1 A (ω) = 0 si ω /∈ A.

July 8, 2006 91.2.2 PropriétésOn a P (A) + P (A c ) = 1 pour tout A appartenant à F.Si A ⊂ B, alors P (A) ≤ P (B) et P (B) = P (A) + P (B − A), où B − A = B ∩ A c .Si les A n forment une suite croissante (resp. décroissante) d’éléments de F, c’est-à-dire si A n ⊂ A n+1(resp. A n ⊃ A n+1 ), et si A = ∪ n A n (resp. A = ∩ n A n ) alors A appartient à F et P (A) = lim P (A n ).Théorème de classe monotone: Soit P et Q deux probabilités sur (Ω, F, P ) telles que P (A) = Q(A)pour tout A ∈ C, où C est une famille stable par intersection finie et engendrant F. Alors P = Q sur F.Remarque: on prendra soin, pour appliquer ce théorème, de vérifier la stabilité par intersection de C(c’est-à-dire de montrer que si C 1 ∈ C, C 2 ∈ C, l’intersection C 1 ∩ C 2 appartient à C).1.2.3 Ensembles négligeablesUn ensemble est dit négligeable s’il est de probabilité nulle.Une union dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable.Une propriété est vraie presque surement (p.s.) si elle est vraie en dehors d’un ensemble négligeable.On dit aussi que la propriété est vraie pour presque tout ω.Un espace (Ω, F, P ) est dit complet s’il contient tous les ensembles G tels que inf{P (F ) : F ∈ F, G ⊂F } = 0.1.3 Loi de probabilitéDéfinition 1.3.1 Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, F, P ). La loi de X est la probabilité P Xsur (IR, B IR ) définie par P X (A) = P {ω; X(ω) ∈ A} = P (X ∈ A), ∀A ∈ B IR .On définit aussi la fonction de répartition de la variable X. C’est la fonction croissante définie sur IRpar F (x) = P (X ≤ x).Certains auteurs utilisent P (X < x) comme fonction de répartition. Les deux expressions ne différentqu’en un nombre au plus dénombrable de valeurs de x, et les modifications sont minimes. La fonction derépartition que nous utilisons ici est continue à droite, l’autre définition conduit à une fonction continueà gauche, les deux fonctions étant égales en tout point de continuité.La densité f(x) d’une variable aléatoire est la dérivée de la fonction de répartition (si cette dérivéeexiste). On peut alors écrire P (X ∈ A) = ∫ A f(x)dx. En particulier P (X ∈ [a, b] ) = ∫ bf(x)dx. Il nousaarrivera alors d’utiliser la notation différentielle P (X ∈ dx) pour désigner f(x)dx.Lorsque deux v.a. ont même loi (ou même fonction de répartition, ou même densité) on dit qu’ellessont égales en loi. On utilisera très souvent la remarque élémentaire suivante : si X et Y sont deux v.a.telles que P (X ≤ a) = P (Y ≤ a), ∀a ∈ IR, alors X et Y ont même loi, ce que l’on notera X loi= Y .1.3.1 Existence d’une v.a.Pour construire une v.a. de loi donnée (par exemple une gaussienne), on choisit comme espace Ω = IR.Ensuite, on définit une v.a. (une application de Ω dans IR de façon simple: X : ω → ω est l’applicationidentié. Il reste à construire une probabilité P sur Ω = IR telle que X aie une loi gaussienne. SoitP (dω) = √ 1 exp − ω2dω. La fonction de répartition de X est2π 2∫F X (x) = P (X < x) =1 ω

10 Généralités1.3.2 EspéranceL’espérance d’une variable aléatoire X est par définition la quantité ∫ XdP que l’on note E(X) ouΩE P (X) si l’on désire préciser quelle est la probabilité utilisée sur Ω. Cette quantité peut ne pas exister.Pour calculer cette intégrale, on passe dans “l’espace image” et on obtient, par définition de la loi deprobabilité ∫ Ω XdP = ∫ IR xdP X(x).Il existe des variables aléatoires qui n’ont pas d’espérance, c’est-à-dire pour lesquelles l’intégrale ∫ Ω XdPn’a pas de sens. On dit que X est intégrable si |X| a une espérance finie. On note L 1 (Ω) l’ensembledes v.a. intégrables.( ou L 1 (Ω, P ) si l’on veut préciser la probabilité utilisée). L’espace L 1 (Ω) contientles constantes, les v.a. bornées et les v.a. majorées en valeur absolue par une v.a. intégrable.De la même façon, on définit pour toute fonction borélienne Φ telle que Φ(X) soit intégrable (ce qui alieu par exemple si Φ est bornée)∫∫E(Φ(X)) = Φ(X)dP = Φ(x)dP X (x).ΩSi X admet une densité f, on a E(X) = ∫ IR xf(x)dx et E(Φ(X)) = ∫ IR Φ(x)f(x)dx.Si l’on connait E(Φ(X)) pour toute fonction Φ borélienne bornée, on connait la loi de X: l’égalitéE(Φ(X)) = E(Φ(Y )) pour toute fonction borélienne bornée Φ implique l’égalité en loi de X et Y .Attention : l’égalité en loi n’est pas l’égalité presque sure. Par exemple, si X est une gaussiennecentrée, on a X loi= −X et ces deux variables ne sont pas égales presque surement.En fait, il suffit que l’égalité E(Φ(X)) = E(Φ(Y )) soit vérifiée pour une classe suffisamment riche defonctions, par exemple pour les fonctions indicatrices de boréliens, ou d’intervalles, ou pour les fonctionsde la forme e λx , λ ∈ IR pour avoir X loi= Y .La fonction caractéristique d’une v.a.r. est la transformée de Fourier de la loi de X, c’est-à-dire lafonction∫ψ(t) = E(e itX ) = e itx P X (dx).Si X admet une densité f(x), la fonction caractéristique de X est ∫ IR eitx f(x) dx. La fonction caractéristiquecaractérise la loi de X au sens où la connaissance de cette fonction détermine la loi de lavariable. Si la transformée de Fourier ψ appartient à L 1 (dx), c’est-à-dire si son module est intégrable parrapport à la mesure de Lebesgue dx, la densité associée (unique) est donnée par la formule d’inversionf(x) = 1 ∫ ∞e −itx φ(t)dt2π −∞La fonction Ψ(λ) def= E(e λX ) que l’on appelle transformée de Laplace caractérise aussi la loi d’unevariable. Mais dans ce cas il n’y a pas de formule d’inversion simple. Pour connaître la loi d’un couple(X, Y ), il suffit de connaître E(exp(λX + µY )) pour tout couple (λ, µ). Lorsque la v.a. X est positive,on utilise de préférence E(e −λX ) comme transformée de Laplace, définie alors pour tout λ ≥ 0.IRIRExemple 1.3.1 Exemple fondamental : Si X est une variable gaussienne de loi N (m, σ 2 ), on aE(e λX ) = exp(λm + λ2 σ 22), ∀λ ∈ IRet réciproquement.Proposition 1.3.1 Propriétés de l’espérance a. L’espérance est linéaire par rapport à la variable,c’est à direE(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ),a et b étant des réels.b. L’espérance est croissante: si X ≤ Y (p.s), on a E(X) ≤ E(Y ).c. Inégalité de Jensen : si Φ est une fonction convexe, telle que Φ(X) est intégrable, E(Φ(X)) ≥Φ(E(X)).

July 8, 2006 111.3.3 Intégrabilité uniformeUne famille de v.a. (X i , i ∈ I) est dite uniformément intégrable si sup i∫|X i |≥a |X i|dP → 0 quanda → ∞.S’il existe Y ∈ L 1 (P ) telle que |X i | ≤ Y, ∀i, la famille (X i , i ∈ I) est uniformément intégrable.1.3.4 IndépendanceDéfinition 1.3.2 Deux sous-tribus F 1 et F 2 sont indépendantes siP (A ∩ B) = P (A)P (B), ∀A ∈ F 1 , ∀B ∈ F 2 .Pour que deux tribus F 1 et F 2 soient indépendantes, il faut et il suffit que P (A ∩ B) = P (A)P (B),∀A ∈ C 1 , ∀B ∈ C 2 où C i est une famille stable par intersection telle que σ(C i ) = F i .Définition 1.3.3 Une variable aléatoire X est indépendante d’une sous-tribu G si les tribus σ(X) et Gsont indépendantes.Proposition 1.3.2 La v.a. X est indépendante de la sous-tribu G si et seulement siP {A ∩ (X ≤ x)} = P (A)P (X ≤ x), ∀x ∈ IR, ∀A ∈ G.Deux variables (X, Y ) sont indépendantes si les tribus σ(X) et σ(Y ) sont indépendantes.Proposition 1.3.3 Les v.a. X et Y sont indépendantes si et seulement siP {(X ≤ x) ∩ (Y ≤ y)} = P (X ≤ x)P (Y ≤ y), ∀x ∈ IR, ∀y ∈ IR .Si X et Y sont indépendantes, E(XY ) = E(X)E(Y ). (La réciproque n’est pas vraie)Si X et Y sont indépendantes, f(X) et g(Y ) aussi.Si X et Y sont indépendantes, on peut calculer E(ϕ(X, Y )) de deux façons :E(ϕ(X, Y )) = E(f(X)) = E(g(Y )), avec f(x) = E(ϕ(x, Y )), g(y) = E(ϕ(X, y))Proposition 1.3.4 Les v.a. X et Y sont indépendantes si et seulement siE(f(X) g(Y )) = E(f(X)) E(g(Y )) pour toutes fonctions f et g boréliennes bornées.Il suffit que cette égalité ait lieu pour une classe suffisamment riche de fonctions f et g, par exemplepour les fonctions indicatrices. Si X et Y sont à valeurs positives, il suffit que l’égalité soit vérifiée pourf(x) = exp(−λx) et g(x) = exp(−µx) pour tous λ, µ positifs.Une famille de sous-tribus (F i , i ∈ IN) est indépendante si toutes les sous familles finies le sont, c’est-àdiresi P (∩ 1≤i≤n A i ) = ∏ 1≤i≤n P (A i), ∀A i ∈ F i , ∀n. Même définition pour une famille non dénombrable.Même définition pour une famille de variables aléatoires.1.3.5 Probabilités équivalentesDéfinition 1.3.4 Deux probabilités P et Q définies sur le même espace (Ω, F) sont dites équivalentessi elles ont mêmes ensembles négligeables, c’est à dire siP (A) = 0 ⇐⇒ Q(A) = 0.Une propriété vraie P p.s. est alors vraie Q p.s.Si P et Q sont équivalentes, il existe une variable Y , strictement positive, F-mesurable, d’espérance 1sous P appelée densité de Radon-Nikodym telle que dQ = Y dP ou encore Q(A) = ∫ Y dP . On écritAégalement cette relation sous la forme dQ = Y . Réciproquement, si Y est une v.a. strictement positive,dPF-mesurable, d’espérance 1 sous P , la relation E Q (Z) = E P (ZY ) définit une probabilité Q équivalenteà P . Elle est facile à mémoriser par la règle de calcul formel suivante:∫ ∫E Q (Z) = ZdQ = Z dQ ∫dP dP = ZY dP = E P (ZY )

12 GénéralitésOn a aussi dPdQ = 1 Y .Si Y est seulement positive, on a P (A) = 0 =⇒ Q(A) = 0 et on dit que Q est absolument continue parrapport à P .Exemple 1.3.2 1. Soit U une variable de Bernoulli sous P définie parP (U = 0) = 1 − p, P (U = 1) = p.Soit Y la variable définie par Y = λU +µ(1−U). Elle est d’espérance 1 pour λp+µ(1−p) = 1, λ, µ > 0.Soit dQ = Y dP , on a Q(U = 1) = λp. Sous Q , U est une variable de Bernoulli de paramètre λp.2. Si X est une v.a. de loi N (m, σ 2 ) sous P et soit Y = exp{h(X − m) − 1 2 h2 σ 2 }. Soit dQ = Y dP .Sous Q, X est une v.a. de loi N (m + hσ 2 , σ 2 ).Démonstration : Il suffit de calculer E Q {exp(λX)}) = E P {Y exp(λX)} et de vérifier que E Q (exp λX) =exp[λ(m + hσ 2 ) + λ2 σ 22 ] .3. Soit X est un vecteur gaussien sous P et U une variable telle que le vecteur (X, U) soit gaussien.On pose dQ = Y dP avec Y = exp(U − E P (U) − 1 2 Var P U), le vecteur X est gaussien sous Q, de mêmecovariance que sous P .1.4 Variables gaussiennesUne variable X est gaussienne de loi N (m, σ 2 ) si elle a pour densitéN (m, σ 2 )(x) = 1σ √ − m)2exp −(x2π 2σ 2 .On considère qu’une v.a. constante suit une loi gaussienne de variance nulle, ce qui correspond ∫ à unemasse de Dirac. La mesure de Dirac δ a au point a est une probabilité sur IR telle que f(x)δ a (dx) =f(a) et correspond à une v.a. constante égale à a.Définition 1.4.1 Un vecteur X = (X 1 , X 2 , . . . , X n ) T est gaussien 2 si toute combinaison linéaire ∑ ni=1 a iX iest une variable gaussienne à valeurs réelles.On caractérise la loi de X par son vecteur espérance et sa matrice de covarianceIRΓ = [σ i,j ] i=1,n; j=1,noù σ i,j = E(X i X j ) − E(X i )E(X j ). La loi de X admet une densité si la matrice Γ est inversible.Si deux variables forment un couple gaussien de covariance nulle, elles sont indépendantes.Si (X, Y ) est un vecteur Gaussien, il existe α tel que X − αY est indépendant de X.Si X et Y sont des gaussiennes indépendantes, aX + bY est une gaussienne et le couple (X, Y ) estgaussien. Ce n’est en général pas vrai si les variables ne sont pas indépendantes.Enfin, nous rappelons une nouvelle fois le résultat important suivantProposition 1.4.1 Si X est une variable gaussienne de loi N (m, σ 2 ), on a, pour tout λ réel, E(e λX ) =exp(λm + λ2 σ 22 ) . Réciproquement si pour tout λ ∈ IR, E(eλX ) = exp(λm + λ2 σ 22), la variable X est deloi N (m, σ 2 ).1.5 Convergence de v.a.L’espace (Ω, F, P ) est fixé. Toutes les variables aléatoires sont définies sur cet espace.On distingue plusieurs types de convergence:2 L’exposant T désigne la transposition

July 8, 2006 131.5.1 Convergence presque sûreUne suite de variables aléatoires X n converge p.s. vers X si pour presque tout ω,X n (ω) → X(ω) quand n → ∞.p.s.On note X n → XP.p.s.Cette notion de convergence dépend du choix de P . Si Q est équivalente à P et si X n → X, on aQ.p.s.X n → X.Théorème de convergence monotone: Si X n est une suite de variables aléatoires monotone (soit X n ≤X n+1 ) et si X = lim p.s. X n , on a E(X) = lim E(X n ) .Théorème de Lebesgue dominé: Si X n est une suite de variables aléatoires convergeant p.s. vers X ets’il existe une variable aléatoire Y intégrable telle que |X n | ≤ Y , alors E(X n ) converge vers E(X).Théorème 1.5.1 Loi des grands nombres. Si (X i , i ≥ 1) est une suite de v.a. équidistribuées,indépendantes d’espérance finie, 1 n∑ ni=1 X i converge p.s. vers E(X 1 ).1.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dans L 2 (Ω)On note ‖X‖ 2def=√ ∫X 2 dP = √ E(X 2 ). On identifie deux v.a. égales p.s., ainsi on définit ainsi laΩnorme || · || sur l’espace des v.a. de carré intégrable. On dit que X ∈ L 2 (Ω) (ou L 2 (Ω, P )) si ‖X‖ 2< ∞.Soit X n ∈ L 2 et X ∈ L 2 . La suite de variables aléatoires (X n ) converge en moyenne quadratique (dansL 2 (Ω)) vers X si(‖X n − X‖ 2) 2 = E(X n − X) 2 → 0 quand n → ∞.Cette notion de convergence dépend du choix de P .Si X n → X dans L 2 (Ω), on a E(X 2 n) → E(X 2 ). La réciproque est fausse.L’espace L 2 (Ω) est un espace de Hilbert muni du produit scalaire 〈X, Y 〉 = ∫ XY dP . En particulier,il est complet.ΩSi une suite converge dans L 2 , il existe une sous-suite qui converge p.s.Si une suite uniformément intégrable (par exemple bornée) converge p.s., elle converge dans L 2 .Théorème : (Loi des grands nombres) Si (X i , i ≥ 1) est une suite de v.a. équidistribuées, indépendantesde variance finie , 1 ∑ nn i=1 X i converge en moyenne quadratique vers E(X 1 ).Si une suite de v.a. gaussiennes converge en moyenne quadratique, la limite est une variable gaussienne.Soit p > 1. On note ‖X‖ pla quantité positive définie par (‖X‖ p) p := ∫ Ω |X|p dP = E(|X| p ). Ondéfinit ainsi une norme sur l’espace L p (Ω) des v.a. X telles que ‖X‖ p< ∞. Une suite de v.a. X n dansL p converge s’il existe X tel que E(X n − X) p → 0. La convergence dans L p pour p > 1 implique laconvergence dans L q pour tout q, 1 < q < p.1.5.3 Convergence en probabilitéUne suite de variables aléatoires X n converge en probabilité vers X si∀ɛ > 0 P (|X n − X| ≥ ɛ) → 0 quand n → ∞.On note X nP→ X.La convergence p.s. implique la convergence en probabilité.La convergence en probabilité implique qu’une sous-suite converge p.s.La convergence quadratique implique la convergence en probabilité.1.5.4 Convergence en loiUne suite de variables aléatoires X n converge en loi vers X si E(Φ(X n )) → E(Φ(X)) quand n → ∞pour toute fonction Φ continue bornée.

14 GénéralitésLOn note X n → X. La convergence en loi est également définie par la convergence simple des fonctionscaractéristiques, soit Ψ n (t) → Ψ(t) pour tout t, où Ψ n désigne la fonction caractéristique de X n et Ψcelle de X.Si X est une v.a. de fonction de répartition F continue, et si X n est une suite de v.a. de fonctionde répartition F n telles que F n (x) converge vers F (x) pour tout x, alors X n converge en loi vers X etréciproquement.La convergence en probabilité implique la convergence en loi.Théorème 1.5.2 Théorème Central limite Si (X i , i ≥ 1) est une suite de v.a. équidistribuées,indépendantes, de variance finie σ 2 ∑ ni=1 X i − nE(X 1 )σ √ nL→ N(0, 1) .1.6 Processus stochastiques1.6.1 FiltrationOn va s’intéresser à des phénomènes dépendant du temps. Ce qui est connu à la date t est rassemblédans une tribu F t , c’est l’information à la date t.Définition 1.6.1 Une filtration est une famille croissante de sous tribus de F, c’est-à-dire telle queF t ⊂ F s pour tout t ≤ s.On demande souvent que les ensembles négligeables soient contenus dans F 0 .On parle d’hypothèses habituelles si- les ensembles négligeables sont contenus dans F 0 ,- La filtration est continue à droite au sens où F t = ∩ s>t F s .Une filtration G est dite plus grosse que F si F t ⊂ G t , ∀t.1.6.2 ProcessusUn processus stochastique (ou fonction aléatoire) est une famille de variables aléatoires (X t ; t ∈ [0, ∞[)définies sur le même espace de probabilité .Définition 1.6.2 Un processus stochastique X = (X t , t ≥ 0) est dit adapté (par rapport à une filtrationF t ) si X t est F t -mesurable pour tout t.On dit que le processus est à trajectoires continues (ou est continu) si les applications t → X t (ω) sontcontinues pour presque tout ω.Un processus est dit càdlàg (continu à droite, pourvu de limites à gauche) si ses trajectoires sontcontinues à droite, pourvues de limites à gauche. Même définition pour càglàd.A un processus stochastique X on associe sa filtration naturelle FtX , c’est à dire la famille croissantede tribus FtX = σ{X s , s ≤ t}.On utilise souvent des processus dit prévisibles. La définition précise est la suivante: Soit (Ω, F, P ) unespace muni d’une filtration (F t ). On appelle tribu des prévisibles 3 la tribu sur (0, ∞) × Ω engendréepar les rectangles de la forme]s, t] × A, 0 ≤ s ≤ t, A ∈ F s .Un processus est prévisible si et seulement si l’application (t, ω) → X t (ω) est mesurable par rapport àla tribu des prévisibles. Pas d’affolement: il suffit de savoir que les processus càg sont prévisibles.On dit que deux processus X et Y sont égaux à une modification près si X t = Y t p.s. ∀t.Deux processus sont égaux en loi X loi= Y si pour tout (t 1 , t 2 , . . . , t n ) et pour tout n on a (X t1 , X t2 , . . . , X tn ) loi=(Y t1 , Y t2 , . . . , Y tn ).On trouvera chapitre 8 d’autres définitions concernant des propriétés de mesurabilité.3 L’expérience est une lanterne accrochée dans le dos, qui n’éclaire que le chemin parcouru. Confucius / Clifton

July 8, 2006 151.6.3 Processus croissantUn processus A = (A t , t ≥ 0) est un processus croissant si A 0 = 0 et t → A t est une fonction croissante,c’est-à-direA t (ω) ≤ A s (ω), ∀t ≤ s, p.s.Sauf mention du contraire, les processus croissants sont pris continus à droite.Un processus V = (V t , t ≥ 0) est dit à variation bornée sur [0, t] si∑sup |V ti+1 − V ti | ≤ K ,t ile sup étant pris sur les subdivisions 0 ≤ t 0 ≤ . . . ≤ t i ≤ t i+1 ≤ t.Un processus V = (V t , t ≥ 0) est dit à variation finie sur [0, t] si∑sup |V ti+1 − V ti | < ∞ ,t iiile sup étant pris sur les subdivisions 0 ≤ t 0 ≤ . . . ≤ t i ≤ t i+1 ≤ t . Un processus V = (V t , t ≥ 0) est dità variation finie s’il est à variation finie sur [0, t] pour tout t. Il est alors la différence de deux processuscroissants (et réciproquement).1.6.4 Processus GaussiensUn processus X est gaussien si toute combinaison linéaire finie de (X t , t ≥ 0) est une variable aléatoiregaussienne, c’est-à-dire si∀n, ∀t i , 1 ≤ i ≤ n, ∀a i ,n∑a i X tii=1est une v.a.r. gaussienne.Un processus gaussien est caractérisé par son espérance et sa covariance.Un espace gaussien est un sous-espace (vectoriel fermé) de L 2 (Ω) formé de v.a.r. gaussiennes centrées.L’espace gaussien engendré par un processus gaussien est le sous espace de L 2 (Ω) engendré par lesv.a.r. centrées (X t − E(X t ), t ≥ 0), c’est-à-dire le sous-espace formé par les combinaisons linéaires deces variables centrées et leurs limites en moyenne quadratique.1.7 Espérance conditionnelleL’espace (Ω, F, P ) est fixé.1.7.1 Cas discretRappel: Soit A et B deux évènements (sous-ensembles de Ω). On définit la probabilité conditionnellede A quand B par P (A |B ) = P (A∩B)P (B), pour tout B tel que P (B) ≠ 0.Propriété: P (. |B ) est une probabilité sur Ω.On peut définir l’espérance d’une variable par rapport à cette loi. Considérons le cas d’une variableX à valeurs dans (x 1 , x 2 , . . . , x n ). Soit B fixé et Q(A) := P (A |B ). On a alors en désignant par E Ql’espérance par rapport à Q:E Q (X) = ∑ jx j Q(X = x j ) = ∑ jP (X = x j ∩ B)x j .P (B)On peut écrire P (X = x j ∩ B) = ∫ B 1 X=xj dP (où 1 X=xj est la fonction qui vaut 1 si ω ∈ (X = x j )c’est-à-dire si X(ω) = x j ) et en remarquant que ∑ j x j 1 X=xj = X on a :∑jx jP (X = x j ∩ B)P (B)= 1 ∫XdP,P (B) B

