Théories de jauge abéliennes scalaire et spinorielle `a 1+1 ...

A MES PARENTS

A MES NIECES, A MES NEVEUX...

RemerciementsEn premier lieu, je souhaite remercier les Professeurs Jan Govaerts et MahoutonNorbert Hounkonnou, co-directeurs de cette thèse qui ont encadré cetravail pendant ces quatre années, et qui ont guidé mes premiers pas dans lemonde de la recherche en physique théorique et mathématique. Je les remercievivement pour tout ce qu’ils m’ont appris, leur disponibilité, et leur soutienconstant. Qu’ils trouvent ici le témoignage de toute mon admiration et de toutemon amitié.Merci au Professeur Jean-Pierre Ezin, Directeur de l’Institut de Mathématiqueset de Sciences Physiques (IMSP) de l’Université d’Abomey Calavi (UAC),qui m’a permis de réaliser cette thèse en m’accueillant au sein de l’IMSP.Merci au Professeur Jean-Pierre Antoine, Président du Département de Physique,et au Professeur Youssef El Masri, Responsable de l’Institut de PhysiqueNucléaire (FYNU), de l’Université catholique de Louvain à Louvain-la Neuve(UCL, Belgique), qui m’ont permis de realiser dans cette Institution belge derenom une bonne partie de cette dernière année de la thèse, période cruciale s’ilen fut dans ce travail.Je tiens à remercier le Professeur Philippe Ruelle pour l’intérêt qu’il a apportéau document et de la lecture attentive qu’il en a fait, et d’avoir acceptéd’être également un des rapporteurs pour cette thèse.Je remercie le Professeur Jean-Pierre Antoine d’avoir accepté de présiderle Jury de cette thèse, ainsi que le Professeur S. Twareque Ali d’avoir acceptéd’être membre du Jury.C’est l’occasion pour moi de témoigner ma sincère gratitude au ProfesseurHamidou Touré ayant supervisé mes travaux pour l’obtention du diplômed’Etudes approfondies (DEA) à l’Université de Ouagadougou (Burkina-Faso).Merci aussi à tous les enseignants du départements de Physique de l’UFR/SEAde l’Université de Ouagadougou.Merci aux personnels administratif et enseignant de l’IMSP, ainsi qu’à tousles étudiants, avec qui j’ai passé de moments agréables.Merci au personnel administratif du FYNU, notamment Mesdames CarineBaras et Ginette Tabordon, ainsi qu’à tous les membres du Center for ParticlePhysics and Phenomenology (CP3) du département de Physique de l’Universitécatholique de Louvain. Merci à tous les personnels administratifs et académiquesde l’UCL pour leur chaleureux accueil durant mon séjour en Belgique.Merci au groupe du Professeur Jan Govaerts, notamment à Bruno Bertrandet Florian Payen pour la lecture attentive du texte final, l’intérêt qu’ils ontapporté à ce travail, et les nombreuses discussions fort constructives durantmon séjour en Belgique.Je tiens en outre à remercier, par ordre d’intervention, les organismes etcoopérations ayant financé les travaux de cette thèse et rendu ainsi possible saréalisation finale :-La Coopération belge CIUF-CUD/Burkina et CIUF-CUD/Bénin.-The Third World Organization for Women in Science (TWOWS).-L’Agence Universitaire de la Francophonie (AUF).Merci à la Chaire Internationale en Physique Mathématique et Applications(CIPMA, Cotonou) pour son soutien à la bonne réalisation de ce travail. Quetous les personnels administratifs et scientifiques de cette institution trouventici le témoignage de ma sincère gratitude pour toute leur sollicitude.

viiiSincères remerciements à tous mes amis pour leur soutien constant.Je voudrais remercier mes parents, mes soeurs, mes frères, les amis et alliésde ma famille dont l’affection, le soutien et la confiance m’ont permis de réaliserce travail dans la serenité.Mes pensées vont à toutes ces âmes généreuses de ce monde entier dontl’ardeur, le soutien, l’amour et les prières m’ont comblée et fortifiée.

Laure GOUBAIMSP-UAC/Porto-NovoRésumé de la thèseDans cette thèse, nous décrivons de récents résultats obtenus dans une étudenon perturbative de théories de jauge abéliennes U(1) couplées à des champsde matière soit spinoriels, soit scalaire, à 1 + 1 dimensions d’espace-temps. Lestechniques utilisées sont celles de la quantification de Dirac des systèmes singuliersen s’attachant à ne pas fixer en aucune manière la liberté liée à la symétriede jauge mais plutôt en isolant le secteur physique de la théorie.Tout d’abord, le modèle de Schwinger à N saveurs de particules de massesnulles, est considéré, sans fixation de jauge, contrairement aux études dans lalittérature où la jauge de Coulomb est fixée. Nous poursuivons cette étude ence qui concerne les symétries chirales et globales de saveurs, un aspect habituellementignoré dans la littérature pour ce modèle. Nous étudions ensuitela dynamique non perturbative du secteur physique du modèle de l’électrodynamiquescalaire en dimension 1 + 1 d’espace-temps de Minkowski. Nousmontrons que les configurations rendant l’énergie minimale sont celles pour lesquellesle champ électrique est nul. Nous déterminons le spectre de fluctuationspour ces configurations afin d’étudier la stabilité classique des configurationsobtenues, qui comprennent des solutions de type soliton. Enfin, nous étudionsdans notre formulation manifestement physique (invariante de jauge) la dynamiquenon perturbative habituellement associée aux configurations instantonsdans des formulations basées sur une fixation de la symétrie de jauge.AbstractIn this thesis, we describe some recent results obtained in the nonperturbativestudy of scalar and spinor abelian U(1) gauge theories in two dimensionalspace-time. The techniques used are on the Dirac quantisation methodsof constrained systems, avoiding any gauge fixing procedure whatsoever, butrather by factoring the physical (gauge invariant) sector of the theory.First, the Schwinger model with N massless flavors is considered, in theabsence of any gauge fixing, in contradistinction to analyses available in theliterature where Coulomb gauge fixing is effected. This is followed by a carefulanalysis of the global chiral symmetries of these models, an issue usually notadressed in the literature. Next, the nonperturbative dynamics of the physicalsector of scalar electrodynamics in 1 + 1 dimensions is considered. Minimalenergy configurations are shown to be associated to a vanishing electric field.Their fluctuation spectrum is also analysed in order to assess their classical stability,such solutions including soliton configurations. Finally, within our physical(gauge invariant) formulation, the nonperturbative dynamics usually associatedto instanton configurations in a gauge fixed approach to the model is furtherunderstood.

Table des matièresIntroduction 11 Théories de jauge en dimension deux 51.1 Le Modèle Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Les particules de matière ou fermions . . . . . . . . . . . 61.1.2 Les forces fondamentales de l’univers . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Les particules messagères dites virtuelles, ou médiateurs . 61.2 Champs relativistes libres dans un espace de Minkowski de dimensiondeux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Le champ scalaire réel relativiste libre de masse nulle . . . 71.2.2 Le champ scalaire complexe de masse nulle . . . . . . . . 101.2.3 Le champ fermionique libre de masse nulle . . . . . . . . . 101.2.4 Le champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Approche hamiltonienne de Dirac des systèmes singuliers . . . . 151.4.1 Contraintes primaires et secondaires . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Contraintes de seconde classe . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3 Contraintes de première classe . . . . . . . . . . . . . . . 182 Le modèle de Schwinger à N saveurs 192.1 Etude classique du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1 Définition du modèle d’interaction . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Caractère singulier du système . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.3 Formulation Hamiltonienne fondamentale . . . . . . . . . 302.1.4 Symétries et charges conservées . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Etude quantique du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1 Quantification canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Bosonisation du secteur fermionique . . . . . . . . . . . . 352.2.3 Redéfinition des degrés de liberté quantiques du système . 392.2.4 Anomalies quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 Symétries globales non abéliennes de saveur 473.1 Symétries chirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.1 Courants SU(N) ± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.2 Espace de Hilbert des états quantiques . . . . . . . . . . . 503.1.3 Opérateurs de vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Algèbre de Kac Moody affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.1 Calculs de produits ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . 52

xiiTABLE DES MATIÈRES3.2.2 Relations de commutations fondamentales . . . . . . . . . 543.2.3 Opérateur de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.4 Algèbre de Kac Moody affine . . . . . . . . . . . . . . . . 584 L’électrodynamique scalaire 614.1 Le choix du Lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Formulation Hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.1 Le champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.2 Moments conjugués canoniques . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.3 Transformations de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.4 La formulation hamiltonienne physique . . . . . . . . . . 664.3 La formulation lagrangienne physique . . . . . . . . . . . . . . . 674.3.1 Le champ pseudoscalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.2 Le champ radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3.3 Théorème de Noether et translations d’espace-temps . . . 694.3.4 Equations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4 Configurations statiques du modèle dans son secteur physique . . 714.4.1 Configurations du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4.2 Configurations solitoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 725 Spectre de fluctuations 795.1 Linéarisation autour des configurations statiques fondamentales . 795.2 Equations aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Spectre de fluctuations des configurations du vide . . . . . . . . . 815.4 Spectre de fluctuations des configurations solitoniques sur la droiteréelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.4.1 Spectre de fluctuation en δρ . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4.2 Spectre de fluctuation pour δB . . . . . . . . . . . . . . . 835.5 Spectre de fluctuations des configurations solitoniques sur le cercle 845.5.1 Spectre de fluctuations en δρ . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5.2 Spectre de fluctuations en δB . . . . . . . . . . . . . . . . 856 Formulation euclidienne 896.1 Continuation euclidienne de l’action initiale . . . . . . . . . . . . 906.1.1 Densité lagrangienne euclidienne . . . . . . . . . . . . . . 906.1.2 Transformation duale en terme du champ de jauge . . . . 936.2 Points stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.3 Théorie euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3.1 L’action effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3.2 Les contributions singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3.3 Le critère de confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.4 Construction des vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Conclusion 105Bibliographie 109

IntroductionDe la physique classique au Modèle Standard, le principe d’invariance dejauge est à la base de notre compréhension dynamique de la nature. Les théoriesde jauge constituent une classe de théories physiques basées sur l’usage systématiquede certaines transformations de symétries et l’invariance de la dynamiquesous ces transformations.La première personne à mettre directement en évidence la symétrie de jaugefut James Clerk Maxwell par l’entremise de sa théorie électromagnétique. Lasymétrie des équations de Maxwell permet effectivement un choix de jaugene modifiant pas la physique des équations. Par contre, l’importance de cettesymétrie demeure inexploitée jusqu’à la formulation complète de la relativitégénérale. En 1919, Hermann Weyl, dans un essai pour unifier l’électromagnétismeet la relativité générale, découvre que l’invariance d’échelle (ou de jauge)devient locale lors du passage de la relativité restreinte à la relativité générale.Le caractère géométrique de ce résultat sera par la suite largement étudié. Aprèsla mise en place de la mécanique quantique, Weyl, avec l’aide de Vladimir Focket de Fritz London, travaillera à l’élaboration d’un nouveau type de jauge, qu’ilsappliqueront à cette nouvelle mécanique. Le passage d’une jauge de type facteurd’échelle à une jauge complexe de type changement de phase, permettrad’expliquer les effets du champ électromagnétique sur la fonction d’onde d’uneparticule chargée. Cette première théorie de jauge sera mise en valeur par WolfgangPauli, l’un des pionniers de la mécanique quantique.Les travaux de Chen Ning Yang et de Robert Mills, qui eurent lieu au débutdes années cinquante, étaient basés sur l’hypothèse audacieuse que les propriétéssymétriques des particules possèdent essentiellement un caractère local. Cettehypothèse établit donc un pont entre les symétries globales et les symétrieslocales exactement comme le fait la théorie de la relativité générale d’Einsteinqui relie les différents référentiels. Ce qui est remarquable est que la théorie dela relativité générale ne traite que de la force de gravité alors que la théoriede Yang-Mills ne traite que de la force nucléaire forte. Ainsi Yang et Mills onttraité un problème microscopique d’une manière similaire à celle d’Einstein pourun problème d’une échelle de grandeur extrèmement éloignée. Cette similitudeentre ces théories qui semblent initialement éloignées a permis au concept d’unesymétrie de jauge d’être promis comme fondement profond pour la formulationsubséquente de théories plus vastes, plus unificatrices.Le Modèle Standard est le fruit de plusieurs années de recherches théoriqueset expérimentales. Le point de départ est l’électrodynamique quantique etrelativiste (QED), achevée entre 1948 et 1949, qui est la théorie quantique etrelativiste de l’interaction électromagnétique. En 1954, C. N. Yang et R. Millsgénéralisent QED en développant les théories de champs de jauge, outil indis-

2pensable pour l’élaboration du Modèle Standard et, en particulier la premièretentative d’unification des interactions faible et électromagnétique en une théorieélectrofaible par S. L. Glashow en 1961.Le problème principal de la théorie électrofaible de Glashow est que lesparticules qu’elle décrit sont sans masse, ce qui est en désaccord avec la réalité.En 1967, S. Weinberg et A. Salam modifient ce modèle en y incorporant le bosonde Higgs qui permet de donner une masse aux particules de la théorie.Finalement, en 1970, S. L. Glashow, J. Iliopoulos et L. Maiani intègrent lesquarks à la théorie électrofaible en prédisant l’existence du quatrième quark, lecharme. Quelques années plus tard, la Chromodynamique Quantique (QCD) estajoutée à la théorie électrofaible pour expliquer l’interaction forte : le ModèleStandard est né.Le Modèle Standard de la physique des particules est la théorie actuellequi permet d’expliquer tous les phénomènes observables à l’échelle des particules.Le Modèle Standard englobe donc toutes les particules connues ainsique les trois interactions ayant un effet à l’échelle des particules : l’interactionélectromagnétique, l’interaction forte et l’interaction faible. Le Modèle Standardpermet donc d’expliquer tous les phénomènes naturels sauf la gravitation qui,pour l’instant, résiste aux théoriciens pour une formulation quantique.Notre travail s’inscrit dans l’étude de solutions non perturbatives de théoriesquantiques de champs relativistes possédant des symétries locales de jauge.En effet, dans un espace-temps de Minkowski de dimension quatre, de tellesthéories avec des symétries de Yang-Mills non abéliennes forment aujourd’huila base du Modèle Standard de toutes les particules et interactions fondamentalesconnues, à l’exception des interactions gravitationnelles. Cependant, enplusieurs de leurs aspects non perturbatifs liés à la structure topologique desespaces de configuration des champs correspondants, des questions importantesrestent encore largement incomprises en profondeur, et nécessitent de développerde nouvelles techniques non perturbatives en théorie quantique des champs.Ainsi par example, le problème du confinement des quarks dans la théorie desinteractions fortes, la chromodynamique quantique (QCD), ou encore celui dela brisure dynamique spontanée des symétries chirales dans la limite de quarksde masses nulles, sont des questions brûlantes d’actualité en spectroscopie hadronique,avec la situation confuse des candidats pentaquarks observés depuisdeux ans dans diverses expériences.Afin de développer de telles techniques non perturbatives, un laboratoireidéal ayant déjà fait ses preuves est celui de théories de champs quantiques relativistesà 1+1 dimensions d’espace-temps de Minkowski. Par exemple le célèbremodèle de Schwinger, correspondant à l’électrodynamique quantique avec unesaveur d’électron de masse nulle, fournit un des rares exemples d’une théorieexactement résoluble et présentant des propriétés analogues à celles du confinementet de la brisure des symétries chirales de QCD.Une première composante de notre travail consiste en une introduction deschapitres suivants par des rappels de notions de base sur le Modèle Standard,les champs relativistes dans un espace-temps de Minkowski de dimension deux,les symétries et la méthode de Dirac de quantification de systèmes singuliers.Une seconde composante du travail consiste en l’extension du modèle deSchwinger à plusieurs saveurs de particules de même charge électrique non nulleet de masse nulle à 1 + 1 dimensions.Une troisième composante consiste en une étude détaillée des symétries glo-

ales non abéliennes de saveur. Cette étude nécessite de mettre en oeuvre defaçon implicite des techniques développées en théories des supercordes durantles années 1990.Une quatrième composante de ce travail consiste en l’étude du modèle del’électrodynamique scalaire en dimensions 1 + 1 d’espace-temps de Minkowski,dans un potentiel a priori arbitraire dépendant du module du champ scalairecomplexe que nous choisissons par la suite à la Higgs. Notre attention s’estportée sur le secteur physique de ce modèle ainsi que les solutions d’énergiesminimales des équations du mouvement.Une cinquième composante consiste en l’étude des fluctuations au voisinagedes configurations d’énergies minimales, solutions des équations du mouvement.Une sixième et dernière composante consiste en la formulation euclidiennedu modèle de l’électrodynamique scalaire. Nous avons examiné la présence d’instantonspour ce modèle dans son secteur physique en développant une approcheoriginale à la contribution des instantons dont tout le potentiel et les retombéesrestent encore à exploiter et finaliser bien au-delà de ce travail spécifique.3

Chapitre 1Théories de jauge endimension deuxLes théories de jauge sont décrites par une action invariante sous des symétrieslocales et continues. Ces symétries jouent un rôle primordial en physiquethéorique et moderne.[1] Toutes les forces fondamentales de la nature connuesaujourd’hui sont formulées avec succès par de telles théories. Ainsi l’électrodynamiquequantique des quarks et leptons est basée sur la symétrie de jaugecorrespondant au groupe U(1) ; le groupe SU(2) × U(1) est celui de la descriptionunifiée des forces électrofaibles. Le groupe de jauge de la chromodynamiquequantique décrivant les interactions fortes est SU(3). En dimension deuxd’espace-temps, les théories de jauge s’étudient avec moins de difficultés.Une conséquence importante de l’invariance de jauge est que les degrés deliberté du système ne sont pas tous physiques. Lors d’une quantification parintégrale de chemin qui préserve manifestement la covariance relativiste, lespropagateurs de la théorie ne sont pas tous bien définis. Pour remédier à cettesituation, il faut choisir une jauge et s’assurer que les résultats physiques finauxne dépendent pas du choix de fixation de jauge et qu’ils sont bien équivalentsà ceux que fournit la théorie dans laquelle seuls les degrés physiques ont étéquantifiés. Les théories de jauge sont décrites par des systèmes contraints. Cependantl’inverse n’est pas toujours vrai car il existe des systèmes contraintsqui ne s’inscrivent pas dans le cadre des théories de jauge, c’est le cas parexemple des systèmes ne possèdant que des contraintes de seconde classe. Ainsidans l’approche canonique de la quantification, la présence des symétries dejauge impose l’utilisation du formalisme de Dirac des systèmes hamiltoniens àcontraintes appelés encore systèmes singuliers.[2, 3]Dans ce chapitre nous décrivons brièvement quelques aspects du ModèleStandard de la physique des particules qui est le cadre général dans lequels’inscrivent la plupart des théories de jauge que nous étudions et ensuite nousabordons quelques concepts de base relatifs à de telles théories.1.1 Le Modèle StandardLe Modèle Standard est une théorie qui s’applique aux objets quantiqueset qui tente d’expliquer les observations que nous faisons du monde qui nous

6 Théories de jauge en dimension deuxentoure. Il utilise un formalisme mathématique très élaboré et très hermétiquepour le non spécialiste. La puissance de ce formalisme vient de ce qu’il a permisde prédire l’existence des particules. Les bosons intermédiaires qui ont étédécouverts expérimentalement par la suite en constituent une illustration vivante.C’est une théorie qui est bâtie sur le triptyque particule, force, médiateur,c’est-à-dire qu’elle distingue les familles de particules par les forces auxquelleselles sont sensibles. De plus chaque force possède un médiateur que peut êtreéchangé les particules qui y sont soumises.1.1.1 Les particules de matière ou fermionsLes fermions semblent constituer la matière élémentaire de notre univers.Ils ont pour spin 1/2. Les différents fermions se regroupent en deux grandescatégories déterminées par la participation aux interactions fondamentales :d’une part, les leptons qui ne participent pas à l’interaction forte, et d’autrepart, les quarks qui eux, participent à toutes les interactions. Dans la catégoriedes leptons, les leptons chargés participent à l’interaction électromagnétique et àl’interaction faible alors que les leptons neutres ou neutrinos ne participent qu’àl’interaction faible. La participation des constituants élémentaires aux interactionsfondamentales est conditionnée par leurs nombres quantiques conservés oucharges d’interaction. A chaque constituant de la matière est associée son antiparticule,une particule de même masse et de charge opposée. Ainsi, à chaquefermion correspond une antiparticule identique, mais de charge opposée.1.1.2 Les forces fondamentales de l’universElles sont au nombre de quatre : la force de gravitation, la force électromagnétique,la force forte et la force faible. La première, responsable de la pesanteur,de la marée ou encore des phénomènes astronomiques, s’exerce surtoutes les particules proportionnellement à leur masse. La seconde, responsablede l’électricité, du magnétisme, de la lumière ou encore des réactions chimiqueset biologiques, s’exerce sur les particules de matière électriquement chargées. Latroisième s’exerce sur les quarks et assure la cohésion du noyau atomique. Quantà la quatrième, elle s’exerce sur certains quarks et leptons et est responsable desradioactivités β − et β + , qui permet au soleil de briller.Ces quatre forces sont décrites respectivement par quatre théories : la relativitégénérale, l’électrodynamique quantique, la chromodynamique quantiqueet la théorie électrofaible qui associe les forces faible et électromagnétique, lestrois dernières étant décrites par le Modèle Standard.1.1.3 Les particules messagères dites virtuelles, ou médiateursLes forces s’exercent entre particules par échange de particules spéciales“porteuses de forces” et appelées bosons, qui transportent des quantités discrètesd’énergie d’une particule à l’autre.Pour chacune des forces fondamentales, on a défini des particules supportsde ces forces qui sont observées indirectement par leur action : le photon (spin1, masse et charge nulles) pour la force électromagnétique, 8 gluons (spin 1 etmasse nulle ) pour la force forte, 3 bosons (spin 1) appelés bosons intermédiaires.

