Théories de jauge abéliennes scalaire et spinorielle `a 1+1 ...

1.2 Champs relativistes libres dans un espace de Minkowski dedimension deux 9de sorte que les crochets de Poisson non nuls correspondants sont donnés par{q 0 , α 0 } = 1 ,{αn , α m† }= −inδm,n = { ᾱ n , ᾱ m† }, (1.11){φ(t, x), π φ (t, y)} = 1 L+∞∑n=−∞e − 2iπL n(x−y) =+∞∑n=−∞δ(x − y + nL) = δ L (x − y), (1.12)où δ L (x − y) désigne la fonction δ de Dirac périodique, définie sur le cercle decirconférence L (la formule de resommation de Poisson est invoquée dans cesidentités).Au niveau quantique et dans l’image de Schrödinger (à t = 0) le champ quantiquecorrespondant est représenté par l’opérateurφ(x) =⎡1√ ⎣q 0 + 4π 4π L α x − x0 + i ∑ 1(2 nn≥1+ i ∑ n≥11(nᾱ n e 2iπLα n e − 2iπLnx − α ne † 2iπ nx) Lnx − ᾱ † ne − 2iπL nx)⎤ ⎦ , (1.13)les commutateurs non nuls étant ( = 1)[q 0 , α 0 ] = i ,[αn , α m† ]= nδm,n ,[ᾱn , ᾱ m† ]= nδm,n . (1.14)Le champ φ étant de masse nulle, il admet une décomposition chiraledont les modes de chiralité s’expriment parφ ± (x) =φ(x) = φ + (x) + φ − (x), (1.15)⎡1√ ⎣q ±,0 + 2π 2π L α ±,0(±x) + i ∑ 1(α ±,n e − 2iπLnn≥1n(±x)−α † ±,ne 2iπL n(±x))] , (1.16)avec les identificationsq ±,0 = 1 2 q 0 , α ±,0 = α 0 , α +,n = α n , α −,n = ᾱ n , (1.17)ainsi que les commutateurs non nuls[]α ±,n , α † ±,m = nδ m,n . (1.18)Ces résultats sont d’utilité dans le chapitre suivant, lorsque les spineurs de Diracsont bosonisés en terme de scalaires chiraux.