16 Généralitésce que l’on peut lire∫B∫E Q (X)dP = E Q (X)P (B) =BXdP.On note E(X |B ) = E Q (X) . Soit alors B la tribu engendrée par B et E(X |B ) la variable aléatoiredéfinie par E(X |B ) = E(X |B )1 B + E(X |B c )1 B c. On a∫∫E(X |B )dP = XdPDpour tout élément D ∈ B. On appelle espérance conditionnelle de X quand B cette variable aléatoireB-mesurable.Un cas particulier intéressant est celui où l’évènement B est lié à une v.a.:Soient X et Y deux v.a. à valeurs dans (x 1 , x 2 , . . . , x n ) (resp (y 1 , . . . , y d )), telles que ∀i, P (Y = y i ) ≠ 0.On peut alors définir P (X = x j |Y = y i ) = µ(x j ; y i ). On remarque que pour tout y i , µ(.; y i ) définit uneprobabilité sur (x 1 , x 2 , . . . , x n ). On peut donc définir l’espérance de X par rapport à cette loi parE(X |Y = y i ) = ∑ jx j P (X = x j |Y = y i ) = ∑ jDx j µ(x j ; y i ) =1P (Y = y i )∫Y =y iXdP.On définit ainsi une fonction Ψ telle que Ψ(y i ) = E(X |Y = y i ).IL est facile de vérifier que∑P (Y = y i )E(X |Y = y i ) = ∑ P (Y = y i )Ψ(y i ) = E(Ψ(Y )) = E(E(X|Y )) = E(X)iiOn note Ψ(Y ) = E(X |Y ). C’est l’espérance conditionnelle de X quand Y ou encore l’espéranceconditionnelle de X par rapport à Y . Cette fonction est caractérisée para) Ψ(Y ) est Y -mesurable,b) E(Φ(Y )X) = E(Φ(Y )Ψ(Y )) pour toute fonction Φ.(Il suffit par linéarité de vérifier b) pour Φ = 1 yi .)1.7.2 Espérance conditionnelle par rapport à une tribuSoit X une v.a.r. (intégrable) définie sur (Ω, F, P ) et G une sous-tribu de F.Définition 1.7.1 L’espérance conditionnelle E(X |G ) de X quand G est l’unique variable aléatoirea. G-mesurableb. telle que ∫ A E(X |G )dP = ∫ XdP, ∀A ∈ G.AC’est aussi l’unique (à une égalité p.s. près) variable G-mesurable telle quepour toute variable Y , G-mesurable bornée.E[E(X |G )Y ] = E(XY )Il en résulte que si X est de carré intégrable, E(X|G) est la projection de X sur l’espace des variablesaléatoires G mesurables, de carré intégrable, c’est-à-dire la variable aléatoire G mesurable qui minimiseE[(X − Y ) 2 ] parmi les v.a. Y , G mesurables.1.7.3 Espérance conditionnelle par rapport à une variableOn définit l’espérance conditionnelle d’une variable X (intégrable) par rapport à Y comme étantl’espérance conditionnelle de X par rapport à la tribu σ(Y ). On la note E(X |Y ). C’est une variablemesurable par rapport à la tribu engendrée par Y , donc c’est une fonction de Y : il existe ψ de IRdans IR borélienne telle que E(X |Y ) = ψ(Y ).L’espérance conditionnelle E(X |Y ) est caractérisée para) c’est une variable σ(Y ) mesurable

July 8, 2006 17b) ∫ A E(X |Y )dP = ∫ XdP ∀A ∈ σ(Y ).ALa propriété b) est équivalente à E(E(X |Y )φ(Y )) = E(Xφ(Y )) pour toute fonction φ boréliennebornée , ou à ∫ Y ∈B E(X |Y )dP = ∫ XdP pour tout B ∈ B.Y ∈BOn utilise souvent la notation E(X |Y = y ) pour désigner la valeur de ψ en y. On a alorsa’) E(X |Y = y ) est une fonction borélienneb’) ∫ B E(X |Y = y )dP Y (y) = ∫ IR×B xdP X,Y (x, y) ∀B ∈ B IR .1.7.4 Propriétés de l’espérance conditionnellea) Linéarité. Soit a et b deux constantes. E(aX + bY |G ) = aE(X |G ) + bE(Y |G ).b) Croissance. Soit X et Y deux v. a. telles que X ≤ Y . Alors E(X |G ) ≤ E(Y |G ).c) E[E(X |G )] = E(X).d) Si X est G-mesurable, E(X |G ) = X.e) Si Y est G-mesurable, E(XY |G ) = Y E(X |G ).f) Si X est indépendante de G, E(X |G ) = E(X).g) Si G est la tribu grossière (composée de l’ensemble vide et de Ω), E(X|G) = E(X).h) Si G et H sont deux tribus telles que H ⊂ G alors E(X |H ) = E(E(X |H) |G ) = E(E(X |G ) |H ). Onnote souvent E(E(X |H) |G ) = E(X |H |G )i) Si (X, Y ) sont indépendantes, et φ une fonction borélienne bornée, E(φ(X, Y )|Y ) = [E(φ(X, y))] y=Y .Cette dernière égalité signifie que, pour calculer E(φ(X, Y )|Y ) lorsque les variables X et Y sontindépendantes, on explicite la fonction Ψ telle que Ψ(y) = E(φ(X, y)), puis on remplace y par Ypour obtenir la v.a. Ψ(Y ).On verra d’autres propriétés de l’espérance conditionnelle dans le polycopié d’exercices. On utiliserasans modération la formule E ( ∫ bX s ds|G ) ∫ b= E ( X s |G ) ds dés que l’un des deux membres existe.aaRemarque très importante: les égalités précédentes ne sont vraies que p.s. et à condition que les v.a.soient intégrables.1.7.5 Variance conditionnelleOn définit Var (X|G) = E(X 2 |G) − E 2 (X|G). C’est une v.a. positive, en vertu de l’inégalité de Jensen:Soit φ une fonction convexe. On a E(φ(X)|F) ≥ φ(E(X|F)).1.7.6 Formule de BayesSoit P une probabilité et Q une probabilité équivalente à P définie par dQ = LdP . On peut exprimerl’espérance conditionnelle d’une variable sous Q en fonction de l’espérance conditionnelle sous P :E Q (X |G) = E P (LX |G)E P (L |G) .Démonstration: Il s’agit de trouver Z v.a. G-mesurable telle queE Q (ZY ) = E Q (XY )pour toute v.a. Y G-mesurable. On écrit E Q (ZY ) = E P (LZY ) = E P (ZY E P (L|G)) et E Q (XY ) =E P (LXY ) = E P (Y E P (LX|G)) en utilisant la G-mesurabilité de Z, Y . L’égalité devant être vérifiéepour tout Y , il vient ZE P (L|G) = E P (LX|G), d’où l’expression de Z.△

18 Généralités1.8 Loi conditionnelle1.8.1 DéfinitionSoit (X, Y ) deux v.a.r. La loi conditionnelle de X quand Y est la famille de lois sur IR notée µ(y, dx)indexées par y (qui décrit l’ensemble des valeurs prises par Y ) telle queE[Φ(X)|Y = y] =∫ ∞−∞Φ(x)µ(y, dx)pour toute fonction Φ borélienne bornée. La propriété s’étend aux fonctions Φ intégrables par rapportà µ. Lorsque l’on connait cette loi conditionnelle, les calculs d’espérance et de variance conditionnellese réduisent à des calculs d’espérance et de variance. En effet E[X|Y = y] =tout y, l’espérance d’une v.a. de loi µ(y, dx).Si le couple (X, Y ) a une densité f(x, y), on peut montrer que1.8.2 Cas Gaussienf(x, y)dxµ(y, dx) = ∫f(u, y)duIR∫ ∞−∞xµ(y, dx) est, pourSi le couple de v.a.r. (X, Y ) est gaussien (avec une densité ou non), la densité conditionnelle deX à Y est une loi gaussienne d’espérance linéaire en Y et de variance c indépendante de Y . Il estalors facile de retrouver la valeur de l’espérance: E(X|Y ) = aY + b implique E(X) = aE(Y ) + b etE(XY ) = E(Y E(X|Y )) = E(aY 2 ) + bE(Y ), d’oùa = Cov(X, Y )V arY, b = E(X) − aE(Y ) , c = E(X 2 |Y ) − E 2 (X|Y ) = E(X 2 ) − E[(aY + b) 2 ]Ceci se généralise à un vecteur multidimensionnel : si (X, Y ) est un vecteur gaussien, la densité conditionnellede X à Y est une loi gaussienne d’espérance linéaire en Y et de variance c indépendante deY .1.9 Martingales1.9.1 Cas discretOn se donne une filtration, c’est-à-dire une famille de sous-tribus F n croissante (telle que F n ⊂ F n+1 ).La tribu F 0 contient les négligeables.Définition 1.9.1 ef Une suite de v.a.r. (X n , n ∈ IN) est une F n -martingale siX n est intégrable, ∀n ∈ INX n est F n -mesurable, ∀n ∈ INE(X n+1 |F n ) = X n , ∀n ∈ IN.Propriété: E(X n+p |F n ) = X n , ∀n ∈ IN, ∀p ∈ IN.Exemple: Si X n = Y 1 + . . . + Y n où les Y i sont indépendantes équidistribuées centrées, X n est unemartingale.Cas multidimensionnel: Une famille de vecteurs (S n , n ≥ 0) telle que S n est à valeurs dans IR d est unemartingale, si les familles (S i n, n ∈ IN) sont des martingales ∀i, 1 ≤ i ≤ d.1.9.2 Cas continu.On se donne une filtration, c’est-à-dire une famille de sous-tribus F t croissante (telle que F s ⊂ F t , ∀s ≤t.)

July 8, 2006 19Définition 1.9.2 Une famille de variables aléatoires (X t , t ∈ [0, ∞[) est une martingale par rapport àla filtration (F t ) siX t est F t -mesurable et intégrable pour tout t.E(X t |F s ) = X s , ∀s ≤ t.Propriétés:Si X est une martingale E(X t ) = E(X 0 ), ∀t.Si (X t , t ≤ T ) est une martingale, le processus est complètement déterminé par sa valeur terminale:X t = E(X T |F t ). Cette dernière propriété est d’un usage très fréquent en finance.Définition 1.9.3 Une famille de variables aléatoires (X t , t ∈ [0, ∞[) est une surmartingale (resp. sousmartingale)par rapport à la filtration (F t ) siX t est F t -mesurable et intégrable pour tout tE(X t |F s ) ≤ X s , ∀s ≤ t (resp. E(X t |F s ) ≥ X s ).Exemple 1.9.1 Si X est une martingale, alors, X 2 est une sous martingale. Si X est une martingaleet A un processus croissant, X + A est une sous-martingale.On dira que X est une martingale si la filtration de référence est la filtration naturelle de X. On feraattention: la propriété de martingale dépend de la filtration et une F-martingale n’est en général pasune G martingale si G est plus grosse que F.Une martingale continue à variation bornée est égale à une constante.En effet si M est une telle martingale et V sa variation,[ ( ∑ ) ] 2E(Mt 2 ) = E (Mti+1 − M ti ≤ E [ V t sup |M ti+1 − M ti | ] ≤ KE [ sup |M ti+1 − M ti | ]et le membre de droite converge p.s. vers 0 quand on raffine la partition.Proposition 1.9.1 Inégalité de Doob Si X est une martingale continue,E(sup Xs 2 ) ≤ 4E(XT 2 ) .s≤T1.10 Temps d’arrêtOn travaille sur un espace muni d’une filtration (F t ). On note F ∞ = σ(∪ t F t ).1.10.1 DéfinitionsDéfinition 1.10.1 Un temps d’arrêt est une variable aléatoire τ à valeur dans IR ∪ {+∞} telle que{τ ≤ t} ∈ F t , ∀t ∈ IR.Une constante positive est un temps d’arrêt.On associe à un temps d’arrêt τ la tribu F τ dite des événements antérieurs à τ, définie 4 par F τ = {A ∈F ∞ |A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t , ∀t ∈ IR} .Propriétés: Si T est un temps d’arrêt, T est F T mesurable.Si S et T sont des temps d’arrêt, S ∧ T est un temps d’arrêt. En particulier T ∧ t est un temps d’arrêt.Si S et T sont des temps d’arrêt tels que S ≤ T , on a F S ⊂ F T .Soit (X t , t ≥ 0) un processus et T un temps d’arrêt fini. On définit X T par X T (ω) = X T (ω) (ω) .Si un processus X est continu et adapté, X T est F T -mesurable.4 “L’essentiel est de comprendre” Scipion, dans Caligula, Camus

20 Généralités1.10.2 Théorème d’arrêtSi T est un temps d’arrêt et M une (F t )-martingale, le processus Z défini par Z tdef= M t∧T est une (F t )martingale. En particulier, E(M t∧T ) = E(M 0 ).Théorème 1.10.1 Théorème d’arrêt de Doob: (Optional Sampling Theorem)Si M est une (F t )-martingale continue et si S et T sont deux temps d’arrêt tels que S ≤ T ≤ K, Kétant une constante finie, M T est intégrable etE(M T |F S ) = M S .Ce résultat s’étend à tous les temps d’arrêt si la martingale est uniformément intégrable.Si M est uniformément intégrable, on peut montrer que M t converge p.s. et dans L 1 vers M ∞ quandt → ∞ et que M S = E(M ∞ |F S )Proposition 1.10.1 Si pour tout temps d’arrêt borné E(X T ) = E(X 0 ), le processus X est une martingale.Remarque 1.10.1 Attention, si E(X t ) = E(X 0 ) pour tout t, le processus X n’est pas une nécessairementmartingale. Un contre exemple est X t = ∫ t0 M udu où M est une martingale d’espérance nulle.Si M est une surmartingale positive et τ un temps d’arrêt, E(M τ ) ≤ E(M 0 ) où on pose M ∞ = 0.Définition 1.10.2 Un processus M adapté càglàd est une martingale locale s’il existe une suite croissantede temps d’arrêts τ n telle que τ n → ∞ et (M t∧τn , t ≥ 0) est une martingale pour tout n.Une martingale locale positive est une surmartingale. Une martingale locale uniformément intégrableest une martingale.1.10.3 Processus de MarkovCette notion est assez difficile, mais d’un usage constant. En langage vernaculaire, un processus est deMarkov si son comportement dans le futur ne dépend du passé quà travers le présent. 5 Soyons plusprécis.Soit X un processus et (F t ) sa filtration canonique. On dit que le processus est de Markov si, pourtout t, pour toute variable bornée Y ∈ F ∞ l’égalitéE(Y ◦ θ t |F t ) = E(Y ◦ θ t |X t )où θ est l’opérateur de translation défini sur les applications coordonnées par X u ◦ θ s = X u+s .Essayons une autre définition. Pour tout n, pour toute fonction bornée F définie sur IR n , pour toust 1 < t 2 < · · · < t nE(F (X s+t1 , X s+t2 , · · · , X s+tn )|F s ) = E(F (X s+t1 , X s+t2 , · · · , X s+tn )|X s ) .Ceci implique en particulier que pour toute fonction f borélienne bornéeE(f(X t )|F s ) = E(f(X t )|X s ) , ∀t > s .Le processus est dit de Markov fort si la propriété précédente est vraie pour tout couple de tempsd’arrêt finis T, S avec T > S.5 “L’avenir est la projection du passé, conditionnée par le présent”. G. Braque.

July 8, 2006 211.11 Rappels d’analyse1.11.1 Dérivation sous le signe sommeSoit F (x) =∫ ∞−∞f(x, y)dy. Si f est continue et admet une dérivée partielle par rapport à x ∂ x f(x, y)continue bornée en valeur absolue par g(y), |∂ x f(x, y)| ≤ g(y) où g est une fonction intégrable, alorsF ′ (x) =∫ ∞−∞∂ x f(x, y)dy.1.11.2 Espace completUn espace normé est dit complet si toute suite de Cauchy converge, i.e. si ||x n − x m || → 0 quandn, m → ∞ implique l’existence de x tel que x n → x. L’ espace IR muni de la norme habituelle, l’espacedes fonctions L 2 (IR) muni de la norme ||f|| =√ ∫IR f 2 (x)dx, l’espace des v.a. L 2 (Ω) muni de la norme||X|| = √ E(X 2 ) sont des espaces complet.1.11.3 Théorème de Lebesgue dominéSoit f n une suite de fonctions intégrables qui converge (simplement) ∫ vers une fonction f ∫(f n (x) →f(x), ∀x). S’il existe g intégrable telle que |f n (x)| ≤ g(x), ∀x, alors f n (x)dx converge vers f(x)dx.La fonction f est une fonction en escalier s’il existe une subdivision (t i , t i ≤ t i+1 , i = 0, . . . , n)telle que f est constante, égale à f i sur ]t i , t i+1 ] et nulle hors de [t 0 , t n+1 ]. On peut alors écriref = ∑ ni=1 f i−1 1 ]ti−1,t i].IRIR

22 Généralités

Chapter 2LE MOUVEMENT BROWNIENLe botaniste Robert Brown observe en 1828 le mouvement irrégulier de particules de pollen en suspensiondans l’eau. En 1877, Delsaux explique les changements incessants de direction de trajectoire par leschocs entre les particules de pollen et les molécules d’eau. Un mouvement de ce type est qualifié de“mouvement au hasard”.En 1900, Bachelier, en vue d’étudier les cours de la Bourse met en évidence le caractère “markovien”du mouvement Brownien : la position d’une particule à l’instant t + s dépend de sa position en t, etne dépend pas de sa position avant t. Il convient d’insister sur le caractère précurseur de Bachelier etle fait que la théorie du mouvement Brownien a été développée pour la Bourse, avant de l’être pour laPhysique.En 1905, Einstein détermine la densité de transition du mouvement Brownien par l’intermédiaire del’équation de la chaleur et relie ainsi le mouvement Brownien et les équations aux dérivées partielles detype parabolique. La même année, Smoluchowski décrit le mouvement Brownien comme une limite depromenades aléatoires.La première étude mathématique rigoureuse est faite par N. Wiener (1923) qui exhibe égalementune démonstration de l’existence du Brownien. P. Lévy (1948) s’intéresse aux propriétés fines destrajectoires du Brownien. Depuis, le mouvement Brownien continue de passionner les probabilistes,aussi bien pour l’étude de ses trajectoires que pour la théorie de l’intégration stochastique (Wiener, Itô,Watanabe, Meyer, Yor, LeGall, Salminen, Durrett, Chung, Williams, Knight, Pitman,...).2.1 Le mouvement BrownienOn se donne un espace (Ω, F, P ) et un processus (B t , t ≥ 0) sur cet espace.2.1.1 Définition.Le processus (B t , t ≥ 0) est un mouvement Brownien (standard) sia) P (B 0 = 0) = 1 (le mouvement Brownien est issu de l’origine).b) ∀s ≤ t, B t − B s est une variable réelle de loi gaussienne, centrée de variance (t − s).c) ∀n, ∀t i , 0 ≤ t 0 ≤ t 1 . . . ≤ t n , les variables (B tn − B tn−1 , . . . , B t1 − B t0 , B t0 ) sont indépendantes.La propriété b) est la stationarité des accroissements du mouvement Brownien, la propriété c) traduitque le mouvement Brownien est à accroissements indépendants. On peut aussi écrire c) sous la formeéquivalente suivante:c’) Soit s ≤ t. La variable B t − B s est indépendante de la tribu du passé avant s, soit σ(B u , u ≤ s).Nous ne démontrons pas l’existence du mouvement Brownien (MB dans la suite). On pourra consulterl’ouvrage de Karatzas et Shreve (1988). On le construit sur “l’espace canonique ” Ω = C(IR + , IR) desfonctions continues de IR + dans IR par B t (ω) = ω(t) et on munit cet espace d’une mesure (mesure deWiener) telle que B soit un MB.23

24 Le mouvement BrownienLa filtration naturelle est F t = σ{B s , s ≤ t}. On lui ajoute de façon implicite les négligeables. Onpeut montrer qu’elle vérifie alors les conditions habituelles.On s’autorisera à noter B(t i ) au lieu de B ti la valeur de la trajectoire en t i pour des raisons de lisibilité.2.1.2 Généralisation.Le processus X t = a + B t est un Brownien issu de a. On dit que X est un Brownien généralisé ou unMB de drift µ si X t = x + µt + σB t où B est un mouvement Brownien. La variable X t est une variablegaussienne d’espérance x + µt et de variance σ 2 t.Les v.a. (X ti+1 − X ti , t 0 ≤ t 1 . . . ≤ t n ) sont indépendantes.2.2 Promenade aléatoireOn peut montrer que le mouvement Brownien s’obtient comme limite de promenades aléatoires renormalisées.Cette propriété est exploitée pour des simulations.Soit, sur un espace de probabilité (Ω, F, P) une famille de variables aléatoires de Bernoulli indépendanteséquidistribuéesP (X i = 1) = P (X i = −1) = 1 2On associe à cette famille la suite (S n , n ≥ 0) définie par, i ∈ IN ∗ .S 0 = 0, S n =n∑i=1X iOn dit que la suite S n est une promenade 1 aléatoire. (Jeu de pile ou face).On a E(S n ) = 0, Var (S n ) = n.S nS 2✻❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅❅ ❅ ❅ ❅ nS 1O 1 2✲Promenade aléatoireRemarquons que la suite (S m − S n , m ≥ n) est indépendante de (S 0 , S 1 , . . . , S n ) et que S m − S n a1 “Charmante promenade, n’est-ce-pas?” Le professeur Tournesol. Tintin et les Picaros. 1964.

July 8, 2006 25même loi que S m−n .On procède alors à une double renormalisation. Soit N fixé* on ramène l’intervalle de temps [0, N] à [0, 1]* on change l’échelle des valeurs prises par S n .Plus précisément, on définit une famille de variables aléatoires indexées par les réels de la forme k N ,k ∈ IN, parOn aU kN= 1 √NS k .E ( ) ( ) kU k = 0 et Var U k =N N N .Les propriétés d’indépendance et de stationarité de la promenade aléatoire restent vérifiées, soit• si k ≥ k ′ , U kN• si k ≥ k ′ , U kN− U k ′N− U k ′Nest indépendante de (U p N ; p ≤ k′ )a même loi que U k−k ′ .NOn définit un processus à temps continu (U t , t ≥ 0) à partir de U kNt → U t d’être affine entre k k+1NetNexiste k(t) ∈ IN unique tel que k(t)Nen imposant à la fonction. Pour cela, N étant fixé, on remarque que pour tout t ∈ IR + il≤ t < k(t)+1Net on poseoù k = k(t).U N t= U k + N ( t − k ) (U k+1 − U k )N N NNPour t = 1 on a U1 N = √ 1NS N . Le théorème central-limite implique alors que U1Nvers une variable aléatoire gaussienne centrée réduite.converge en loiOn montre alors que le processus U N converge (au sens de la convergence en loi) vers un mouvementBrownien B.En particulier U N t2.3 PropriétésL→ B t et (U N t 1, . . . , U N t k) L → (B t1 , . . . , B tk ) pour tout k-uple (t 1 , . . . , t k ).Dans ce qui suit, B = (B t , t ≥ 0) est un mouvement Brownien et F t = σ{B s , s ≤ t} est sa filtrationnaturelle.2.3.1 Processus gaussienProposition 2.3.1 Le processus B est un processus gaussien, sa loi est caractérisée par son espérancenulle et sa covariance Cov(B t , B s ) = s ∧ t.Démonstration: Le caractère gaussien résulte de ∑ ni=0 a iB ti = ∑ ni=0 b i(B ti+1 − B ti ) avec a i = b i −b i+1 , i ≤ n − 1 , a n = b n . La covariance est égale à E(B t B s ) car le processus est centré. Si s ≤ t,E(B t B s ) = E((B t − B s )B s + B 2 s) = E(B t − B s )E(B s ) + E(B 2 s) = s△ On peut généraliser: Le processus (X t = x + µt + σB t , t ≥ 0) est un processus gaussien d’espérancex + µt et de covariance E[(X t − E(X t )) (X s − E(X s ))] = σ 2 (s ∧ t).2.3.2 Une notationIl nous arrivera de noter E x (f(B s )) l’espérance de f(B s ) quand B est un Brownien issu de x, sanstoujours faire cette précision. Cette quantité est égale à E(f(x + B s )) où B est un Brownien issu de 0. De la même façon, nous utiliserons la notation P x (B s ∈ A) pour P (x + B s ∈ A) et P x (B s ∈ da) pourla densité de la v.a. B s où B est un Brownien partant de x.