1.2 Champs relativistes libres dans un espace de Minkowski dedimension deux 7Un grand succès du Modèle Standard est l’unification des forces électromagnétiqueet faible dans ce que nous appelons la force électrofaible. Dans lapremière version du Modèle Standard, toutes les particules décrites (matière etrayonnement) devraient être de masse nulle. Il est évident que cela posait unproblème puisque de nombreuses particules connues sont de masses non nullesmesurées expérimentalement.Les théoriciens ont alors eu l’idée d’ajouter au modèle une nouvelle interactionde nature différente des deux autres (forte et électrofaible) et une nouvelleparticule de spin 0 : le boson de Higgs. Les interactions entre les fermionsélémentaires de masse nulle et le boson de Higgs donnent alors une masse à cesfermions ainsi qu’aux bosons de jauge électrofaibles W ± et Z 0 correspondantdonc à la réalité telle qu’elle est observée.Le Modèle Standard dans sa forme actuelle fait donc une double prédiction :l’existence d’une nouvelle particule de spin 0, le boson de Higgs et l’existenced’une cinquième interaction fondamentale dont le médiateur est le boson deHiggs.Aujourd’hui les physiciens essayent également d’inclure la force forte dans unschéma unifié appelé la Théorie de la Grande Unification (GUT). Ils envisagentaussi la possibilité d’y inclure la gravité, unifiant ainsi toutes les forces de lanature en une seule “superforce”.1.2 Champs relativistes libres dans un espace deMinkowski de dimension deuxLe cadre conceptuel dans lequel sont décrites aujourd’hui les particules élémentairesest celui de la théorie des champs relativistes quantifiés, où les quanta deces champs évoluent dans l’espace-temps de Minkowski.[1] Dans le cas d’un espacede dimension deux, de coordonnées d’espace-temps x µ (µ = 0, 1) où x 1désigne la composante spatiale et (x 0 = ct) la composante temporelle, c étantla vitesse de la lumière dans le vide, nous supposons un choix d’unités tel que(c = 1 = ), la géométrie de cet espace-temps de Minkowski étant déterminéepar la métrique g µν dont les composantes non nulles sont les composantes diagonaleset de signature (+, −).1.2.1 Le champ scalaire réel relativiste libre de masse nulleConsidérons un champ scalaire réel de masse nulle φ(x µ ) (µ = 0, 1) définisur l’espace-temps de Minkowski et le principe d’action minimale pour l’actionS[φ(x µ )] de ce système donné par une densité lagrangienne L(φ, ∂ µ φ) localedans l’espace-temps,∫S[φ(x µ )] = dx µ L(φ, ∂ µ φ). (1.1)La densité lagrangienne considérée ici est simplement,Notons que g µν = (+, −).∞L = 1 2 g µν∂ µ φ∂ ν φ. (1.2)

8 Théories de jauge en dimension deuxCette densité lagrangienne définit la dynamique de ce système. Le momentconjugué π φ (t, x) au champ scalaire φ(t, x) est défini parπ φ (t, x) =∂L∂ (∂ 0 φ(t, x)) = ∂ 0φ(t, x), (1.3)tandis que les crochets de Poisson non nuls sont eux, définis à temps égal par{φ(t, x), π φ (t, y)} = δ(x − y). (1.4)L’évolution temporelle du système est engendrée par l’Hamiltonien canonique∫H 0 = dxH 0 (φ, π φ ) , (1.5)où H 0 (φ, π φ ) désigne la densité hamiltonienne canonique donnée parH 0 (φ, π φ ) = ∂ 0 φπ φ − L(φ, ∂ µ φ) = 1 2 π2 φ + 1 2 (∂ 1φ) 2 . (1.6)Les équations du mouvement d’Euler-Lagrange∂ µconduisent à l’équation de Klein-Gordon∂L∂(∂ µ φ) − ∂L = 0, (1.7)∂φ(∂ 2 0 − ∂ 2 1)φ(t, x) = 0. (1.8)L’avantage d’être en dimension deux d’espace-temps est que l’on peut compactifierla droite réelle en un cercle de longueur L. C’est un choix que nousferons implicitement dans la plus grande partie de ce travail. En effet, il évitele problème de divergences infra-rouges dans le cas de champs physiques demasse nulle, tandis que le spectre de quantité de mouvement des particules estalors discrétisé, rendant plus aisées certaines manipulations de grandeurs potentiellementdivergentes à courte distance. Ainsi, nous considérons une topologiecylindrique avec des conditions de périodicité aux bords. La solution généralede (1.8) estφ(t, x) =⎧1 ⎨√4π ⎩ q 0 + 4π L α 0t + i ∑ ( 1n α ne − 2iπL n(t+x) − 1 )n α† ne 2iπL n(t+x)n≥1+ i ∑ n≥1( 12iπ − LnᾱnePar définition du moment conjugué, il s’en suit quen(t−x) − nᾱ† 1 ) ⎫ ⎬ne 2iπL n(t−x) ⎭ . (1.9)π φ (t, x) = ∂ 0 φ(t, x)=+ 2π L⎧1 ⎨4π√4π ⎩ L α 0 + 2π L∑ (n≥1ᾱ n e − 2iπL∑ (n≥1α n e − 2iπLn(t+x) − α ne † 2iπ n(t+x))Ln(t−x) + ᾱ † ne 2iπL n(t−x))⎫ ⎬⎭ , (1.10)

1.2 Champs relativistes libres dans un espace de Minkowski dedimension deux 9de sorte que les crochets de Poisson non nuls correspondants sont donnés par{q 0 , α 0 } = 1 ,{αn , α m† }= −inδm,n = { ᾱ n , ᾱ m† }, (1.11){φ(t, x), π φ (t, y)} = 1 L+∞∑n=−∞e − 2iπL n(x−y) =+∞∑n=−∞δ(x − y + nL) = δ L (x − y), (1.12)où δ L (x − y) désigne la fonction δ de Dirac périodique, définie sur le cercle decirconférence L (la formule de resommation de Poisson est invoquée dans cesidentités).Au niveau quantique et dans l’image de Schrödinger (à t = 0) le champ quantiquecorrespondant est représenté par l’opérateurφ(x) =⎡1√ ⎣q 0 + 4π 4π L α x − x0 + i ∑ 1(2 nn≥1+ i ∑ n≥11(nᾱ n e 2iπLα n e − 2iπLnx − α ne † 2iπ nx) Lnx − ᾱ † ne − 2iπL nx)⎤ ⎦ , (1.13)les commutateurs non nuls étant ( = 1)[q 0 , α 0 ] = i ,[αn , α m† ]= nδm,n ,[ᾱn , ᾱ m† ]= nδm,n . (1.14)Le champ φ étant de masse nulle, il admet une décomposition chiraledont les modes de chiralité s’expriment parφ ± (x) =φ(x) = φ + (x) + φ − (x), (1.15)⎡1√ ⎣q ±,0 + 2π 2π L α ±,0(±x) + i ∑ 1(α ±,n e − 2iπLnn≥1n(±x)−α † ±,ne 2iπL n(±x))] , (1.16)avec les identificationsq ±,0 = 1 2 q 0 , α ±,0 = α 0 , α +,n = α n , α −,n = ᾱ n , (1.17)ainsi que les commutateurs non nuls[]α ±,n , α † ±,m = nδ m,n . (1.18)Ces résultats sont d’utilité dans le chapitre suivant, lorsque les spineurs de Diracsont bosonisés en terme de scalaires chiraux.

10 Théories de jauge en dimension deux1.2.2 Le champ scalaire complexe de masse nulleA partir de deux champs scalaires réels libres de masses nulles φ 1 (x µ ) etφ 2 (x µ ), on peut obtenir un champ scalaire complexe de masse nulleoù le facteurφ(x µ ) = 1 √2[φ 1 (x µ ) + iφ 2 (x µ )] , (1.19)1√2est un facteur de normalisation et les champs φ 1 et φ 2 en sontrespectivement la partie réelle et la partie imaginaire. La densité lagrangiennedu système s’écrit alorsL = |∂ µ φ| 2 . (1.20)Les solutions à l’équation du mouvement du champ scalaire complexe φ ainsique les différentes propriétés sont immédiatement construites, en utilisant cellespour les champs réels φ 1 et φ 2 et la formule (1.19)Contrairement au champ scalaire réel qui ne peut pas être couplé au champde jauge électromagnétique du fait que celui-ci est associé à une symétrie dephase locale φ → e iα φ, opération qui n’a pas de sens si φ est réel, le champcomplexe qui se définit à partir des deux champs scalaires réels (1.19) et dont lasymétrie de phase correspond à une rotation dans le plan (φ 1 , φ 2 ), se couple auchamp de jauge électromagnétique. C’est le cas du modèle de l’électrodynamiquescalaire faisant l’objet du chapitre 4.1.2.3 Le champ fermionique libre de masse nulleEn théorie quantique relativiste des champs de masse nulle, il existe plusieursreprésentations du champ fermionique. Ici on s’intéresse au champ fermioniquede Dirac dans sa représentation chirale.On considère dans un espace temps de Minkowski de dimension deux, unchamp fermionique de Dirac de masse nulle ψ(t, x) dont la densité lagrangienneest exprimée parL = i ¯ψγ µ ∂ µ ψ, (1.21)avec ¯ψ = ψ † γ 0 , ψ † étant le conjugué hermitien du bi-spineur ψ. Les matricesγ µ définissent l’algèbre de Clifford-Dirac, donnée dans la représentation chiraleen terme des matrices de Pauli de la manière suivanteγ 0 =( 0 11 0), γ 1 =( 0 1−1 0), γ 5 = γ 0 γ 1 =( −1 00 1). (1.22)Les champs fermioniques de Dirac dans cette représentation de chiralité sedécomposent par( )ψ+ψ = , ψ † = ( ψ † ψ+ ψ † )− , (1.23)−dont les modes vérifient la conditionγ 5 ψ ± = ∓ψ ± . (1.24)

1.2 Champs relativistes libres dans un espace de Minkowski dedimension deux 11Les équations du mouvement d’Euler-Lagrange deviennent alors de Dirac∂ 0 ψ ± = ±∂ 1 ψ ± . (1.25)En considérant une topologie cylindrique comme dans le cas du champ scalaireréel et en se donnant des conditions aux bords périodiques (d’autres choixsont également possibles), les solutions à ces équations peuvent s’exprimer selonla décomposition en modes de Fourier discrets parψ ± (t, x) = 1 √L+∞∑n=−∞ψ ±,n e − 2iπL n(t±x) . (1.26)Au niveau classique, les composantes des champs fermioniques de Dirac sontdes degrés de liberté de Grassmann impairs et complexes qui anticommutent.La quantification canonique met en correspondance les crochets de Poissondéfinis pour des variables de Grassmann impaires et les anticommutateurs desopérateurs quantiques associés.Au niveau quantique et dans l’image de Schrödinger au temps t = 0, substituantdans (1.26) nous obtenonsz = e 2iπL (±x) (1.27)√Lψ± (z) =+∞∑n=−∞ψ ±,n z −n ,√Lψ†±(z) =+∞∑n=−∞ψ † ±,nz n . (1.28)Les modes fermioniques quantiques obéissent aux relations d’anticommutativitépour ces opérateurs.{ }ψ ±,n , ψ † ±,m = δ m,n , (1.29)de sorte que nous obtenons les règles d’anticommutation canoniques{ψ(x) , ψ † (y) } =+∞∑n=−∞1.2.4 Le champ vectorielδ(x − y + nL) = δ L (x − y). (1.30)Dans un espace-temps de Minkowski de dimension deux dont la métriqueassociée est de signature (+, −), on considère le champ vectoriel A µ (t, x) µ =(0, 1) auquel est associé le champ tensorielF µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ , (1.31)où A 0 désigne la composante temporelle et A 1 la composante spatiale. La densitélagrangienne décrivant ce système estL = − 1 4 F µνF µν . (1.32)

12 Théories de jauge en dimension deuxLes degrés de liberté de l’espace de phase sont les champs de jauge A µ (µ =0, 1) et leurs moments conjuguésavecπ µ =∂L∂(∂ 0 A µ ) = F µ0 , (1.33)π 1 = ∂ 0 A 1 − ∂ 1 A 0 , π 0 = 0. (1.34)Les crochets de Poisson canoniques non nuls sont{A µ (t, x), π ν (t, y)} = δ ν µδ(x − y), (1.35)tandis que la densité hamiltonienne est donnée parH 0 = ∂ 0 A µ π µ − L= 1 2 (π1 ) 2 − ∂ 1 π 1 A 0 + ∂ 1 [π 1 A 0 ]. (1.36)Les degrés de liberté dynamiques du système sont les composantes spatialesA 1 et π 1 , munis de leur crochet de Poisson, tandis que π 0 est considérécomme contrainte et A 0 apparaît généralement comme étant un multiplicateurde Lagrange. Nous reviendrons sur ces notions dans le paragraphe relatif auxcontraintes.Les équations du mouvement selon Euler-Lagrange en A 1 , A 0 sont respectivement∂ 0 A 1 = π 1 + ∂ 1 A 0 , ∂ 0 π 1 = 0. (1.37)En dimension quatre d’espace-temps, les quantas associés à un tel champvectoriel sont des particules de spin unité ou d’hélicité (±1). C’est le cas parexemple du champ associé au photon, à savoir le champ de jauge de l’électromagnétisme.Au niveau quantique et dans l’image de Schrödinger en t = 0, les degrés deliberté classique A µ , π ν correspondent à des opérateurs, les crochets de Poissonclassiques non nuls se substituant aux commutateurs.[A µ (x) , π ν (y)] = iδ ν µδ(x − y). (1.38)Cependant lorsque l’on se restreint en dimension 1+1 d’espace-temps, au niveauquantique, il survit le secteur A 1 , π 1 et donc le commutateur[A1 (x), π 1 (y) ] = iδ(x − y). (1.39)1.3 SymétriesDans le language courant, le mot symétrie signifie une correspondance exacteen forme, taille et position de parties opposées (définition du Petit Robert).On parlera ainsi de symétrie entre un objet et son image dans un miroir. Engéométrie, le terme symétrie prend un sens plus général qui peut se définircomme suit ; transformation qui ne change ni la forme, ni les dimensions d’une

1.3 Symétries 13figure. On peut remarquer que le sens courant du mot symétrie correspond à uncas particulier de symétrie au sens géométrique du terme, qui consiste à inverserles objets par rapport à un plan.En physique, la définition d’une symétrie est semblable à sa consoeur géométriquemais s’applique aux lois de la nature et non plus aux figures géométriques.Ainsi une symétrie en physique est une transformation des variables du système,qui peuvent être des variables géométriques ou plus abstraites qui ne changentpas la formulation des lois physiques.[4]Il est possible de distinguer deux grandes familles de symétries en physique(et en géométrie d’ailleurs) : les symétries globales et les symétries locales.En ce qui concerne les symétries globales où la même transformation s’appliquepartout, les symétries globales internes (isospin, couleur, saveur, chirale)sont déterminantes pour caractériser les propriétés d’invariance des interactionsfondamentales et classer les particules élémentaires en familles. Les symétriesglobales discrètes sont ; la transformation de parité (notée transformation P) quiconsisterait à remplacer les positions des différentes composantes d’un systèmephysique par leurs opposés (transformation de x à −x), la transformation parinversion de toutes les charges électriques impliquées dans un phénomène (notéetransformation C) ne change en rien les lois qui régissent ce phénomène, latransformation par inversion du sens du temps (notée transformation T) nemodifie en rien les lois de la physique.Les symétries d’espace-temps sont généralement des symétries globales (dansun espace-temps de Minkowski). Il s’agit des symétries suivantes : la symétrie parrapport aux translations dans l’espace, la symétrie par rapport aux translationsdans le temps et la symétrie par rapport aux changements de repères animésd’une vitesse uniforme.Les physiciens ont très vite remarqué que la nature est intrinsèquementinvariante ou symétrique pour certaines transformations globales, notammentles symétries (C,P,T), mais également vis-à-vis de syméries locales, appeléessymétries de jauge. Ces symétries locales sont caractérisées par une transformationqui dépend de la variable à transformer, notamment s’il s’agit d’unetransformation géométrique, cette transformation va dépendre de la position.Comme exemple de symétrie locale, on peut considérer la transformation localedu temps et de la position. Cette symétrie consiste à modifier, en chaquepoint de l’espace-temps le point et l’espace de reférence. Les symétries internespeuvent être aussi locales, c’est le cas en théorie de jauge.Les symétries dynamiques sont associées aux lois de conservation. En vertudu théorème de Noether, il existe autant de courants et charges conservés qu’ily a de paramètres indépendants pour ces groupes de symétries continus. Lescharges conservées sont déterminées par l’intégrale spatiale de la composantetemporelle du courant conservé correspondant.Nous illustrons ce paragraphe par la donnée de symétries associées auxdifférents champs libres étudiés dans le paragraphe précédent.En ce qui concerne le champ scalaire complexe libre φ de masse nulle et sadynamique, il existe par construction une classe de symétries qui est celle dessymétries de l’espace-temps de Minkowski, à savoir le groupe de Poincaré comprenantaussi bien les translations dans l’espace-temps que les transformationsde Lorentz préservant la métrique de Minkowski de l’espace-temps. Cependantil existe une symétrie interne – c’est-à-dire n’agissant pas sur la dépendancespatio-temporelle du champ – associée à la phase de ce champ. Le groupe de

