Théories de jauge abéliennes scalaire et spinorielle `a 1+1 ...

2.1 Etude classique du modèle 27et la résolution des équations (2.60) et (2.61) conduit àU j (2)= −(∂ 1 + ieA 1 )ψ j† γ 5 + ieA 0 ψ j† + ieU (3) ψ j† , (2.62)U j (1)= −γ 5 (∂ 1 − ieA 1 )ψ j − ieA 0 ψ j − ieU (3) ψ j , (2.63)et par conséquent, pour la quantité} [{∂ 1 π 1 + eψ j† ψ j , H 2 = ∂ 1 eψ j† γ 5 ψ j] [ ] [ ]+ eψ j† U j (1)+ e U j (2)ψ j , (2.64)nous avons enfin{∂ 1 π 1 + eψ j† ψ j , H 2}= e∂ 1[ψ j† γ 5 ψ j] ++ eψ [ j† −γ 5 ∂ 1 ψ j + ieA 1 γ 5 ψ j − ieA 0 ψ j − ieU (3) ψ j][+ −∂ 1 ψ j† γ 5 − ieA 1 ψ j† γ 5 + ieA 0 ψ j† + ieU (3) ψ j†] ψ j= 0. (2.65)Ce résultat indique qu’aucune contrainte n’est générée par σ 3 . Ainsi, nousavons la liste complète des contraintes du système.σ 0 = π 0 ,σ j 1 = ϕ j + 1 2 iψj † , j ∈ {1, ..., N},σ j 2 = χ j + 1 2 iψj , j ∈ {1, ..., N},σ 3 = ∂ 1 π 1 + eN∑ψ j † ψ j . (2.66)j=1Après la détermination de toutes les contraintes du système, l’étape suivanteest de les classifier sur la base de l’algèbre de leurs crochets de Poisson.Une contrainte est dite de première classe si ses crochets de Poisson avectoutes les autres contraintes, y compris elle même, sont tous nuls une fois lescontraintes imposées. Dans le cas contraire, elle est dite de seconde classe.Pour la détermination de l’algèbre des crochets de Poisson des contraintes, ladémarche est exactement la même que celle du modèle de Schwinger à une saveurde particules. Cette base de classification a été largement développée pourle cas à une saveur de particule.[8] Afin d’éviter les repétitions, ici nous fournissonsles grandes étapes en vue d’obtenir la classification et la réduction descontraintes de seconde classe.Pour j ∈ {1, .., N}, k ∈ {1, ..., N}, nous avons le tableau des crochets dePoisson des contraintes :{σ 0 (t, x), σ 0 (t, y)} = 0, (2.67){σ 0 (t, x), σ j 1 (t, y) }= 0, (2.68){σ 0 (t, x), σ j 2 (t, y) }= 0, (2.69){σ 0 (t, x), σ 3 (t, y)} = 0. (2.70)