26 Le mouvement Brownien2.3.3 ScalingProposition 2.3.2 Si (B t , t ≥ 0) est un mouvement Brownien, alorsi) le processus ˆB défini par ˆB t = −B t est un mouvement Brownien.ii) le processus ˜B défini par ˜B t = 1 c B c 2 t est un mouvement Brownien. (Propriété de scaling)iii) le processus ¯B défini par ¯B t = tB 1t , ∀t > 0 , ¯B 0 = 0 est un mouvement Brownien.Démonstration: Il suffit de vérifier le caractère Gaussien de ces processus et d’en calculer espéranceet covariance.△2.3.4 Propriété de MarkovLa propriété de Markov du mouvement Brownien est utilisée sous la forme (un peu plus forte quedefla propriété de Markov) : pour tout s, le processus (W t , t ≥ 0) défini par W t = B t+s − B s est unmouvement Brownien indépendant de F s .Théorème 2.3.1 Pour f borélienne bornée, E(f(B u ) |F t ) = E(f(B u ) |σ(B t )) pour u > t.Démonstration: On fait apparaitre les accroissements et on utilise les propriétés de l’espérance conditionnelle:E(f(B u ) |F t ) = E(f(B u − B t + B t ) |F t ) = Φ(u − t, B t )avec Φ(u − t, x) = E(f(B u − B t + x)) = E(f(Y + x)) où Y a même loi que B u − B t , soit une loiN (0, u − t). Par les mêmes arguments, E(f(B u ) |σ(B t )) = Φ(u − t, B t ). On a très précisementΦ(s, x) = √ 1 ∫2πsIR(y − x)2f(y) exp − dy2s△Une autre façon de décrire cette propriété est de dire que, pour u > t, conditionnellement à B t , lav.a. B u est de loi gaussienne d’espérance B t et de variance u − t. Alorspour t ≤ u.E( 1 Bu≤x |F t ) = E( 1 Bu≤x |σ(B t )) = E( 1 Bu≤x |B t )Proposition 2.3.3 Propriété de Markov forte:Soit T un temps d’arrêt à valeurs finies. On a alors E(f(B T +s ) |F T ) = E(f(B T +s ) |σ(B T )). Endefparticulier, pour tout temps d’arrêt fini T , le processus (W t , t ≥ 0) défini par W t = B t+T − B T est unmouvement Brownien indépendant de F T .2.3.5 Equation de la chaleurSoit g(t, x) la densité gaussienne centrée de variance t. On noteq(t, x, y) = √ 1 (y − x)2exp − = g(t, x − y)2πt 2tla densité de transition du mouvement Brownien. C’est de façon heuristique, la probabilité pour quele mouvement Brownien soit en y sachant que t instants auparavant, il se trouvait en x, c’est aussi ladensité conditionnelleP (B t+s ∈ dy|B s = x) = q(t, x, y) dyLa densité de transition q vérifie l’équation “forward”∂q∂t (t, x, y) = 1 ∂ 2 q(t, x, y)2 ∂y2 et l’équation “backward”∂q∂t (t, x, y) = 1 ∂ 2 q(t, x, y) .2 ∂x2

July 8, 2006 27En utilisant cette notation et la stationarité des accroissements du MB, on obtient que pour toutefonction f borélienne bornéeSi l’on note u(t, x; f) la fonctionE(f(B T )|B t = x) =u(t, x; f) =∫ ∞−∞∫ ∞−∞f(y) q(T − t, x, y) dy .f(y)q(t, x, y) dy = E(f(B t + x)) (2.1)= E(f(B t+s )|B s = x) =∫ ∞−∞f(x + y)g(t, y)dy (2.2)cette fonction vérifie (utiliser (2.1), l’équation backward et le théorème de dérivation sous le signeintégral)⎧⎨ u(0, x; f) = f(x)⎩ − ∂u∂t + 1 ∂ 2 u(2.3)2 ∂x 2 = 0Pour calculer E(f(B T )), il suffit de résoudre l’équation aux dérivées partielles (2.3) et de remarquerque E(f(B T )) = u(T, 0; f).On peut écrire, en utilisant E(f(B t + x)) = u(t, x; f)E(f(B T + x)) − f(x) = u(T, x; f) − u(0, x; f) =∫ T0∂u∂t (s, x; f) ds = 1 ∫ T2 0En remarquant que (utiliser (2.2) et le théorème de dérivation sous le signe intégral)on obtient∂ 2 ∫u∞∂x 2 (t, x; f) =−∞∂ 2 u(s, x; f) ds .∂x2 f ′′ (x + y)g(t, y)dy = u(t, x; f ′′ ) = E(f ′′ (B t + x)) , (2.4)E(f(B T + x)) = f(x) + 1 2∫ T0E(f ′′ (B s + x)) ds .Cette formule sera généralisée dans le prochain chapitre en utilisant le lemme d’Itô.La fonction v(t, x; f) = u(T − t, x; f) est solution de⎧⎨ v(T, x) = f(x)⎩∂v∂t + 1 ∂ 2 v2 ∂x 2 = 0et vérifie v(0, x; f) = E(f(B T + x)).(2.5)Proposition 2.3.4 Si f est une fonction de classe C 1 b en temps et C2 ben espace,E(f(t, x + B t )) = f(0, x) +∫ t0E[ 1 2 f ′′xx(s, x + B s ) + f ′ t(s, x + B s )] dsDémonstration: Soit u(t, x; f) = E(f(t, x + B t )). Il est facile de vérifier, en utilisant (2.3) et (2.4)quedudt (t, x; f) = u(t, x; ∂ tf) + 1 2 u(t, x; ∂ xxf)En effet, on écrit u(t, x; f) = F (t, t, x; f) avec F (s, t, x; f) = E(f(s, x + B t )). Il reste à utiliser lethéorème de dérivation des fonctions composées:du ∂F∂F(t, x; f) = (t, t, x; f) + (t, t, x; f) = E(∂fdt ∂s ∂t ∂t (s, x + B t)) + 1 2 u(t, x; ∂ xxf)En intégrant par rapport à tu(t, x; f) − u(0, x; f) =∫ t0E[f t (s, x + B s ) + 1 2 ∂ xxf(s, x + B s )] ds

28 Le mouvement Brownien△On peut généraliser ce résultat au processus X défini par X t = x+µt+σB t . La fonction u(t, x; f) =E(f(t, x + µt + σB t )) vérifiedudt (t, x; f) = 1 2 σ2 u(t, x; ∂ xx f) + µu(t, x; ∂ x f) + u(t, x; ∂ t f)et u(0, x; f) = f(x). On définit L le générateur du processus par l’opérateurL(f) = 1 2 σ2 ∂ xx f + µ ∂ x fProposition 2.3.5 Si f est une fonction de classe C 1 b en temps et C2 bE(f(t, x + µt + σB t )) = f(0, x) +∫ t0en espace,E[Lf(s, x + µs + σB s ) + ∂ t f(s, x + µs + σB s )] dsThéorème 2.3.2 Si u est telle que Lu = 0 alors u(t, B t ) est une martingale.Démonstration: Les accroissements du Brownien sont indépendants.E(u(t, B t )|F s ) = E(u(s + t − s, x + B t−s )| x=Bs = E(u s,x (t − s, B t−s ))| x=Bsavec u s,x (t, y) = u(s + t, x + y). On a alorsE(u s,x (t − s, B t−s )) = u s,x (0, 0) +Par hypothèse, L(u) = 0 donc Lu s,x = 0. Il en résulte∫ t0Lu s,x (w, B w )dwE(u(t, B t )|F s ) = u s,x (0, 0)| x=Bs = u(s, B s )et le théorème est établi. Nous verrons ce résultat important dans un contexte plus général en applicationdu lemme d’Itô.△2.3.6 TrajectoiresNous admettons les résultats suivants:Les trajectoires du mouvement Brownien sont continues.Les trajectoires du mouvement Brownien sont p.s. “nulle part différentiables”.Théorème 2.3.3 Soit n fixé et t j = j2t pour j variant de 0 à 2 n . Alors ∑ 2 nn j=1 [B(t j) − B(t j−1 )] 2 → tquand n → ∞, la convergence ayant lieu en moyenne quadratique et p.s..Démonstration: Soit Ztn = ∑ 2 nj=1 [B(t j)−B(t j−1 )] 2 . Pour établuir la convergence en moyenne quadratique,on doit montrer que E((Ztn − t) 2 ) → 0, soit, puisque E(Zt n ) = t, Var(Zt n ) → 0 ce qui se déduitde∑2 n ∑2 n ( ) 2 tVar(Zt n ) = Var[B(t j ) − B(t j−1 )] 2 n+1 t2= 22 n = 22 2nj=1(Nous avons utilisé que si X est de loi N (0, σ 2 ), la variance de X 2 est 2σ 4 ). On en déduit queE( ∑ ∞n=1 (Zn t − t) 2 ) = ∑ ∞n=1 t2< ∞. D’où ∑ ∞n n=1 (Zn t − t) 2 < ∞ et le terme général de la sérieconverge p.s. vers 0.△Proposition 2.3.6 Soit σ une subdivision de l’intervalle [0, t] caractérisée par 0 = t 0 ≤ t 1 . . . ≤ t n = t.Soit V t la variation de la trajectoire du Brownien sur [0, t] définie par V t (ω) = sup σ∑i |B t i+1(ω) −B ti (ω)|. Alors V t (ω) = ∞ p.s.Démonstration: sup σ∑i |B t i+1− B ti | ≥ sup n∑ 2nk=0 |Y k| avec Y k = B t ∗k+1 − B t ∗ kchoisis comme précédemment: t ∗ k = k2 n t. On peut majorer Z n t :Z n tj=1≤ (sup |B t ∗ − B t ∗|) ∑2 n |Yk+1 k k | .kk=0où les points sontQuand n → ∞, le terme sup |B tk+1 − B tk | tend p.s. vers 0, par continuité uniforme des trajectoires sur[0, t]. Le terme ∑ 2 nk=0 |Y k| est croissant en n et ne peut avoir de limite finie sans que Zt n ne convergevers 0, ce qui n’est pas le cas.△

July 8, 2006 292.3.7 Propriétés de martingalea. Cas du BrownienProposition 2.3.7 Le processus B est une martingale. Le processus (B 2 t −t, t ≥ 0) est une martingale.Réciproquement, si X est un processus continu tel que X et (X 2 t − t, t ≥ 0) sont des martingales, X estun mouvement Brownien.Démonstration: Nous ne démontrons que la partie directe. La réciproque est plus difficile à établir(Voir Revuz-Yor) mais très utile.L’idée est d’utiliser l’indépendance des accroissements pour calculer les espérances conditionnelles, etd’utiliser la propriété E(X|G) = E(X) quand X et G sont indépendantes. Soit s ≤ t.De même E((B t − B s ) 2 |F s ) = t − s etE(B t |F s ) = E(B t − B s |F s ) + E(B s |F s ) = 0 + B sE((B t − B s ) 2 |F s ) = E(B 2 t + B 2 s − 2B t B s |F s ) = E(B 2 t |F s ) + B 2 s − 2B s E(B t |F s ) = E(B 2 t |F s ) − B 2 sOn obtient alorsE(B 2 t − t|F s ) = B 2 s − s .Proposition 2.3.8 Soit B 1 et B 2 deux MB indépendants. Le produit B 1 B 2 est une martingale.Démonstration: On peut le faire en utilisant le lemme suivant : Soit F et G deux tribus, X et Y deuxv.a. telles que X∨F et G sont indépendantes ainsi que Y ∨G et F. Alors E(XY |F∨G) = E(X|F)E(Y |G).Une autre méthode est d’utiliser que 1 √2(B 1 + B 2 ) est un processus gaussien de covariance t ∧ s, doncun mouvement Brownien et par suite 1 2 (B 1(t) + B 2 (t)) 2 − t est une martingale. Commele résultat suit.12 (B 1(t) + B 2 (t)) 2 − t = 1 2 (B2 1(t) − t) + 1 2 (B2 2(t) − t) + B 1 (t)B 2 (t) ,Définition 2.3.1 On dit que B est un (G t )-mouvement Brownien si B et (B 2 t − t, t ≥ 0) sont des(G t )-martingales.Les propriétés données dans la définition 2.1.1. sont vérifiées. Si B est un (G t )-mouvement Brownien,c’est bien sûr un MB pour sa propre filtration.Proposition 2.3.9 Pour tout λ réel, le processus△△(exp(λB t − 1 2 λ2 t), t ≥ 0)est une martingale.Réciproquement, si X est un processus continu tel que (exp(λX t − 1 2 λ2 t), t ≥ 0) est une martingale,pour tout λ réel, le processus X est un brownien.Démonstration: Par indépendanceE(exp{λ(B t − B s ) − 1 2 λ2 (t − s)}|F s ) = E(exp{λ(B t − B s ) − 1 2 λ2 (t − s)})L’espérance du second membre se calcule comme une transformée de Laplace d’une variable gaussienne.On trouveE(exp{λ(B t − B s ) − 1 2 λ2 (t − s)}) = 1etE(exp{λB t − 1 2 λ2 t}|F s ) = exp{λB s − 1 2 λ2 s}La réciproque, facile, utilise la caractérisation des v.a. gaussiennes au moyen de leur transformée deLaplace.△

30 Le mouvement Brownienb. GénéralisationProposition 2.3.10 Soit (Ω, F, F t , P ) et B un (F t )-brownien sur cet espace. Si X t = µt + σB t , alors,pour tout β réel, (exp(βX t − (µβ + 1 2 σ2 β 2 ) t), t ≥ 0) est une (F t )-martingale.Réciproquement, si X est un processus continu tel que (exp (βX t − (µβ + 1 2 σ2 β 2 ) t), t ≥ 0) est une F t-martingale, il existe un F t -brownien B tel que X t = µt + σB t .Démonstration: Nous savons que (exp(λB t − 1 2 λ2 t), t ≥ 0) est une martingale. il reste à utiliserque B t = 1 σ (X t − µt) et de poser λ = βσ.2.3.8 Temps d’atteintea. Cas du BrownienProposition 2.3.11 Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement Brownien et a un nombre réel. SoitT a = inf{t ≥ 0; B t = a} .Alors T a est un temps d’arrêt fini p.s. tel que E(T a ) = ∞ et pour λ ≥ 0E(exp −λT a ) = exp(−|a| √ 2λ) . (2.6)Démonstration: La v.a. T a est un temps d’arrêt. En effet, pour a > 0, on aOn en déduitT a = inf{t ≥ 0; B t ≥ a}{T a ≤ t} = {sup B s ≥ a} = {∀ɛ ∃s ∈ IQ : B s > a − ɛ}s≤t= ( ∩ ɛ∈IQ + ∪ s≤t, s∈IQ {B s > a − ɛ} ) .La présence de IQ est indispensable pour garder la dénombrabilité. L’égalité précédente montre que{T a ≤ t} est obtenu à partir d’opérations dénombrables d’union et d’intersection d’éléments de F t ,donc appartient à cette tribu.Pour calculer la transformée de Laplace de la loi de T a , soit E(e −λTa ), on utilise que t ∧ T a est untemps d’arrêt borné (par t) et le théorème d’arrêt de Doob:∀t , E[exp(λB t∧Ta − λ22 (t ∧ T a))] = 1Lorsque t → ∞, sur l’ensemble où T a est fini on a B t∧Ta → B Ta = a et)exp(λB t∧Ta − λ22 (t ∧ T a) → exp(λa − λ22 T a)Sur l’ensemble où T a est infini, B t∧Ta ≤ a et (t ∧ T a ) = t → ∞, par suite)exp(λB t∧Ta − λ22 (t ∧ T a) → 0 .On obtient, après passage à la limite, ) en utilisant le théorème de Lebesgue dominé(on majore exp(λB t∧Ta − λ22 (t ∧ T a) par e λa ),E( 1 Ta

July 8, 2006 31On pourrait aussi dire que pour a > 0 et λ > 0, la martingaleexp(λB t∧Ta − λ22 (t ∧ T a))est bornée (par exp(λa)) donc est uniformément intégrable et on applique le théorème d’arrêt avect = ∞.Pour a < 0, on peut remarquer que T a = inf{t ≥ 0; B t = a} = inf{t ≥ 0; W t = −a}, avec W = −B.Il serait faux de conclure que E(exp −λT a ) = exp(−a √ 2λ) pour tout a car, pour a < 0 et λ > 0, lemembre de gauche est plus petit que 1 et celui de droite serait plus grand que 1. Il convient donc d’êtrevigilant en appliquant le théorème de Doob.△Par inversion de la transformée de Laplace, on obtient la densité de T a qui est, pour a > 0P (T a ∈ dt) = √ a exp ( − a2 )dt2πt3 2tOn verra, plus loin, une autre méthode pour obtenir ce résultat.Avec des méthodes analogues, on établit les résultats suivants. Soit ̂T a = inf{t ≥ 0; |B t | = a} aveca > 0E(exp −λ ̂T[a ) = cosh (a √ −12λ)]. (2.7)bb−a .Si a ≤ 0 ≤ b on a P (T a < T b ) =Si c et d sont des réels positifs et T = T c ∧ T −d on aE[exp(− λ22 T ) 1 sinh (λd)T =Tc ] =sinh (λ(c + d))E[exp(− λ2 cosh (λ(c − d)/2)T )] =2 cosh(λ(c + d)/2) .b. GénéralisationSi X t = µt + B t et T aµ = inf{t ≥ 0; X t = a} on peut montrer, en utilisant la martingale (exp(βX t −(µβ + 1 2 σ2 β 2 ) t), t ≥ 0) que pour µ > 0, λ > 0 (on pose λ = (µβ + 1 2 σ2 β 2 ))E(exp −λT µ a ) = exp(µa − |a| √ µ 2 + 2λ). (2.8)On obtient P (T a < ∞) en faisant λ = 0. Cette quantité n’est égale à 1 que si µ et a sont de mêmesigne.2.3.9 Brownien multidimensionnelSoit B t = (B (1)t , B (2)t , . . . , B (n)t ) T un processus n-dimensionnel (l’exposant T note la transposition d’unvecteur). On dit que B est un Brownien multidimensionnel si les processus (B (i) , i ≤ n) sont des browniensindépendants. C’est un processus à accroissements indépendants. Pour chaque (a, b), le processusaB (1)t + bB (2)def 1t est un processus gaussien. Il est facile de vérifier que B t = √a2 + b 2 (aB(1) t + bB (2)t ) estun MB (C4est un processus Gaussien, calculer son espérance et sa covariance).Si B est un brownien n-dimensionnel, on a E(B T t B s ) = n(s ∧ t).Le processus n-dimensionnel B est un mouvement Brownien si et seulement si les processus B (i) etB (i) B (j) − δ i,j t sont des martingales (avec δ i,j = 0 pour i ≠ j et δ i,i = 1.Définition 2.3.2 Les mouvements Browniens à valeurs réelles B 1 et B 2 sont corrélés de coefficient decorrélation ρ si B 1 (t)B 2 (t) − ρt est une martingale.

32 Le mouvement BrownienOn “ décorrele” les MB en introduisant le processus B 3 défini par B 3 (t) =Ce processus est une martingale; en écrivant1√1 − ρ2 (B 2(t) − ρB 1 (t)).(B 3 (t)) 2 − t ==11 − ρ 2 [(B 2(t)) 2 + ρ 2 (B 1 (t)) 2 − 2ρB 2 (t)B 1 (t) − t(1 − ρ 2 )]11 − ρ 2 [(B 2(t)) 2 − t + ρ 2 [(B 1 (t)) 2 − t] − 2ρ[B 2 (t)B 1 (t) − ρt]on montre que (B 3 (t)) 2 − t est une martingale, d’où B 3 est un MB. On peut montrer que B 3 estindépendant de B 1 , nous donnerons une démonstration plus tard. Il est facile de vérifier que le produitB 1 B 3 est une martingale. Dans ce cas, il existe un Brownien B (3) , indépendant de B (2) tel que B (1) =ρB (2) + √ 1 − ρ 2 B (3) et, pour tout (a, b) le processus B tdef=mouvement Brownien.2.4 Intégrale de Wiener2.4.1 Définition1√a2 + b 2 + 2ρab (aB(1) + bB (2) ) est unOn note L 2 (IR + ) l’ensemble des (classes d’équivalence des) fonctions boréliennes f de IR + dans IR decarré intégrable, c’est-à-dire telles que ∫ +∞|f(s)| 2 ds < ∞.0(∫ ∞1/2C’est un espace de Hilbert pour la norme ||f|| 2 = f 2 (s) ds).a. Fonctions en escalierPour f = 1 ]u,v] , on pose ∫ +∞f(s)dB0 s = B(v) − B(u).Soit f une fonction en escalier, de la forme f(x) = ∑ i=ni=1 f i−1 1 ]ti−1,t i] on pose ∫ +∞f(s)dB0 s =∑ i=ni=1 f i−1 (B(t i ) − B(t i−1 )) .La variable aléatoire I(f) def= ∫ +∞f(s)dB0 s est une variable gaussienne d’espérance nulle et de variance∫ +∞f 2 (s)ds. En effet, I(f) est gaussienne car le processus B est gaussien, centrée car B est centré.0De plus∑i=n∑i=nVar(I(f)) = fi−1Var 2 (B(t i ) − B(t i−1 )) = fi−1(t 2 i − t i−1 ) =i=10i=1∫ +∞0f 2 (s)ds = ‖f‖ 2 .L’intégrale est linéaire : I(f + g) = I(f) + I(g). Si f et g sont des fonctions en escalier E(I(f) I(g)) =∫R + f(s) g(s) ds. En effetVar (I(f + g)) = = Var[I(f) + I(g)] = Var (I(f)) + Var (I(g)) + 2E(I(f)I(g))=∫ ∞0(f + g) 2 (s)ds =∫ ∞0f 2 (s)ds +∫ ∞0g 2 (s)ds + 2∫ ∞0f(s)g(s)dsb. Cas généralOn montre en analyse que, si f ∈ L 2 (IR + ), il existe une suite f n de fonctions en escalier qui converge(dans L 2 (IR + )) vers f, c’est-à-dire qui vérifie∫ ∞0|f n − f| 2 (x) dx → n→∞ 0.Dans ce cas, la suite f n est de Cauchy dans L 2 (IR + ). La suite de v.a. F n = ∫ ∞0f n (s) dB s est une suitede Cauchy dans l’espace de Hilbert L 2 (Ω) (en effet ||F n − F m || 2 = ||f n − f m || 2 → n,m→∞ 0), donc elle

July 8, 2006 33est convergente. Il reste à vérifier que la limite ne dépend que de f et non de la suite f n choisie (Voirles détails dans Revuz-Yor). On poseI(f) def=∫ ∞0f(s) dB s = limn→∞∫ ∞0f n (s) dB sla limite étant prise dans L 2 (Ω).On dit que I(f) est l’intégrale stochastique (ou intégrale de Wiener) de f par rapport à B.Le sous-espace de L 2 (Ω) formé par les v.a. ∫ ∞f(s)dB0 s coïncide avec l’espace gaussien engendré par lemouvement Brownien.2.4.2 PropriétésL’application f → I(f) est linéaire et isométrique de L 2 (IR + ) dans L 2 (Ω): la linéarité signifie queI(f + g) = I(f) + I(g) et l’isométrie que la norme de I(f) est égale à la norme de f. La norme deI(f) est la norme L 2 (Ω) définie par ||I(f)|| 2 = E( (I(f)) 2 ), la norme de f est la norme L 2 (IR + ), soit||f|| 2 =∫ ∞0f 2 (s)ds .La propriété d’isométrie implique E (I(f) I(g)) = ∫ IR + f(s)g(s) ds.Soit f ∈ L 2 (IR + ). La variable I(f) est une v.a. gaussienne centrée de variance ∫ IR + f 2 (s)ds appartenantà l’espace gaussien engendré par (B t , t ≥ 0) et elle vérifie pour tout t)E(B t f(s)dB s =∫IR +∫ t0f(s)ds . (2.9)Démonstration: Il suffit de remarquer que E ( B(t) ∫ (∫) t ∫)f(s)dBIR + s = E dB s f(s)dB s . △0 IR +La propriété (2.9) est en fait une caractérisation de l’intégrale stochastique au sens où si pour toutt, E(ZB t ) = ∫ ∫ ∞t0 f(s)ds, alors Z = f(s)dB s .02.4.3 Processus lié à l’intégrale stochastiqueOn définit pour f ∈ L 2 (IR + ) la variable aléatoire ∫ t0 f(s)dB s = ∫ +∞10 [0,t] (s)f(s)dB s .On peut de la même façon définir ∫ t0 f(s)dB s pour f telle que ∫ T0 |f(s)|2 ds < ∞, ∀T , ce qui permet dedéfinir l’intégrale stochastique pour une classe plus grande de fonctions. On notera L 2 loccette classe defonctions.Théorème 2.4.1 Soit f ∈ L 2 loc et M t = ∫ t0 f(s)dB s.a) Le processus M est une martingale continue, la v.a. M t est d’espérance 0 et de variance ∫ t0 f 2 (s) ds.b) Le processus M est un processus gaussien centré de covariance ∫ t∧s0f 2 (u) du à accroissementsindépendants.c) Le processus (M 2 t − ∫ t0 f 2 (s) ds , t ≥ 0) est une martingale.d) Si f et g sont dans L 2 loc , on a E(∫ t0 f(u)dB u∫ s0 g(u)dB u) =∫ t∧s0f(u)g(u)du .Démonstration: On commence par le cas où la fonction f est étagée et on passe à la limite. Pourvérifier que M est une martingale, pour f = ∑ i=ni=1 f i−1 1 ]ti−1,t i], on montre que0 = E(M t − M s |F s ) = E(Supposons que t i < s < t ≤ t i+1 . Dans ce cas E(∫ ts∫ tsf(u)dB u |F s ) (2.10)f(u)dB u |F s ) = f i E((B t − B s )|F s ) et (2.10) est

34 Le mouvement Brownienvérifiée.Supposons que t i < s ≤ t i+1 ≤ t j < t ≤ t j+1 . Dans ce casE(∫ tsf(u)dB u |F s ) = E(f j (B t − B tj ) += f j E(B t − B tj |F s ) +∑j−1k=i+1∑j−1k=i+1f k (B tk+1 − B tk ) + f i (B ti+1 − B s )|F s )Les autres cas sont analogues. En particulier( (∫ t) 2)E(Mt 2 − Ms 2 |F s ) = E((M t − M s ) 2 |F s ) = E f(u)dB u |F s2.4.4 Intégration par partiesf k E(B tk+1 − B tk |F s ) + f i E(B ti+1 − B s |F s ) = 0s= E( ∑ f(t k )(B tk+1 ∧t − B tk ∧t) 2 |F s ) = ∑ f 2 (t k )((t k+1 ∧ t) − (t k ∧ t))Théorème 2.4.2 Si f est une fonction de classe C 1 ,∫ t0f(s) dB s = f(t)B(t) −∫ t0f ′ (s)B s ds.∫ tDémonstration: Il suffit, d’après (2.9), de vérifier que pour tout u, E[B u 0 f(s) dB s] = E(B u [f(t)B t −∫∫ t∧ut0 f ′ (s)B s ds]). Le premier membre vaut f(s)ds, on calcule le second au moyen des deux égalitésE(B u f(t)B t ) = f(t)(t∧u), E(B u∫ t0 f ′ (s)B s ds) =0∫ t0f ′ (s)(s∧u)ds. L’égalité résulte alors de l’applicationde la formule d’intégration par parties classique pour calculer des expressions du type ∫ b0 sf ′ (s)ds. △On peut aussi écrire cette formule2.5 Exemples2.5.1 Le brownien géométriqued(B t f(t)) = f(t)dB t + B t f ′ (t)dt .Définition 2.5.1 Soit B un mouvement Bownien, b et σ deux constantes. Le processus△X t = X 0 exp{(b − 1 2 σ2 )t + σB t }est appellé Brownien géométrique.Ce processus est aussi appellé processus“log-normal”. En effet, dans ce caslnX t ={b − 1 }2 σ2 t + σB t + ln xet la variable qui est à droite suit une loi normale. On a immédiatementProposition 2.5.1 Le processus X t e −bt est une martingale.En écrivantX t = X s exp{(b − 1 2 σ2 )(t − s) + σ(B t − B s )}

July 8, 2006 35on établit que X est Markovien. Le caractère Markovien de X et les propriétés du MB permettent decalculer les espérances conditionnelles:E(X t |F s ) = X s E(exp{(b − 1 2 σ2 )(t − s) + σ(B t − B s )}|F s )= X s exp(b(t − s))E(exp{(− 1 2 σ2 )(t − s) + σ(B t − B s )}|F s )= X s exp(b(t − s))E(exp{(− 1 2 σ2 )(t − s) + σB t−s })= X s e b(t−s) = E(X t |X s )où nous avons utilisé la propriété de martingale de l’exponentielle du MB. Remarquons que nous avonsloiutilisé que X t = X s ˜Xt−s avec ˜X t−s indépendant de X t et de même loi que X t−s .De la même façon, en notant G une v.a. de loi N (0, 1)E(f(X t )|F s ) = E(f(X t )|X s ) = E(f(x exp{(b − 1 2 σ2 )(t − s) + σ(B t − B s )}) x=Xs= E(f(x exp{(b − 1 2 σ2 )(t − s) + σG √ t − s}) x=Xs=∫ ∞−∞f(X s exp{(b − 1 2 σ2 )(t − s) + σy √ t − s})q(1, 0, y)dy .Ce processus est très souvent utilisé pour modéliser le prix d’un actif financier. Le rendement del’actif entre deux dates est mesuré par la différence des logarithmes des cours et est donné par la variablegaussienne{b − 1 2 σ2 }(t − s) + σ(B t − B s ) .Il est facile de calculer les moments d’un Brownien géométrique; par exemple E(X t ) = X 0 e bt (Utiliser,par exemple, la propriété de martingale) . Pour calculer le moment d’ordre 2, il suffit de faire lestransformations évidentes suivantesE(X 2 t ) = X 2 0 E(exp{(2b − σ 2 )t + 2σB t }) = X 2 0 E(exp{(2b + σ 2 )t − 1 2 (2σ)2 t + (2σ)B t })= X 2 0 exp[(2b + σ 2 )t]On en déduit VarX t = x 2 e 2bt (e σ2t − 1).Le ratio de Sharpe estE(X t ) − x√ VarXt2.5.2 Processus d’Ornstein-UhlenbeckThéorème 2.5.1 L’équation de LangevinV t = −∫ t0aV s ds + σB t + V 0 , (2.11)a pour unique solutionV t = e −ta V 0 +∫ t0e −(t−s)a σdB s . (2.12)On écrit l’équation (2.11) sous forme condenséedV t + aV t dt = σdB t ,V 0 donnéles données du problème sont la variable aléatoire V 0 , le Brownien B et les constantes a et σ.