14 Théories de jauge en dimension deuxsymétrie correspondant est le groupe abélien U(1) agissant sur la phase de cechamp φ,φ(x µ ) → φ ′ (x µ ) = e iα φ(x µ ). (1.40)Cette symétrie interne est dite globale puisque le changement de phase (e iα )est identique en tout point de l’espace-temps, le paramètre α étant constant.Par rapport à cette symétrie de phase U(1), le courant de Noether conservécorrespondant est donné parJ µ = i [ φ † ∂ µ φ − ∂ µ φ † φ ] , µ = 0, 1, (1.41)et la charge conservée associée déterminée en conséquence par∫Q = dxJ 0 . (1.42)∞En ce qui concerne le champ fermionique libre de Dirac de masse nulle et sadynamique, il existe par construction une symétrie liée à l’invariance sous lestransformations de Lorentz de l’espace-temps de Minkowski de la combinaison¯ψγ µ ∂ µ ψ, µ = 0, 1. (1.43)Une symétrie globale de ce système est celle des transformations de phase duspineur de Dirac ψ(x),ψ ′ (x) = e iα ψ(x) , ¯ψ(x) = e−iα ¯ψ(x), (1.44)où α est un paramètre réel indépendant des coordonnées x µ de l’espace-temps.En vertu du théorème de Noether, le courant conservé associé à cette symétriede phase est le courant vectorielJ µ V (x) = ¯ψ(x)γ µ ψ(x), (1.45)dont la charge conservée correspondante est donc∫Q V = dx ¯ψ(x)γ 0 ψ(x). (1.46)∞La masse étant nulle, outre la symétrie de phase, il existe la transformationchirale de la formeψ ′ (x) = e iαγ5 ψ(x) , ¯ψ′ (x) = ¯ψ(x)e iαγ5 , (1.47)qui transforme donc de manière différente les composantes de chiralités opposéesdu spineur de Dirac ψ(x), avec dans chaque cas un angle de mélange lié auparamètre réel constant α. Le système possède donc une symétrie chirale. Lescourants et les charges conservés associés à la symétrie chirale de type axialU(1) A sont∫J µ A (x) = ¯ψ(x)γ µ γ 5 ψ(x) , Q A =∞dx ¯ψ(x)γ 0 γ 5 ψ(x). (1.48)

1.4 Approche hamiltonienne de Dirac des systèmes singuliers 15En ce qui concerne le champ vectoriel libre de masse nulle, le système estinvariant sous les transformations de Lorentz. Il possède une symétrie additionnelle,à savoir celle sous laquelle le champ se transforme comme suit :A µ (x) → A ′ µ(x) = A µ + ∂ µ χ(x), µ = 0, 1, (1.49)où le paramètre de transformation χ(x) est une fonction locale dans l’espacetemps.Cette symétrie du champ vectoriel de masse nulle est donc une symétrielocale ou encore une symétrie de jauge.Nous terminons ce paragraphe par la notion de brisure spontanée de symétrie.En effet, certaines solutions des équations de la physique peuvent casserou briser la symétrie de la théorie. On parle de brisure spontanée de symétriequi est un phénomène par lequel un système physique possède des solutions nepossèdant pas toutes les symétries de ses équations du mouvement.1.4 Approche hamiltonienne de Dirac des systèmessinguliersDans l’étude de la quantification canonique des théories de jauge, l’approchehamiltonienne de Dirac des systèmes singuliers est la plus appropriée, due àl’existence des contraintes. Dans ce qui suit, nous donnons une descriptiongénérale de cette approche utilisée de façon spécifique dans les chapitres (2)et (4).[2, 3, 4]Considérons un système physique à N degrés de liberté réels q n (t) (n =1, 2, ..., N), dont la dynamique dérive du principe variationnel basé sur une actionS[q n ] =∫ t2t 1dtL(q n , ˙q n ), (1.50)où ˙q n = dqn . Nous supposons que ce système est singulier à savoir de hessiennedtnulle,detUn tel système comporte des contraintes.∂ 2 L= 0. (1.51)∂ ˙q n1 n2∂ ˙q1.4.1 Contraintes primaires et secondairesLes moments conjugués associés aux degrés de libertés q n (t) (n = 1, 2, ..., N)sont déterminés parp n (t) =Les crochets de Poisson canoniques sont définis par∂L∂ ˙q n (t) . (1.52){q n (t), p m (t)} = δ n m. (1.53)

16 Théories de jauge en dimension deuxL’hamiltonien canoniqueH 0 (q n , p n ) = ˙q n p n − L(q n , p n ) (1.54)est indépendant des contraintes. La condition (1.51) est équivalente àdet ∂p n 1= 0, (1.55)n2∂ ˙qce qui signifie que les moments conjugués ne sont pas tous indépendants. Ilexiste dans ce cas des relations de la formeφ m (q n , p n ) = 0, m = 1, ..., M, (1.56)qui proviennent de la définition (1.52) des moments conjugués, dans le sensqu’en remplaçant p n dans (1.56) par son expression dans (1.52) en fonction deq n et de ˙q n , l’équation (1.56) est réduite à une identité.L’évolution temporelle du système est générée par un Hamiltonien plusgénéral que l’Hamiltonien canonique appelé Hamiltonien primaire de la formeH ∗ (q n , p n ) = H 0 + ∑ m∈Iu m (q n , p n ; t)φ m (q n , p n ), (1.57)où les grandeurs φ m désignent les contraintes primaires, et les coefficients u msont a priori des fonctions arbitraires dépendant du temps.Etant donné le générateur d’évolution temporelle qui est l’Hamiltonien primaire,l’étape suivante consiste à déterminer l’évolution temporelle de chaquecontrainte en calculant son crochet de Poisson avec l’Hamiltonien primaire pourchaque valeur de m. Ainsi, nous avons :˙φ m = {φ m , H ∗ } = {φ m , H 0 } + ∑ m ′ u m′ {φ m , φ m ′} . (1.58)Les équations hamiltoniennes du mouvement (1.58) doivent être consistantes,c’est-à-dire qu’elles préservent la condition (1.56), entraînant ainsi˙φ m = 0. (1.59)Les conditions (1.59) pour chaque valeur de m définissant les contraintes, conduisentà trois possibilités :i) l’équation (1.59) est triviallement satisfaite (c’est-à-dire 0 = 0 ), aucunecontrainte n’est générée ;ii) l’équation (1.59) est indépendante de u m (c’est-à-dire {φ m , φ m ′} = 0)et détermine alors une nouvelle contrainte χ(q n , p n ) = 0, appelée contraintesecondaire ;iii) les fonctions u m (q n , p n , t) satisfont à l’équation (1.59), aucune contrainten’est générée.On reitère la même procédure avec les contraintes secondaires, ce qui conduità la détermination des contraintes tertiaires. Le processus est appliqué jusqu’à ceque la liste des contraintes soit exhaustive. A chaque étape, il convient d’étendrel’Hamiltonien primaire, secondaire, ..., en y incluant les nouvelles contraintesainsi générées.

1.4 Approche hamiltonienne de Dirac des systèmes singuliers 17Finalement nous avons la situation suivante : un certain nombre de contraintesdu système (primaires, secondaires, tertiaires, etc...) et un certain nombred’équations satisfaites par les fonctions u m (q n , p n , t) et leurs extensions à toutesles autres contraintes.La distinction entre contraintes primaires et secondaires, voire les autresgénérations de contraintes ne possède pas une signification intrinsèque à la formulationhamiltonienne fondamentale du système. Une classification différentedes contraintes—et, plus généralement, des fonctions de l’espace-temps—jouecependant un rôle central. C’est la notion de grandeurs de première classe et deseconde classe.Une grandeur F (q n , p n ) de l’espace de phase est dite de première classe, sises crochets de Poisson avec toutes les contraintes s’annulent une fois que l’onimpose les contraintes. Par conséquent, F est de seconde classe si au moins unde ses crochets de Poisson avec une contrainte est non nul, une fois que l’onimpose les contraintes.Une importante propriété à souligner est que le crochet de Poisson de deuxcontraintes de première classe est de première classe, ce qui n’est pas valabledans le cas des contraintes de seconde classe.1.4.2 Contraintes de seconde classeLes contraintes de seconde classe apparaissent lorsque certains degrés deliberté du système sont redondants pour la description du système. Dirac introduitune nouvelle approche qui permet de résoudre ce problème. Notons lescontraintes de seconde classe par χ s , qui ont été organisées de manière tellequ’aucune de leurs combinaisons linéaires dans l’espace de phase ne soit depremière classe, et considérons la matrice des crochets de Poisson de toutes lescontraintes de seconde classe∆ ss ′ = {χ s , χ s ′} . (1.60)Deux cas s’imposent à ce niveau : si la matrice (1.60) est singulière, c’est-à -direque le déterminant est nul une fois que l’on impose les contraintes, cela veutdire qu’il existe une contrainte de première classe parmi elles ou une combinaisonlinéaire des contraintes de seconde classe χ s qui est de première classe.Dans ce cas, il faut redéfinir les contraintes de sorte à les séparer en contraintesde seconde classe d’une part et en contraintes de première classe d’autre part,correspondant à l’hypothèse de travail déjà énoncée plus haut. Sous cette hypothèse,la matrice (1.60) est donc non singulière, même lorque l’on imposeles contraintes, ce qui signifie qu’elle est de déterminant non nul, avec commeinversetel que∑C ss′ = ( ∆ −1) ss ′ , (1.61)s ′ C ss′ {χ s ′, χ s ′′} = δ s s ′′ = ∑ s ′ {χ s ′′, χ s ′} C s′s . (1.62)Le crochet de Dirac de deux grandeurs de l’espace de phase f et g, de paritéGrassmann arbitraire est défini par{f, g} D= {f, g} − ∑ s,s ′ {f, χ s } C ss′ {χ s ′, g} . (1.63)

18 Théories de jauge en dimension deuxDirac a prouvé que ces crochets de Dirac sont des crochets de Poisson généralisés,dans le sens qu’ils vérifient les mêmes propriétés que les crochets de Poisson,à l’exception des valeurs des crochets fondamentaux qui sont en généraldifférentes.Considérons maintenant le crochet de Dirac d’une grandeur arbitraire del’espace de phase f avec une contrainte quelconque de seconde classe χ s . Nousavons{f, χ s } D= {f, χ s } − ∑ s ′ ,s ′′ {f, χ s ′} C s′ s ′′ {χ s ′′, χ s } = 0. (1.64)De l’identité (1.64), nous pouvons dire que les crochets de Dirac permettentde réduire les degrés de liberté redondants relatifs aux contraintes de secondeclasse. A ce stade toutes les contraintes de seconde classe sont imposées. Onobtient ainsi une description du système dans laquelle tous les degrés de libertésredondants relatifs à l’existence de contraintes de seconde classe sont ignorés. Enconclusion, il est toujours possible, en principe, dans le formalisme hamiltoniende réduire tout système singulier à un système comportant uniquement descontraintes de première classe.1.4.3 Contraintes de première classeAprès avoir réduit les contraintes de seconde classe, la dynamique hamiltonienneest caractérisée par les degrés de liberté fondamentaux dont les crochetsde Dirac sont non nuls et dont l’évolution temporelle est genérée par l’hamiltonientotalH T = H + λ α φ α , (1.65)où H désigne l’Hamiltonien de première classe et les contraintes φ α obéissent àl’algèbre des crochets{H, φ α } = C β αφ β , {φ α , φ β } = C γ αβ φ γ . (1.66)Cα β et C γ αβsont des quantités spécifiques qui, dans une situation générale, peuventêtre des fonctions d’espace de phase. Les fonctions λ α (t) sont totalementarbitraires, ce qui signifie que les valeurs des variables canoniques à un instantt 2 dépendront du choix des fonctions λ α (t) dans l’intervalle t 1 ≤ t ≤ t 2 . On ditque les contraintes de première classe sont génératrices de symétries locales dejauge des systèmes contraints.

Chapitre 2Le modèle de Schwinger àN saveursDans ce chapitre, nous étudions le modèle de Schwinger généralisé à N saveursde spineurs de Dirac de masse nulle. Ce modèle s’inscrit dans le cadre desthéories de jauge caractérisées par l’existence de contraintes. Nous analysons auniveau classique les contraintes au travers du formalisme de Dirac où les crochetsde Dirac ont substitués aux crochets de Poisson en vue de réduire les contraintesde seconde classe. Après avoir quantifié le système par la procédure de correspondancedite “quantification canonique”, le système est bosonisé. Nous montronsque la symétrie axiale classique est brisée au niveau quantique, correspondantà l’anomalie axiale.Des travaux antérieurs sur le même modèle dans lesquels la jauge de Coulombest fixée, ont prouvé que l’Hamiltonien du système est soluble. Le spectreest connu.[5, 6, 7]Ici, ces mêmes conclusions sont établies sans procéder à un choix de jauge,mais conduisant de fait au spectre physique de ces systèmes. Mais de plus, notrebut ici est d’introduire les symétries globales non abéliennes de saveur, à savoirles symétries chirales SU(N) + × SU(N) − , dont une étude détaillée fait l’objetdu chapitre 3.Le chapitre est organisé comme suit : dans le premier paragraphe, nousfaisons une étude classique du modèle. Le second paragraphe est consacré àl’étude quantique.2.1 Etude classique du modèle2.1.1 Définition du modèle d’interactionConsidérons dans un espace-temps de Minkowski, le modèle électrodynamiquedes couplages de champs fermioniques de N saveurs de particules demême charge électrique e et de masse nulle au champ électromagnétique A µ . Ladynamique de ce système est donnée par la densité lagrangienne,

20 Le modèle de Schwinger à N saveursL = −14 F µνF µν + i 2avecN∑¯ψ j γ µ ∂ µ ψ j − i 2j=1N∑N∑∂ ¯ψj µ γ µ ψ j − e ¯ψ j γ µ A µ ψ j , (2.1)j=1j=1F µν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ . (2.2)On se situe en dimension deux d’espace-temps où les indices des coordonnéesd’espace-temps prennent les valeurs µ = (0, 1), tandis que la métrique de l’espace-tempsde Minkowski est η µν = diag(+, −). Nous supposons que les unitéssont telles que c = 1 = .La grandeur A µ , µ = 0, 1, représente le champ de jauge de composante temporelleA 0 et de composante spatiale A 1 , tandis que { ψ j} représentej∈{1,...,N}les N saveurs de particules chargées électriquement qui sont les champs fermioniquesde Dirac, avec ¯ψ j = ψ j† γ 0 , ψ j† étant le conjugué hermitien du bi-spineurψ j . Les matrices γ µ définissent l’algèbre de Clifford-Dirac associée à un espacetempsde Minkowski de dimension deux dont une représentation est fournie parles matrices de Pauli,etσ 1 =( 0 +1+1 0), σ 2 =( 0 −ii 0), σ 3 =( +1 00 −1), (2.3)γ 0 = σ 1 , γ 1 = iσ 2 , γ 5 = γ 0 γ 1 = −σ 3 . (2.4)Ainsi, dans cette représentation de Dirac, les spineurs de Dirac ψ j se décomposentselon(ψ j ψj) ( )+=ψ j , ψ j† = ψ j†+ ψ j† , (2.5)−−avecγ 5 ψ j ± = ∓ψ j ±, (2.6)où ψ j +, j ∈ {1, ..., N} désignent les spineurs de chiralité gauche définissant lemouvement de particules libres vers la gauche et ψ j −, j ∈ {1, ..., N} désignent lesspineurs de chiralité droite, définissant le mouvement de particules libres versla droite.On se donne une topologie d’espace-temps τ qui est celle cylindrique encompactifiant la droite réelle de genre espace en un cercle S 1 de circonférenceL = 2πR, R étant le rayon du cercle. On pose formellementτ = R × S 1 . (2.7)En fonction de cette topologie, il est nécessaire de définir des conditions depériodicité aux bords pour les différents champs. Ainsi, nous choisissons desconditions aux bords périodiques pour les champs de jauge parA µ (t, x + L) = A µ (t, x), t ∈ R, x ∈ S 1 , (2.8)

2.1 Etude classique du modèle 21et les conditions aux bords suivantes pour les différentes saveurs fermioniquesparψ j ±(t, x + L) = −e 2iπαj ± ψj±(t, x), t ∈ R, x ∈ S 1 , (2.9)avec α j ± des constantes réelles définies mod 1. En raison de l’intérêt que nousportons sur les symétries de saveurs SU(N) ± objet du chapitre 3, des restrictionss’imposent sur ces constantes α j ± pour que la réalisation de ces symétries soiteffective. Ainsi nous supposons les conditions suivantes pour tout j ∈ {1, ..., N}.α j + = α + , α j − = α − . (2.10)De plus, l’invariance sous parité exige par ailleurs l’identification α + = α − . Finalement,cette dernière restriction est également obtenue lorsque l’invariancesous les transformations de jauge U(1) globales (ou encore, les “grandes” transformationsde jauge) sur le cercle sont imposées.[8] Nous supposons donc icitoutes les conditions comme étant rencontrées.Une analyse dimensionnelle fournit en dimension deux d’espace-temps notéD = 2 et en unités de masse :[A µ ] : D − 22= 0 , [ψ j ±] : D − 12= 1 2 , [e] : 4 − D2= 1 , [m] := 1. (2.11)2Une bonne définition de ce modèle nécessite la détermination des équationsdu mouvement relatives aux degrés de liberté du système d’autant plus que lesdifférentes symétries classiques et leurs lois de conservation sont relatives auxsolutions à ces équations.Etant donné la densité lagrangienne L en (2.1) du modèle, les équations dumouvement sont obtenues à partir des équations d’Euler Lagrange∂ µ∂L∂(∂ µ X) = ∂L∂X , (2.12)X étant une variable, en l’occurrence un champ.En vue d’obtenir ces équations du mouvement, il nous faut d’abord uneexpression explicite de la densité lagrangienne en variant d’une part les valeursµ, ν dans {0, 1} et d’autre part en substituant ¯ψ j par ψ j † γ 0 . On obtient ainsiune expression plus explicite qui est la suivante :L = 1 2+ i 2(∂0 A 1 + ∂ 1 A 0) 2+i2N∑ψ j † γ 5 ∂ 1 ψ j − i 2j=1N∑ψ j † ∂ 0 ψ j − i 2j=1N∑∂ 0 ψ j † ψ jj=1N∑∂ 1 ψ j † γ 5 ψ j − eA 0j=1N∑j=1ψ j † ψ j∑ N+ eA 1 ψ j † γ 5 ψ j . (2.13)j=1Les degrés de libertés fondamentaux du système sont les suivants :A 0 , A 1 , ψ j , ψ j† , j ∈ {1, ..., N}. (2.14)

22 Le modèle de Schwinger à N saveursPour chacune de ces grandeurs, nous déterminons l’équation du mouvementcorrespondante selon les équations d’Euler-Lagrange (2.12).Pour X = A 0 , nous avonsqui est équivalent àentraînant∂ 0∂ µ∂L∂(∂ µ A 0 ) = ∂L∂A 0 , (2.15)∂L∂(∂ 0 A 0 ) + ∂ ∂L1∂(∂ 1 A 0 ) = ∂L∂A 0 , (2.16)∂ 1(∂0 A 1 + ∂ 1 A 0) = −eet en fonction des modes de chiralitéPour X = A 1 ,(2.19) est équivalent àentraînant que∂ 1(∂0 A 1 + ∂ 1 A 0) = −e∂ 0∂ µet selon les modes de chiralitéN∑j=1N∑ψ j † ψ j , (2.17)j=1)(ψ j†+ ψ j + + ψ j†− ψ j − . (2.18)∂L∂(∂ µ A 1 ) = ∂L∂A 1 , (2.19)∂L∂(∂ 0 A 1 ) + ∂ ∂L1∂(∂ 1 A 1 ) = ∂L∂A 1 , (2.20)∂ 0(∂0 A 1 + ∂ 1 A 0) = e∂ 0(∂0 A 1 + ∂ 1 A 0) = eN∑j=1Pour X = ψ j , j ∈ {1, ..., N}, nous avons∂ µN∑ψ j † γ 5 ψ j , (2.21)j=1)(−ψ j†+ ψ j + + ψ j†− ψ j − . (2.22)∂L∂(∂ µ ψ j ) = ∂L∂ψ j . (2.23)Remarquons que les variables des champs fermioniques sont Grassmann impaires,les dérivations s’opérant à gauche. Ainsi, (2.23) équivaut à(i∂0 + eA 0) ψ j † + ( i∂ 1 − eA 1) ψ j † γ 5 = 0, (2.24)