36 Le mouvement BrownienDémonstration: Soit X = (X t , t ≥ 0) le processus défini par le second membre de (2.12). Nousallons vérifier que X est solution de l’équation (2.11). En utilisant la formule d’intégration par parties,on transforme l’intégrale∫ t0∫ te −(t−s)a σdB s = σe −at e sa dB s = σe −at [e at B t − a0∫ t0e sa B s ds)On en déduit que X t = e −ta V 0 + σB t − σe −at a ∫ t0 esa B s ds. On s’attache ensuite au calcul de∫ t0X s ds =∫ t0e −sa V 0 ds + σ∫ tL’intégrale double qui apparait au second membre estce qui conduit àa∫ t0∫ t00B s ds − aσ∫ te −as(∫ s00e ua B u du ) ds∫ tdue ua B u dse −as = 1 [ ∫ t∫ tB s ds − e −at e −as ds ]aX s ds = V 0 (1 − e −at ) + σau∫ t00e a(s−t) B s ds = −X t + σB t + V 0d’où X vérifie (2.11).△On peut également poser Y t = e −at V t et appliquer la formule d’intégration par parties (sous résrvequ’elle s’applique à V t )dY t = e −at dV t − ae −at V t dt = e −at σdB tdont la solution est Y t = Y 0 + ∫ t0 e−as σdB s .Proposition 2.5.2 Si V 0 est une v.a.r. gaussienne indépendante du brownien (en particulier si V 0 estune constante), le processus V , appellé processus d’Ornstein-Uhlenbeck est gaussien d’espérance et decovarianceE(V t ) = e −ta E(V 0 ),cov[V s , V t ] = e −sa ve −ta +si v désigne la variance de V 0 .Le processus V est un processus de Markov.∫ s0e −(s−u)a σ 2 e −(t−u)a du , s ≤ tDémonstration: En effet, d’aprés (2.12), E(V t ) = e −ta E(V 0 ) car l’espérance de l’intégrale stochastiqueest nulle (la fonction e sa est de carré intégrable sur tout intervalle fini). Toujours d’après (2.12),∫ s∫ tcov[V s , V t ] = cov(V 0 e −as + σe −as e au dB u , V 0 e −at + σe −at e au dB u )= cov(V 0 e −as , V 0 e −at ) + σ 2 e −as e −at cov(∫ s∧t= ve −as e −at + σ 2 e −as e −at e 2au du ,00∫ s00e au dB u ,0∫ t0e au dB u )Le caractère gaussien 2 est facile à établir.L’unicité se montre en vérifiant que si V 1 et V 2 sont solutions, V 1 − V 2 est solution d’une équationdifférentielle déterministe.△En particulier, si V 0 est une constante (v = 0)et Var(V t ) = σ2(1 − exp −2at).2acov[V s , V t ] = σ22a e−a(s+t) (e 2as − 1)2 “An interesting study in the laws of probability.” H. Poirot, Sad Cypress, A. Christie.

July 8, 2006 37En écrivant V s = e −sa V 0 + ∫ s0 e−(s−u)a σdB u et V s e (s−t)a = e −ta V 0 + ∫ s0 e−(t−u)a σdB u on en déduit,pour s ≤ tou encoreV t = V s e −(t−s)a +V t+s = V s e −ta +∫ ts∫ t0e −(t−u)a σdB ue −(t−u)a σd ˜B uoù le processus ˜B défini par ˜B u = B s+u − B s est un MB indépendant de F s (donc de V s ).En particulier E(f(V t+s )|F s ) = E(f(V s e −ta + Y )|F s ) = E(f(V t+s )|V s ) (dans cette égalité Y est unev.a. indépendante de F s ) ce qui établit le caractère markovien de V . Le calcul explicite peut se faireen utilisant queE(f(V s(x) e −ta + Y )|F s ) = Ψ(V s (x) )avec Ψ(y) = E(f(ye −ta + Y )) = E(f(V (y)t )) où V (x) est la solution de l’équation de valeur initiale x,soit V (x)t = e −ta x + ∫ t0 e−(t−s)a σdB s .Proposition 2.5.3 La variable aléatoire∫ tvariance − σ22a 3 (1 − e−at ) 2 + σ2 1 − e−at(t − ).a2 aDémonstration: Voir le paragraphe suivant.0V s ds est une v.a. gaussienne, de moyenne V 01−e −ataet de△2.5.3 Modèle de VasicekUne généralisation du modèle précédent est l’équationdr t = a(b − r t )dt + σdB t . (2.13)Sous cette forme, elle est utilisée pour étudier l’évolution des taux d’intérêt (modèle de Vasicek). Laforme explicite de la solution estr t = (r 0 − b)e −at + b + σ∫ t0e −a(t−u) dB u .(Il suffit de poser r t − b = V t , le processus V est alors solution de l‘équation de Langevin. L’égalitér t = (r s − b)e −a(t−s) + b + σ∫ tse −a(t−u) dB u , s ≤ tétablit le caractère Markovien de r. Si r 0 est une constante, r t est une variable gaussienne de moyenne(r 0 − b)e −at + b, et de variance σ22a(1 − exp −2at). En particulier, ce n’est pas une variable positive. Leprocessus r est gaussien de covariance Cov(r s , r t ) = σ22a e−a(s+t) (e 2as − 1) pour s ≤ t.L’expression explicite de (r t , t ≥ s) en fonction de r s montre que, conditionnellement à F s , la v.a.r t+s est variable gaussienne de moyenne (r s − b)e −at + b, et de variance σ22a(1 − exp −2at). De même,conditionnellement à F s , le processus (r t+s , t ≥ 0) est un processus de Vasicek de paramètres (a, b, σ)et de condition initiale r s .On en déduitProposition 2.5.4 Pout s < t, l’espérance et le variance conditionnelle de r sontE(r t |r s ) = (r s − b)e −a(t−s) + bvar s (r t ) = σ22a (1 − e−2a(t−s) )

38 Le mouvement BrownienProposition 2.5.5 La variable ∫ t0 r sds est une variable gaussienne de moyenneE(∫ tet de variance − σ22a 3 (1 − e−at ) 2 + σ2 1 − e−at(t − ).a2 aDémonstration: Par définition r t = r 0 + abt − a∫ t00r s ds) = bt + (r 0 − b) 1 − e−ata∫ t0r s ds + σB t . D’oùr s ds = 1 a [−r t + r 0 + abt + σB t ] = 1 a [−(r 0 − b)e −at − b − σPlus généralement, on a, pour t ≥ s∫ t0e −a(t−u) dB u + r 0 + abt + σB t ].E(∫ tsr u du|F s ) = b(t − s) + (r s − b) 1 − e−a(t−s)a= M(t, s)Var s (∫ tsr u du) = − σ22a 3 (1 − e−a(t−s) ) 2 + σ2 1 − e−a(t−s)(t − s − ) = V (t, s)a2 aoù Var s désigne la variance conditionnelle par rapport à F s .La variable ∫ ts r u du est une variable gaussienne dont on connait, conditionnellement à F s l’espéranceet la variance. On en déduitE(exp −∫ tsr u du |F s ) = exp(−M(t, s) + 1 V (t, s)) .2Ces calculs sont utiles pour valoriser ( des zéro-coupons en finance : si B(t, T ) est la valeur d’un ZCde maturité T , on a B(t, T ) = E(exp − ∫ )Trt u du |F t ) et−t)1 − e−a(TB(t, T ) = exp[b(T − t) + (r t − b) − σ2a 4a 3 (1 − e−a(T −t) ) 2 + σ22ta−t)1 − e−a(T(T − t −2a]) .

Chapter 3INTÉGRALE STOCHASTIQUEOn se donne un espace (Ω, F, P ) et un mouvement Brownien B sur cet espace. On désigne par F t =σ(B s , s ≤ t) la filtration naturelle du mouvement Brownien.3.1 DéfinitionOn veut généraliser 1 l’intégrale de Wiener et définir ∫ t0 θ sdB s pour des processus stochastiques θ.3.1.1 Cas de processus étagésOn dit qu’un processus θ est étagé (ou élémentaire) s’il existe une suite de réels t j , 0 ≤ t 0 ≤ t 1 . . . ≤ t n etune suite de variables aléatoires θ j telles que θ j soit F tj -mesurable, appartienne à L 2 (Ω) et que θ t = θ jpour tout t ∈]t j , t j+1 ], soit θ s (ω) = ∑ n−1j=0 θ j(ω) 1 ]tj ,t j+1 ](s) .On définit alors∫ ∞n−1∑θ s dB s = θ j (B(t j+1 ) − B(t j )).0On a E( ∫ ∞θ0 s dB s ) = 0 et Var ( ∫ ∞θ0 s dB s ) = E[ ∫ ∞θ 2 0 s ds].On obtient∫ tn−1∑θ s dB s = θ j (B(t j+1 ∧ t) − B(t j ∧ t)).0j=0j=0ce qui établit la continuité de l’application t → ∫ t0 θ sdB s . Si T j , 0 ≤ T 0 ≤ T 1 . . . ≤ T n est une suitecroissante de temps d’arrêt, et si θ s = ∑ n−1j=0 θ j 1 ]Tj,T j+1](s) où θ j est une suite de variables aléatoirestelles que θ j soit F Tj -mesurable, appartienne à L 2 (Ω), on définit alors∫ t0n−1∑θ s dB s = θ j (B(T j+1 ∧ t) − B(T j ∧ t)).j=03.1.2 Cas généralOn peut prolonger la définition de l’intégrale de Wiener à une classe plus grande de processus. On perdle caractère gaussien de l’intégrale, ce qui est déja le cas pour le cas de processus étagé.On définit les processus càglàd de carré intégrable (appartenant à L 2 (Ω × IR + ) ) comme l’ensemble Γdes processus θ adaptés continus à gauche limités à droite, (F t )-adaptés tels que‖θ‖ 2 def= E[∫ ∞0θ 2 t dt] < ∞.1 “Je marche vers mon but, je vais mon chemin; je sauterai par dessus les hésitants.” Ainsi parlait Zarathoustra.Nietzsche.39

40 Intégrale stochastiqueLes processus étagés appartiennent à Γ. On dit que θ n converge vers θ dans L 2 (Ω×IR + ) si ‖θ − θ n ‖ 2 → 0quand n → ∞.L’application θ → ||θ|| définit une norme qui fait de Γ un espace complet.On peut définir ∫ ∞θ0 s dB s pour tous les processus θ de Γ: on approche θ par des processus étagés,soit θ = lim n→∞ θ n où θ n = ∑ k(n) ˜θ j=1 j n1 ]t j,t j+1], avec ˜θ j n ∈ F t jla limite étant au sens de L 2 (Ω × IR).L’intégrale ∫ ∞θ0 s dB s est alors la limite dans L 2 (Ω) des sommes ∑ k(n) ˜θ j=1 j n(B(t j+1)−B(t j )) dont l’espéranceest 0 et la variance E[ ∑ ˜θ j j 2(t j+1 − t j )].On a alors E( ∫ ∞0θ s dB s ) = 0 et E (∫ ∞0θ s dB s) 2= E(∫ ∞0θ 2 s ds).On note ∫ t0 θ defsdB s = ∫ ∞θ0 s 1 [0,t] (s) dB s . Si θ est étagé ∫ t0 θ sdB s = ∑ i θ i(B ti+1 ∧t − B ti ∧t).Plus généralement, si τ est un temps d’arrêt, le processus 1 ]0,τ] (t) est adapté et on définit3.2 Propriétés∫ τ∧t0θ s dB s =∫ t0θ s 1 ]0,τ] (s)dB sOn note Λ l’ensemble L 2 loc (Ω × IR+ ) des processus θ adaptés càglàd vérifiant E( ∫ t0 θ2 s(ω)ds) < ∞ , ∀t.3.2.1 Linéarité.Soit a et b des constantes et (θ i ; i = 1, 2) deux processus de Λ. On a∫ t3.2.2 Propriétés de martingaleProposition 3.2.1 Soitoù θ ∈ Λ.a)0∫(aθ1s + bθs2 ) tdBs = a θsdB 1 s + b0M t = ∫ t0 θ sdB s∫ tLe processus M est une martingale0θ 2 sdB sà trajectoires continues.(∫ t) 2b) Soit N t = θ s dB s −0∫ t0θ 2 sds. Le processus (N t , t ≥ 0) est une martingale.Démonstration: Toutes ces propriétés se démontrent pour des processus étagés, puis pour lesprocessus de Λ par passage à la limite.△La propriété de martingale s’écrit(∫ t) ∫ sE θ u dB u |F s = θ u dB u , ∀t ≥ s,00ou(∫ t)E θ u dB u |F s = 0set implique en particulier que E( ∫ t[ s θ udB u ) = 0.(∫ t) 2] [∫ tLa propriété b) équivaut à E θ u dB u |F s = E θudu|F 2 s].ss

July 8, 2006 41Si l’on veut définir M t pour t ≤ T , il suffit de demander que θ ∈ L 2 (Ω×[0, T ]), c’est à dire E( ∫ T0 θ2 t dt) 0, on a E(τ) < ∞ et par suiten∑(B ti+1 − B ti ) 2i=0(B ti+1 − B ti ) 2 ] = 1 2 [B2 t − t]. △On peut définir ∫ t0 θ s dB s pour des processus adaptés càglàd qui n’appartiennent pas nécessairement àL 2 (Ω×IR), mais qui vérifient pour tout t, ∫ t0 θ2 (s, ω) ds < ∞ p.s. Dans ce cas M n’est pas une martingalemais une martingale locale et E(M t ) peut être non nul. On utilise souvent qu’une martingale localepositive est une surmartingale (appliquer le lemme de Fatou).3.2.5 Inégalité maximaleOn a souvent besoin de majorations d’intégrales stochastiques. L’inégalité de Doob conduit àProposition 3.2.4 Soit θ ∈ ΛE([sups≤T∫ s0∫ T∫ Tθ u dB u ] 2 ) ≤ 4E([ θ u dB u ] 2 ) = 4 E[θu]du200△

42 Intégrale stochastique3.3 Processus d’Itô3.3.1 DéfinitionUn processus X est un processus d’Itô siX t = x +∫ t0b s ds +∫ t0σ s dB soù b est un processus adapté tel que ∫ t0 |b s| ds existe (au sens Lebesgue) p.s. pour tout t, et σ unprocessus appartenant à Λ.On utilise la notation plus concise suivante{dXt = b t dt + σ t dB t ,X 0 = xLe coefficient b est le drift ou la dérive, σ est le coefficient de diffusion.L’écriture dX t = b t dt + σ t dB t est unique (sous réserve que les processus b et σ vérifient les conditionsd’intégrabilité). Ceci signifie que sidX t = b t dt + σ t dB t = ˜b t dt + ˜σ t dB talors b = ˜b; σ = ˜σ. En particulier, si X est une martingale locale alors b = 0 et réciproquement.On peut définir un processus d’Itô pour des coefficients de diffusion tels que ∫ t0 σ2 s ds < ∞ P.p.s.mais on perd la propriété de martingale de l’intégrale stochastique. La partie x + ∫ t0 b s ds est la partieà variation finie. Si un processus A à variation finie ets une martingale, il est constant. En effet, siA 0 = 0 = 0, A 2 t = 2 ∫ t0 A sdA s et par suite E(A 2 t ) = 0.3.3.2 PropriétésSi σ appartient à Λ, on a E(X t ) = E(X 0 ) + ∫ t0 E(b s)ds, et∀t ≥ s, E(X t |F s ) = X 0 +∫ s0b u du + E(∫ tsb u du |F s ) +∫ s0σ u dB u = X s + E(∫ tsb u du |F s ).Si b ≡ 0 et σ ∈ Λ, le processus X est une martingale continue.On verra que la réciproque est vraie: sous certaines conditions d’intégrabilité et de mesurabilité, toutemartingale continue s’écrit x + ∫ t0 φ sdB s .3.3.3 Intégrale par rapport à un processus d’Itô.Soit X un processus d’Itô de décomposition dX t = b t dt + σ t dB t . On note (sous réserve de conditionsd’intégrabilité)∫ t0θ s dX sdef=∫ t3.3.4 Crochet d’un processus d’Itô0θ s b s ds +∫ t0θ s σ s dB s .Soit Z une martingale continue de carré intégrable (telle que E(sup t Z 2 t ) < ∞). On peut montrer (VoirRevuz-Yor) qu’il existe un processus croissant continu A tel que (Z 2 t − A t , t ≥ 0) est une martingale. Leprocessus A est appellé le “crochet oblique”, ou le crochet de Z. On le note très souvent A t = 〈Z, Z〉 tou encore 〈Z〉 t .Idée de la preuveZ 2 t = Z 2 0 + ∑ (Z 2 t∧t k+1− Z 2 t∧t k)= Z 2 0 + 2 ∑ Z t∧tk (Z t∧tk+1 − Z t∧tk ) + ∑ (Z t∧tk+1 − Z t∧tk ) 2→ Z 2 0 + 2∫ t0Z s dZ s + A t .

July 8, 2006 43En utilisant ce vocabulaire cher aux probabilistes, nous avons établi que le crochet du Brownien estt et que le crochet de l’intégrale stochastique (M t =∫ t0θ s dB s ) est∫ t0θ 2 sds.Si M et N sont deux martingales locales continues, on définit leur crochet par< M, N > t = 1 2 (< M + N, M + N > t − < M, M > t − < N, N > t ) .C’est l’unique processus à variation finie tel que le processus MN− < M, N > est une martingalelocale. Le crochet de deux intégrales stochastiques X t = x +< X, Y > t =∫ t0H s K s ds.∫ t0H s dB s , Y t = y +∫ t0K s dB sProposition 3.3.1 Le crochet de deux martingales continues M et N est égal à la variation quadratiquede ces processusn∑< M, N > t = lim (M ti+1 − M ti ) (N ti+1 − N ti )i=1Il en résulte que si P et Q sont équivalentes, le crochet de M sous P et sous Q sont égaux. On ditque deux martingales continues sont orthogonales si leur crochet est nul, ou si leur produit est unemartingale.Si M est une martingale locale continue, on a équivalence entre E〈M〉 t < ∞ et (M s , s ≤ t) est unemartingale L 2 bornée.On étend la définition du crochet aux processus d’Itô: sidX i (t) = b i (t)dt + σ i (t)dB t , i = 1, 2sont deux processus d’Itô, leur crochet est par définition le crochet de leur partie martingale. Cela tientà la propriété 3.3.1.Nous en déduisons une nouvelle forme de la définition de Browniens corrélés: deux Browniens sontcorrélés si leur crochet est ρt. On définit le crochet du processus d’Itô X comme étant le crochet de sapartie martingale. Le crochet de X est A t = 〈X〉 t =en disant que c’est une martingale continue d’espérance nulle et de crochet t.3.4 Lemme d’Itô∫ t0estσ 2 sds. On caractérise le mouvement BrownienDans ce qui suit, X est un processus d’Itô de décomposition dX t = b t dt + σ t dB t . Nous renvoyons àRevuz-Yor pour la démonstration basée sur la formule de Taylor et la propriété 3.3.1 du crochet.3.4.1 Première formeThéorème 3.4.1 Soit f une fonction de IR dans IR, de classe C 2 à dérivées bornées. AlorsIdée de la preuvef(X t ) = f(X 0 ) +∫ t0f ′ (X s )dX s + 1 2∫ t0f ′′ (X s )σ 2 sds.f(X t ) = f(X 0 ) + ∑ f(X tk+1 ) − f(X tk )f(X tk+1 ) − f(X tk ) = f ′ (X tk )(X tk+1 − X tk ) + 1 2 f ′′ (X tk (X tk+1 − X tk ) 2 + o((X tk+1 − X tk ))et on passe à la limite.Sous forme condenséedf(X t ) = f ′ (X t )dX t + 1 2 f ′′ (X t )σ 2 t dt,

44 Intégrale stochastiqueou encoredf(X t ) = f ′ (X t )b t dt + 1 2 f ′′ (X t ) σ 2 t dt + f ′ (X t )σ t dB t ,et en utilisant le crochetdf(X t ) = f ′ (X t )b t dt + 1 2 f ′′ (X t ) d〈X〉 t + f ′ (X t )σ t dB t .La condition de bornitude des dérivées n’est exigée que pour l’existence des intégrales et pour lapropriété de martingale de l’intégrale stochastique.La formule est facile à mémoriser en notant sa ressemblance avec la formule de Taylor, sous la formeet la règle de multiplicationdf(X t ) = f ′ (X t )dX t + 1 2 f ′′ (X t )dX t · dX t ,dt · dt = 0, dt · dB t = 0, dB t · dB t = dtApplications: 1.) Calcul de E(f(X t )) et de E(f(X t ) |F s ) (si f ′ et σ sont bornés)( ∫ )tE(f(X t )) = E(f(X 0 )) + E0 [f ′ (X s )b s + 1 2 f ′′ (X s )σs]ds2( ∫ )t= E(f(X 0 )) +0 E[f ′ (X s )b s + 1 2 f ′′ (X s )σs]ds2 .On retrouve, pour X t = B t , les résultats de la proposition 4, chapitre 2.On obtient également( ∫ )tE(f(X t ) |F s ) = f(X s ) + Es [f ′ (X u )b(u) + 1 2 f ′′ (X u )σu]du 2 |F s= f(X s ) + ∫ ts E[f ′ (X u )b(u) + 1 2 f ′′ (X u )σu|F 2 s ]du.On prendra garde à ne pas intervertir intégrale et conditionnement pour des intégrales stochastiques.2.) Calcul de ∫ t0 B sdB s = 1 2 (B2 t − t).3.) Calcul de d(exp X t ) = (expX t )(dX t + 1 2 σ2 t dt).4.) Une solution de dS t = S t (µdt+σdW t ) est S t = xe X tavec X t = (µ− 1 2 σ2 )t+σW t . On peut montrerque c’est la seule solution.(Voir Sect. ??)).Proposition 3.4.1 Supposons queX t = X 0 +∫ t0b(X s ) ds +∫ t0σ(X s ) dB soù b et σ sont des fonctions de IR dans IR bornées. Si f est une fonction de IR dans IR de classe C 2 àdérivées bornées et vérifiantle processus f(X) est une martingale.∀x, b(x)f ′ (x) + 1 2 σ2 (x)f ′′ (x) = 0,Démonstration: Cela résulte directement de la formule d’Itô.△Les fonctions f telles que 3.1 est vérifiée sont les fonctions d’échelle. Elles sont déterminées à deuxconstantes près par les fonctions b et σ par∫ x( ∫ u)f(x) = exp −2 b(v)/σ 2 (v) dv du .cOn peut affaiblir la condition sur la bornitude des dérivées qui n’est utilisée que pour assurerl’existence des intégrales et la propriété de martingale.L’opérateur L qui à f ∈ C 2 fait correspondre Lf(x) = b(x)f ′ (x) + 1 2 σ2 (x)f ′′ (x) est le générateurinfinitésimal de la diffusion X ou aussi le Dynkin. Il vérifiecE x (f(X t )) − f(x)Lf(x) = lim.t→0 t