2.1 Etude classique du modèle 23et selon les modes de chiralité, nous avonsou encore(i∂0 + eA 0) ψ j†± ∓ ( i∂ 1 − eA 1) ψ j†± = 0, (2.25)∂ 0 ψ j†± = ieA 0 ψ j†± ± ( ∂ 1 + ieA 1) ψ j†± . (2.26)Pour X = ψ j † , j ∈ {1, ..., N}, nous avons∂ µ∂L∂(∂ µ ψ j † ) = ∂L∂ψ j † , (2.27)ainsi (2.27) équivaut à(i∂0 − eA 0) ψ j + ( i∂ 1 + eA 1) γ 5 ψ j = 0, (2.28)et selon les modes de chiralité,(i∂0 − eA 0) ψ j ± ∓ ( i∂ 1 + eA 1) ψ j ± = 0, (2.29)ou encore∂ 0 ψ j ± = −ieA 0 ψ j ± ± ( ∂ 1 − ieA 1) ψ j ±. (2.30)2.1.2 Caractère singulier du systèmeNotre modèle est caractérisé par l’existence de contraintes. Le cas N = 1dejà étudié [8] en est la preuve. Ces contraintes apparaissent naturellement icipar les expressions des moments conjugués des degrés de liberté du système quisont : les composantes du champ de jaugeles N spineurs de Diracet leurs conjugués hermitiensA 0 (t, x), A 1 (t, x), t ∈ R, x ∈ S 1 , (2.31)ψ j (t, x), t ∈ R, x ∈ S 1 , j ∈ {1, ..., N}, (2.32)ψ j † (t, x), t ∈ R, x ∈ S 1 , j ∈ {1, ..., N}. (2.33)Afin d’obtenir ces contraintes, il nous faut identifier les moments conjuguésdes degrés de liberté du système. Ils se définissent parπ 0 =π 1 =ϕ j =χ j =∂L∂(∂ 0 A 0 = 0,)(2.34)∂L∂(∂ 0 A 1 ) = ∂ 0A 1 + ∂ 1 A 0 , (2.35)∂L∂(∂ 0 ψ j ) = −1 2 iψj † , (2.36)∂L∂(∂ 0 ψ j † ) = −1 2 iψj . (2.37)

24 Le modèle de Schwinger à N saveursL’espace de phase est ainsi caractérisé par les paires{(A 0 (t, x), π 0 (t, x) ) , ( A 1 (t, x), π 1 (t, x) ) , ( ψ j (t, x), ϕ j (t, y) ) , (2.38)()}ψ j † (t, x), χ j (t, x) .Par définition, ces paires sont canoniquement conjuguées. En d’autres termes,les crochets de Poisson élémentaires (étendus à des variables de Grassmannimpaires) à temps égal sont donnés par{A 0 (t, x), π 0 (t, y) } = δ(x − y) = { A 1 (t, x), π 1 (t, y) } , (2.39){}ψ±(t, j x), ϕ k ±(t, y)= −δ jk δ(x − y) ={}jψ † ± (t, x), χ k ±(t, y) . (2.40)Dans tout ce qui suit, sauf en cas d’ambiguité, nous omettons volontairementles variables (t, x) dans les expressions des grandeurs du système.Les moments conjugués (2.34), (2.36) et (2.37) induisent des contraintesprimaires déterminées parσ j 1 = ϕ j + 1 2 iψj † , (2.41)σ j 2 = χ j + 1 2 iψj , (2.42)σ 0 = π 0 . (2.43)Ces contraintes primaires sont des configurations classiques d’espace-tempsdépendant des degrés de liberté du système. Une étude de leur évolution dynamiques’impose car la dynamique du système repose sur ces contraintes. Pour cefaire, nous déterminons d’abord l’Hamiltonien canonique du système à partir duquelnous définirons les générateurs de l’évolution dynamique de ces contraintesappelés encore Hamiltoniens tests primaires, secondaires, ...Etant donné la densité lagrangienne (2.13) et les degrés de liberté (2.38) dusystème, la densité Hamiltonienne canonique s’écritH 0 = ∂ 0 A 0 π 0 + ∂ 0 A 1 π 1 +N∑j=1(∂ 0 ψ j ϕ j + ∂ 0 ψ j † χ j) − L. (2.44)En substituant L par son expression et en tenant compte de l’expression dumoment conjugué π 1 en (2.35), (2.44) équivaut àH 0 = 1 2 π2 1 − 1 N2 i ∑ψ j † (γ 5 ∂1 − ieA 1) ψ jj=1+ 1 N2 i ∑ (∂1 + ieA 1) ψ j † γ 5 ψ jj=1+ A 0 ⎡⎣∂ 1 π 1 + el’hamiltonien canonique étant donné parH 0 =∫ L0N∑j=1ψ j † ψ j ⎤⎦ − ∂ 1[A 0 π 1], (2.45)dxH 0 . (2.46)

2.1 Etude classique du modèle 25La connaissance des trois structures nécessaires à la définition d’une dynamiquehamiltonienne, à savoir la caractérisation de l’espace de phase, les crochetsde Poisson fondamentaux non nuls des coordonnées de l’espace de phaseet l’Hamiltonien canonique, nous donne maintenant la possibilité de mener uneétude hamiltonienne des contraintes en vue de savoir si elles génèrent d’autrescontraintes et de procéder à une classification de toutes les contraintes selon leformalisme de Dirac. Pour ce faire, on se donne un Hamiltonien primaire H 1 ,somme de l’Hamiltonien canonique et de combinaisons linéaires des contraintesprimaires déterminé par⎛⎞∫ LN∑NH 1 = H 0 + dx ⎝U (0) σ 0 + U j (1) σj 1 + ∑⎠ . (2.47)0j=1j=1U j (2) σj 2Notons que les variables U j (1) et U j (2)sont grassmann impaires.L’évolution dynamique des contraintes primaires est déterminée par leurscrochets de Poisson respectifs avec l’Hamiltonien primaire. Ainsi l’évolution dynamiquede la contrainte σ 0 est donnée par{σ 0 , H 1 } =∫ L= −La résolution de l’équation0∫ Ldy {σ 0 (t, x), H 1 }⎛N∑dy ⎝∂ 1 π 1 + e0j=1j=1ψ j † ψ j ⎞⎠ (t, y)δ(x − y)⎛⎞N∑= − ⎝∂ 1 π 1 + e ψ j † ψ j ⎠ . (2.48)conduit donc à une contrainte secondaire{σ 0 , H 1 } = 0, (2.49)σ 3 = ∂ 1 π 1 + eN∑ψ j † ψ j . (2.50)j=1L’évolution dynamique des contraintes σ j 1 , j ∈ {1, ..., N} est fournie par{ }σ j 1 , H 1==∫ L0∫ L0dy{ϕ j (t, x) + 1 }2 iψj † (t, x), H 1()dy i(∂ 1 + ieA 1 )ψ j † γ 5 + eA 0 ψ j † + iU j (2)δ(x − y)= i(∂ 1 + ieA 1 )ψ j † γ 5 + eA 0 ψ j † + iU j (2) . (2.51)La résolution des équations{ }σ j 1 , H 1 = 0, j ∈ {1, ..., N}, (2.52)

26 Le modèle de Schwinger à N saveursnécessite d’attribuer des valeurs à U j (2), j ∈ {1, ..., N},{ }σ j 2 , H 1U j (2) = −(∂ 1 + ieA 1 )ψ j† γ 5 + ieA 0 ψ j† . (2.53)La possibilité d’attribuer des valeurs aux différents coefficients signifie selon leformalisme de Dirac que les contraintes primaires σ j 1 , j ∈ {1, ..., N} n’engendrentpas d’autres contraintes secondaires.L’évolution dynamique des contraintes σ j 2 , j ∈ {1, ..., N}, s’exprime comme∫ L= dy{χ j (t, x) + 1 }2 iψj (t, x), H 1=0∫ L0()dy i(∂ 1 − ieA 1 )γ 5 ψ j − eA 0 ψ j + iU j (1)δ(x − y)= i(∂ 1 − ieA 1 )γ 5 ψ j − eA 0 ψ j + iU j (1) . (2.54)La résolution des équations{ }σ j 2 , H 1 = 0, j ∈ {1, ..., N}, (2.55)nécessite d’attribuer des valeurs à U j (1), j ∈ {1, ..., N},U j (1) = −(∂ 1 − ieA 1 )γ 5 ψ j − ieA 0 ψ j . (2.56)La possibilité d’attribuer des valeurs aux différents coefficients signifie selonDirac que les contraintes σ j 2 , j ∈ {1, ..., N} n’engendrent pas d’autres contraintessecondaires.De l’étude des contraintes primaires, une contrainte dite secondaire est générée.Nous reitérons l’analyse à cette contrainte mais en nous donnant un nouvelHamiltonien secondaire,H 2 = H 1 +∫ L0dxU (3) σ 3 . (2.57)Nous étudions à nouveau l’évolution dynamique de l’ensemble de ces contraintes.Ainsi la densité hamiltonienne secondaire est de la formeH 2 = H 0 + U (0) π 0 + U j (1)[ϕ j + 1 ]+ U j2 iψj† (2)[χ j + 1 ]2 iψj+ U (3)[∂ 1 π 1 + eψ j† ψ j] . (2.58)Nous calculons à nouveau les crochets de Poisson suivants{π 0 , H 2 } = −(∂ 1 π 1 + eψ j† ψ j ) ≈ 0, (2.59){ϕ j + 1 }2 iψj† , H 2 = i(∂ 1 + ieA 1 )ψ j† γ 5 + eA 0 ψ j† + iU j (2) + eU (3)ψ j† , (2.60){χ j + 1 }2 iψj , H 2 = iγ 5 (∂ 1 − ieA 1 )ψ j − eA 0 ψ j + iU j (1) − eU (3)ψ j , (2.61)

2.1 Etude classique du modèle 27et la résolution des équations (2.60) et (2.61) conduit àU j (2)= −(∂ 1 + ieA 1 )ψ j† γ 5 + ieA 0 ψ j† + ieU (3) ψ j† , (2.62)U j (1)= −γ 5 (∂ 1 − ieA 1 )ψ j − ieA 0 ψ j − ieU (3) ψ j , (2.63)et par conséquent, pour la quantité} [{∂ 1 π 1 + eψ j† ψ j , H 2 = ∂ 1 eψ j† γ 5 ψ j] [ ] [ ]+ eψ j† U j (1)+ e U j (2)ψ j , (2.64)nous avons enfin{∂ 1 π 1 + eψ j† ψ j , H 2}= e∂ 1[ψ j† γ 5 ψ j] ++ eψ [ j† −γ 5 ∂ 1 ψ j + ieA 1 γ 5 ψ j − ieA 0 ψ j − ieU (3) ψ j][+ −∂ 1 ψ j† γ 5 − ieA 1 ψ j† γ 5 + ieA 0 ψ j† + ieU (3) ψ j†] ψ j= 0. (2.65)Ce résultat indique qu’aucune contrainte n’est générée par σ 3 . Ainsi, nousavons la liste complète des contraintes du système.σ 0 = π 0 ,σ j 1 = ϕ j + 1 2 iψj † , j ∈ {1, ..., N},σ j 2 = χ j + 1 2 iψj , j ∈ {1, ..., N},σ 3 = ∂ 1 π 1 + eN∑ψ j † ψ j . (2.66)j=1Après la détermination de toutes les contraintes du système, l’étape suivanteest de les classifier sur la base de l’algèbre de leurs crochets de Poisson.Une contrainte est dite de première classe si ses crochets de Poisson avectoutes les autres contraintes, y compris elle même, sont tous nuls une fois lescontraintes imposées. Dans le cas contraire, elle est dite de seconde classe.Pour la détermination de l’algèbre des crochets de Poisson des contraintes, ladémarche est exactement la même que celle du modèle de Schwinger à une saveurde particules. Cette base de classification a été largement développée pourle cas à une saveur de particule.[8] Afin d’éviter les repétitions, ici nous fournissonsles grandes étapes en vue d’obtenir la classification et la réduction descontraintes de seconde classe.Pour j ∈ {1, .., N}, k ∈ {1, ..., N}, nous avons le tableau des crochets dePoisson des contraintes :{σ 0 (t, x), σ 0 (t, y)} = 0, (2.67){σ 0 (t, x), σ j 1 (t, y) }= 0, (2.68){σ 0 (t, x), σ j 2 (t, y) }= 0, (2.69){σ 0 (t, x), σ 3 (t, y)} = 0. (2.70)

28 Le modèle de Schwinger à N saveurs{σ 3 (t, x), σ 3 (t, y)} = 0, (2.71){σ 3 (t, x), σ 0 (t, y)} = 0, (2.72){σ 3 (t, x), σ j 1 (t, y) }= −eψ j † (t, x)δ(x − y), (2.73){σ 3 (t, x), σ j 2 (t, y) }= +eψ j (t, x)δ(x − y). (2.74){}σ j 1 (t, x), σk 1 (t, y){}σ j 1 (t, x), σk 2 (t, y){}σ j 1 (t, x), σ 0(t, y){}σ j 1 (t, x), σ 3(t, y){}σ j 2 (t, x), σk 2 (t, y){}σ j 2 (t, x), σk 1 (t, y){}σ j 2 (t, x), σ 0(t, y){}σ j 2 (t, x), σ 3(t, y)= 0, (2.75)= −iδ jk δ(x − y), (2.76)= 0, (2.77)= eψ j † (t, x)δ(x − y). (2.78)= 0, (2.79)= −iδ jk δ(x − y), (2.80)= 0, (2.81)= −eψ j (t, x)δ(x − y). (2.82)En vue de séparer les contraintes de première classe et de seconde classe,nous considérons une combinaison linéaire des contraintes σ 3 , σ j 1 , σj 2 parN∑N∑σ = σ 3 + ie σ j 1 ψj + ie ψ j† σ j 2 . (2.83)j=1Considérant l’expression de la contrainteainsi que les identitésσ 3 = ∂ 1 π 1 + ej=1N∑ψ j † ψ j , (2.84)j=1ieσ j 1 ψj = ieϕ j ψ j − e 2ieψ j † σ j 2 = ieψ j † χ j − e 2N∑ψ j † ψ j , (2.85)j=1N∑ψ j † ψ j , (2.86)en additionnant membre à membre (2.85) et (2.86), et en substituant dans(2.84), nous obtenonsσ 3 = ∂ 1 π 1 − ieN∑j=1()σ j 1 ψj + ψ j † σ j 2+ iej=1N∑j=1(ϕ j ψ j + ψ j † χ j) . (2.87)

2.1 Etude classique du modèle 29De cette combinaison, on se donne une contrainteN∑N∑σ = σ 3 + ie σ j 1 ψj + ie ψ j † σ j 2j=1= ∂ 1 π 1 + ieN∑j=1On considère à nouveau les contraintesj=1(ϕ j ψ j + ψ j † χ j) . (2.88)σ 0 , σ, σ j 1 , σj 2 , j ∈ {1, ..., N}, (2.89)dont l’algèbre des crochets de Poisson des contraintes avec les autres contraintespour j ∈ {1, ..., N} est la suivante :{σ(t, x), σ(t, y)} = 0, (2.90){σ(t, x), σ 0 (t, y)} = 0 = {σ 0 (t, x), σ(t, y)} , (2.91)}{}{σ(t, x), σ j 1 (t, y) = −ieσ j 1 δ(x − y) = − σ j 1 (t, x), σ(t, y) , (2.92)}{}{σ(t, x), σ j 2 (t, y) = +ieσ j 2 δ(x − y) = − σ j 2 (t, x), σ(t, y) . (2.93)En imposant les contraintes à tous les crochets de Poisson des contraintes, nousobtenons deux contraintes de première classeσ 0 = π 0 , σ = ∂ 1 π 1 + eet 2N contraintes de seconde classeN∑ψ j † ψ j , (2.94)j=1σ j 1 = ϕj + i 2 ψj † , σ j 2 = χj + i 2 ψj , j ∈ {1, ..., N}. (2.95)La matrice des crochets de Poisson des contraintes de seconde classe estdéterminée paravecC jk =C = (C jk ) j∈{1...N}, k∈{1...N}, (2.96){ }{ }σ j 1 , σk 2 = −iδ jk δ(x − y) = σ2 k , σ j 1 , j ∈ {1...N} k ∈ {1...N}. (2.97)Cette algèbre fournit une matrice carrée d’ordre 2N inversible, nous permettantà l’aide de la formule des crochets de Dirac définis au chapitre (1) de réduire lescontraintes de seconde classe. La nouvelle structure symplectique fondamentaleest déterminée par les crochets de Dirac suivants :{}ψ±(t, j x), ψ±(t, k y)D{}ψ±(t, j x), ψ±k †(t, y)D{A 1 (t, x), π 1 (t, y) } D= 0 ={}ψ j †± (t, x), ψk †± (t, y)= −iδ jk δ(x − y) ={ψ k ±D, (2.98)}(2.99) ,†(t, x), ψj±(t, y)= δ(x − y). (2.100)D

30 Le modèle de Schwinger à N saveurs2.1.3 Formulation Hamiltonienne fondamentaleAprès cette analyse des contraintes, les contraintes de seconde classe sont réduites,il survit une seule contrainte de première classe, celle non triviale. On sedonne dans ce qui suit une formulation hamiltonienne fondamentale du modèlesur base de laquelle l’étude sera poursuivie.En ce qui concerne les degrés de libertés fondamentaux, nous ignorons lesecteur (A 0 , π 0 ). En effet, l’équation du mouvement en A 0 est la loi de Gausset correspond également à la contrainte de première classe, rendant A 0 multiplicateurde Lagrange, π 0 est trivialement nul. Nous considérons à présent lesdegrés de libertés suivants :A 1 (t, x), π 1 (t, x), ψ j α(t, x), ψ j α†(t, x), j ∈ {1, ..., N}, α = ±. (2.101)En ce qui concerne la structure symplectique fondamentale, elle repose désormaissur les crochets de Dirac non nuls. Dans la suite cela, apparaîtra defaçon implicite, c’est-à-dire que les crochets ne seront pas indicés par D, maisseront notés simplement par{A 1 (t, x), π 1 (t, y) } = δ(x − y) = − { π 1 (t, x), A 1 (t, y) } , (2.102){}{}ψα(t, j x), ψβk †(t, y) = −iδ αβ δ jk δ(x − y) = ψα† j (t, x), ψkβ (t, y) (2.103) ,j ∈ {1, ..., N}, k ∈ {1, ..., N}, α = ±, β = ±.La densité hamiltonienne de première classe est donnée parH = 1 2 π2 1 − i 2N∑ψ j † (γ 5 ∂1 − ieA 1) ψ j + i 2j=1N∑ (∂1 + ieA 1) ψ j † γ 5 ψ j− ∂ 1 [A 0 π 1 ], (2.104)j=1tandis que la contrainte de première classe s’exprime commeσ = ∂ 1 π 1 + eN∑ψ j † ψ j , (2.105)j=1conduisant à la densité hamiltonienne totaleH T = H + A 0 ∂ 1 π 1 + eA 0N∑j=12.1.4 Symétries et charges conservéesψ j † ψ j . (2.106)Nous terminons ce paragraphe par l’étude de certaines symétries du système.Ce modèle s’inscrit dans le cadre des théories de champs invariantes sous lestransformations d’espace-temps du groupe de Poincaré. Le cas N = 1 dejà étudiéen est la preuve.[8] Dans ce qui suit, nous n’allons pas faire cas de ces symétriesd’espace-temps. Par ailleurs, notre modèle étant invariant de jauge U(1) parconstruction, il existe une grandeur conservée selon le théorème de Noether,qui est dans notre cas, la contrainte de première classe. Nous déterminons les