July 8, 2006 453.4.2 Fonction dépendant du tempsThéorème 3.4.2 Soit f une fonction définie sur IR + × IR de classe C 1 par rapport à t, de classe C 2par rapport à x, à dérivées bornées, on aCe que l’on notef(t, X t ) = f(0, X 0 ) +Applications:1.) Soit X un processus tel que∫ t0f ′ t(s, X s )ds +∫ t0f ′ x(s, X s )dX s + 1 2∫ tdf(t, X t ) = [f ′ t(t, X t ) + 1 2 f ′′xx(t, X t )σ 2 t ]dt + f ′ x(t, X t )dX t= f ′ t(t, X t )dt + f ′ x(t, X t )dX t + 1 2 f ′′xx(t, X t )d〈X〉 tX t = X 0 +∫ t0b(s, X s ) ds +∫ t0σ(s, X s ) dB s .Si f est une fonction de IR + × IR dans IR telle que σf ′ x est bornée etalors (f(t, X t ), t ≥ 0) est une martingale.L’opérateur L défini sur les fonctions de C 1,2 parf ′ t(t, x) + b(t, x)f ′ x(t, x) + 1 2 σ2 (t, x)f ′′xx(t, x) = 0L(f)(t, x) = b(t, x)f ′ x(t, x) + 1 2 σ2 (t, x)f ′′xx(t, x)est le générateur infinitésimal de la diffusion.Si f est une fonction de IR + × IR dans IR telle que σf ′ x est bornée et0f ′′xx(s, X s )σ 2 sds.f ′ t(t, x) + b(t, x)f ′ x(t, x) + 1 2 σ2 (t, x)f ′′xx(t, x) = rf(t, x) (3.1)alors (e −rt f(t, X t ), t ≥ 0) est une martingale. Dans ce cas, e −rt f(t, X t ) = E(e −rT f(T, X T )|F t ). Si fvérifie f(T, x) = h(x) et est solution de (3.1), on a e −rt f(t, X t ) = E(e −rT h(X T )|F t ).2.) Soit X un processus (Brownien géométrique) tel quedX t = X t (rdt + σdB t ),où r et σ sont des constantes. Alors le processus (e −rt X t , t ≥ 0) est une martingale. Il suffit de remarquerque d(e −rt X t ) = e −rt X t σdB t et de vérifier les conditions d’intégrabilité.La solution de dX t = X t (rdt + σdB t ), X 0 = x où r et σ sont des constantes est X t = x exp(rt + σB t −12 σ2 t). On dit que X est un Brownien géométrique, ou processus log-normal.3 .) Soit X un processus dX t = X t (b(t)dt + σ(t)dB t ), où b et σ sont(des fonctions (X est dit Brownien∫ t)géométrique à coefficients déterministes). Alors le processus (exp − b(s)ds X t , t ≥ 0) est unemartingale.03.4.3 Cas multidimensionnelThéorème 3.4.3 Soit (X i , i = 1, 2) deux processus d’Itô tels quedX i (t) = b i (t)dt + σ i (t)dB t .Soit f une fonction de IR 2 dans IR de classe C 2 . On adf(X 1 (t), X 2 (t)) = f ′ 1(X 1 (t), X 2 (t)) dX 1 (t) + f ′ 2(X 1 (t), X 2 (t)) dX 2 (t)+ 1 (f′′211σ1(t) 2 + 2f 12σ ′′1 (t)σ 2 (t) + f 22σ ′′2(t) 2 ) (X 1 (t), X 2 (t)) dtoù f i ′ désigne la dérivée par rapport à x i, i = 1, 2 et f ij ′′ la dérivée seconde par rapport à x i, x j .

46 Intégrale stochastiqueSous forme condensée, on écritdf(X 1 , X 2 )(t) =2∑f i(X ′ 1 (t), X 2 (t)) dX i (t) + 1 ∑f ′′2ij(X 1 (t), X 2 (t))σ i σ j dti=1Intégration par parties, crochetLa formule d’Itô montre que d[X 1 X 2 ](t) = X 1 (t) dX 2 (t) + X 2 (t) dX 1 (t) + σ 1 (t)σ 2 (t) dt.Cette formule est connue sous le nom d’intégration par parties. La quantité σ 1 (t)σ 2 (t) correspond aucrochet de X 1 , X 2 , noté < X 1 , X 2 > et défini comme le processus à variation finie < X 1 , X 2 > t =∫ t0σ 1 (s)σ 2 (s)ds.3.4.4 Cas du Brownien multidimensionnel.Théorème 3.4.4 Soit (X i , i = 1, 2) deux processus d’Itô tels quei,jdX i (t) = b i (t) dt + σ i (t)dB i (t)où B 1 et B 2 sont deux Browniens indépendants. On adf(X 1 (t), X 2 (t)) = f ′ 1(X 1 (t), X 2 (t)) dX 1 (t) + f ′ 2(X 1 (t), X 2 (t)) dX 2 (t)+ 1 2[f′′11(X 1 (t), X 2 (t))σ 2 1(t) + f ′′22(X 1 (t), X 2 (t))σ 2 2(t)] dt.Cas général : Soit (X t , t ≥ 0) un processus d’Itô multidimensionnel de composantes (X i (t), i ≤ n), telque dX t = u t dt + v t dB t , soit⎡⎢⎣dX 1dX 2. . .dX n⎤⎡⎥⎦ = ⎢⎣u 1u 2. . .u n⎤⎡⎥⎦ dt + ⎢⎣⎤v 1,1 v 1,2 . . . . . . v 1,pv 2,1 v 2,2 . . . . . . v 2,p⎥. . . . . . . . . . . . . . . ⎦v p,1 v p,2 . . . . . . v n,pSoit f une fonction définie sur IR + × R n de classe C 1,2 . Alorsdf(t, X t ) = f ′ t(t, X t )dt +où l’on utilise les conventions d’écritureCas corrélé:n∑f i(t, ′ X t )dX i (t) + 1 2i=1n∑i,j=1dB i dB j = δ ij dt, dB i dt = 0, dtdt = 0Théorème 3.4.5 Soit (X i , i = 1, 2) deux processus d’Itô tels quedX i (t) = b i (t) dt + σ i (t)dB i (t)où B 1 et B 2 sont deux Browniens de corrélation ρ. On a+ 1 2⎡⎢⎣dB 1dB 2. . .dB p⎤⎥⎦f ′′ij(t, X t )dX i (t) dX j (t)df(X 1 (t), X 2 (t)) = f ′ 1(X 1 (t), X 2 (t)) dX 1 (t) + f ′ 2(X 1 (t), X 2 (t)) dX 2 (t)[f′′11(X 1 (t), X 2 (t))σ 2 1(t) + 2f ′′12(X 1 (t), X 2 (t))ρσ 1 (t)σ 2 (t) + f ′′22(X 1 (t), X 2 (t))σ 2 2(t)] dt.On doit modifier la table de multiplication en écrivant dB 1 dB 2 = ρdt. On remarque que si B 1 et B 2sont indépendants, ils sont non corrélés (et réciproquement) ce qui est heureux pour la terminologie,mais pas tout à fait trivial (voir ce qui suit).

July 8, 2006 47ApplicationRevenons au Browniens corrélés. On note B i les browniens corrélés et B 3 le brownien construit aumoyen de B 1 et B 2 par1B 3 = √ (B 2 − ρB 1 ) .1 − ρ2Soit M i (λ, t) = exp(λB i (t) − 1 2 λ2 t). Ces processus sont des martingales pour toute valeur de λet dM i (t) = λM i (t)dB i (t). D’où, en utilisant que le crochet de B 3 et B 1 est nul (par linéarité)d[M 1 M 3 ](t) = M 1 (t)dM 3 (t) + M 3 (t)dM 1 (t). Ce produit est une martingale, ce qui implique, aprèsun petit calcul queE (exp (λB 1 (t) + µB 3 (t))) = E (exp [λB 1 (t)]) E (exp (µB 3 (t)])d’où l’indépendance souhaitée de B 1 (t) et B 3 (t). Pour obtenir l’indépendance des processus, utiliserM i (t) = exp(∫ t0λ(s)dB i (s) − 1 2∫ t0λ 2 (s)ds).3.4.5 Application à la formule de Black et ScholesAPT évaluationOn suppose avoir un marché financier où il y a :1) un actif sans risque dont le prix S 0 vérifie dS 0 (t) = S 0 (t)rdt où r est une constante2) un actif risqué dont le prix S(t) vérifiedS(t) = S(t)(bdt + σdB t ),où B est un mouvement Brownien, et b, σ des constantes. On étudie un actif contingent de payoff h(S T ).Le cas d’un call Européen correspond à h(x) = (x − K) + .Le prix d’un call de maturité T et de prix d’exercice K est une fonction C(t, S(t)).On se constitue un portefeuille composé d’un call et de β t parts de l’actif risqué. La valeur de ceportefeuille est V t = C(t, S t ) + β t S t . On suppose que dV t = dC t + β t dS t (Cette condition est unecondition d’autofinancement et ne doit être en aucun cas confondue avec une formule d’Itô).En utilisant la formule d’Itô, on a( ∂CdV t =∂x S tb + ∂C∂t + 1 ∂ 2 C2 ∂2x 2 σ2 St2)( )∂Cdt + β t bS t dt +∂x σS t + β t σS t dB t .Le portefeuille est sans risque si ∂C∂x σS t +β t σS t = 0, soit β t = − ∂C∂x et de rendement r si dV t = rV t dtsoit dC t + β t dS t = r(C t + β t S t )dt d’où, en remplaçant β par sa valeur∂CrS t∂x (t, S t) + ∂C∂t + σ2 St2 1 ∂ 2 C2 ∂x 2 (t, S t) − rC(t, S t ) = 0avec C(T, S T ) = h(S T ). Soit, en notant que S t est une v.a. qui admet une densité strictement positivesur IR + (et qui prend toutes les valeurs de IR + )rx ∂C ∂C(t, x) +∂x ∂t (t, x) + σ2 x 2 1 ∂ 2 C2 ∂ 2 (t, x) − rC(t, x) = 0 , ∀w ≥ 0, ∀t ≥ 0xavec C(T, x) = h(x).L’équation aux dérivées partielles peut être résolue par des méthodes classiques d’EDP.Portefeuille dupliquantOn reprend l’étude de la valorisation d’un actif contingent de payoff h(S T ) sur un sous jacent dedynamiquedS t = S t (b dt + σdW t ) .On note C(t, S t ) la valeur de l’actif contingent à la date t. On constitue un portefeuille constitué de α tparts de l’actif sans risque et γ t parts de l’actif risqué. Sa valeur à l’instant t est V t := α t S 0 t + γ t S t . Onsuppose que dV t = α t dS 0 t + γ t dS t (hypothèse d’autofinancement).

48 Intégrale stochastiqueLe portefeuille duplique l’actif contingent si α t St 0 + γ t S t = C(t, S t ), soit en identifiant les termes endt et dW t dans dV t et dC t : (on utilise l’unicité de la décomposition d’un processus d’Itô en processus àvariation finie et martingale) : γ t S t σ = ∂C∂x (t, S t) S t σ, soit γ t = ∂C∂x (t, S t) etα t rSt 0 + bγ t S t = ∂C∂x (t, S t) S t b + ∂C∂t (t, S t) + 1 ∂ 2 C2 ∂x 2 (t, S t) σ 2 St2= α t rSt 0 ∂C+ S t∂x (t, S t)En utilisant α t S 0 t + γ t S t = C(t, S t ) on obtient α t S 0 t = C(t, S t ) − S t∂C∂x (t, S t), d’oùet C(T, S T ) = h(S T ).∂C∂x (t, S t) S t r + ∂C∂t + 1 ∂ 2 C2 ∂x 2 (t, S t) σ 2 St 2 − rC(t, S t ) = 0Le processus S prend ses valeurs dans IR + , résoudre l’équation précédente pour un call européenrevient à étudieravecxr ∂C ∂C(t, x) +∂x ∂t (t, x) + σ2 x 2 1 2On peut résoudre cette équation, et on trouve1d 1 =σ √ T − t∂ 2 C(t, x) − rC(t, x)∂x2 = 0 , x ≥ 0 (3.2)C(T, x) = (x − K) + .C(t, x) = xN (d 1 ) − Ke −r(T −t) N (d 2 )( (lnx))Ke −r(T −t)+ 1 2 σ√ T − t, d 2 = d 1 − σ √ T − tla quantité C x (t, x) = N (d 1 ) représente la couverture (le nombre de parts d’actif sous jacent utiliséespour répliquer l’option)Remarque 3.4.1 En interprétant l’équation (3.2), (qui correspond à chercher f telle que e −rt f(t, X t )est une martingale) on voit que C(t, x) = E(e −r(T −t) (Y T − K) + |F t ) avec dY t = Y t (rdt + σdB t ). Cetteremarque est fondamentale en finance.

Chapter 4EQUATIONS DIFFERENTIELLESSTOCHASTIQUES4.1 Equations différentielles stochastiques4.1.1 DéfinitionUne équation différentielle stochastique est une équation de la formeX t = x +∫ tb(s, X s ) ds +∫ t00σ(s, X s ) dB s (4.1)ou sous forme condensée {dXt = b(t, X t )dt + σ(t, X t ) dB t ,X 0 = xL’inconnue est le processus X. Le problème est, comme pour une équation différentielle ordinaire, demontrer que sous certaines conditions sur les coefficients, l’équation différentielle a une unique solution.Il est utile de préciser les données.Définition 4.1.1 Soit b et σ deux fonctions de IR + × IR n à valeurs réelles données. On se donneégalement un espace (Ω, F, P ) muni d’une filtration (F t ) et un (F t ) mouvement brownien B sur cetespace. Une solution de (4.1) est un processus X continu (F t )-adapté tel que les intégrales ∫ t0 b(s, X s) dset ∫ t0 σ(s, X s) dB s ont un sens et l’égalitéX t = x +est satisfaite pour tout t, P p.s. ( .4.1.2 Théorème d’existence∫ t0b(s, X s ) ds +∫ t0σ(s, X s ) dB sThéorème 4.1.1 On suppose quea- les fonctions b et σ sont continues,b- il existe K tel que pour tout t ∈ [0, T ], x ∈ IR, y ∈ IRi) |b(t, x) − b(t, y)| + |σ(t, x) − σ(t, y)| ≤ K |x − y|ii) |b(t, x)| 2 + |σ(t, x)| 2 ≤ K 2 (1 + |x| 2 )c- La condition initiale X 0 est indépendante de (B t , t ≥ 0) et est de carré intégrable,alors il existe une unique solution de (4.1) à trajectoires continues pout t ≤ T . De plus cette solutionvérifieE( sup |X t | 2 ) < ∞.0≤t≤TLa démonstration repose sur une méthode de pont fixe. A un processus U on associe le processusΦ(U) par Φ(U) t = x+ ∫ t0 b(s, U s)ds+ ∫ t0 σ(s, U s)dB s . Sous les hypothèses du théorème 4.1.1, la solution49

50 EDSest adaptée à la filtration naturelle du MB. On parle alors de solution forte. L’unicité se traduit par :si X et Y sont deux solutions, P p.s.∀t ∈ [0, T ] X t = Y t .Ce théorème se généralise au cas de processus à valeurs dans IR n . Dans la pratique, ce théorème estparfois insuffisant.On peut énoncer un théorème sur IR:Théorème 4.1.2 Soit ρ une fonction borélienne de ]0, ∞[ dans lui-même telle que l’intégrale de (ρ) −1au voisinage de 0 diverge (par exemple ρ(x) = √ x). Si |σ(s, x) − σ(s, y)| 2 ≤ ρ(|x − y|) et b estlipschitzienne, soit |b(s, x) − b(s, y)| ≤ K t |x − y| pour tout x, y ∈ IR et s ≤ t, il existe une uniquesolution de (4.1).On trouvera dans Revuz-Yor (Ch IX, paragraphe 3) d’autres résultats.4.1.3 Propriété de MarkovOn note (Xst,x , s ≥ t) la solution de (4.1) partant de x à l’instant t, soitX t,xs = x +∫ stb(u, X t,xu ) du +Sous les conditions du théorème 4.1.1, on peut montrer queX 0,xs∫ s= X t,X0,x ts , s ≥ t.tσ(u, X t,xu ) dB u .ce qui montre que la solution de (4.1) est un processus de Markov par rapport à la filtration F t :E(f(X s )|F t ) = E(f(X s )|X t ) = Φ(s, t, X t )où Φ(s, t, x) = E(f(Xst,x )) , s ≥ t. Ce résultat est extrémement important et permet de calculer facilementdes espérances conditionnelles. En particulier siX t,xs = x +∫ son obtient un processus de Markov homogènetb(X t,xu ) du +∫ stσ(Xut,x ) dB uE(f(X s )|F t ) = E(f(X s )|X t ) = Φ(s, t, X t ) = Ψ(s − t, X t )où Φ(s, t, x) = E(f(Xs t,x )) = E(f(Xs−t)) 0,x et Ψ(u, x) = E(f(Xu 0,x )).Attention: un couple (X, Y ) peut être Markovien sans que ses composantes le soient.4.1.4 Théorème de comparaisonThéorème 4.1.3 Théorème de Comparaison. SoitdX i (t) = b i (X i (t))dt + σ(X i (t))dW t , i = 1, 2où b i est Lipschitz et [σ(x) − σ(y)] 2 ≤ k|x − y|. Supposons que X 1 (0) ≥ X 2 (0) et b 1 (x) ≥ b 2 (x). AlorsX 1 (t) ≥ X 2 (t)(Voir [RY] chap. 9, par. 3 pour une démonstration).4.1.5 Exemple : Martingale exponentielleProposition 4.1.1 Soit θ ∈ Λ et Z 0 une constante. La solution de dZ t = θ t Z t dB t estSi de plus E(exp[ 1 2∫ T0Z t = Z 0 exp[∫ t0θ s dB s − 1 2∫ t0θ 2 sds]θ 2 s ds]) < ∞, le processus (Z t , t ≤ T ) est une martingale d’espérance Z 0 .

July 8, 2006 51Démonstration: Par définition, Z est une martingale locale. On vérifie que Z t = Z 0 exp[ ∫ t0 θ sdB s −∫1 t2 0 θ2 sds] est solution de l’équation proposée en utilisant la formule d’Itô. En notant U t := ∫ t0 θ sdB s −∫ t0 θ2 sds, on a dU t = θ t dB t − 1 2 θ2 t dt, d’où dZ t = (exp U t )(dU t + 1 2 θ2 t dt) = θ t Z t dB t .△12Le processus Z, noté E(θB) t est appelé l’exponentielle de Doléans-Dade de θB. C’est unemartingale locale positive si Z 0 > 0. Il est plus délicat de vérifier que c’est une martingale. La∫ Tcondition E(exp[ 1 θs 2 ds]) < ∞ est la condition de Novikov. Sous cette condition, E(Z T ) = Z 0 , et2 0(Z t , t ≤ T ) est une martingale. Sinon, c’est une martingale locale positive, donc une surmartingale, etE(Z t ) ≤ Z 0 . On ne connait pas de conditions “plus faciles” à vérifier que la condition de Novikov, saufdans le cas suivant.Lemme 4.1.1 Soit f telle que |f(t, x) − f(t, y)| ≤ C|x − y| et sup |f(s, 0)| ≤ C. Alors,est une martingale.∫ t0f(s, B s )dB s − 1 2∫ t0f(s, B s ) 2 ds4.2 Equations aux dérivées partiellesOn se donne deux fonctions b et σ de [0, T ] × IR dans IR, vérifiant les hypothèses du théorème 4.1.1concernant l’existence de solution d’EDS. Soit A l’opérateur défini sur les fonctions de C 1,2 parSoit (X x,tuAf(t, x) := f ′ t(t, x) + f ′ x(t, x)b(t, x) + 1 2 f ′′xx(t, x)σ 2 (t, x)., u ≥ t) le processus d’Itô défini parX x,tu= X x,tt +avec une condition initiale en t: X x,ttgénérateur infinitésimal de X.∫ utb(s, X x,ts ) ds +∫ utσ(s, X x,ts ) dB s , u ≥ t (4.2)= x. On remarque que Af(t, x) = f ′ t(t, x) + Lf(t, x) où L est le4.2.1 Problème paraboliqueOn cherche les solutions du problème (parabolique) suivant, avec une “donnée terminale”, c’est-à-direune fonction g de IR dans IR qui va préciser la valeur de la solution de l’équation aux dérivées partiellesen T . {Af(t, x) = 0, ∀x ∈ IR, ∀t ∈ [0, T ](4.3)f(T, x) = g(x) ∀x ∈ IR.Si f est une solution du problème parabolique (4.3), et X une solution de (4.2), la formule d’Itô conduitàen particulier en T , on af(T, X x,tTf(u, X x,tu ) = f(t, x) +∫ u∫ T) = g(Xx,t)= f(t, x) +Ttf x(s, ′ Xsx,t )σ(s, Xs x,t )dB s ,tf ′ x(s, X x,ts)σ(s, X x,t ) dB set si l’intégrale est une martingale (conditions d’intégrabilité sur f ′ x et σ) on en déduit f(t, x) =E(g(X x,tT )).Théorème 4.2.1 Sous des conditions de régularité, la solution du problème paraboliqueAf(t, x) = 0, ∀x ∈ IR, ∀t ∈ [0, T ]f(T, x) = g(x) ∀x ∈ IRs

52 EDSest donnée par f(t, x) = E(g(X x,tT)), où Xx,t est le processus d’Itô défini parX x,tu= X x,tt +∫ uavec une condition initiale en t: X x,tt = x.tb(s, X x,ts ) ds +∫ utσ(s, Xsx,t ) dB s , u ≥ tOn écrit souvent ce résultat sous la forme équivalente suivante f(t, x) = E x,t (g(X T )), où X est leprocessus d’Itô défini pardX s = b(s, X s ) ds + σ(s, X s ) dB sl’espérance étant prise sous la probabilité P x,t qui est telle que processus X prend la valeur x à l’instantt.4.2.2 GénéralisationSoit α une constante positive. On cherche les solutions du problème (parabolique) suivantAf(t, x) = αf(t, x), ∀x ∈ IR, ∀t ∈ [0, T ] (4.4)f(T, x) = g(x). (4.5)Si f est solution de (4.4), et X une solution de (4.2), la formule d’Itô entre t et T conduit à∫ Tf(T, X x,tT) exp(−αT ) = f(t, x) exp(−αt) + tf x(s, ′ Xsx,t )[exp −αs]σ(s, Xs x,t )dB s ,et si l’intégrale est une martingale (conditions d’intégrabilité sur f x ′ et σ ) on en déduit f(t, x) =E[exp(−α(T − t))g(X x,tT)]. En exploitant le caractère Markovien, on a aussi f(t, x) = E(exp(−α(T −t))g(X T ) |X t = x) oùX s = X 0 +∫ sThéorème 4.2.2 La solution du problème0b(u, X u ) du +∫ s0σ(u, X u ) dB uαf(t, x) = f ′ t(t, x) + f ′ x(t, x)b(t, x) + 1 2 f ′′xx(t, x)σ 2 (t, x)f(T, x) = g(x)est donnée parf(t, x) = E x,t [ exp(−α(T − t))g(X T )].4.2.3 Formule de Black et ScholesOn a vu que l’évaluation d’une option Européene revenait à résoudre l’EDPet C(T, x) = (x − K) + .xr ∂C ∂C(t, x) +∂x ∂t (t, x) + σ2 x 2 1 2∂ 2 C∂ 2 (t, x) − rC(t, x) = 0 , x ≥ 0xLe processus S prend ses valeurs dans IR + , résoudre l’équation précédente pour un call européenrevient à étudieret C(T, x) = (x − K) + .xr ∂C ∂C(t, x) +∂x ∂t (t, x) + σ2 x 2 1 2∂ 2 C∂ 2 (t, x) − rC(t, x) = 0 , x ≥ 0xGrâce aux résultats précédents sur les équations aux dérivées partielles, on voit queC(t, x) = E(e −r(T −t) (S x,tT − K)+ )