2.1 Etude classique du modèle 31transformations locales de jauge générées par cette contrainte. Celles-ci servirontégalement au niveau quantique. Les N saveurs de particules étant toutes demasse nulle, il existe des symétries chirales de saveur dont le groupe de symétrieest SU(N) L × SU(N) R × U(1) V × U(1) A , où le facteur SU(N) L × SU(N) Rmélange les N saveurs de spineurs séparément pour les composantes de chiralitésgauches et droites, tandis que le facteur U(1) V × U(1) A correspond auxtransformations de phase communes aux N saveurs de fermions de Dirac, U(1) Vreprésentant la symétrie vectorielle jaugée et U(1) A la symétrie axiale. L’étudedes symétries chirales fera l’objet du chapitre 3. Nous montrerons dans ce chapitreque cette symétrie axiale valable au niveau classique est brisée au niveauquantique et n’est pas une symétrie de la théorie quantifiée.La contrainte de première classe est génératrice de transformations localesde jauge. Nous nous contentons ici des petites transformations de jauge qui serontutiles au niveau quantique dans la régularisation de certaines grandeurscomposites de l’espace de Hilbert des états. En vue d’obtenir ces petites transformations,il faut déterminer d’abord les variations infinitésimales. Pour unegrandeur quelconque de l’espace de phase que nous notons F , la variation infinitésimalede F générée par la contrainte σ est donnée par{}δ ɛ F =F,∫ L0dxɛ(t, x)σ(t, x), (2.107)où ɛ est un paramètre dépendant des variables (t ∈ R, x ∈ S 1 ) vérifiant unecondition de périodicité par rapport à la variable spatiale.La variation infinitésimale de A 1 (t, x) est donnée par{}δ ɛ A 1 (t, x) ==∫ L0A 1 (t, x),∫ L0dyɛ(t, y)σ(t, y)⎧⎛⎞ ⎫⎨N∑⎬dy⎩ A1 (t, x), ɛ(t, y) ⎝∂ 1 π 1 + e ψ j † ψ j ⎠ (t, y)⎭ ,,j=1= −∂ 1 ɛ(t, x). (2.108)La variation infinitésimale de π 1 (t, x) est{δ ɛ π 1 (t, x) ==∫ L0π 1 (t, x),∫ L0dyɛ(t, y)σ(t, y)}⎧⎛⎞ ⎫⎨N∑⎬dy⎩ π 1(t, x), ɛ(t, y) ⎝∂ 1 π 1 + e ψ j † ψ j ⎠ (t, y)⎭ ,,j=1= 0. (2.109)Les variations infinitésimales de ψ j (t, x), j ∈ {1, ..., N} sont déterminées par{}δ ɛ ψ j (t, x) ==∫ L0ψ j (t, x),∫ L0dyɛ(t, y)σ(t, y)⎧⎛⎞ ⎫⎨N∑⎬dy⎩ ψj (t, x), ɛ(t, y) ⎝∂ 1 π 1 + e ψ j † ψ j ⎠ (t, y)⎭ ,= −ieɛ(t, x)ψ j (t, x). (2.110),j=1

32 Le modèle de Schwinger à N saveursLes variations infinitésimales de ψ j † (t, x), j ∈ {1, ..., N} sont déterminées par{}δ ɛ ψ j † (t, x) ==∫ L0ψ j † (t, x),∫ L0dyɛ(t, y)σ(t, y)⎧⎛⎞ ⎫⎨N∑⎬dy⎩ ψj † (t, x), ɛ(t, y) ⎝∂ 1 π 1 + e ψ j † ψ j ⎠ (t, y)⎭ ,,j=1= +ieɛ(t, x)ψ j † (t, x). (2.111)De ces variations infinitésimales, nous déduisons les transformations finiesde jauge, appelées encore “petites” transformations de jauge.A 1′ (t, x) = A 1 (t, x) − ∂ 1 ɛ(t, x), (2.112)π 1′(t, x) = π 1 (t, x), (2.113)ψ j ′ (t, x) = e −ieɛ(t,x) ψ j (t, x), (2.114)ψ j †′ (t, x) = e ieɛ(t,x) ψ j † (t, x), (2.115)tandis que le multiplicateur de la Lagrange A 0 se transforme commeA 0′ (t, x) = A 0 (t, x) + ∂ 0 ɛ(t, x), (2.116)assurant ainsi l’invariance de jauge de l’action hamiltonienne de premier ordredu système.Les courants vectoriels associés à la symétrie vectorielle U(1) V sont déterminésparJ µ =N∑¯ψ j γ µ ψ j , µ = 0, 1. (2.117)j=1J µ = (J 0 , J 1 ), (2.118)avecN∑N∑J 0 = ψ j † γ 0 γ 0 ψ j = ψ j † ψ j .j=1j=1N∑N∑J 1 = ψ j † γ 0 γ 1 = ψ j † γ 5 ψ j .j=1Montrons qu’il y a conservation du courant vectoriel pour les configurationssolutions des équations du mouvement du système. En effet,j=1∂ µ J µ = ∂ 0 J 0 + ∂ 1 J 1 ,N∑ []= ∂ 0 (ψ j † ψ j ) + ∂ 1 (ψ j † γ 5 ψ j )j=1= ∂ 0⎛⎝N∑j=1⎞ ⎛ψ j † ψ j ⎠ + ∂ 1⎝N∑j=1ψ j † γ 5 ψ j ⎞⎠ . (2.119)

2.1 Etude classique du modèle 33Des équations du mouvement en A 0 , (2.17), et en A 1 , (2.21), nous avonsN∑N∑∂ 1 π 1 = −e ψ j † ψ j , ∂ 0 π 1 = e ψ j † γ 5 ψ j . (2.120)j=1j=1En substituant (2.120) dans (2.119), nous obtenonsLa charge correspondante est déterminée par∂ µ J µ = ∂ 0 J 0 + ∂ 1 J 1 = 0. (2.121)Q =∫ L0dxJ 0 . (2.122)Notons que non seulement Q est conservée, mais s’annule constamment en raisonde la contrainte de première classeσ = ∂ 1 π 1 + eN∑ψ j † ψ j = 0, (2.123)j=1Q = − 1 e∫ L0dx∂ 1 π 1 = 0. (2.124)Pour ce qui concerne le courant électromagnétique, il se déduit du courantvectoriel parJ µ em = eJ µ , µ = 0, 1. (2.125)Ce courant obéit aux mêmes lois que le courant vectoriel.Les courants axiaux associés à la symétrie axiale U(1) A sont déterminés paravecetJ µ 5 = ¯ψ j γ µ γ 5 ψ j , µ = 0, 1, (2.126)J µ 5 = (J 0 5 , J 1 5 ), (2.127)J 0 5 =J 1 5 =N∑N∑ψ j † γ 0 γ 0 γ 5 ψ j = ψ j † γ 5 ψ j , (2.128)j=1j=1N∑N∑ψ j † γ 0 γ 1 γ 5 ψ j = + ψ j † ψ j . (2.129)j=1j=1D’une manière générale, nous avonsJ µ 5 = −ɛµν J ν . (2.130)Par ailleurs, utilisant l’expression J µ 5 en termes de fermions ainsi que les équationsdu mouvement de ces derniers, un calcul explicite établit que le courant

34 Le modèle de Schwinger à N saveursaxial est en effet conservé, ∂ µ J µ 5donnée par= 0. En particulier, la charge associée estQ 5 =∫ LdxN∑ψ j† γ 5 ψ j =∫ L0 j=10dxJ 1 , (2.131)et2.2 Etude quantique du modèle2.2.1 Quantification canoniqueddt Q 5 = 0. (2.132)La détermination de la structure Hamiltonienne fondamentale classique dusystème selon le formalisme de Dirac fournit toutes les informations nécessairespour l’étude du système quantique correspondant. Nous procédons ici par laquantification canonique dite principe de correspondance qui affirme qu’à chacunedes structures classiques doit correspondre une structure semblable pourle système quantique. Ainsi, au niveau quantique, l’espace correspondant à l’espacede phase est un espace de Hilbert abstrait dont les éléments sont appelésdes états quantiques. Aux variables classiques d’espace de phase correspondentdes opérateurs linéaires agissant sur l’espace de Hilbert considéré. Aux crochetsde Dirac sur l’espace de phase du système correspond une structure algébrique,les règles de commutation pour le système quantique. Nous supposons toujoursque = 1 = c. En fonction de toutes ces correspondances établissant le passagedu système classique au système quantique, la formulation hamiltoniennefondamentale au niveau quantique se déduit par les opérateurs fondamentauxagissant sur l’espace de Hilbert suivants :ˆπ 1 (t, x),  1 (t, x), ˆψj ±(t, x), ˆψj †± (t, x), j ∈ {1, ..., N}, (2.133)qui satisfont aux relations de commutation et d’anticommutation fondamentalessuivantes pour j ∈ {1, ..., N}, k ∈ {1, ..., N},[Â1 (t, x), ˆπ 1 (t, y)]{ }ˆψj ±(t, x), ˆψk †± (t, y)[= iδ(x − y) = −= δ jk δ(x − y) =]ˆπ 1 (t, x),  1 (t, y){ˆψk †± (t, x), ˆψj ±(t, y), (2.134)}. (2.135)Les relations de commutation et d’anticommutation sont définies à tempségal, les opérateurs bosoniques, en l’occurence les opérateurs champs de jaugesuivent des relations de commutation tandis que les opérateurs fermioniquessuivent des relations d’anticommutation.La densité hamiltonienne de première classe est aussi un opérateur au niveauquantique défini parĤ = 1 2 ˆπ2 1 − i 2N∑ˆψ j† γ 5 (∂ 1 − ieÂ1 ) ˆψ j + i 2j=1N∑(∂ 1 + ieÂ1 ) ˆψ j† γ ˆψj 5 . (2.136)j=1

2.2 Etude quantique du modèle 35La spécification précise des opérateurs composites constitués d’opérateursne commutant pas est réalisée au travers de la bosonisation des champs fermioniquesdiscutée ci-après. La contrainte de première classe quantique estˆσ = ∂ 1ˆπ 1 + eN∑ˆψ j† ˆψj , (2.137)j=1tandis que la densité hamiltonienne totale quantiqueĤ T = Ĥ + A0ˆσ − ∂ 1 (A 0ˆπ 1 ). (2.138)Nous venons de procéder à la spécification de ce qui devrait constituer laquantification canonique du modèle avec à l’appui, une formulation hamiltoniennequantique nous ouvrant les portes pour une étude quantique du système.Nous nous situons dans l’image de Schrödinger où le temps est fixé et nous lechoisissons égal à zéro. La notation : : désignera l’ordre normal selon lequelles opérateurs de création doivent être à gauche des opérateurs d’annihilation.En vue de réduire les difficultés, nous uniformisons les opérateurs champs enprocédant par une bosonisation des opérateurs fermioniques, et cet ordre normalest alors défini spécifiquement en terme des opérateurs bosoniques.2.2.2 Bosonisation du secteur fermioniqueIl est bien connu qu’à 1 + 1 dimensions, les opérateurs fermioniques peuvents’exprimer en fonction d’opérateurs bosoniques à l’aide d’opérateurs devertex et de facteurs dits de Klein. Ce sont des facteurs de compensation dontla construction relève souvent d’une originalité. Ici, nous nous sommes inspirésdu facteur de Klein obtenu pour le cas N = 1 pour construire des facteurs deKlein relatifs aux différents opérateurs fermioniques.[8, 9]Nous considérons 2N bosons chiraux réels, tous de masses nulles déterminéspour j ∈ {1, ..., N}, x ∈ S 1 par (voir la section (1.2.1) du chapitre 1)ˆφ j ±(x) = ˆq j ± ± 2π L ˆpj ±(x) +∞∑n=11(√ â j†n±,ne ± 2iπLnx + â j ±,ne ∓ 2iπL nx) , (2.139)avec la représentation algébrique pour j ∈ {1, ..., N}, k ∈ {1, ..., N}, n ≥ 1, m ≥1,[ ]ˆφj ±(x), ∂ 1 ˆφk ± (y) = ±2iπδ jk δ(x − y), (2.140)[ ]]ˆq ±, j ˆp k ± = iδ jk ,[â j ±,n, â k†±,m = iδ jk δ mn . (2.141)En effectuant le changement de variable z = e ± 2iπL nx , on se ramène au plancomplexe et les expressions sont données par1(√ â j†n±,nz n + â j ±,nz −n) . (2.142)ˆφ j ±(z) = ˆq j ± − iˆp j ± ln z + ∑ n≥1En fonction de ces bosons chiraux, les opérateurs de vertex fermioniques{ ˆψ j ±(x)} j∈{1,...,N} sont représentés parˆψ j ±(z) = e iπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) : e ±iλ ˆφ j ± (z) :, (2.143)

36 Le modèle de Schwinger à N saveursainsi queˆψ j†± (z) = e −iπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) : e ∓iλ ˆφ j ± (z) :, (2.144)λ étant un paramètre réel vérifiant la condition λ 2 = 1. Le facteur de Klein est leterme e −iπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) où les paramètres réels α j ±,k , βj ±,k dépendentdes différentes saveurs de chiralité vérifiant les conditions suivantes pour j ∈{1, ..., N}, k ∈ {1, ..., N},⎧1⎨α j 2si k < j±,k= 0 si k = j(2.145)⎩− 1 2si k > jβ j ±,k= 1 2 . (2.146)Le tableau ci-dessous de produits ordonnés des opérateurs fermioniques témoigned’une bosonisation parfaite de ces opérateurs, car nous retrouvons l’algèbred’anticommutation qui les caractérise (les détails de la relation aux règles d’anticommutationdes modes fermioniques des champs de Dirac originaux ne sontpas repris ici ; ils sont discutés dans les refs. [8, 9, 10] dans le cas (N = 1), etsont partiellement explicités au travers d’un usage différent dans le chapitre 3).1) Pour |X| > |Y |,Pour |Y | > |X|,ˆψ j ±(X) ˆψ j ±(Y ) = (X − Y )e ∓iπαj ±,j e2iπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ )× : e ±iλ ˆφ j ± (X)±iλ ˆφ j ± (Y ) : . (2.147)ˆψ j ±(Y ) ˆψ j ±(X) = (Y − X)e ∓iπαj ±,j e2iπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ )2) Pour |X| > |Y |,× : e ±iλ ˆφ j ± (X)±iλ ˆφ j ± (Y ) : . (2.148)ˆψ j ±(X) ˆψ j ∓(Y ) = e ∓iπβj ∓,j eiπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) e iπλ ∑ Nk=1 (αj ∓,k ˆpk ∓ +βj ∓,k ˆpk ± )Pour |Y | > |X|,× : e ±iλ ˆφ j ± (X)∓iλ ˆφ j ∓ (Y ) : . (2.149)ˆψ j ∓(Y ) ˆψ j ±(X) = e ±iπβj ±,j eiπλ ∑ Nk=1 (αj ∓,k ˆpk ∓ +βj ∓,k ˆpk ± ) e iπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ )3) Pour |X| > |Y |,× : e ∓iλ ˆφ j ∓ (X)±iλ ˆφ j ± (Y ) : . (2.150)ˆψ j ±(X) ˆψ l ±(Y ) = e ∓iπαl ±,j eiπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) e iπλ ∑ Nk=1 (αl ±,k ˆpk ± +βl ±,k ˆpk ∓ )Pour |Y | > |X|,× : e ±iλ ˆφ j ± (X)±iλ ˆφ l ± (Y ) : . (2.151)ˆψ l ±(Y ) ˆψ j ±(X) = e ∓iπαj ±,l eiπλ ∑ Nk=1 (αl ±,k ˆpk ± +βl ±,k ˆpk ∓ ) e iπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ )× : e ±iλ ˆφ l ± (Y )±iλ ˆφ j ± (X) : . (2.152)

2.2 Etude quantique du modèle 374) Pour |X| > |Y |,ˆψ j ±(X) ˆψ l ∓(Y ) = e ∓iπβl ∓,j eiπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) e iπλ ∑ Nk=1 (αl ∓,k ˆpk ∓ +βl ∓,k ˆpk ± )Pour |Y | > |X|,× : e ±iλ ˆφ j ± (X)∓iλ ˆφ l ∓ (Y ) : . (2.153)ˆψ l ∓(Y ) ˆψ j ±(X) = e ±iπβj ±,l eiπλ ∑ Nk=1 (αl ∓,k ˆpk ∓ +βl ∓,k ˆpk ± ) e iπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ )5) Pour |X| > |Y |,Pour |Y | > |X|,× : e ∓iλ ˆφ l ∓ (Y )±iλ ˆφ j ± (X) : . (2.154)ˆψ ±(X) j j† 1ˆψ ± (Y ) =X − Y e±iπαj ±,j : e±iλ ˆφ j ± (X)∓iλ ˆφ j ± (Y ) : . (2.155)ˆψ j†± (Y ) ˆψ ±(X) j 1=Y − X e±iπαj ±,j : e±iλ ˆφ j ± (X)∓iλ ˆφ j ± (Y ) : . (2.156)6) Pour |X| > |Y |,ˆψ j ±(X) ˆψ l† ±(Y ) = e ±iπαl ±,j eiπλ(α j ±,k pk ± +βj ±,k pk ± ) e −iπλ(αl ±,k pk ± +βl ±,k pk ∓ )Pour |Y | > |X|,× : e ±iλ ˆφ j ± (X)∓iλ ˆφ l ± (Y ) : . (2.157)ˆψ l† ±(Y ) ˆψ j ±(X) = e ±iπαj ±,l eiπλ(α j ±,k pk ± +βj ±,k pk ± ) e −iπλ(αl ±,k pk ± +βl ±,k pk ∓ )7) Pour |X| > |Y |,× : e ±iλ ˆφ j ± (X)∓iλ ˆφ l ± (Y ) : . (2.158)ˆψ ±(X) j j† ˆψ ∓ (Y ) = e ±iπβj ∓,j eiπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) e −iπλ ∑ Nk=1 (αj ∓,k ˆpk ∓ +βj ∓,k ˆpk ± )Pour |Y | > |X|,× : e ±iλ ˆφ j ± (X)±iλ ˆφ j ∓ (Y ) : . (2.159)ˆψ j†∓ (Y ) ˆψ j ±(X) = e ∓iπβj ±,j eiπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) e −iπλ ∑ Nk=1 (αj ∓,k ˆpk ∓ +βj ∓,k ˆpk ± )8) Pour |X| > |Y |,× : e ±iλ ˆφ j ± (X)±iλ ˆφ j ∓ (Y ) : . (2.160)ˆψ j ±(X) ˆψ l† ∓(Y ) = e ±iπβl ∓,j eiπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) e −iπλ ∑ Nk=1 (αl ∓,k ˆpk ∓ +βl ∓,k ˆpk ± )Pour |Y | > |X|,× : e ±iλ ˆφ j ± (X)±iλ ˆφ l ∓ (Y ) : . (2.161)ˆψ l† ∓(Y ) ˆψ j ±(X) = e ∓iπβj ±,l eiπλ ∑ Nk=1 (αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ) e −iπλ ∑ Nk=1 (αl ∓,k ˆpk ∓ +βl ∓,k ˆpk ± )× : e ±iλ ˆφ j ± (X)±iλ ˆφ l ∓ (Y ) : . (2.162)