July 8, 2006 53= xeσ(T −t)G+(r−σ2 /2)(T −t) où G est une gaussi-où dSux,t = Sux,t (rdu + σdB u ), et S x,tt = x.Le calcul de l’espérance se fait en remarquant que S x,tTenne. Explicitons le calcul pour t = 0E(e −rT (S x T − K) + ) = E(e −rT (S x T 1 ST ≥K − Ke −rT P (S T ≥ K))= e −rT xE(e σ√ T G+(r−σ 2 /2)(T ) 1 σ√T G+(r−σ 2 /2)(T )≥ln(K/x) )−Ke −rT P (σ √ T G + (r − σ 2 /2)(T ) ≥ ln(K/x))) .Il suffit alors d’utiliser des calculs portant sur des variables gaussiennes. Nous verrons plus loin que lecalcul du premier terme se déduit du second.Remarque: Ces calculs permettent de calculer le ’Delta’ de l’option et de montrer facilement que∂C∂x = N(d 1). Plaçons nous dans le cas t = 0. La formule établie plus haut s’écritC(0, x) = E Q (e −rT (xM T − K) + ) (4.6)où S t = xM t . En dérivant sous le signe espérance par rapport à x, on obtient4.2.4 Formule de Feynman-Kac∂C∂x (0, x) = E Q(e −rT M T 1 xMT ≥K) = N (d 1 )Théorème 4.2.3 Soit k : IR → IR + une fonction continue et g : IR → IR continue telle que:∫ ∞−∞Alors la fonction f définie par:|g(x + y)|e −|y|√ 2α dy < ∞ ∀x ∈ IR, α > 0f(x) = E x[∫ ∞est l’unique solution C 2 bornée de:0(dt g(B t ) exp −αt −∫ t0)]k(B s )ds(4.7)(α + k)f = 1 2 f ′′ + g (4.8)Démonstration: Dans (4.7), E x signifie que le Brownien est issu de x. Nous ne donnons ici qu’uneidée de la démonstration. Considérons le processus à variation bornée (Z t : t ≥ 0) défini par:Le lemme d’Itô appliqué au processusZ t = αt +∫ tU tdef= f(B t )e −Z t+0k(B s )ds∫ t0g(B s )e −Z sdsoù f est une fonction de classe C 2 montre que( )dU t = f ′ (B t )e −Z t 1dB t +2 f ′′ (B t ) − (α + k(B s ))f(B t ) + g(B t ) e −Z tdtLe processus U est une martingale si sa partie à variation finie est nulle i.e.:12 f ′′ (x) − (α + k(x))f(x) + g(x) = 0Il reste à remarquer queu(0, B 0 ) = u(0, x) = f(x)et à vérifier que E(f(B t )e −Z t) → 0.Les conditions de positivité sur α et k et de bornitude sur g garantissant l’existence d’une solutioncontinue et bornée à l’équation différentielle.△La formule (4.7) nous donne en particulier la transformée de Laplace en temps de exp −et aussi celle de g(B t ) exp −λ∫ t0k(B s )ds, donc la loi du couple (B t ,∫ t0k(B s )ds).∫ t0k(B s )ds

54 EDSUne applicationPar application de la formule précédente à k(x) = β 1 x≥0 et g(x) = 1, on obtient que pour α > 0 etβ > 0, la fonction f définie par:[∫ ∞( ∫ t)]f(x) def= E x dt exp −αt − β 1 [0,∞) (B s )ds(4.9)00est solution de l’équation différentielle suivante:{αf(x) =12 f ′′ (x) − βf(x) + 1 x ≥ 0αf(x) = 1 2 f ′′ (x) + 1 x ≤ 0L’unique solution bornée et continue de cette EDO est donnée par:{Aef(x) =−x√2(α+β) + 1α+βx ≥ 0Be x√2α + 1 αx ≤ 0En imposant la continuité de f et f ′ en zéro, on trouve√ √ α + β − αA =(α + β) √ αSoit A + tdef=∫ t01 [0,∞[ (B s ) ds. Nous avons obtenuf(0) =∫ ∞0]dte −αt 1E 0[e −βA+ t = √α(α + β)En utilisant l’égalité∫ ∞on en déduit que la densité de A + tLa loi de A + tloi :0(∫ tdte −αt du0est donnée par:P (A + t ∈ du) =√e−βuπ u(t−u))=1√α(α + β)duπ √ u(t − u) 1 (u

Chapter 5EXEMPLES DE PROCESSUSD’ITOLa partie en Anglais est partie d’un chapitre d’un livre à paraitre chez Springer. Merci de me signalertout faute de frappe.5.1 Le brownien géométriqueOn considère l’équation différentielle stochastique suivantedX t = X t b t dt + X t σ t dB t , X 0 = x (5.1)où b et σ sont des processus adaptés bornés. Plaçons nous dans le cas de coefficients déterministes.Cette équation admet une solution unique (Voir théorème d’existence){∫ tx exp b(s)ds +0(il suffit d’appliquer la formule d’Itô).On écrit souvent (5.1) sous la forme∫ t0σ(s)dB s − 1 2dX tX t= b(t)dt + σ(t)dB t .La martingale M t = X t e −bt est solution de dM t = M t σdB t .Théorème 5.1.1 La solution de dX t = X t [bdt + σdB t ] s’écrit∫ t0}σ 2 (s)dsX t = X 0 exp{(b − 1 2 σ2 )t + σB t }ou encoreX t = X s exp{(b − 1 2 σ2 )(t − s) + σ(B t − B s )}Il est facile de vérifier que l’équation dX t = X t [bdt + σdB t ], X 0 = x a une unique solution. Soit Y uneseconde solution. Nous savons que X ne s’annule pas etd(1/X t ) = 1 X t[µdt − σdB t ]avec µ = −b + σ 2 . Nous pouvons définir Z t = Y t /X t . Ce processus vérifiedZ t = Z t [(µ + b − σ 2 )dt + (σ − σ)dB t = 0soit dZ t = 0, ce qui est une équation différentielle ordinaire, de solution Z t = Z 0 .55

56 Exemples5.2 Modèle de Cox-Ingersoll-RossPour modéliser des taux, Cox- Ingersoll-Ross étudient l’équation suivantedr t = k(θ − r t )dt + σ √ r t dB t (5.2)L’unique solution est un processus positif pour kθ ≥ 0 (utiliser le second théorème d’existence. VoirIkeda-Watanabe). ll n’est pas possible d’obtenir une formule explicite. Soit r x le processus solution de(5.2) avec r0 x = x. On peut montrer que, si T0x def= inf{t ≥ 0 : rt x = 0} et 2kθ ≥ σ 2 alors P (T0 x = ∞) = 1.Si 0 ≤ 2kθ < σ 2 et k > 0 alors P (T0 x < ∞) = 1 et si k < 0 on a P (T0 x < ∞) ∈]0, 1[ .Cependant, on peut calculer l’espérance de la v.a. r t au moyen de l’égalité E(r t ) = r 0 + k(θt −∫ t0 E(r s)ds), en admettant que l’intégrale stochastique est une martingale, ce qui est le cas. On calculesans difficultés supplémentaires l’espérance conditionnelle, en utilisant le caractère Markovien:Théorème 5.2.1 Soit r le processus vérifiantdr t = k(θ − r t )dt + σ √ r t dB t .L’espérance conditionnelle et la variance conditionnelle sont données parE(r t |F s ) = r s e −k(t−s) + θ(1 − e −k(t−s) ),Var(r t |F s ) = r sσ 2 (e −k(t−s) − e −2k(t−s) )kDémonstration: Par définition, on a pour s ≤ tr tet en appliquant la formule d’Itôr 2 t = r 2 s + 2k= r s + k∫ t= r 2 s + (2kθ + σ 2 )s∫ ts(θ − r u )du + σ(θ − r u )r u du + 2σ∫ tsr u du − 2k∫ ts∫ ts+ θσ2 (1 − e −k(t−s) ) 2.2k∫ ts√ru dB u ,∫ t(r u ) 3/2 dB u + σ 2 r u dur 2 udu + 2σ∫ tss(r u ) 3/2 dB u .En admettant que les intégrales stochastiques qui interviennent dans les égalités ci-dessus sont d’espérancenulle, on obtient, pour s = 0( ∫ t)E(r t ) = r 0 + k θt − E(r u )du ,etE(r 2 t ) = r 2 0 + (2kθ + σ 2 )∫ t00E(r u )du − 2k∫ t0E(r 2 u)du.Soit Φ(t) = E(r t ). En résolvant l’équation Φ(t) = r 0 +k(θt− ∫ tΦ(u)du) qui se transforme en l’équation0différentielle Φ ′ (t) = k(θ − Φ(t)) et Φ(0) = r 0 , on obtientE[r(t)] = θ + (r 0 − θ)e −kt .De la même façon, on introduit ψ(t) = E(r 2 t ) et en résolvant Ψ ′ (t) = (2kθ +σ 2 )Φ(t)−2kΨ(t), on calculeVar [r t ] = σ2k (1 − e−kt )[r 0 e −kt + θ 2 (1 − e−kt )] .L’espérance et la variance conditionnelle de r s’obtiennent en appliquant la propriété de Markov :E(r t |F s ) = θ + (r s − θ)e −k(t−s) = r s e −k(t−s) + θ(1 − e −k(t−s) ),Var(r t |F s ) = r sσ 2 (e −k(t−s) − e −2k(t−s) )k+ θρ2 (1 − e −k(t−s) ) 2.2k(On va utiliser les méthodes du chapitre précédent pour calculer E exp − ∫ )Trt u du |F t .△.

July 8, 2006 57Calcul du prix d’un zéro-couponProposition 5.2.1 SoitAlorsavecEdr t = a(b − r t )dt + σ √ r t dB t .(exp −∫ Ttr u du |F t)= G(t, r t )G(t, x) = Φ(T − t) exp[−xΨ(T − t)]2(e γs (− 1)Ψ(s) =(γ + a)(e γs − 1) + 2γ , Φ(s) = 2γe (γ+a) ) 2abs2 ρ 2(γ + a)(e γs , γ 2 = a 2 + 2ρ 2 .− 1) + 2γDémonstration: Soit r x,t la solution deet R t s = exp ( − ∫ st rx,t udr x,ts= a(b − rsx,t )ds + ρ√r x,tsdB s , r x,t = xdu ) . La propriété de Markov implique qu’il existe G telle que( ∫ s)exp − ru x,t du|F t = G(t, r t )tOn admet que G est de classe C 1,2 . On applique la formule d’Itô à G(s, rsx,t )Rs t qui est une martingale.Il vientG(T, r x,tT )Rt T = G(t, x) +∫ TtRs(−r t sx,t G + ∂G∂t+ a(b − rx,t s ) ∂Goù M t est une intégrale stochastique. Si l’on choisit G telle queet G(T, x) = 1, ∀x, il vient−xG + ∂G∂toù M est une martingale. En particulier, Eentre t et T , on obtientEt∂x + 1 2 σ2 rsx,t∂ 2 G∂x 2 )(s, r s)ds + M T − M t+ a(b − x)∂G∂x + 1 2 σ2 x ∂2 G∂x 2 = 0 (5.3)RT t = R t G(t, r t ) + M T − M − t,( ( ))(exp(−exp∫ Tt−∫ T0rux,t dur s ds) )= G(t, x)= E(R T ) = R 0 G(0, x). En se plaçantIl reste à calculer la solution de l’équation aux dérivées partielles (5.3). Un calcul assez long montreque 1G(t, x) = Φ(T − t) exp[−xΨ(T − t)]avecΨ(s) =2(e γs − 1)(γ + a)(e γs − 1) + 2γγ 2 = a 2 + 2σ 2 .Si l’on note B(t, T ) le prix du zero-coupon,avec σ(u, r) = σΨ(u) √ rΦ(s) =dB(t, T ) = B(t, T ) (r t dt + σ(T − t, r t )dB t )(2γe (γ+a) s 2) 2abρ 2(γ + a)(e γs − 1) + 2γ1 “Vous leur conseillerez donc de faire le calcul. Elles [les grandes personnes] adorent les chiffres: ça leur plaira. Maisne perdez pas votre temps à ce pensum. C’est inutile. Vous avez confiance en moi.” Le petit prince, A. de St Exupéry.Gallimard. 1946. p. 59.△

58 Exemples5.3 Processus de Bessel et carré de BesselPour des détails sur les processus de Bessel, voir Revuz-Yor. Bessel processes are intensively used inFinance, to model the dynamics of asset prices and/or of spot rate or as a computational tool. Anintensive study is made in Going and Yor [?]. Applications to finance can be found in Leblanc’s thesisand in Szatzschneider [?, ?].5.4 Definitions5.4.1 Euclidian norm of n-dimensional Brownian motionLet n > 1 and B = (B 1 , B 2 , . . . , B n ) be a n-dimensional Brownian motion and define a process X asX t = ||B t ||, i.e., Xt 2 = ∑ ni=1 (B i) 2 (t). Itô’s formula leads to dXt 2 = ∑ ni=1 2B i(t)dB i (t) + n dt.The process β defined asdβ t = 1 X tB t · dB t = 1||B t ||n∑B i (t)dB i (t), β 0 = 0,is a continuous martingale as a sum of martingales and the bracket of β is t (the process (β 2 t − t, t ≥ 0)is a martingale). Therefore, β is a Brownian motion and the equality d(X 2 t ) = 2B t · dB t + ndt can bewritten asd(X 2 t ) = 2X t dβ t + n dt .Using Itô’s formula again, we get that,i=1dX t = dβ t + n − 12where β is a Brownian motion, and, setting V t = X 2 tdtX tdV t = 2 √ V t dβ t + n dt .We shall say that X is a Bessel process (BES) with dimension n, and V is a squared Bessel process(BESQ) of dimension n.5.4.2 General definitionLet W be a real valued Brownian motion. Using the elementary inequality | √ x − √ y| ≤ √ |x − y|, theexistence theorem ?? proves that for every δ ≥ 0 and α ≥ 0 , the equationdZ t = δ dt + 2 √ |Z t | dW t , Z 0 = αadmits a unique strong solution. The solution is called the squared Bessel process of dimension δ, inshort BESQ δ . In particular, if α = 0 and δ = 0, the obvious solution Z ≡ 0 is the unique solution.From the comparison theorem 4.1.3, if 0 ≤ δ ≤ δ ′ and if ρ and ρ ′ are squared Bessel processes withdimension δ and δ ′ starting at the same point, then 0 ≤ ρ t ≤ ρ ′ t a.s.In the case δ > 2, the squared Bessel process BESQ δ starting at α will never reach 0 and is a transientprocess (ρ t goes to infinity as t goes to infinity). If 0 < δ < 2, the process ρ reaches 0 in finite timeand is reflected instantaneously. If δ = 0 the process remains at 0 as soon as it reaches it. Therefore, Zsatisfies Z t ≥ 0 for all t and we do not need the absolute value under the square root.Définition 5.4.1 (BESQ δ ) For every δ ≥ 0 and α ≥ 0, the unique strong solution to the equationρ t = α + δt + 2∫ t0√ρs dW sis called a squared Bessel process with dimension δ, starting at α and is denoted by BESQ δ .Définition 5.4.2 (BES δ ) Let ρ be a BESQ δ starting at α. The process R = √ ρ is called a Besselprocess of dimension δ, starting at a = √ α and is denoted BES δ .

July 8, 2006 59Définition 5.4.3 The number ν = (δ/2) − 1 (or δ = 2(ν + 1)) is called the index of the Bessel process,and a Bessel process with index ν is denoted as BES (ν) .We use the notation () for an index, whereas there are no bracket for the dimension. A Bessel ProcessR with index ν ≥ 0 (i.e. δ ≥ 2) is a diffusion process which takes values in IR + and has infinitesimalgeneratorL = 1 d 22 dx 2 + 2ν + 1 d2x dx = 1 d 22 dx 2 + δ − 1 d2x dx .Therefore, for any f ∈ C 2 c , the processes0f(R t ) −∫ t0Lf(R s )dsare martingales.(∫ t)For δ > 1, a BES δ dssatisfies E < ∞ and is the solution ofR sR t = α + W t + δ − 12∫ t01R sds . (5.4)In terms of the indexR t = α + W t + (ν + 1 2 ) ∫ t01R sds .For δ = 1, the BES 1 is R t = |B t | = β t + L t where B and β are Brownian motions and L is the localtime∫of Brownian motion B. For δ < 1, it is necessary to introduce the principal value of the integraltdsin this case, we haveR s0where the principal value is defined asR t = α + W t + δ − 1 ∫ t2 p.v. 1ds , (5.5)R s∫ t1p.v. ds =0 R s∫ ∞00x δ−2 (L x t − L 0 t )dxand the family of local times is defined via the occupation time formula∫ t0φ(R s )ds =∫ ∞0φ(x)L x t x δ−1 dx .In the same way, the infinitesimal generator of the Bessel squared process ρ ishence, for any f ∈ CK 2 , the processesf(ρare martingales.A = 2x d2dx 2 + δ ddxt ) −∫ t0Af(ρ s )dsA scale function for a BES (ν) is s(x) = x −2ν for ν < 0, s(x) = 2 ln x for ν = 0 and s(x) = −x −2ν forν > 0.A scale function for a BESQ (ν) is s(x) = ln x for ν = 0, s(x) = −x −ν for ν > 0 and s(x) = x −ν forν < 0.

60 Exemples5.4.3 Scaling propertiesProposition 5.4.1 If (ρ t , t ≥ 0) is a BESQ δ starting at x, then ( 1 c ρ ct, t ≥ 0) is a BESQ δ starting atx/c.Démonstration: Fromwe deduce that1c ρ ct = x c + 2 cSetting u t = 1 c ρ ct, we obtain∫ ct0ρ t = x + 2∫ t0√ρs dW s + δ t√ρs dW s + δ c ct = x c + 2 ∫ tu t = x ∫ tc + 2 √us d˜W s + δ t00( ρs) 1/2 1√cdW sc + δt .cwhere (˜W t = 1 √ cW tc , t ≥ 0) is a Brownian motion. △5.4.4 Absolute continuityOn the canonical space Ω = C(IR + , IR + ), we denote by R the canonical map R t (ω) = ω(t), by R t =σ(R s , s ≤ t) the canonical filtration and by P α(ν) (or Pα) δ the law of the Bessel Process of index ν (ofdimension δ), starting at α, i.e., such that P α(ν) (R 0 = α) = 1. The law of BESQ δ starting at x on thecanonical space C(IR + , IR + ) is denoted by Q δ x.Proposition 5.4.2 The following absolute continuity relation between a BES (ν) process (with ν ≥ 0)and a BES (0) holds( ) ν ∫ t)P x (ν) Rt| Rt = exp(− ν2 dsx2 0 Rs2 P x (0) | Rt , (5.6)where P (ν) is the law of a BES with index ν.Démonstration: Under P (0) , the canonical process R satisfiesdR t = dW t + 12R tdt .The process( ) ν ∫ t)RtL t = exp(− ν2 dsx2 0 Rs2is a non-negative P (0) -martingale. Indeed, Itô’s formula leads todL t = νL t ln(R t )dW t ,hence, the process L is a local martingale. Obviously, sup t≤T L t ≤ sup t≤T (R t /x) ν . The process R 2 is asquared Bessel process of dimension 2, and is equal in law to Bt 2 + ˜B y 2 where B and ˜B are independentBM, hence Rtk is integrable for k ≥ 2. The process R is a submartingale as a sum of a martingale andan increasing process, and Doob’s inequality (??) implies thatFrom Girsanov’s theorem, it follows thatis a Brownian motion under P (ν)x = L t P (0)x .E[(sup R t ) k ] ≤ C k E[RT k ].t≤TdR t − 12R tdt − d〈R, ν ln R〉 t = dR t − 1 R t(ν + 1 2 )dtRemarque 5.4.1 If the index is negative, then the absolute continuity relation holds before T 0 , thefirst hitting time of 0:( ) ν ∫ t)P x (ν)Rt| Rt∩{t

July 8, 2006 615.5 Properties5.5.1 Additivity of BESQAn important property, due to Shiga-Watanabe, is the additivity of the family BESQ. Let us denoteby P ∗ Q the convolution of P and Q.Proposition 5.5.1 Q δ x ∗ Q δ′y= Q δ+δ′x+yDémonstration: The proposition is just a way to tell that the sum of two independent BESQ is aBESQ. The proof is trivial in the case where δ and δ ′ are integers. In the general case, let X and Y betwo independent BESQ starting at x (resp. y) and with dimension δ (resp. δ ′ )and Z = X + Y . ThenZ t = x + y + (δ + δ ′ )t + 2∫ t0(√Xs dBs 1 + √ Y s dBs)2 .Let B 3 a third Brownian motion independent of (B 1 , B 2 ). The process W defined asW t =∫ t1 {Zs >0}0(√Xs dBs 1 + √ Y s dBs2 ) ∫ t√ + 1 {Zs =0}dBs3Zs 0is a Brownian motion (this is a martingale with increasing process equal to t) and5.5.2 Bessel functionsZ t = x + y + (δ + δ ′ )t + 2∫ t0√Zs dW s .The modified Bessel function I ν and K ν satisfy the Bessel differential equationx 2 u ′′ (x) + xu ′ (x) − (x 2 + ν 2 )u(x) = 0△and is given by :( ) ν z ∑ ∞z 2nI ν (z) =2 2 2n n! Γ(ν + n + 1)n=0K ν (z) = π(I −ν(z) − I ν (z))2 sin πz5.5.3 Transition densitiesLet E δ x denote the expectation under Q δ x. We get now easily the Laplace transform of ρ t , where ρ is aBESQ δ . In fact, Proposition 5.5.1 leads toE δ x[exp(−λρ t )] = E 1 x[exp(−λρ t )] [ E 1 0[exp(−λρ t )] ] δ−1and since under Q 1 x, the r.v. ρ t is the square of a Gaussian variable, it is easy to check that Ex[exp(−λρ 1 t )] =1√ exp(−λx ). Therefore1 + 2λt 1 + 2λtE δ x[exp(−λρ t )] =1λxexp(−(1 + 2λt)δ/2 1 + 2λt ) . (5.7)Bessel and Bessel squared processes are Markov processes and their transition densities are known.Inverting the Laplace transform (5.7) provides the transition density q (ν)t of a BESQ (ν) asq (ν)t (x, y) = 1 ( (y ν/2exp −2t x) x + y ) √ xyI ν ( ) (5.8)2t t

62 Exemplesand the Bessel process of index ν has a transition density p (ν)t defined byp (ν)t (x, y) = y ( ν yexp(−t x) x2 + y 2)I ν ( xy2t t ) , (5.9)where I ν is the usual modified Bessel function with index ν.For x = 0, the transition probability of the BESQ (ν) (resp. of a BES (ν) ) is(q (ν) (0, y) = (2t) −(ν+1) [Γ(ν + 1)] −1 y ν exp − y )2tp (ν) (0, y) = 2 −ν t −(ν+1) [Γ(ν + 1)] −1 y 2ν+1 exp(See the Appendix for definition of Bessel functions.)) (− y2.2tExercice 5.5.1 (from Azéma-Yor [?]). Let X be a BES 3 . Prove that 1/X is a local martingale, butnot a martingale. Establish thatwhere Φ(a) =∫ a0dye −y2 /2 .E(1/X 1 |R u ) = 1X u√2π Φ( X u1 − u ) ,5.5.4 Hitting times for Bessel processesFor a BES δ (See, e.g. Kent [?] or Pitman-Yor [?] prop. 2.3)E (ν)a (e −λT b) =E (ν)a (e −λT b) =( ) ν b K ν (a √ 2λ)a( ) ν b I ν (a √ 2λ)aK ν (b √ , for b < a (5.10)2λ)I ν (b √ , for a < b (5.11)2λ)Remark that, for a > b, P (ν)a(T b < ∞) = (b/a) 2ν . Indeed, P (ν)ais well known that K ν (z) ∼ c(ν)z −ν for z close to 0.In particular, for a 3-dimensional Bessel processand, more generallyFrom inversion of Laplace transform,E 3 0(exp − λ22 T b) = λbsinh λbEa(exp 3 − λ22 T b) = b sinh λaa sinh λbP 3 0 (T b ∈ dt) = π22b 2 (Σ n∈Z (−1) n+1 n 2 e −n2 π 2 t/(2b 2 ) ) dt(T b < ∞) = lim λ→0 E a(ν) (e −λT b), and itExercice 5.5.2 The power of a Bessel process is another Bessel process time-changedwhere 1 p + 1 q = 1, ν > −1 q .∫ tq[R (ν)t ] 1/q loi= R (νq) ds(0 [R s (ν) ] )2/p

July 8, 2006 635.5.5 Laplace transformsProposition 5.5.2∫ tE r[exp(−aR (ν)t 2 − µ22 0dsR 2 s] [( ) ν−γ) = E r(γ) Rtexp(−aRt )]2r(5.12)where γ 2 = µ 2 + ν 2 .Démonstration: Let (R t , t ≥ 0) be a BES (ν) starting from r > 0.From 1x α = 1 ∫ ∞dv exp(−vx)v α−1 , it follows thatΓ(α) 0[ ]E r(ν) 1(R t ) 2α = 1 ∫ ∞dv v α−1 E r (ν) [exp(−vRt 2 )] .Γ(α)Therefore, for any α ≥ 0, the equality0( ) 1E r(ν)(R t ) 2α = 1 ∫ 1/2tdv v α−1 (1 − 2tv) ν−α exp(−r 2 v)Γ(α) 0( )follows from the identity E r (ν) [exp(−vRt 2 1)] =(1 + 2vt) 1+ν exp −r2 vand a change of variable.1 + 2vtWe can also compute, using (5.6)∫ tE r[exp(−aR (ν)t 2 − µ2 ds2 0R 2 swhere γ = √ µ 2 + ν 2 . The quantity E (γ)rfirst part of this section[( ) 2α 1E r(γ) exp(−aRt )]2R ttherefore[expE (ν)r(−aR 2 t − µ22∫ t0==])1Γ(α)1Γ(α)= E (0)r= E (γ)r[(Rtr[(Rtr) νexp(−aR 2 t − µ2 + ν 2) ν−γexp(−aR 2 t )][( ) ν−γ Rtexp(−aRt )]2 can be computed with the help of ther∫ ∞0∫ ∞)]∫ds 1 ∞=Γ(α) r ν−γR 2 swhere α = 1 2 (γ − ν) = 1 2 (√ µ 2 + ν 2 − ν).0dvv α−1 E (γ)r [exp(−(v + a)R 2 t )]dv v α−1 (1 + 2(v + a)t) −(1+γ) exp02∫ t0dsR 2 s])()− r2 (v + a)1 + 2(v + a)t()dv v α−1 (1 + 2(v + a)t) −(1+γ) exp − r2 (v + a)1 + 2(v + a)tExercice 5.5.3 Prove, using the same method that[ ∫ 1t]E r(ν) exp(− µ2 ds) = E r(0)2R α t0R 2 s[ Rνtr ν Rtα[ Rν−γ−α ]= E (γ) tr ν−γexp(− µ2 + ν 22Proposition 5.5.3 For a BESQ δ , we have[exp(− 1 ∫ 1]2 b2 ρ s ds) = (cosh b) −δ/2 exp(− 1 )2 xb tanh b . (5.13)Q δ x0∫ t0dsR 2 s])