38 Le modèle de Schwinger à N saveursLes relations analogues pour les produits impliquant ± et ˆψ ± l† ne conduisentpas à des restrictions additionnelles sur les coefficients α j ±,k et βj ±,k, aussi nesont-ils pas repris ici.La relation de ces opérateurs de vertex aux champs fermioniques ˆψ ±(x) j esttelle queˆψj†ˆψ j ±(x) =×1√Le ± iπ L x e iπλ[αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ] e ±iλˆqj ± eλ 2iπL xˆpj ±+∞ ∏n=1e ± iλ √ n â j†±,n2iπ +∞ ∏e± Lnxn=1e ± √ iλn â j 2iπ±,ne∓ L nx , (2.163)ˆψ j†± (x) =×1√Le ± iπ L x e −iπλ[αj ±,k ˆpk ± +βj ±,k ˆpk ∓ ] e ∓iλˆqj ± e−λ 2iπL xˆpj ±+∞∏e ∓ √ iλn â j† 2iπ +∞ ∏±,ne± Lnxn=1n=1e ∓ √ iλn â j 2iπ±,ne∓ L nx , (2.164)satisfaisants les propriétés d’holonomie suivanteset doncˆψ ±(x j + L) = e ±iπ e 2iπλˆpj ± ˆψj ±(x)= −e 2iπλλj ± ˆψj ±(x), (2.165)λλ j ± = α j ±, (2.166)car le spectre des valeurs propres de ˆp k ± est n k ± + λ k ±, (n k ± ∈ Z, λ k ± défini modulo1).Une fois que les opérateurs fermioniques sont bosonisés, il nous reste à exprimerles opérateurs composites tels que les courants fermioniques, le secteurfermionique de la densité hamiltonienne de première classe et la contrainte depremière classe, en fonction de ces bosons chiraux réels et en même temps de s’assurerde leur invariance par jauge. Pour ce faire, on utilise le procédé de Point-Splitting qui consiste en l’insertion de l’opérateur e ie ∫ yx duÂ1 (u) représentant uneligne de Wilson.[8, 10] Pour les courants fermioniques, ˆψj †ˆψ j ± ±, nous calculonslim∫ yx→y eie x duÂ1 (u) 1 [ ]ˆψj †± (y), ˆψj2±(x) . (2.167)De même pour les expressions du secteur fermionique, il s’agit de calculerlim∫ yx→y eie x duÂ1 (u) ˆψj †± (∂ 1 − ieÂ1 ) ˆψ ±, j (2.168)lim∫ yx→y eie x duÂ1 (u) (∂ 1 + ieÂ1 j†) ˆψ ˆψ j ± ±. (2.169)Toutes ces expressions sont obtenues par calcul direct à l’aide des expressions

2.2 Etude quantique du modèle 39linéarisées ci-dessous en posant y = x + ɛ, ɛ > 0 :e ie ∫ x+ɛx duÂ1 (u)= 1 + ieɛÂ1 + 1 2 ɛ2 [ ie∂ 1  1 − e 2  12]ˆψ j†± (x + ɛ) ˆψ j ±(x) = e ∓iλ [ˆφj ±+ O(ɛ 3 ), (2.170)2iπ(e± L(x+ɛ) )− ˆφ j 2iπ± (e± L x )= 1 ∓ iλɛ∂ 1 ˆφj ± + 1 [ 2 ɛ2 ∓iλ∂1 2 ˆφ j ± − (∂ 1 ˆφj ±) 2]+ O(ɛ 3 ). (2.171)Les détails de ces calculs sont fournis dans les Refs.[8, 10] dans le cas N = 1.Nous obtenons les représentations bosoniques des courants fermioniques suivantespour j ∈ {1, ..., N},ˆψ j† ˆψ j ± ± = − λ (∂ 1 ˆφj ± ∓2πeλÂ1) . (2.172)Nous déduisons respectivement les expressions des courants non axiaux et axiauxparˆψ j† ˆψjˆψ j† γ 5 ˆψj=j† ˆψ ˆψ j j†+ + + ˆψ ˆψ j − − = − λ [2πj†= − ˆψ ˆψ j j†+ + + ˆψ ˆψ j − − = − e π∂ 1 ˆφj + + ∂ 1 ˆφj −[ 1 − 12eλ ∂ 1]], (2.173)(ˆφj + − ˆφ j −) ] .(2.174)Le secteur fermionique de la densité hamiltonienne de première classe sedéduit par (à une constante additive près associée à l’énergie du vide que nousignorons ici)i j† ˆψ ± (∂ 1 −2 ieÂ1 ) ˆψ j ± − i 2 (∂ 1 + ieÂ1 j†) ˆψ ˆψ j ± ± = ± 1 (∂ 1 ˆφj ± ∓4πeλÂ1) 2. (2.175)La contrainte de première classe se déduit parˆσ = ∂ 1ˆπ 1 − eλ2πN∑j=1()∂ 1 ˆφj + + ∂ 1 ˆφj − . (2.176)2.2.3 Redéfinition des degrés de liberté quantiques du systèmeOn part de la représentation bosonique de la densité hamiltonienne de premièreclasse quantiqueĤ = 1 2 ˆπ2 1 −= 1 2 ˆπ2 1 +N∑j=1N∑j=1[ i2 ˆψ j† γ 5 (∂ 1 − ieÂ1 ) ˆψ j − i 2 (∂ 1 + ieÂ1 ) ˆψ j† γ 5 ˆψj](2.177)[ 1(∂ 1 ˆφj + −4πeλÂ1) 2 1(]+ ∂ 1 ˆφj − +4πeλÂ1) 2.(2.178)

40 Le modèle de Schwinger à N saveursEn développant les termes quadratiques dans (2.178), nous avonsĤ = 1 2 ˆπ2 1 + 14π−2eλÂ14πL’équation (2.179) équivaut àN∑j=1Ĥ = 1 2 ˆπ2 1 + 14π⎡+ Ne22π−⎡1⎣8πN⎣ 1 −N∑j=1N∑j=1( ) 2 1∂ 1 ˆφj + +4πN∑j=1( ) 2∂ 1 ˆφj −(∂ 1 ˆφj + − ˆφ)j− + 2N4π e2  12 . (2.179)N∑j=1( ) 2 1∂ 1 ˆφj + +4πλ2NeN∑j=1(∂ 1 ˆφj + − ˆφ) ⎤j ⎦−N∑j=1(∂ 1 ˆφj + − ˆφ) ⎤j ⎦−2( ) 2∂ 1 ˆφj −2. (2.180)En utilisant l’égalité (2.176), nous additionnons dans (2.180) le terme identiquementnul⎡− 1 ⎣8πNN∑j=1Nous obtenons enfin(∂ 1 ˆφj + + ˆφ) ⎤j ⎦−Ĥ = 1 2 ˆπ2 1 + Ne22π⎡2⎣ 1 −+ 1 [ ] 2 2π8πN eλ (∂ 1ˆπ 1 − ˆσ) . (2.181)λ2NeN∑j=1(∂ 1 ˆφj + − ˆφ) ⎤j ⎦−π+2Ne 2 (∂ 1ˆπ 1 ) 2 −πNe 2 (∂ 1ˆπ 1 ) ˆσ +π2Ne 2 ˆσ2+ 1 N∑ ( ) 2 1N∑ ( ) 2∂ 1 ˆφj + + ∂ 1 ˆφj −4π4πj=1j=1⎛ ⎞ ⎛ ⎞−14πNN∑⎝ ∂ 1 ˆφj ⎠j=1+2− 14πNj=1−2N∑⎝ ∂ 1 ˆφj ⎠ . (2.182)Redéfinissons maintenant les grandeurs quantiques fondamentales par2µ =√Nπ |e|, avec µ2 = N π e2 , (2.183)⎛ˆϕ = − ˆπ 1µ , et ˆπ ϕ = µ ⎝ 1 −λ2NeN∑j=1∂ 1(ˆφj + − ˆφ j −) ⎞ ⎠ . (2.184)

2.2 Etude quantique du modèle 41Les grandeurs quantiques ˆφ j ±, j ∈ {1, ..., N} ne sont pas invariantes de jauge.En effet, les opérateurs fermioniques se transforment par phase( ) ′ˆψj ± = e−ieɛ ˆψj ±, (2.185)entraînant une transformation par shift des opérateurs bosoniques qui se retrouventen exponentielles dans les opérateurs de vertex. En vue d’obtenir unerégularisation totale de la densité hamiltonienne de première classe, nous construisonsdes combinaisons linéaires de ces opérateurs bosoniques de la façonsuivante :⎛⎞ˆΦ k 1k∑± = √ ⎝ ˆφ j k+1± − k ˆφ ⎠ , k ∈ {1, ..., (N − 1)}, (2.186)k(k + 1)etj=1ˆφ j ± = √ 1N−1∑ˆΦ0 ± + D jk ˆΦk ± , ˆΦ0 ± = √ 1N Nk=1±N∑j=1ˆφ j ±, (2.187)où (D jk ) est la matrice de transformation⎛D jk =⎜⎝√1√6 1 √112 12. . . √ √1(N−1)N N− √ 1 √6 1 √112 12. . . √ √1(N−1)N N0 − √ 2 √116 12. . . √ √1(N−1)N N0 0 − √ 3112. . . √ √1(N−1)N N.... ... ... ..0 0 0 0N−1√ √1(N−1)N N⎞⎟⎠où les éléments de matrice vérifientN∑D jk = 0 ,j=1N∑D jk D jk ′ = δ kk ′. (2.188)j=1Puisque les grandeurs ˆφ j ± se transforment toutes de la même manière par shift,les opérateurs ˆΦ j ± (j ≠ 0) sont invariants de jauge, par construction. En substituant(2.183), (2.184), (2.187) dans (2.182), nous avons la densité hamiltoniennequantique fondamentaleĤ = 1 2 ˆπ2 ϕ + 1 2 µ2 ˆϕ 2 + 1 2 (∂ 1 ˆϕ) 2 + 1 2+ 14πN−1∑j=1( ) 2 1∂ 1 ˆΦj + +4πN−1∑j=1( ) 2 ( ˆσ ˆσ+ ∂ 1 ˆϕµ µ)( 2∂ 1 ˆΦj −). (2.189)Les nouvelles grandeurs quantiques fondamentales sont les suivantes :}ˆϕ(x), ˆπ ϕ (x),{ˆΦj ±(x). (2.190)j∈{1,...,(N−1)}

42 Le modèle de Schwinger à N saveursL’algèbre fondamentale de relations de commutation pour j, k ∈ {1, ..., (N − 1)}est déterminée par[ ˆϕ(x), ˆϕ(y)] = 0 = [ˆπ ϕ (x), ˆπ ϕ (y)] , (2.191)[ˆϕ(x), ˆΦ] [j±(y) = 0 = ˆπ ϕ (x), ˆΦ]j±(y) , (2.192)[ ˆϕ(x), ˆπ ϕ (y)] = iδ(x − y), (2.193)][ˆΦj ±(x), ∂ 1 ˆΦk ± (y) = ±2iπδ kj δ(x − y). (2.194)Ces opérateurs quantiques peuvent s’écrire en terme de modes de la façon suivante:ˆϕ(x) =+∞∑ˆπ ϕ (x) = −i2Ln=−∞+∞∑(N n ˆβn e 2iπL nx + ˆβ ne † − 2iπ nx) L (2.195)n=−∞1(ˆβn e 2iπL nx −N ˆβ ne † − 2iπ nx) L , (2.196)noù nous avonsN n =√1√ , ω n = µ 2 + ( 2π 2Lωn L n)2 (2.197)Cette normalisation assure que la contribution du secteur ( ˆϕ , ˆπ ϕ ) à l’Hamiltoniense factorise sous la forme, après ordre normal en β n et β † n,Ĥ ϕ =+∞∑n=−∞ω n β † nβ n . (2.198)Ce choix de représentation en modes est bien défini, car nous retrouvons (2.193)par les formules de resommation de Poisson. En fonction de (2.186) et de (2.139),pour j ∈ {1, ..., (N − 1)} nous posonsˆΦ j ±(x) = ˆQ j ± ± 2π L ˆP j ±x + ∑ n≥1(Âj †±,ne ± 2iπLnx + Âj ±,ne ∓ 2iπL nx) , (2.199)avecˆQ j ± =ˆP j ± = j†±,n = j ±,n =( j∑)1√ ˆq ± k − j ˆq j+1± ; (2.200)j(j + 1)k=1( j∑)1√ ˆp k ± − j ˆp j+1± ; (2.201)j(j + 1)k=1( j∑)1 1√ √n â k†±,n − jâ j+1†±,n ; (2.202)j(j + 1)k=1( j∑)1 1√ √n â k ±,n − jâ j+1±,n . (2.203)j(j + 1)k=1

2.2 Etude quantique du modèle 43L’algèbre des modes se déduit de (2.141) par[Âk ±,m ,  j†±,n][ˆβn , ˆβ † m]= 1 m δ kjδ mn ,[ ]j ˆQk ± , ˆP ± = iδ kj , (2.204)= δ mn , ˆQj †± = ˆQ j ±, ˆPj †± = ˆP j ±. (2.205)Les équations du mouvement au niveau quantique dans l’image de Heisenbergsont déterminées par l’Hamiltonien total quantique (2.138) où Ĥ désignel’expression en (2.189). Pour une grandeur quelconque θ du système quantique,l’équation du mouvement de cette grandeur est déterminée par˙θ(t) = −i∫ L0]dx[θ(t), Ĥ T . (2.206)En fonction de ces relations, nous déterminons les équations du mouvement desgrandeurs quantiques fondamentales du système par[ ]∂ 0 ˆϕ = −i ˆϕ, Ĥ T = ˆπ ϕ ; (2.207)]( ) ˆσ∂ 0ˆπ ϕ = −i[ˆπ ϕ , Ĥ T = −µ 2 ˆϕ + ∂1 2 ˆϕ + ∂ 1 ; (2.208)µ]∂ 0 ˆΦj ± = −i[ˆΦj ±, Ĥ T = ±∂ 1 ˆΦj ±, j ∈ {1, ..., (N − 1)}. (2.209)Ces équations du mouvement conduisent respectivement aux équations de KleinGordon pour la grandeur ˆϕ[∂20 − ∂ 2 1 + µ 2] ˆϕ = ∂ 1( ˆσµ)(2.210)et du boson chiral pour la grandeur ˆΦ j ±(∂ 0 ∓ ∂ 1 ) ˆΦ j ± = 0. (2.211)Il ressort que le spectre physique du système se compose de (N − 1) bosonschiraux réels de masse nulle qui sont les grandeurs ˆΦ j ± , j = 1, ..., (N − 1) et√Nun champ massif, le champ ˆϕ de masse µ =π|e|. Ainsi nous reproduisonssans fixation de jauge le même spectre physique connu dans la littérature avecfixation de jauge.[5, 6, 7]2.2.4 Anomalies quantiquesNous verrons dans ce qui suit que le monde quantique ne respecte pas toutesles symétries du monde classique : on parle d’anomalie quantique. Pour ce faire,déterminons d’abord au niveau quantique les courants et les charges associéesdéjà étudiés au niveau classique.Le courant vectoriel au niveau quantique est déterminé par( )Ĵ µ = ˆψ† ˆψ, ˆψ† γ 5 ˆψ , µ = 0, 1, (2.212)

44 Le modèle de Schwinger à N saveursavecĴ 0 =Ĵ 1 =N∑j=1N∑j=1(ˆψj †ˆψ j j†+ + + ˆψ ˆψ)j− − = 1 e ˆσ + µ e ∂ 1 ˆϕ. (2.213)j†(− ˆψ ˆψ j j†+ + + ˆψ ˆψ)j− − = − µ e ˆπ ϕ. (2.214)La charge associée à ce courant vectoriel est :ˆQ =∫ LOdxĴ 0 = −λN∑j=1(ˆPj+ − ˆP)j− , (2.215)Le courant axial quantique est déterminé par( )Ĵ µ 5 = ˆψ† γ 5 ˆψ, ˆψ† ˆψ , µ = 0, 1, (2.216)avecĴ 0 5 =Ĵ 1 5 =N∑j=1N∑j=1j†(− ˆψ ˆψ j j†+ + + ˆψ ˆψ)j− − = − µ e ˆπ ϕ; (2.217)(ˆψj †ˆψ j j†+ + + ˆψ ˆψ)j− − = 1 e ˆσ + µ e ∂ 1 ˆϕ. (2.218)En ce qui concerne la charge axiale quantique, nous avonsˆQ 5 =∫ L0dxĴ 0 5 =∫ L= − µ −i L( )β 0 − β † 0e 2L N 0= 1 2 iµ 1( )β 0 − β † 0e N 0√Noù µ = |e|π et N 10 = √ = √ 1 .2Lω0 2Lµ0[dx − µ ]e ˆπ ϕ= 1 2 iµ e .√ 2Lµ(β 0 − β † 0 ), (2.219)Au niveau quantique, le courant vectoriel est conservé. En effet,∂ 0 Ĵ 0 + ∂ 1 Ĵ 1 = 1 e ∂ 0ˆσ + µ e ∂ 1∂ 0 ˆϕ − µ e ∂ 1ˆπ ϕ= 1 e ∂ 0ˆσ + µ e ∂ 1ˆπ ϕ − µ e ∂ 1ˆπ ϕ= 1 e ∂ 0ˆσ, (2.220)qui s’annule en effet pour les états physiques, invariants de jauge, tels que ˆσ = 0.Ce n’est pas le cas pour le courant axial, car∂ 0 Ĵ5 0 + ∂ 1 Ĵ5 1 = − µ e ∂ 0ˆπ ϕ + 1 e ∂ 1ˆσ + µ e ∂2 1 ˆϕ = µ2E, (2.221)e

2.2 Etude quantique du modèle 45E désignant le champ électrique, E = −∂ 0 A 1 − ∂ 1 A 0 = π 1 . Il y a anomaliequantique à ce niveau, car le courant axial n’est pas conservé, entraînant unebrisure explicite et quantique de la symétrie axiale.A l’issu de cette étude, nous pouvons dire qu’en considérant N = 1, nous reproduisonsla plus part des résultats pour le cas à une saveur de particule étudiédans les Refs.[8, 10]. L’anomalie quantique au niveau axial est aussi établie pourle cas N = 1.

Chapitre 3Symétries globales nonabéliennes de saveurL’Hamiltonien du modèle de Schwinger à N saveurs de spineurs de Diracétudié au chapitre 2 est soluble. Le spectre est connu. Il est composé d’un champpseudoscalaire massif (essentiellement le champ électrique) de masse carréeNπ e2 , ainsi que (N −1) champs scalaires de masses nulles. L’objet de ce chapitreest de mener une étude détaillée des symétries globales non abéliennes de saveur.Nous allons mettre en oeuvre de façon implicite des techniques développées enthéorie de supercordes durant les années 1990, au travers de la bosonisationdes champs fermioniques, et ensuite de la construction des opérateurs de vertexnon linéaires afin de réaliser les symétries chirales n’appartenant pas à lasous-algèbre de Cartan.Au niveau quantique, la symétrie axiale U(1) A est brisée, il survit alors lasymétrie de saveurs SU(N) − × SU(N) + × U(1) V où les différentes saveurs despineurs de Dirac se mélangent séparément selon les chiralités. De ce fait, nousétudions simultanément les symétries chirales SU(N) ± où l’indice (+) est relatifà la chiralité gauche et l’indice (−) à la chiralité droite. Le groupe de symétrieassocié à ces symétries est le groupe de Lie SU(N) dont l’algèbre de Lie associéesu(N) est générée par N 2 − 1 matrices de trace nulle indépendantes appeléesencore matrices de Gell’Mann.Ce chapitre est organisé comme suit : dans le paragraphe 3.1, nous étudionsles symétries chirales où nous déterminons les courants qu’elles génèrent, l’espacede Hilbert des états quantiques et les opérateurs de vertex non linéaires. Leparagraphe 3.2 est consacré à la détermination de l’algèbre de Kac-Moody affineà partir de laquelle nous déduisons les symétries chirales n’appartenant pas à lasous-algèbre de Cartan.