64 ExemplesDémonstration: For any locally bounded function F the process[∫ tdefZ t = exp F (s) √ ρ s dW s − 102∫ t0]F 2 (s)ρ s dsis a local martingale. The BESQ δ process ρ satisfies dρ t = 2 √ ρ t dW t + δ dt, therefore[ 1Z t = exp2∫ t0F (s)d(ρ s − δs) − 1 2If F is differentiable, an integration by parts leads to∫ t0F (s)dρ s = F (t)ρ t − F (0)ρ 0 −∫ t0∫ t0]F 2 (s)ρ s ds .ρ s dF (s)andZ t = exp[ 12 (F (t)ρ t − F (0)x − δ∫ t0F (s)ds) − 1 2∫ t0][F 2 (s)ρ s ds + ρ s dF (s)]Let us choose F = Φ′Φwhere Φ satisfies for a given bΦ ′′ = b 2 Φ, Φ(0) = 1, Φ ′ (1) = 0 .It is easy to check that Φ(t) = cosh(bt) − (tanh b) sinh(bt). Then,is a martingale and[ 1Z t = exp2 (F (t)ρ t − F (0)x − δ ln Φ(t)) − b2 2∫ t( [1 = E(Z 0 ) = E(Z 1 ) = E exp − 1 2 xΦ′ (0) − δ 2 ln Φ(1) − b2 20]ρ s ds∫ 10])R s ds .From Φ(1) = 1/ cosh b and Φ ′ (0) = −b tanh b we get the result.△Exercice 5.5.4 We can extend the previous result and prove that the Laplace transform of the process,i.e.[ (∫ t)]E exp duφ(u)r u0is known. More generally, let µ be a positive, diffuse Radon measure on IR + . The Sturm-Liouvilleequation Φ ′′ = µΦ has a unique solution Φ µ , which is positive, non-increasing on [0, ∞[ and such that∫ tdsΦ µ (0) = 1. Let Ψ µ (t) = Φ µ (t)Φ 2 (s) .01. Prove that Ψ is a solution of the Sturm-Liouville equation and that Ψ µ (0) = 0, Ψ ′ µ(0) = 1, andsatisfies the Wronskian relationW (Φ µ , Ψ µ ) = Φ µ Ψ ′ µ − Φ ′ µΨ µ = 1 .2. Prove that, for every t ≥ 0, one hasQ δ xQ δ x( (exp − 1 2( (exp − 1 2∫ t0∫ ∞0))X s dµ(s)))X s dµ(s)=( ())1x(Ψ′ µ (t) ) exp Φ ′ δ/2 2µ(0) − Φ′ µ(t)ψ µ(t)′( x)= (Φ µ (∞)) δ/2 exp2 Φ′ µ(0)

July 8, 2006 655.6 Cox-Ingersoll-Ross processes5.6.1 CIR processes and BESQThe Cox-Ingersoll-Ross (CIR) process is the solution ofChange of timedr t = k(θ − r t ) dt + σ √ r t dW t . (5.14)The change of time A(t) = σ 2 t/4 reduces the study of the solution of (5.14) to the case σ = 2 : indeed,if Z t = r σ 2 t/4, thendZ t = k ′ (θ − Z t ) dt + 2 √ Z t dB twith k ′ = kσ 2 /4 and B is a Brownian motion.The CIR process (5.14) is a space-time changed BESQ process: more precisely,r t = e −kt ρ( σ24k (ekt − 1))where (ρ(s), s ≥ 0) is a BESQ δ (α) process, with δ = 4kθ . (If needed, see the following theorem ??). Inσ2 particular, if 4kθ > 2, the process does not hit 0.σ2 From the second theorem on the existence of solutions to SDE, the equation (5.14)admits a uniquenon-negative solution. Let us assume that 2kθ ≥ σ 2 and denote T0x def= inf{t ≥ 0 : rt x = 0} the firsthitting time of 0. Then, P (T0 x = ∞) = 1, i.e., the process r does not reach 0. In the case 0 ≤ 2kθ < σ 2and k > 0, then P (T0 x < ∞) = 1. If k < 0, then P (T0 x < ∞) ∈]0, 1[ .5.6.2 Transition probabilities for a CIR processFrom the expression of a CIR process as a change of time of a square Bessel process, we obtain usingthe density of the squared Bessel process given in (5.8)Proposition 5.6.1 The transition density P (r t ∈ dr|r s = ρ) = f(r; t − s, ρ)dr is given byf(r, t, ρ) = ekt (re kt ) ν/2exp(− ρ + )rekt (1√ I )ν ρrekt2c ρ2c cwhere c = σ24k (ekt − 1) and ν = 2kθσ 2 − 1.In particular, denoting by r t (ρ) the CIR process with initial value r 0 (ρ) = ρ, the random variableY t = r t (ρ)e kt /c has densityP (Y t ∈ dy) = e−α/22α ν/2 e−y/2 y ν/2 I ν ( √ yα)dywhere α = ρ/c. This law is a non-central chi-square with δ = 2(ν + 1) degrees of freedom, and α theparameter of non-centrality.If we denote by χ 2 (δ, α; y) the cumulative distribution function of this law, we obtainwith c = σ24k (ekT − 1).P (r T > µ|r 0 = ρ) = 1 − χ 2 ( 4θσ 2 , ρ c ; KeµT)cloiExercice 5.6.1 Let X i , i = 1, . . . , n be n independent random variables with X i = N (m i , 1). Checkthat ∑ i X2 i has a non-central chi-square with d degrees of freedom, and ∑ m 2 i non-centrality parameter.

66 Exemples5.6.3 CIR model for spot rateThe Cox-Ingersoll-Ross model for interest rate is the object of many studies since the seminal paper ofCox et al. [?] where the authors assume that the riskless rate r follows a square root process under thehistorical probability given bydr t = ˜k(˜θ − r t ) dt + σ √ r t d ˜W twhere ˜k(˜θ − r) defines a mean reverting drift pulling the interest rate toward its long term value θ witha speed of adjustment equal to ˜k. In the risk adjusted economy, the dynamics are supposed to be givenby :dr t = (˜k(˜θ − r t ) − λr t )dt + σ √ r t dW t = k(θ − r t )dt + σ √ r t dW twhere (W t , t ≥ 0) is a Brownian motion under the risk adjusted probability Q, k = ˜k + λ, θ = ˜k(˜θ/k),and where λ denotes the market price of risk. Therefore, we shall establish formulae under a generaldynamics of the form (??). Even if no closed-form expression can be written for r t , it is remarkablethat the Laplace transform of the process, i.e.[ (∫ t)]E exp duφ(u)r u0is known (See Exercise 5.5.4). In particular, the expectation and the variance of the random variabler t can be computed. Dufresne has obtained formulae for the moments.

Chapter 6CHANGEMENT DEPROBABILITÉOn travaille avec un espace (Ω, F, F t , P ) et un horizon fini T .6.1 Théorème de Girsanov6.1.1 Changement de probabilitéProposition 6.1.1 Soient P et Q deux probabilités sur (Ω, F T ). On suppose P et Q équivalentes. Alorsil existe (L t , t ≤ T ), P − (F t )-martingale strictement positive telle que Q = L T P sur F T et Q |Ft =L t P |Ft , c’est-à-dire telle que E Q (X) = E P (L t X) pour toute variable X Q-intégrable F t -mesurable pourt ≤ T . De plus, L 0 = 1 et E P (L t ) = 1, ∀t ≤ TDémonstration: Si la restriction de P et Q à F T sont équivalentes, il existe une v.a. L T F T -mesurabletelle que Q = L T P sur F T (Théorème de Radon-Nikodym). On dit que L T est la densité de Q parrapport à P et E Q (X) = E P (L T X) pour toute variable X F T -mesurable et Q-intégrable (Voir Rappels,chap. 1). En particulier, L T est strictement positive et E P (L T ) = 1. Soit L t = E P (L T |F t ). Parconstruction (L t , t ≤ T ) est une martingale et est la densité F t -mesurable de Radon-Nikodym de Q parrapport à P sur F t . En effet, si X est F t -mesurable et Q intégrable (par exemple bornée),E Q (X) = E P (L T X) = E P [E P (XL T |F t )] = E P [XE P (L T |F t )] = E P (XL t ).Il est à remarquer que dans ce cas, on a P = (L T ) −1 Q et E P (Y ) = E Q (L −1TY ) et (L−1 t , t ≤ T ) estune Q-martingale.On parlera de la loi 1 d’une variable (d’un processus) sous P ou sous Q suivant que l’espace est munide la probabilité P ou Q. Une propriété vraie P -p.s. est vraie Q-p.s. Il convient de faire attention auxpropriétés d’intégrabilité, une v.a. P intégrable n’est pas nécessairement Q-intégrable.Proposition 6.1.2 On a équivalence entre M est une Q-martingale et LM est une P -martingale.Démonstration: Soit M une Q-martingale. En utilisant la formule de Bayes et la propriété de P -martingale de L, on obtient, pour s ≤ t,M s = E Q (M t |F s ) = E P (L t M t |F s )L s△D’où le résultat. La réciproque résulte de la formule de Bayes .△1 “ Les lois doivent tellement être propres au peuple pour lesquelles elles sont faites, que c’est un très grand hasard sicelles d’une nation peuvent convenir à une autre”. Montesquieu.67

68 Changement de probabilité6.1.2 Théorème de GirsanovOn peut démontrer le résultat suivant, connu sous le nom de théorème de GirsanovThéorème 6.1.1 Soit (B t , t ≥ 0) un mouvement brownien sur un espace (Ω, F, P ) et (F t ) sa filtrationcanonique. SoitL t := exp[∫ t0θ s dB s − 1 2∫ t0θ 2 sds], t ≤ Toù θ est un processus (F t )-adapté (autrement dit dL t = L t θ t dB t ). On suppose E(L T ) = 1. SoitdefdQ| FT = L T dP | FT . Le processus B t s’écrit B t := ˜B t + ∫ t0 θ sds où ˜B est un Q-mouvement brownien.∫ T0Sous la condition de Novikov E P (exp 1 2θ2 s ds) < ∞, L T est une variable positive d’espérance 1 sousP et L est une P -martingale.Si L n’est pas d’espérance 1, L est une surmartingale d’espérance strictement plus petite que 1. Nousverrons plus loin pourquoi nous utilisons des martingales L de cette forme.Démonstration: Dans le cas θ = m (constante) on utilise la caractérisation du Brownien parla propriété de martingale de exp(λB t − λ22 t). Il faut donc montrer que exp(λ ˜B t − λ2t) est une Q-2martingale, ou queL t exp(λ(B t − mt) − λ22 t) = exp((λ + m)B t − 1 2 [2mλ + (m2 + λ 2 )]t)est une P -martingale, ce qui est évident. Dans le cas général, on peut facilement vérifier que ˜B est uneQ-martingale, car ˜BL est une P -martingale. Le crochet de la Q-semi martingale B est le même quecelui de sa partie martingale, soit celui de la Q-martingale ˜B. Le crochet ne dépendant pas du choix dela probabilité, le crochet de B est t, et le crochet de ˜B est aussi t.On peut également vérifier que ˜B 2 t − t est une Q-martingale, car ( ˜B 2 t − t)L t est une P martingale.△Une façon d’utiliser le théorème de Girsanov est la généralisation suivanteProposition 6.1.3 Soit Z une P -martingale locale continue et Q définie sur F t pardQ = exp(Z t − 1 2 〈Z〉 t)dP = L t dP.On suppose que Q est une probabilité. Si N est une P -martingale locale continue, le processus (N t −〈N, Z〉 t = N t − 1 L t〈N, L〉 t , t ≥ 0) est une Q-martingale locale continue de crochet 〈N〉 t .Démonstration: La martingale L t = exp(Z t − 1 2 〈Z〉 t) vérifie dL t = L t dZ t . Le processus (N t −〈N, Z〉 t , t ≥ 0) est une Q-martingale locale: il suffit de vérifier que (L t N t − L t 〈N, Z〉 t , t ≥ 0) est uneP -martingale locale par application de la formule d’Itô. Le crochet de N ne dépend pas de la probabilitésous laquelle on travaille (sous réserve que cette probabilité soit équivalente à la probabilité de départ),car le crochet est défini comme limite des variations quadratiques.△Une autre façon d’écrire ce résultat est de se placer sur l’espace canonique. On obtient ainsi l’absoluecontinuité de W (loi du Brownien) et W (ν) (loi du Brownien de drift ν).W (ν) | Ft= exp(νW t − ν22 t)W| F t. (6.1)Quelques mots d’explications. Dans le membre de droite, W est l’application canonique. Elle est notéeW pour faire penser au Brownien mais pourrait être notée X comme nous allons le faire (comme dansune intégrale, la variable muette peut s’appeller x ou y). Cette écriture traduit queW (ν) (F (X u , u ≤ t)) = W(exp(νX t − ν22 t)F (X u, u ≤ t))

July 8, 2006 69pour toute fonctionnelle F .Regardons le cas particulier F (X u , u ≤ t)) = f(X t ). Le terme W (ν) (F (X u , u ≤ t)) est alors W (ν) (f(X t )) =E(f(W t +νt)) où dans le terme de droite W est un brownien (et donc (W t +νt, t ≥ 0) un Brownien de driftν). Le terme W(exp(νX t − ν22 t)F (X u, u ≤ t)) est W(exp(νX t − ν22 t)f(X t)) = E((exp(νW t − ν22 t)f(W t))où dans le terme de droite W est un brownien. Le théorème de Girsanov nous dit que si W est unbrownien sous P et dQ| Ft= exp(νW t − ν22 t)dP | F t, alorsE P (exp(νW t − ν22 t)f(W t)) = E Q (f(W t )) = E Q (f( ˜W t + νt)))où ˜W est un Brownien sous Q. C’est exactement l’écriture (6.1).Remarquer que ceci se généralise au cas où t est un temps d’arrêt et aussi au cas où le changement deprobabilité est de la forme exp(∫ t0θ s dW s − 1 2∫ t0θ 2 sds).On parle de formule de Cameron-Martin quand θ est déterministe.6.1.3 RemarquesEn utilisant les formules exponentielles déja vues, on remarque que L est solution de dL t = L t θ t dB t , L 0 =1. Il convient de remarquer que P s’obtient en fonction de Q par dP = L −1TdQ, avecL −1T∫ T= exp[− θ(s)dB s + 1 20∫ T0θ 2 (s)ds].Cette formule est souvent utile, mais il faut se souvenir que B est un brownien sous P . Si l’on veutécrire L en terme de Brownien sous Q, on obtient L −1T= exp[− ∫ T0 θ(s)d ˜B∫s − 1 T2 0θ2 (s)ds].Le processus (L −1t , t ≥ 0) est une Q martingale, et si X ∈ F T on a E P (X) = E Q (L −1TX).6.1.4 Exercicesa. Calcul de E(B t exp[ ∫ T0 θ sdB s − 1 2θ2 sds]), où B est un brownien, on effectue le change-Si l’on veut calculer I = E(B t exp[ ∫ T0 θ sdB s − 1 2ment de probabilité avec L t = exp[ ∫ t0 θ sdB s − 1 2∫ T0θ2 sds]) pour t < T et θ déterministe.∫ T∫0T0I = E P (L T B t ) = E P (L t B t ) = E Q (B t ) = E Q ( ˜B t +Utilisons sur cet exemple la notation (6.1).θ2 sds] et on a∫ t0θ s ds) =∫ TI = W(X t exp( θ s dX s − 1 ∫ Tθ0 2sds)) 2 = W (θ) (X t ) = W(X t +0On peut en guise d’application calculer E(B t exp B t ).∫ t0E Q (θ s ) ds =∫ t0∫ t0θ s ds)θ s ds.b. Calcul de I = E(exp[−αB 2 t − b2 2∫ t0 dsB2 s]) où B est un brownien issu de aOn pose x = a 2 et on définit P b par dP b = L t dP avecL t = exp[− b 2 (B2 t − x − t) − b2 2∫ t0dsB 2 s]En utilisant la formule d’intégration par parties, on aL t = exp[−b∫ t0B s dB s − b2 2∫ t0dsB 2 s]

70 Changement de probabilitéet L est une P martingale. Sous P b , ( ˜B t = B t +b ∫ t0 ds B s, t ≥ 0) est un brownien issu de a et β t = ˜B t −aest un brownien issu de 0. Sous P b , on aB t = a + β t − b∫ t0ds B sdonc B est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck sous P b et B t est une v.a. gaussienne d’espérance ae −btet de variance 1 2b (1 − e−2bt ). On aI = E b (L −1t exp[−αB 2 t − b2 2∫ tIl reste quelques calculs simples et longs pour obtenird. Temps d’atteinte0dsB 2 s]) = E b [exp[−αB 2 t + b 2 (B2 t − x − t)))I = (cosh bt + 2 α b sinh bt)−1/2 exp[− xb 1 + 2α bcoth bt2 coth bt + 2α ] .bProposition 6.1.4 Si X est le processus défini par X t = νt + B t et si T ν a = inf{t ≥ 0; X t = a} est letemps d’atteinte de a, on a pour λ tel que ν 2 + 2λ > 0,E(exp(−λT ν a )) = exp(νa − |a| √ ν 2 + 2λ) .Démonstration: Il suffit de remarquer que pour λ > 0,E (exp(−λT ν a ))) = E( 1 (T νa

July 8, 2006 716.2 Application aux modèles financiersSoit S vérifiantdS(t) = S(t)[b(t)dt + σ(t)dW t ].On peut trouver une (et une seule) probabilité Q équivalente à P telle quedS(t) = S(t)[r(t)dt + σ(t)dB t ]où B est un Q-mouvement Brownien, et r est le taux sans risque. Il suffit de prendre dQ| Ft = L t dP | Ftavec L solution de L 0 = 1, dL t = L t θ(t)dW t avec θ(t) = −σ −1 (t)(b(t)−r(t)), sous réserve d’intégrabilitéde θ. En effetb(t) − r(t)dB t = dW t − θ(t)dt = dW t + dtσ(t)est un Q-MB etb(t)dt + σ(t)dW t = b(t)dt + σ(t)[dB t + θ(t)dt] = r(t)dt + σ(t)dB t(La probabilité Q est appellée probabilité risque neutre. Soit R t = exp − ∫ )t0 r(s) ds le coefficientd’actualisation. Le processus SR des prix actualisés vérifie d(S t R t ) = S t R t σ t dB t , et est une Q-martingale locale.6.2.1 Application à la valorisation d’un actif contingent en marché completOn se place dans le cas r constant. Soit V t la valeur en t d’un portefeuille auto-finançant dupliquantl’actif contingent ζ où ζ est une v.a. positive F T mesurable, intégrable (on admet l’existence d’un telportefuille pour le moment). Dans le cas d’un call européen, ζ est égale à (S T − K) + .Proposition 6.2.1 Le processus V R est une Q-martingale etE Q (R T V T |F t ) = E Q [R T ζ |F t ] = V t R t .Démonstration: Admettons l’existence d’un portefeuille de duplication α, π tel que V t := α t S 0 t + π t S tet V T = ζ. La condition d’autofinancement est, par définition dV t = α t dS 0 t + π t dS t . Si on noteṼ t := e −rt V t et ˜S t := e −rt S t , les valeurs actualisées on montre facilement que dṼt = π t d ˜S t soitṼ t = V 0 +∫ t0π s d ˜S s = V 0 +∫ t0π s S s R s σ s d ˜B s . (6.2)On remarque qu’à tout processus π et à toute valeur initiale x on peut associer un α tel que le couple(α, π) soit autofinancant de valeur initiale x. Il suffit de calculer Ṽt = V 0 + ∫ t0 π sd ˜S s et de choisir α t telque V t = e rt Ṽ t = α t St 0 + π t S t .Le processus Ṽ est une intégrale stochastique par rapport à une Q-martingale, c’est donc une Qmartingale locale. Si c’est une martingale,Ṽ t = E Q (ṼT |F t ) = E Q (e −rT ζ |F t ). (6.3)Le portefeuille de couverture s’obtient au moyen de (6.2). Comme nous l’avons dit, si l’on connaitπ, il reste à poser α t = 1 (V t − π t S t ) = Ṽt − π t ˜St .S 0 tIl reste à prouver l’existence de π ce qui est obtenu au moins théoriquement au moyen d’un théorèmede représentation (Voir chapitre sur les compléments).La méthode est alors la suivante: pour évaluer ζ, il faut identifier la probabilité risque neutre, calculerE Q (e −rT ζ |F t ) et identifier le π. On peut remarquer que, puisque ζ est positif, la valeur V t du portefeuillede duplication aussi.Dans le cas du modèle de Black et Scholes, dS(t) = S(t)[bdt + σ dB t ] où b et σ sont constants,dS t = S(t)(rdt + σd ˜B t )

72 Changement de probabilitéoù ˜B est un Q-MB et S est un Brownien géométrique. On a dQ = L t dP avec dL t = L t θdB t pourθ = − µ − rσ. Le MB ˜B est d ˜B = dB − θdt.On peut donc calculer l’espérance conditionnelle (6.3) dans le cas ζ = (S T − K) + . Il est facile devérifier (utiliser la propriété de Markov) que V t = F (t, S t ) avec F (t, x) = xN(d 1 ) − Ke −r(T −t) N(d 2 )(cf. formule de Black-Scholes).Soit ˜F (t, x) := e −rt F (t, x). La formule d’Itô montre que∫ t˜F (t, S t ) = ˜F ∂F(0, S 0 ) +0 ∂x (u, S u)d ˜S uen tenant compte du fait que ˜F (t, S t ) est une martingale. On retrouve l’EDP d’évaluation en écrivantque le drift de ˜F (t, S t ) est nulOn peut donc prendreπ t = ∂F∂x (t, S t).Le terme ∂F∂x (t, S t) est appellé le Delta du call, et on parle de Delta hedging.On obtient égalementV t = E Q (e −r(T −t) (S T − K) + )|F t )= e −rt E Q (S T e −rT 1 ST >K) − Ke −rt E Q (e −rT 1 ST >K)Le premier terme peut se calculer à la main. On peut aussi écrire que S t e −rt /S 0 est une martingalepositive d’espérance 1 et faire un changement de probabilité. On pose S t e −rt = S 0 M t où M est laQ-martingale dM t = σM t dB t . C’est une martingale positive d’espérance 1, on peut donc l’utilisercomme changement de probabilité. Soit ˆQ = M t dQ. Sous ˆQ, le processus ˆB = B − σdt est un MB etdS t = S t (rdt + σ(d ˆB t + σdt)) = S t (r + σ 2 )dt + σd ˆB) soitS T = S 0 exp[(r + σ 2 − σ22 )T + σ ˆB T ] = S 0 exp[(r + σ22 )T + σ ˆB T ]E Q (S T e −rT 1 ST >K) = S 0 E Q (M T 1 ST >K/S 0) = S 0 ˆQ(ST > K/S 0 )et nous savons calculer cette quantité qui s’écritˆQ( ˆB T > 1 σ ln(K/S 0) − (r + σ2)T ).2Voir le paragraphe sur le changement de numéraire.6.2.2 ArbitragesUn arbitrage est une possibilité d’investir dans le marché financier sans mise de fonds (avec une richesseinitiale nulle) et de terminer avec un portefuille de valeur positive quelque soit l’évolution du marché,non identiquement nul. En termes probabilistes, c’est un portefuille π adapté tel que la valeur terminalede la stratégie auto-financante associée soit positive:V 0 (π) = 0, V T (π) ≥ 0, E(V T ) > 0 .L’hypothèse de non arbitrage stipule que l’on doit exclure de telles opportunités du modèle.6.2.3 Hedging methodologyLet S be a semi-martingale which represents the price of the risky asset and denote by (Ft S , t ≥ 0) thefiltration generated by S. A contingent claim H is an FT S -measurable random variable where T is afixed horizon. An hedging portfolio consists of a pair of predictable processes (πt 0 , π t ; t ≥ 0) such that,if V t (π 0 , π) = πt 0 e rt + π t S t is the t-time value of the portfolio, the self-financing conditiondV t (π 0 , π) = rπ 0 t e rt dt + π t dS t