48 Symétries globales non abéliennes de saveur3.1 Symétries chirales3.1.1 Courants SU(N) ±Les symétries chirales génèrent des courants SU(N) ± définis parĴ aµ± =N∑i,j=1ˆ¯ψ i ±γ µ ( ∓λL √ 2λ a) ijˆψ j ±, µ = 0, 1, (3.1)où les matrices λ a , a ∈ {1, ..., (N 2 −1)} sont les (N 2 −1) matrices hermitiennes detrace nulle indépendantes, ou encore la généralisation des matrices de Pauli pourSU(2) ou de Gell’Mann pour SU(3), formant la représentation fondamentale decette algèbre su(N). En particulier, celles associées à la sous-algèbre U(1) N−1de Cartan de su(N) sont définies par(λi ) ( i∑)= 1√ δjl jk δ lk − iδ j,i+1 δ l,i+1 , i ∈ {1, ..., (N − 1)} . (3.2)2i(i + 1)k=1Le facteur de normalisation (∓λL √ 2) est choisi en fonction des paramètres dusystème, etĴ a0± = (∓λL √ 2)Ĵ a1± =N∑i,j=1(∓λL √ ) ∑ N2i,j=1ˆψ j†± (λ a ) ijˆψj ±, (3.3)ˆψ j†± γ 5 (λ a ) ijˆψj ±. (3.4)En fonction de (3.2), nous avons par exemple pour la sous-algèbre de Cartan(CSA)⎡⎤Ĵ± i0 = (∓λL √ i∑2) ⎣ ˆψ j† ˆψ j i+1†± ± − i ˆψ ±ˆψ ±i+1 ⎦ , i = 1, ..., N − 1 (3.5)j=1ce qui équivaut au travers de la bosonisation des opérateurs fermioniques réaliséeau chapitre 2 àĴ± i0 = (∓λL √ (12) √ − λ ) ⎡ ⎤i∑⎣ ˆφ j i+1± − i ˆφ ⎦± ;2i(i + 1) 2πj=1(= ± L )∂ 1 ˆΦi2π ± , (3.6)et⎡± = (∓λL √ i∑2) ⎣Ĵ i1j=1ˆψ j†i+1†± γ 5 ˆψj ± − i ˆψ± γ ˆψi+1 5 ±⎡⎤= (∓λL √ (12) √ − λ ) i∑(∓) ⎣ ˆφ j i+1± − i ˆφ ⎦± ,2i(i + 1) 2πj=1(= − L )∂ 1 ˆΦi2π ± . (3.7)⎤⎦ ;

3.1 Symétries chirales 49Les grandeurs ˆΦ i ±, (i = 1, 2, ..., N − 1) sont les opérateurs chiraux réels définisau chapitre précédent. Ces courants SU(N) ± sont conservés. En effet,(∂ 0 Ĵ± i0 + ∂ 1 Ĵ± i1 = ± L ) ) ( ) L∂ 0(∂ 1 ˆΦi2π± + ∂1 2 2π ˆΦ i ±,(= ± L ) ) ( ) L∂ 1(∂ 0 ˆΦi2π± + ∂1 2 2π ˆΦ i ±. (3.8)D’après les équations du mouvement en ˆΦ i ±, i ∈ {1, ..., N}, nous avonsentraînant∂ 0 ˆΦi ± = ∓ˆΦ i ±, (3.9)∂ 0 Ĵ i0± + ∂ 1 Ĵ i1± = + L 2π ∂2 1 ˆΦ i ± − L 2π ∂2 1 ˆΦ i ± = 0. (3.10)Les courants SU(N) ± sont ainsi bien définis et leurs charges de Noether sedéterminent par leurs composantes temporelles, par exemple pour la CSA,(Ĵ±(x) i = ± L )∂ 1 ˆΦi2π ± (x), i ∈ {1, ..., (N − 1)}. (3.11)Ces courants sont entre autres, les générateurs de la sous-algèbre de Cartandu groupe de symétrie SU(N) dont le rang est (N − 1). En effet, pour i ∈{1, ..., (N − 1)}, j ∈ {1, ..., (N − 1)},[Ĵi± (x), Ĵ j ±(y)]===(± L ) 2 [∂ 1 ˆΦi2π± (x), ∂ 1 ˆΦj(± L ) 2∂2π ∂x(± L 2π]±(y)][ˆΦi ± (x), ∂ 1 ˆΦj ±(y)) 2∂∂x [±2iπδ ijδ(x − y)] . (3.12)En terme de modes, ces courants s’expriment à l’aide des modes des champsˆΦ i ±. Ainsi en utilisant l’expression (3.11) nous avonsĴ i ±(x) = ˆP i ± + ∑ n≥1(inÂi† ±,ne ± 2iπLnx − inÂi ±,ne ∓ 2iπL nx) . (3.13)En posanton se ramène àĴ i†±,n = inÂi† ±,n , Ĵ i ±,n = −inÂi ±,n, (3.14)Ĵ i ±(x) = ˆP i ± + ∑ n≥1(Ĵi †±,ne ± 2iπLnx + Ĵ i ±,ne ∓ 2iπL nx) . (3.15)Par le changement de variable z = e ± 2iπL x , on se situe dans le plan complexe oùi(Ĵ ±,nz † n + Ĵ ±,nz i −n) . (3.16)Ĵ i ±(z) = ˆP i ± + ∑ n≥1

50 Symétries globales non abéliennes de saveurPar conséquent, les modes de (3.16) sont des intégrales de contour dans le plancomplexe,∮∮dzĴ±,n i†=0 2iπz z−n Ĵ±, i Ĵ±,n i dz=0 2iπz zn Ĵ±, i (3.17)∮où le contour est pris autour de l’origine et satisfont l’algèbre0]i[Ĵ±,n , Ĵ j†±,m = nδ ij δ mn . (3.18)3.1.2 Espace de Hilbert des états quantiquesConsidérons les opérateurs ˆΦ j ±, j ∈ {1, ..., (N − 1)} définis au chapitre 2. Enterme de modes, ces opérateurs s’écrivent à nouveau en fonction des modes descourants Ĵ ±, j j ∈ {1...(N − 1)} par( 1 j†nĴ ±,nz n − 1 )jnĴ ±,nz −n (3.19)ˆΦ j ±(z) = ˆQ j ± − i ˆP j ± ln(z) − i ∑ n≥1où ˆQ j ± s’associe de façon canonique à ˆP j ± par[ ]j ˆQi ± , ˆP ± = iδ ij . (3.20)De l’algèbre (3.18), on peut dire que Ĵ j ±,n, Ĵ j†±,n où j = {1, ..., (N − 1)}, n =1, ...∞, constituent des oscillateurs harmoniques indépendants. Par conséquent,l’espace considéré ici est un espace de Fock construit à partir de l’état fondamental|0〉 commun à tous les oscillateurs satisfaisantĴ j ±,n|0〉 = 0, n > 0,ˆPj±|0〉 = 0. (3.21)Nous associons à ces états, des moments λ par l’action de l’onde plane e iλ. ˆQ ±.Nous notons|λ〉 = e iλ. ˆQ ±|0〉, (3.22)L’ensemble de ces moments λ sera restreint par la suite au réseau des racinesde su(N).Ayant spécifié l’espace des états quantiques, il nous faut une fois encorespécifier un ordre normal selon lequel les opérateurs de création sont à gauchedes opérateurs d’annihilation et ˆQ j ± à gauche de ˆP j ±. Cet ordre normal est notépar : :. Posons Λ l’ensemble des racines de su(N) et notons Λ Σ le réseau desracines. Des propriétes de su(N), toutes les racines sont de même norme, lesnormes étant des entiers pairs que nous supposons égaux à 2.3.1.3 Opérateurs de vertexPour tout α ∈ Λ, pour tout nombre complexe z, nous définissons un opérateurde vertex parÛ α ±(z) = z α22 : e iα.ˆΦ ±(z) : , (3.23)

3.1 Symétries chirales 51avecˆΦ ± (z) =(ˆΦ1 ± (z), ˆΦ 2 ±(z), ...,)N−1 ˆΦ ± (z) , (3.24)où ˆΦ j ±, j ∈ {1, ..., N − 1} sont définis dans (3.19) et α, de composantes(α 1 , α 2 , ..., α N−1) . (3.25)Le terme logarithmique apparaissant dans l’expression des ˆΦ j ±, nécessite desconditions pour que ces opérateurs de vertex soient bien définis, c’est-à-direholomorphes. En developpant (3.23), nous avonsÛ±(z) α = z α22 ei ∑ N−1 ∑ N−1j=1 αj ˆQj ± ej=1 αj j ˆP ± ln(z)∞∏×n=1e ∑ N−1j=1 1 n αj Ĵ j†±,n zn∞∏n=1e − ∑ N−1j=1 1 n αj Ĵ j ±,n z−n . (3.26)Pour que (3.26) soit holomorphe, il faut une condition sur les facteurs suivants:[11]z α22 ei ∑ N−1 ∑ N−1j=1 αj ˆQj ± ej=1 αj j ˆP ± ln(z) = z α22 eiα. ˆQ ±e α. ˆP ± ln(z) , (3.27)= e iα. ˆQ ±z α22 +α. ˆP ±, (3.28)en effet, il est nécessaire de s’assurer que l’expression (3.26) n’est pas à valeursmultiples sur un contour de l’origine, ce qui n’est pas certain à cause du facteurlogarithmique. Pour remédier à cela il faut la condition( α22 + α. ˆP ±)∈ Z, (3.29)et sous cette condition (3.29), (3.23) est holomorphe et peut s’écrire sous formede serie entière parÛ α ±(z) = ∑ m∈ZÛ α ±,mz −m , (3.30)où les modes sont des intégrales de contour autour de l’origine∮Û±,m α =vérifiant la condition d’hermiticité0dz2iπz zm Û α ±(z). (3.31)Û α†±,m = Û −α±,−m, (3.32)Sur base du spectre des opérateurs p k ± (k = 1, . . . , N − 1), et des restrictionsα j ± = λλ j ± = α + = α − mentionnées au chapitre 2, il est possible de vérifier eneffet que (3.29) est toujours satisfaite lorsque α désigne une racine de su(N)telle que α 2 = 2.

52 Symétries globales non abéliennes de saveur3.2 Algèbre de Kac Moody affine3.2.1 Calculs de produits ordonnésEn vue d’établir les relations de commutations fondamentales de cette algèbre,les produits ordonnés suivants sont nécessaires : 1⎡Ĵ±(X)Û i±(Y α ) = ⎣ i ˆP ± + ∑ i(Ĵ ±,nX † n + Ĵ ±,nX i −n)⎤ ⎦n≥1×[Y : e i ∑ ]Nj=1 αj ˆΦj ± (Y ) : . (3.33)= ˆP ±[Y i : e i ∑ ]Nj=1 αj ˆΦj ± (Y ) :+ ∑ n≥1+ ∑ n≥1Ĵ i†±,nX n [ Y : e i ∑ Nj=1 αj ˆΦj ± (Y ) :[Ĵ±,nX i −n Y : e i ∑ ]Nj=1 αj ˆΦj ± (Y ) : . (3.34)]Pour |X| > |Y |, nous avons l’égalité suivante :[Y : e i ∑ ]Nj=1 αj ˆΦj ± (Y ) : = α i Û±(Y α ) + Y e i ∑ N−1j=1 αj ˆQj ± i ˆP ± e ∑ N−1j=1 αj j ˆP ± ln(Y )ˆP i ±n≥1× e ∑ N−1j=1∑m≥1 1 m αj Ĵ j†±,m Y m× e ∑ N−1j=1∑ −1n≥1 m αj Ĵ j ±,m Y −m . (3.35)Pour |X| > |Y |, nous avons l’égalité suivante :∑ [ Ĵ±,nX i† n Y : e i ∑ ]Nj=1 αj ˆΦj ± (Y ) : = Y e i ∑ N−1j=1 αj ˆQj ± i ˆP ± e ∑ N−1j=1 αj j ˆP ± ln(Y )×⎛⎝ ∑ n≥1⎞Ĵ±,nX i† n ⎠× e ∑ N−1j=1∑m≥1 1 m αj Ĵ j†±,m Y m× e ∑ N−1j=1Pour |X| > |Y |, nous avons l’égalité suivante :∑n≥1[ Ĵ±,nX i −n Y : e i ∑ ]Nj=1 αj ˆΦj ± (Y ) :1 Nous rappelons que dans tout ce qui suit α 2 = 2.∑ −1m≥1 m αj Ĵ j ±,m Y −m . (3.36)⎡⎤= α i ⎣1 + ∑ ( ) n Y⎦ ÛX±(Y α )n≥1+ Y e i ∑ N−1j=1 αj ˆQj ± i ˆP ± e ∑ N−1j=1 αj j ˆP ± ln(Y )× e ∑ N−1j=1∑m≥1 1 m αj Ĵ j†±,m Y m⎛⎞× ⎝ ∑ Ĵ±,nX i −n ⎠n≥1× e ∑ N−1 ∑ −1j=1 m≥1 m αj Ĵ j ±,m Y −m . (3.37)

3.2 Algèbre de Kac Moody affine 53En additionnant (3.35), (3.36), (3.37) nous obtenons pour |X| > |Y |Ĵ±(X)Û i±(Y α ) = α i XX − Y Û ±(Y α )+ : Ĵ ±(X)Û i ±(Y α ) : . (3.38)Calculons maintenant pour |Y | > |X|Û±(Y α )Ĵ ±(X) i = Y : e i ∑ N−1j=1 αj ˆΦj ± (Y ) :⎡i×(Ĵ ±,nX † n + Ĵ ±X i −n)⎤ ⎦ (3.39)⎣ ˆPi± + ∑ n≥1= Y : e i ∑ N−1j=1 αj ˆΦj ± (Y ) : ˆP ±i ⎛+ Y : e i ∑ N−1j=1 αj ˆΦj ± (Y ) :+ Y : e i ∑ N−1j=1 αj ˆΦj ± (Y ) :⎝ ∑ n≥1⎛⎝ ∑ n≥1⎞Ĵ±,nX i† n ⎠Ĵ i ±,nX −n ⎞⎠ . (3.40)Pour |Y | > |X|, nous avons l’égalité suivante :Y : e i ∑ N−1j=1 αj ˆΦj ± (Y ) : ˆP i ± = Y e i ∑ N−1j=1 αj ˆQj ±× e ∑ N−1j=1 αj j ˆP ± ln(Y ) i ˆP ± e ∑ N−1j=1∑m≥1 1 m αj Ĵ j†±,m Y m× e ∑ N−1j=1Pour |Y | > |X|, nous avons l’égalité suivante :⎛Y : e i ∑ N−1j=1 αj ˆΦj ± (Y ) :⎝ ∑ n≥1Pour |Y | > |X|, nous avons l’égalité suivante :⎛Y : e i ∑ N−1j=1 αj ˆΦj ± (Y ) :⎝ ∑ n≥1∑ −1m≥1 m αj Ĵ j ±,m Y −m . (3.41)⎞Ĵ±,nX i† n ⎠ = (−)α ∑ ( ) n X i ÛαY ± (Y )n≥1+ Y e i ∑ N−1 ∑ N−1j=1 αj ˆQj ± ej=1 αj j ˆP ± ln(Y )× e ∑ N−1j=1∑m≥1 1 m αj Ĵ j†±,m Y m⎛⎞× ⎝ ∑ Ĵ±,nX i† n ⎠n≥1× e ∑ N−1 ∑ −1j=1 m≥1 m αj Ĵ j ±,m Y −m (3.42)⎞Ĵ±,nX i −n ⎠ = Y e i ∑ N−1 ∑ N−1j=1 αj ˆQj ± ej=1 αj j ˆP ± ln(Y )× e ∑ N−1j=1∑m≥1 1 m αj Ĵ j†±,m Y m× e ∑ N−1j=1⎛×⎝ ∑ n≥1∑ −1m≥1 m αj Ĵ j ±,m Y −mĴ i ±,nX −n ⎞⎠ . (3.43)

54 Symétries globales non abéliennes de saveurEn additionnant (3.41), (3.42), (3.43), nous avonsÛ±(Y α )Ĵ ±(X) i = α i XX − Y Û ±(Y α )+ : Û ±(Y α )Ĵ ±(X) i : |Y | > |X|. (3.44)Pour |X| > |Y |, calculonsÛ±(X)Û α±(Y β ) = X(: e i ∑ )N−1j=1 αj ˆΦj ± (X) : Y(: e i ∑ )Nk=1 βk ˆΦk ± (Y ) := e [∑ N−1j=1 αj ˆPj± ln(X) , i ∑ N−1k=1 βk ˆQk× e[ ∑Nj=1×±]∑ −1m≥1 m αj Ĵ ±,mX −m , ∑ N−1k=1∑n≥1 1 n αj Ĵ k†±,n Xn](: Û α ±(X)Û β ±(Y ) :). (3.45)En calculant les commutateurs qui apparaissent en exponentiel dans (3.45), nousavonset enfinÛ±(Y α )Ĵ ±(X) i = e ∑ N−1j=1 αj β j ln(X) e − ∑ N−1j=1 αj β j ∑ n≥1 1 n ( Y X )n()× : Û ±(X)Û α ±(Y β ) := e α.β ln(X−Y ) : Û α ±(X)Û β ±(Y ) :, (3.46)Û α ±(X)Û β ±(Y ) = (X − Y ) αβ : Û α ±(X)Û±β(Y ) : |X| > |Y |, (3.47)Pour |Y | > |X|, calculonsenfinÛ β ±(Y )Û α ±(X) = Y(: e i ∑ )N−1k=1 αk ˆΦk ± (X) : X(: e i ∑ )Nk=1 βk ˆΦk ± (X) := e ∑ N−1()× : Û ±(Y β )Û ±(X) α :k=1 αk β j ln(Y ) e − ∑ N−1k=1 αk β k ∑ n≥1 1 n ( X Y )n= e α.β ln(Y −X) : Û β ±(Y )Û α ±(X) := (Y − X) α.β : Û β ±(Y )Û α ±(X), (3.48)Û β ±(Y )Û α ±(X) = (−1) αβ (X − Y ) αβ : Û β ±(Y )Û α ±(X) : |Y | > |X|. (3.49)3.2.2 Relations de commutations fondamentalesConsidérons d’abord les commutateurs[∮∮]i[Ĵ±,n , Û±,m]α dX=2iπX Xn Ĵ±(X),i dY2iπY Y m Û±(Y α ) ;∮ ∮dX dY=2iπX 2iπY Xn Y m Ĵ±(X)Û i ±(Y α )∮ ∮dY dX−2iπY 2iπX Xn Y m Û±(Y α )Ĵ ±(X). i (3.50)