July 8, 2006 73holds and V T = H. The value V t = V t (π 0 , π) is the t-time price of H. In particular if Ṽt = e −rt V t is thediscounted value of the portfolio, Itô’s formula implies that Ṽt = V 0 + ∫ t0 π sd ˜S s . Hence, a self-financingstrategy (π 0 , π) is characterized by the knowledge of its initial value V 0 and of its risky part π. Sometechnical hypotheses (integrability of π and existence of a lower bound for V ) have to be taken intoaccount in order to avoid arbitrage strategies as doubling strategies. The first theorem of asset pricingstates that the market is arbitrage free if and only if there exists a probability Q (called an equivalentmartingale measure, in short emm), equivalent to P such that discounted prices are Q-martingales. Amarket is said to be complete if any contingent claim H admits an hedging portfolio. From the secondtheorem of asset pricing, an arbitrage free market is complete if and only if there exists a unique emm.In that case, the price V t (H) of the contingent claim H is defined as the value of the hedging portfolioand is given byV t (H) = e rt E Q (He −rT |Ft S ) .Indeed, from the definition, the discounted value of an hedging portfolio is a stochastic integral withrespect to the discounted value of the asset, hence is a Q-martingale. (We avoid here the distinctionbetween local martingales and martingales). The uniqueness of the emm is linked with the predictablerepresentation property of the discounted price process ˜S, which states that any FT S -measurable randomvariable can be written as x + ∫ T0 π sd ˜S s for a predictable process π. In that case, denoting by Lthe Radon-Nikodym density of the emm (i.e. dQ| Ft = L t dP | Ft ) a process Z is the t-time value of aself-financing portfolio if and only if the process (L t ˜Zt , t ≥ 0) is a P -martingale (i.e. the discountedprocess ˜Z is a Q-martingale).In the Black and Scholes framework, the market is shown to be complete. Indeed, the Brownianmotion enjoys the predictable representation property, whence the existence of an hedging strategy isobtained from the obvious remark that the filtration generated by S is equal to the filtration generatedby B, and from the hypothesis that σ and S do not vanish.In order to hedge contingent claims, the explicit value of the hedging portfolio π is crucial. In aMarkovian setting, it can be obtained from the hedging price process V as follows.Let us recall that a Markov process X is an F-adapted process such that for t ≥ s and for every boundedBorelian function f, E(f(X t )|F s ) = E(f(X t )|X s ). The process X is a strong Markov process if for anyfinite stopping time τ and any bounded Borelian function f, E(f(X τ+t )|F T ) = E(f(X τ+t )|X T ). Theinfinitesimal generator of a Markov process is the operator L defined on a set D of smooth functionssuch that for f ∈ D, the process f(t, X t ) − ∫ t0 Ff(s, X s)ds is a martingale. The solution of a stochasticdifferential equation dX t = a(t, X t )dt + σ(t, X t )dW t where a and σ are Lipschitz function is a Markovprocess (see Karatzas and Shreve (1999)) with generator F(f) = ∂ t f + a(t, x)∂ x f + 1 2 σ2 (t, x)∂ xx f.Let S be a solution of dS t = S t (µ(t, S t )dt + σ(t, S t )dW t ), and assume that S is a Markov process. Ifmoreover, the contingent claim is of European type, i.e. H = h(S T ), then V t (H) is a function of t andS t , say V t (H) = v(t, S t ). Thanks to the martingale property of the discounted prices and using Itô’sformula, one gets that h satisfies the so-called evaluation equation∂ t v(t, x) + r(t)x∂ x v(t, x) + 1 2 σ2 (t, x)x 2 ∂ xx v(t, x) = r(t)v(t, x)with the boundary condition v(T, x) = h(x) and the risky part π of the hedging strategy is given bythe derivative of v with respect to the second variable.In a more general setting, one can use Malliavin’s derivative (see Nualart (1995) for more comments).For h ∈ L 2 ([0, T ]), let W (h) = ∫ T0 h(s)dW s. For a smooth function f, the derivative of a random variableof the form F = f(W (h 1 ), . . . , W (h n )) is defined as the process (D t F, t ≤ T ) byD t F =n∑i=1∂f∂x i(W (h 1 ), . . . , W (h n ))h i (t) .It is noticeable that this derivative can be interpreted as a Frèchet derivative. The Clark-Ocone representationformula states that∫ TF = E(F ) + E(D t F |F t )dW t .0

74 Changement de probabilitéAs an example, the derivative of F = f(W T ) is f ′ (W T ), hence∫ Tf(W T ) = E(f(W T )) + E(f ′ (W T )|F t )dW t .06.2.4 Arbitrage et mmeOn peut montrer que l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage équivaut à l’existence d’une probabilitéQ telle que sous Q les prix actualisés sont des martingales. Ce théorème est très difficile etnécessite quelques hypothèses techniques. On consultera [?] et, dans le cas général [?].6.2.5 Cas généralLorsqu’il existe une unique probabilité telle que les actifs actualisés sont des martingales, on évalueles actifs de la même façon. De telles probabilités sont appellées mesures martingale équivalentes(MME). Il se peut qu’il existe plusieurs (et dans ce cas c’est une infinité) MME. Dans ce cas, le marchén’est pas complet, et l’on peut associer à toute v.a. ζ = h(S T ) une fourchette de prix définie par] inf Q E Q (e −rT h(S T ), sup Q E Q (e −rT h(S T )[. On peut montrer que la borne supérieure de la fourchettede prix est la plus petite valeur initiale d’un portefeuille de surcouverture.6.3 Probabilité forward-neutreDifférentes approches sont utilisées en temps continu pour étudier la structure par terme des taux. Lapremière consiste à modèliser le prix des zéro-coupons en respectant l’hypothèse d’A.O.A. et à en déduirel’expression du taux spot. Une autre approche utilise le taux spot comme variable explicative. Nousallons évoquer ici comment un changement de probabilité permet de valoriser facilement des produitssur taux.6.3.1 DéfinitionsOn donne les mêmes définitions qu’en temps discret. On appelle zéro-coupon de maturité T , un titreversant un franc à la date T , et ne donnant aucun flux entre t et T . On suppose 2 que, pour tout T , ilexiste un zéro-coupon de maturité T .Le prix à la date t d’un zéro-coupon d’échéance T est noté P (t, T ). On a P (T, T ) = 1.Si S(t) est le prix d’un actif financier en unités de la date t, on appelle prix forward de S le prixexprimé en unités de la date T , soit S F (t) =S(t)P (t, T ) .On introduit le rendement à l’échéance 3 en t, soit Y (t, T ) défini parP (t, T ) = exp −(T − t)Y (t, T ).Le taux spot forward en t pour la maturité T est[ ]∂ ln P (t, θ)f(t, T ) = −∂θOn a alors Y (t, T ) = 1 ∫ Tf(t, u) du.T − t tθ=TLe taux spot instantané est[ ]∂ ln P (t, T )r(t) = lim Y (t, T ) := −T →t ∂T2 cette hypothèse n’est pas réalisée en pratique.3 yield to maturity..T =t= f(t, t).

July 8, 2006 75La courbe des taux est la fonction θ → Y (t, θ).Le facteur d’actualisation estR(t) := exp −∫ t0r(s) ds.On peut à chaque instant t observer une gamme des taux, c’est-à-dire la famille s → Y (t, s + t) destaux d’intérêt de maturité s + t au jour t. On désire étudier le comportement de la courbe Y (t, θ) enfonction de la courbe des taux aujourd’hui, c’est à dire Y (0, θ).Dans un modèle déterministe, on doit avoirP (t, T ) = P (t, u)P (u, T ), ∀ t ≤ u ≤ T ,pour éviter les opportunités d’arbitrage. On en déduit, sous une hypothèse de différentiabilité, l’existenced’une fonction r telle que P (t, T ) = exp − ∫ Tr(s) ds. On vérifie que, comme dans le modèle discret,t∫on a f(t, T ) = f(0, T ) = r(T ) , ∀ t ≤ T et Y (t, T ) = 1 TT −tr(u) du. Le rendement à l’échéance est latvaleur moyenne du taux spot.Dans un modèle stochastique, on se donne comme toujours un espace probabilisé muni d’une filtrationF t que l’on supposera être une filtration Brownienne. On suppose qu’à la date t, le prix P (t, .)des zéro-coupons est connu, c’est-à-dire que les variables P (t, .) sont F t -mesurables. Pour expliciterl’hypothèse d’A.O.A., on suppose que les processus P (. , T ) sont positifs, adaptés, continus et queP (t, T ) est dérivable par rapport à T de dérivée continue.¡On suppose qu’il existe une probabilité Q sous laquelle les prix actualisés sont des martingales decarré intégrable : sous Q, le processus R(t)P (t, T ) est une martingale. Cette propriété est vraie pourtout T , pour éviter les opportunités d’arbitrage entre des produits de maturités différentes.Cette propriété entraîne des résultats intéressants. Tout d’abord, puisque P (T, T ) = 1, on obtientque P (0, T ) = E Q (R(T )), et que6.3.2 Changement de numérairea. Probabilité forward-neutre∫ TP (t, T ) = E Q [exp − r(u) du |F t ]tLa valeur à la date t d’un flux déterministe F reçu à la date T est∫ TF P (t, T ) = F E Q [exp − r(u) du |F t ].tSi ce flux est aléatoire, la valeur à la date t de ce flux est∫ TE Q [F exp − r(u) du |F t ].tIl est possible d’interpréter cette formule en l’écrivant F c P (t, T ), où F c est l’équivalent certain 4 de F etest défini par∫1TF c =P (t, T ) E Q[F exp − r(u) du |F t ].tNous allons écrire cette dernière égalité en utilisant un changement de probabilité.Par hypothése A.O.A, le processus R(t)P (t, T ) est une Q-martingale, son espérance est constante,égale à P (0, T ).4 “Je préfère la certitude aux calculs des probabilités” Prévert, La Tour, Oeuvres complètes, Ed. Pléiade, p.247

76 Changement de probabilitéPour tout T , le processus ζt T R(t)P (t, T ):= est une Q-martingale positive d’espérance 1. On peutP (0, T )donc utiliser ζtT comme densité de changement de probabilité. Soit Q T la mesure de probabilité définiesur (Ω, F T ) par Q T (A) = E Q (ζt T 1 A ) pour tout A ∈ F t . Lorsque T est fixé, on notera ζ t = ζt T .Définition 6.3.1 La probabilité Q Tdéfinie sur F T , par dQ TdQ = ζT t est appelée probabilité forwardneutrede maturité T .Avec cette notationE QT (F |F t ) = E Q (F ζ Tζ t|F t ) = F c .Lorsque F est la valeur d’un titre, l’équivalent certain F c est appellé le prix à terme de F .Lorsque r est déterministe, Q T = Q.La mesure Q T est la martingale mesure associée au choix du zéro-coupon de maturité T commenuméraire, comme l’explicite la propriété suivante.Proposition 6.3.1 Si X est un processus de prix, le prix forward (X t /P (t, T ), 0 ≤ t ≤ T ) est unemartingale sous Q T .Soit T fixé. Soit X un processus de prix. Par définition de la martingale mesure Q, le processus desprix actualisés (X t R(t), t ≥ 0) est une Q-martingale. Nous voulons montrer que (X t /P (t, T ); t ≤ T )est une Q T -martingale, ce qui équivaut à (X t ζ t /P (t, T ) est une Q martingale. Comme X t ζ t /P (t, T ) =X t R(t)/P (0, T ), c’est immédiat.On peut aussi détailler: D’après la formule du changement de probabilité dans les espérances conditionnelleson aE QT[X tP (t, T ) |F sb. Contrats forward et futures]=[ ]EXt ζ t Q P (t,T ) |F sE Q [ζ t |F s ]= E Q [X t R t |F s ]P (0, T )ζ s=X sP (s, T ) . △Un contrat forward est l’engagement d’acheter le sous jacent au prix prévu au moment de la signaturedu contrat. Il n’y a aucun versement d’argent à la signature.Proposition 6.3.2 Le prix à la date t d’un contrat forward de maturité T sur un actif dont le processusde prix est V (s) estG(t) = E QT (V (T )|F t ) .Le prix d’un contrat future (prix future) estH(t) = E Q (V (T )|F t ) .Si r est déterministe, prix future et forward sont égaux.c. Taux spotProposition 6.3.3 Le taux spot forward f(t, T ) est une Q T -martingalef(t, T ) = E QT [r T |F t ] , t ≤ T,égale au prix forward d’un contrat écrit sur le taux spot.En particulier f(0, T ) = E QT (r(T )) est le prix à la date 0 d’un contrat forward écrit sur le taux spotde même maturité.Le prix d’un zéro-coupon s’exprime en fonction du taux spot par()P (t, T ) = exp−∫ TtE Qs [r s |F t ] ds, t ≤ T.

July 8, 2006 77P (t,T +h)−P (t,T )Par définition, le taux forward f(t, T ) est égal à lim h→0 h P (t,T ). Le processus P (t, T + h)est un processus de prix, donc est une Q T -martingale; il en résulte queP (t,T +h)P (t,T )1f(t, T ) = − limh→0 h E Q T{(P (T, T + h) − 1) |F t },soit f(t, T ) = E QT [r T |F t ]. Par définition ln P (t, T ) = − ∫ Tt(d. Prix forward, prix futureP (t, T ) = exp−∫ Ttf(t, s)ds, d’où)E Qs [r s |F t ] ds. △On peut préciser la relation entre prix forward et prix future.mesurable et Z u = E Q (Z|F u )Soit Z une variable intégrable F T∫ TE QT (Z |F t ) = E Q (Z |F t ) − Cov Qu (Z u , r(u) |F t ) du.toù Cov Qu (X, Y |F t ) = E Qu (XY |F t ) − E Qu (X|F t )E Qu (Y |F t ).En particulier∫ TE QT (Z) = E Q (Z) − Cov Qu (Z, r(u)) du.0Proposition 6.3.4 Le prix à la date 0 d’un contrat forward de maturité T écrit sur Z est le prix à ladate 0 d’un contrat future de même nature moins un biais de covariance.6.3.3 Changement de numéraireIl peut être utile de faire un autre changement de numéraire, par exemple de choisir un actif S commeunité monétaire.6.3.4 Valorisation d’une option sur obligation à couponsLe prix d’une option Européenne de payoff h(T ) à la date T est donné parC(t) = R −1t E Q [h(T )R T |F t ] .Considérons une option de maturité T sur un produit qui verse des flux déterministes F n aux datesT n , T < T n < T n+1 et soit V (t) = ∑ Nn=1 F nP (t, T n ).Théorème 6.3.1 Le prix d’une option Européenne de prix d’exercice K et de maturité T sur un produitqui verse des flux F n aux dates T n estC(0) =N∑F n P (0, T n )Q n [V (T ) > K] − KP (0, T )Q T [V (T ) > K]n=1où Q n est la probabilité forward neutre de maturité T n .Par définition⎡ ( N) +⎤∑C(0) = E Q (R T (V (T ) − K) + ) = E Q⎣R T F n P (T, T n ) − K ⎦ ,n=1

78 Changement de probabilitéce qui s’écritN∑C(0) = F n E Q [R T P (T, T n )1 {V (T )>K} ] − KE Q [R T 1 {V (T )>K} ].n=1Par définition de Q n , on aE Q [R T P (T, T n )1 {V (T )>K} ] = P (0, T n )E Qn [1 {V (T )>K} ]ce qui donne le résultat. △Le livre n’est pas terminé.La fin n’a pas été écrite, elle n’a jamais été trouvée.M. Duras, L’été 80. Editions de Minuit.

Bibliography[1] J. Azéma and M. Yor. Etude d’une martingale remarquable. In J. Azéma and M. Yor, editors,Séminaire de Probabilités XXIII, volume 1557 of Lecture Notes in Maths., pages 88–130. Springer-Verlag, 1989.[2] L. Breiman. Probability. Addison-Wesley, Reading MA, 1968.[3] M. Chesney, B. Marois, and R. Wojakowski. Les options de change. Economica, Paris, 1995.[4] R. Cont and P. Tankov. Financial modeling with jump processes. Chapman & Hall/CRC, 2004.[5] J.C. Cox, J.E. Ingersoll, and S.A. Ross. A theory of term structure of interest rates. Econometrica,53:385–408, 1985.[6] C. Dellacherie and P.A. Meyer. Probabilités et Potentiel, chapitres I-IV. Hermann, Paris, 1975.English translation : Probabilities and potentiel, chapters I-IV, North-Holland, (1978).[7] P. Devolder. Finance Stochastique. Presses de l’université de Bruxelles, Bruxelles, 1991.[8] R. Durrett. Stochastic Calculus: a Practical Introduction. CRC press, Boca Raton, 1996.[9] R. Elliott. Stochastic Calculus and Applications. Springer, Berlin, 1982.[10] R. Elliott and P. E. Kopp. Mathematics of Financial markets. Springer Finance, Berlin, 1999.[11] A. Göing-Jaeschke and M. Yor. A survey and some generalizations of Bessel processes. Bernoulli,9:313–349, 2003.[12] N. Ikeda and S. Watanabe. Stochastic differential equations and diffusion processes. North Holland,second edition, 1989.[13] I. Karatzas. Lectures on the mathematics of finance. American Mathematical Society, Providence,1997.[14] I. Karatzas and S.E. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag, Berlin,1991.[15] J.T. Kent. Some probabilistic properties of Bessel functions. Annals of Probability, 6:760–770,1978.[16] N.V. Krylov. Controlled difusion processes. Springer-Verlag, Berlin, 19.[17] R.S.R. Liptser and A.N. Shiryaev. Theory of Martingales. Kluver, 1996.[18] M. Musiela and M. Rutkowski. Martingale Methods in Financial Modelling. Springer-Verlag,Heidelberg-Berlin-New York, second edition, 2005.[19] J. Neveu. Bases mathématiques des probabilités. Masson, Paris, 1964.[20] B. Øksendal. Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin, sixth edition, 1998.[21] J.W. Pitman and M. Yor. A decomposition of Bessel bridges. Z. Wahr. Verw. Gebiete, 59:425–457,1982.79

80 Changement de probabilité[22] S.R. Pliska. Introduction to mathematical finance. Blackwell, Oxford, 1997.[23] Ph. Protter. Stochastic Integration and differential equations. Springer, Berlin, second, version 2.1.edition, 2005.[24] D. Revuz and M. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer Verlag, Berlin,third edition, 1999.[25] L.C.G. Rogers and D. Williams. Diffusions, Markov processes and Martingales, Vol 1. Foundations.Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2000.[26] W. Szatzschneider. Comments about CIR model as a part of a financial market. Preprint, 2001.[27] W. Szatzschneider. Extended Cox, Ingersoll and Ross model. Preprint, 2001.[28] P. Wilmott. Derivatives; The Theory and Practice of financial Engineering. University Edition,John Wiley, Chischester, 1998.

July 8, 2006 81Commentaires sur certains ouvragesLes ouvrages suivants sont à la bibliothéque. Un conseil: achetez en un ou deux, après les avoir consultéset approfondissez les. Vous ne pourrez pas tous les connaitre, mais essayez d’être pointu sur un domaine.Calcul stochastiqueK.L. Chung et D. Williams, [3] Bon livre, se limite aux intégrales stochastique.R. Durrett [5] Ouvrage contenant de nombreux résultats trés précis, un peu difficile en première lecture.I. Karatzas et S.Shreve, [7] Très bon ouvrage. Contient à peu près tout ce dont vous pourrez avoirbesoin.Mikosch, T. Elementary Stochastic calculus with finance in view. Excellent ouvrage d’introduction aucalcul stochastique.B. Oksendal, [10] Excellent livre, relativement simple, abordant de nombreux problèmes liés au calculstochastique.D. Revuz et M. Yor, [12] Incontournable pour les résultats les plus précis concernant le MB.L.C.G. Rogers et D. Williams [?] Ouvrage assez difficile, mais contient de nombreux résultats utiles nese trouvant pas facilement. Très agréable à lire.Sur les processus à sauts, processus de Levy:C. Dellacherie et P.A. Meyer, [?] 4 volumes. Les deux premiers contiennent tous les résultats sur lesmartingales non continues. Pour les mathématiciens professionnels.R. Elliott,[?] Beaucoup de choses sur les processus à sauts.N.Ikeda et S. Watanabe,[?] Pour les experts de calcul stochastique.R.S.R. Liptser et A.N. Shiryaev, [?]Tout sur les martingales non continues.P. Protter, [?] Contient en particulier les processus discontinus et les processus de Lévy.Cont et Tankov [?] Le plus appropriéCONTROLE STOCHASTIQUEW. H.Fleming et R. W. Rishel,[?] Un incontournable sur le cas stochastique en temps continu, de niveautrès élevé.N. V. Krylov,[?] Pour mathématiciens spécialistes de diffusion.FINANCELes ouvrages de Bingham et Kiesel, Björk, sont recommandés.La revue Risk contient de nombreux articles sur des sujets ”chauds”Biais, B. and Björk, T. and Cvitanić, J. and El Karoui, N. and Jouini, E. and Rochet, J.C.,[1] Cetouvrage contient des cours de l’école d’été sur la structure par terme des taux (Björk), l’optimisationsous contraintes (Cvitanic), les équations rétrogrades (El Karoui)... Excellent.Chesney, M. and Marois, B. and Wojakowski, R. ,[2] De nombreux exemples d’options exotiques sur lestaux. Les formules en temps continu sont en annexe, de nombreuses valorisation sur des arbres.E Overhaus, M. and Ferraris, A. and Knudsen, T. and Milward, R. and Nguyen-Ngoc, L and Schindlmayr,G. . Equity derivatives, Theory and applications. Un petit bijou en ce qui concerne les processusde Lévy appliqués à la finance.P. Devolder,[4] On y trouve un appendice qui contient les résultats principaux de calcul stochastique.Elliott, R.J. et Kopp. E.[?]Excellent surtout en ce qui concerne les options américaines.Karatzas, I., [6]Excellent ouvrage sur les problèmes d’optimisation et choix de portefeuille.D. Lamberton et B. Lapeyre,[8]Très bon cours de calcul stochastique. Enoncés précis, démonstrations,exercices non corrigés.Shiryaev: ce qu’il existe de plus complet parmi les livres sur les processsus à sautsEVALUATION:Haug : toutes les formules sur les prix d’optionsPelsser, A. Efficient methods for valuing interest rate derivatives.

82 indexPliska, S.R., [11] Ouvrage excellent sur les marchés en temps discret la valorisation et les problèmesd’optimisation.Kat, H.M. Structured Equity Derivatives.Gibson, R. L’évaluation des options. Un peu ancien, mais très bien fait.Hull, J.C. Options, futures and other derivatives.Jarrow, R. and Turnbull. Derivative securities.Kwok, Y.K. Mathematical models of financial derivatives.Kallianpur, G. and Karandikar, R.L. . Introduction to option pricing theory.TAUX:Musiela, M. and Rutkowski, M. , [9]Excellent ouvrage de haut niveau. Ouvrage de référence pour lastructure par terme des taux, LIBOR...Rebonato, R., Interest-rate option Models, snd edition.Brigo, D. and Mercurio, F. Interest rate models. Theory and practice.PRATICIENS:Wilmott, P. Une très bonne série d’ouvrages pour praticiens.Taleb, N. Dynamic hedging Les méthodes de couverture.DIVERS:Risque de défaut: Bielecki, T. and Rutkowski, M. . Credit risk : Modelling valuation and Hedging. Leplus complet sur le sujet.Les évènements rares, le risque : Embrecht, P. and Klüppelberg, C. and Mikosh, T. . ModellingExtremal Events.Volatilité stochastique : Fouque, J-P. and Papanicolaou, G. and Sircar, X. . Derivatives in financialmarkets with stochastic volatilities.Ou trouver differents articles d’introduction aux problèmes de finance : Simon ed. , Encyclopédie desmarchés financiers, Economica

IndexAbsolute continuityBES, 60Besselmodified - function, 61, 62process, 58squared process, 58Change of timefor CIR, 65Clark-Ocone, 74Condition de Novikov, 68Convergencequadratique, 13en loi, 13en probabilité, 13presque sûre, 12Crochetoblique, 42Ensemblesnégligeables, 9Equationde Langevin, 35parabolique, 51Equationsdifférentielles stochastiques, 49Espace complet, 9Espace mesurable, 7Exponentielle de Doléans-Dade, 51Filtration, 14Fonctionen escalier, 21, 32Fonction borélienne, 8Formulede Bayes, 17de Feynman-Kac, 53Générateur infinitésimal, 44Hypothèses habituelles, 14Index, 59Intégrabilité uniforme, 10Intégralede Wiener, 32Intégration par parties, 34Laplace transform ofhitting time for a BES, 62Lemme d’Itô, 43Loide l’arc sinus, 54Loi conditionnelle, 17Martingaleexponentielle, 50locale, 20Mesurede Dirac, 12Mouvement Brownien, 23généralisé, 24géométrique, 34, 55Novikov, 51ProcessCIR -, 65Processusétagé, 39adapté, 14càdlàg, 14càlàg, 14continu, 14croissant, 14d’Itô, 41gaussiens, 15prévisible, 14Processus deCIR, 57Cox-Ingersoll-Ross, 56Markov, 20Ornstein-Uhlenbeck, 36Vasicek, 37Promenade aléatoire, 24Propriété de Markov, 26, 50Scale functionfor Bessel Processes, 59Scaling, 26for squared Bessel processes , 60Sturm-Liouville equation, 64Temps d’arrêt, 19Temps d’atteinte, 30loi du -, 31transformée de Laplace du -, 30Théorème83

84 indexd’arrêt de Doob, 19de Lebesgue dominé, 13Théorème deGirsanov, 68Trajectoires, 28Transforméede Fourier, 10de Laplace, 10Transition densityfor a BES, 62for a BESQ, 61for a CIR, 65Tribu, 7engendrée, 8Tribu engendrée, 8Variance conditionnelle, 17