3.2 Algèbre de Kac Moody affine 55Utilisant les résultats (3.38) et (3.44), nous avons∮i[Ĵ±,n , Û±,m]α dX 1 dY 1=2iπ X∮0Xn 2iπ Y Y m×−×(∮|X|>|Y |: Ĵ i ±(X)Û α ±(Y ) : +α i XX − Y Û α ±(Y )|Y |>|X|dX2iπque l’on peut encore écrire sous la forme( ∮i[Ĵ±,n , Û±,m]α dX=|X|>|Y | 2iπ×1X Xn ∮0dY2iπ1Y Y m(: Ĵ i ±(X)Û α ±(Y ) : +α i XX − Y Û α ±(Y )∮1dXX Xn −|Y |>|X| 2iπ(: Ĵ i ±(X)Û α ±(Y ) : +α i XX − Y Û α ±(Y ))), (3.51)) ∮1 dY 1X Xn 0 2iπ Y Y m). (3.52)On peut remarquer que l’expression (3.52) est égale à la même expression intégréesur la différence de deux contours qui, par le théorème de Cauchy, peutêtre intégrée d’abord sur un contour autour du point X = Y , et ensuite sur uncontour autour de l’origine par[Ĵi±,n , Û α ±,m]==∮∮dY2iπY∮YY m dX 12iπ X Xn α i XX − Y Û ±(Y α )dY 12iπ Y Y m α i Y n Û±(Y α ). (3.53)00Nous trouvons une relation de commutation fondamentale[Ĵi±,n , Û α ±,m]= α i Û α ±,m+n. (3.54)Déterminons la relation de commutation suivante en utilisant les expressionsen (3.49) et (3.47)∮ ∮α[Û±,m , Û±,n]β dX dY( )=2iπX 2iπY Xn Y m Û±(X)Û α ±(Y β ) − Û ±(Y β )Û ±(X)α=−ce qui entraîne que∮∮|X|>|Y ||Y |>|X|dX2iπXdX2iπX∮∮dY2iπY Xn Y m (X − Y ) α.β : Û α ±(X)Û β ±(Y ) :dY2iπY Xn Y m (−1) α.β (X − Y ) αβ× : Û α ±(X)Û β ±(Y ) :, (3.55)Û α ±,nÛ β ±,m − (−1) αβ Û β ±,mÛ α ±,n =∮0dY2iπY Y m ∮YdX2iπX Xn× (X − Y ) α.β : Û α ±(X)Û β ±(Y ) : . (3.56)

56 Symétries globales non abéliennes de saveurUne discussion s’impose à ce niveau, car il y a plusieurs résultats de (3.56) enfonction des valeurs que peuvent prendre α.β. En effet si α.β ≥ 0,Si α.β = −1,Si α.β = −2,Û α ±,nÛ β ±,m − (−1) αβ Û β ±,mÛ α ±,n = 0. (3.57)Û α ±,nÛ β ±,m − (−1) αβ Û β ±,mÛ α ±,n = Û α+β±,m+n. (3.58)Û α ±,nÛ β ±,m − (−1) αβ Û β ±,mÛ α ±,n =N−1∑j=1α j Ĵ j ±,m+n + nδ m+n,0 (3.59)Les relations de “commutations” fondamentales récapitulées ci-dessous nouspermettent de définir l’algèbre de Kac-Moody affine.]i[Ĵ±,n , Ĵ j†±,m = mδ ij δ m,n , (3.60)i[Ĵ±,n , Û±,m]α = α i Û±,m+n α , (3.61)⎧⎨ 0 α.β ≥ 0Û±,mÛ α β±,n − (−1) αβ Û±,nÛ β ±,m α = Û α+β±,m+nα.β = −1⎩α.Ĵ±,m+n + mδ m+n,0 α.β = −2(3.62)où α.Ĵ±,m+n =N−1∑j=1α j Ĵ j ±,m+n.Cependant, une correction doit être apportée sur le terme (−1) αβ qui apparaîtdans (3.62) en vue d’obtenir les “bonnes” relations de commutation. Pource faire, nous adaptons la construction d’opérateur de compensation de signedans [11] et [12] à notre cas. Ainsi nous considérons sur l’espace des états quantiquesun opérateur de projection dont l’action se portera uniquement sur lesfacteurs d’onde.3.2.3 Opérateur de projection()Posons V = F,{e iλ. ˆQ ±où F désigne l’espace de Fock déjà défini et}λ∈Λ Σle second facteur désigne “l’onde plane”. Nous définissons sur V une projectionparavecC ±,α = 1 ⊗ C ±,α , (3.63)C ±,α = ∑vérifiant les propriétés suivantes :β∈Λ Σɛ(α, β)|β〉〈β|, (3.64)ɛ(α, β) ∈ {−1, 1}, (3.65)ɛ(α, β) = (−1) α.β+α2 β 2 ɛ(β, α), (3.66)ɛ(α, β)ɛ(α + β, γ) = ɛ(α, β + γ)ɛ(β, γ). (3.67)

3.2 Algèbre de Kac Moody affine 57Posons maintenantDe même nous avonsÊ α ±,n = Û α ±,nC ±,α , (3.68)Ê β ±,m = Û β ±,mC ±,β . (3.69)Ê α ±(z) = Û α ±(z)C ±,α , (3.70)Ê β ±(z) = Û β ±(z)C ±,β . (3.71)Nous explicitons l’action de C ±,α en calculant les produits suivants qui servirontà déterminer les relations de commutations fondamentales. Pour |X| > |Y |,calculonsÊ α ±(X)Êβ ±(Y ) = Û α ±(X)C ±,α Û β ±(Y )C ±,β ,Evaluons le produit= XY (X − Y ) αβ e iα. ˆQ ±C ±,α e iβ. ˆQ ±C ±,β× e α. ˆP ± ln(X) e β. ˆP ± ln(Y )× e ∑ N−1j=1∑m≥1 1 m αj Ĵ j†±,m Xm e ∑ N−1k=1∑n≥1 1 n βj Ĵ k†±,n Y n× e ∑ N−1j=1× e ∑ N−1k=1∑ −1m≥1 m αj Ĵ j ±,m X−m∑ −1n≥1 n βj Ĵ k ±,n Y −n . (3.72)soite iα. ˆQ ±C ±,α e iβ. ˆQ ±C ±,β , (3.73)e iα. ˆQ ±C ±,α e iβ. ˆQ ±C ±,β = e iα. ˆQ ±∑en tenant compte de (3.22), et (3.67), nous avonse iα. ˆQ ±C ±,α e iβ. ˆQ ±C ±,β = ∑ ∑γ∈Λ Σγ∈Λ Σɛ(α, γ)|γ〉〈γ|× e iβ. ˆQ ±∑γ ′ ∈Λ Σɛ(β, γ ′ )|γ ′ 〉〈γ ′ |, (3.74)γ ′ ∈Λ Σɛ(α, γ)ɛ(β, γ ′ )× |α + γ〉〈γ|β + γ ′ 〉〈γ ′ |= ∑D’après (3.64), nous avons à nouveaue iα. ˆQ ±C ±,α e iβ. ˆQ ±C ±,β = ɛ(α, β) ∑γ∈Λ Σɛ(α, γ)ɛ(β, γ − β)|α + γ〉〈γ − β|,= ∑γ∈Λ Σɛ(α, γ + β)ɛ(β, γ)|α + β + γ〉〈γ − β|,= ∑γ∈Λ Σɛ(α, β)ɛ(α + β, γ)× |α + β + γ〉〈γ − β|. (3.75)ɛ(α + β, γ)γ∈Λ Σ× |α + β + γ〉〈γ − β|, (3.76)= ɛ(α, β)e i(α+β). ˆQ ±C ±,α+β . (3.77)

58 Symétries globales non abéliennes de saveurEn utilisant (3.66), nous avonset enfine iβ. ˆQ ±C ±,β e iα. ˆQ ±C ±,α = ɛ(β, α)e i(α+β). ˆQ ±C ±,α+β ,= (−1) α.β+α2 β 2 ɛ(α, β)e i(α+β). ˆQ ±C ±,α+β ,(3.78)e iα. ˆQ ±C ±,α e iβ. ˆQ ±C ±,β = ɛ(α, β)e iα. ˆQ ±e β. ˆQ ±C ±,α+β , (3.79)e iβ. ˆQ ±C ±,β e iα. ˆQ ±C ±,α = (−1) α.β+α2 β 2× ɛ(α, β)e iα. ˆQe iβ. ˆQ ±C ±,α+β . (3.80)En injectant (3.79) et (3.80) dans (3.72) d’une part pour |X| > |Y | et d’autrepart pour |Y | > |X|, nous obtenons respectivement pour |X| > |Y |Ê α ±(X)Êβ ±(Y ) = ɛ(α, β) (X − Y ) αβ : Û α ±(X)Û β ±(Y ) : C ±,α+β (3.81)et pour |Y | > |X|Ê α ±(Y )Êβ ±(X) = (−1) α.β (−1) α.β+α2 β 2 ɛ(α, β) (X − Y ) αβ× : Û α ±(X)Û β ±(Y ) : C ±,α+β= ɛ(α, β) (X − Y ) αβ : Û α ±(X)Û β ±(Y ) : C ±,α+β . (3.82)3.2.4 Algèbre de Kac Moody affineNous avons tous les éléments pour définir l’algèbre de Kac-Moody affine.Nous déterminons la dernière relation de commutation en utilisant (3.81), (3.82)et en procédant de la même manière que dans (3.52)-(3.53)∮[Êα ±,m , ʱ,n]β = ɛ(α, β)0dY2iπY Y m+n ( : Û α+β±,m+n(Y ) :)C ±,α+β . (3.83)Une discussion s’impose à ce niveau par rapport aux différentes valeurs deα.β comme dans (3.56) entraînant que : si α.β = −1, alors[Êα ±,m , Ê β ±,n]= ɛ(α, β)Êα+β m+n, (3.84)si α.β = −2, alors[Êα ]±,m , Ê β ±,n = α.Ĵ±,m+n + mδ m,n , (3.85)si α.β ≥ 0, alors[Êα ±,m , ʱ,n]β = 0. (3.86)L’algèbre de Kac-Moody affine associée à su(N), est obtenue à l’aide de(3.60), (3.61), (3.84), (3.85), (3.86) par]i[Ĵ±,m , Ĵ j†±,n = mδ ij δ m,n , (3.87)i[Ĵ±,m , ʱ,n]α = α i ʱ,m+n α (3.88)[Êα ±,m , ʱ,n]β = ɛ(α, β)Êα+β ±,m+n, si α.β = −1 (3.89)= α.Ĵ±,m+n + mδ m,n si α.β = −2, (3.90)= 0, si α.β ≥ 0. (3.91)

3.2 Algèbre de Kac Moody affine 59Nous venons de définir l’algèbre de Kac-Moody affine associée à su(N) etd’après [11], la sous-algèbre Ĵ i ±,0, Êα ±,0, 1 ≤ i ≤ (N − 1), α ∈ Λ isomorphe estisomorphe à su(N). Nous réalisons ainsi les symétries globales non abéliennes desaveur des générateurs Êα ±,0 n’appartenant pas à la sous-algèbre de Cartan. Nousnous intéressons à ce niveau à la réalisation de ces symétries non abéliennes surles états à une particule. Sans rentrer dans les détails nous pouvons dire que cesétats ne sont pas invariants sous ces symétries, mais forment, comme il se doit,une représentation irreductible non linéaire de cette structure algébrique. Enparticulier, les états à un quantum des champs chiraux sont transformés par lesgénérateurs Êα ±,0 en des superpositions cohérentes de tels états des champs chiraux.Les détails et les propriétés spécifiques de ces états cohérents mériteraientune étude détaillée pour elle-même, d’intérêt tout actuel.[13]

Chapitre 4L’électrodynamique scalaireCe chapitre s’inscrit dans le cadre des théories de jauge où l’étude du modèleau niveau classique sera sans fixation de jauge à l’instar du modèle de Schwingerà N saveurs de fermions de Dirac étudié au chapitre précédent. Le modèlede l’électrodynamique scalaire est un modèle de couplage d’un champ de jaugeà un champ scalaire complexe dans un potentiel a priori arbitraire, que nouschoisirons à la Higgs, ce qui correspond à un modèle bien connu sous le nom demodèle abélien de Higgs qui a servi d’illustration pour le phénomène de brisurespontanée de symétrie de jauge ou encore du modèle de Landau-Ginzburg pourla supra-conductivité lorsque l’on se situe en dimension quatre d’espace-temps.Dans ce travail, nous allons montrer que dans son secteur physique, ce modèlecorrespond au couplage d’un champ pseudoscalaire, essentiellement le champélectrique, à la partie radiale du champ complexe initial. Par ailleurs, la phasedu champ scalaire complexe correspond en réalité au modèle de Schwinger à unesaveur bosonisé, avec le boson chiral associé représentant la phase du champcomplexe. En se restreignant donc au secteur physique, au niveau classique, leséquations du mouvement conduisent à un système d’équations couplées dontles solutions d’énergies finies comprennent des configurations solitoniques ets’expriment sous forme de fonctions en tangente hyperbolique lorsque l’on sesitue sur la droite réelle et sous forme de fonctions elliptiques de Jacobi sur lecercle par compactification de la droite réelle.4.1 Le choix du LagrangienConsidérons, dans un espace-temps de Minkowski de dimension deux avecla métrique de signature η µν = diag(+−), le couplage d’un champ de jauge A µau champ scalaire complexe φ dont la charge e est la constante de couplagede jauge, et en présence d’un potentiel V (|φ|), U(1) invariant, cette dernièresymétrie définissant le groupe de jauge associé.La densité lagrangienne décrivant ce modèle estL = − 1 4 [∂ µA ν − ∂ ν A µ ] [∂ µ A ν − ∂ ν A µ ] + | (∂ µ + ieA µ ) φ| 2 − V (|φ|), (4.1)où nous supposons e > 0 et µ, ν = 0, 1, ce qui conduit par variation des valeurs

62 L’électrodynamique scalairede µ et ν à une expression explicite de la densité lagrangienne qui est la suivanteL = 1 2 (∂ 0A 1 − ∂ 1 A 0 ) 2 + [∂ 0 φ ∗ − ieA 0 φ ∗ ] [∂ 0 φ + ieA 0 φ]− [∂ 1 φ ∗ − ieA 1 φ ∗ ] [∂ 1 φ + ieA 1 φ] − V (|φ|). (4.2)En vue de pouvoir séparer convenablement les contributions invariantes etnon invariantes de jauge de cette dynamique, il s’avère utile d’introduire uneparamétrisation polaire du champ scalaire complexe sous la formeφ(x µ ) → 1 √2ρ(x µ )e iϕ(xµ) , (4.3)où le facteur1√2désigne un facteur de normalisation. Nous supposons queles fonctions ρ(x µ ) et ϕ(x µ ) sont des fonctions continues sur l’espace-tempsde Minkowski de dimension deux, le signe de ρ(x µ ) étant a priori arbitraire.Cependant le choix du signe de ρ(x µ ) est correlé avec le choix de l’évaluationpour ϕ(x µ ) modulo π se traduisant schématiquement par[(−1) k ρ, ϕ + kπ ] ↔ [ρ, ϕ] , k ∈ Z. (4.4)De plus ϕ(x µ ) peut être à valeurs multiples, si ρ(x µ ) possède des zéros. Il nousfaudra donc imposer, pour les configurations physiques invariantes de jauge,l’invariance sous la symétrie Z 2 associée à (ρ ↔ −ρ)En substituant (4.3) dans (4.2), nous avonsL = 1 2 [∂ 0A 1 − ∂ 1 A 0 ] 2 + 1 2 (∂ 0ρ) 2 + 1 2 ρ2 (∂ 0 ϕ + eA 0 ) 2− 1 2 (∂ 1ρ) 2 − 1 2 ρ2 (∂ 1 ϕ + eA 1 ) 2 − V (ρ). (4.5)Les transformations de jauge s’opérant sur les degrés de liberté sontA ′ µ = A µ − ∂ µ α; φ ′ = e ieα φ; ρ ′ = ρ; ϕ ′ = ϕ + eα; (4.6)∂ µ ϕ ′ + eA ′ µ = ∂ µ ϕ + eA µ . (4.7)4.2 Formulation Hamiltonienne4.2.1 Le champ électriqueLes degrés de liberté du modèle dans la description de la densité lagrangiennesontA 0 (t, x), A 1 (t, x), ρ(t, x), ϕ(t, x). (4.8)On reconnaît le champ électrique donné parE = −∂ 1 A 0 − ∂ 0 A 1 = ∂ 0 A 1 − ∂ 1 A 0 = F 01 . (4.9)

4.2 Formulation Hamiltonienne 634.2.2 Moments conjugués canoniquesLes moments conjugués associés à ces degrés de liberté sont canoniquementdéterminés parπ 0 =représentant une contrainte primaire. De plus,π 1 =ce qui correspond au champ électrique conduisant àPar ailleurs∂L = 0, (4.10)∂(∂ 0 A 0 )∂L∂(∂ 0 A 1 ) = ∂ 0A 1 − ∂ 1 A 0 , (4.11)π 1 = E, donc ∂ 0 A 1 = π 1 + ∂ 1 A 0 = E + ∂ 1 A 0 . (4.12)donc ∂ 0 ρ = π ρ . Et finalementconduisant àπ ϕ =π ρ =∂L∂(∂ 0 ρ) = ∂ 0ρ, (4.13)∂L∂(∂ 0 ϕ) = ρ2 (∂ 0 ϕ + eA 0 ) , (4.14)∂ 0 ϕ = 1 ρ 2 π ϕ − eA 0 . (4.15)Les crochets de Poisson fondamentaux non nuls sont donnés par{A0 (t, x), π 0 (t, y) } = δ(x − y) = (−1) { π 0 (t, x), A 0 (t, y) } , (4.16){A1 (t, x), π 1 (t, y) } = δ(x − y) = (−1) { π 1 (t, x), A 1 (t, y) } , (4.17){ϕ(t, x), π ϕ (t, y)} = δ(x − y) = (−1) {π ϕ (t, x), ϕ(t, y)} , (4.18){ρ(t, x), π ρ (t, y)} = δ(x − y) = (−1) {π ρ (t, x), ρ(t, y)} . (4.19)La dynamique du système est générée par la densité hamiltonienne canoniqueH 0 = π 0 ∂ 0 A 0 + π 1 ∂ 0 A 1 + π ϕ ∂ 0 ϕ + π ρ ∂ 0 ρ − L, (4.20)ce qui est équivalent par substitution des moments conjugués (4.10), (4.11),(4.14), (4.13) par leurs expressions dans (4.20) àH 0 = 1 2(π1 ) 2+12 (π ρ) 2 + 1 2 (∂ 1ρ) 2 + 1 2 ρ2 (∂ 1 ϕ + eA 1 ) 2+ ∂ 1 (π 1 A 0 ) − A 0 ∂ 1 π 1 − 1 2 π ϕ (∂ 0 ϕ + eA 0 ) + π ϕ ∂ 0 ϕ + V (ρ), (4.21)en ajoutant le terme eA 0 π ϕ −eA 0 π ϕ dans (4.21), nous avons enfin l’Hamiltoniencanonique∫ L( 1 (H 0 = dx π1 ) 2 1 +−L 2 2 (π ρ) 2 + 1 2 (∂ 1ρ) 2 + 1 2 ρ2 (∂ 1 ϕ + eA 1 ) 2+ 1 )12 ρ 2 π2 ϕ + ∂ 1 (A 0 π 1 () − A 0 ∂1 π 1 )+ eπ ϕ + V (ρ) . (4.22)

64 L’électrodynamique scalaireEn vue d’étudier la dynamique de ce modèle, nous choisissons de compactifierla droite réelle de genre espace en un cercle de longueur 2L. Ainsi, la topologied’espace-temps à considérer est celle cylindrique reposant sur le cercle S 1 quenous représentons par τ = R × S 1 . Par ailleurs l’existence de la contrainteprimaire nécessite une étude rapide de l’évolution dynamique de cette contrainteselon le formalisme de Dirac décrit au chapitre 1 en vue de savoir si elle génèred’autres contraintes ou non. En effet, le moment conjugué π 0 en (4.10) induitune contrainte primaireσ 0 = π 0 . (4.23)Afin de déterminer les autres contraintes, considérons l’Hamiltonien primaireH 1 = H 0 +∫ L−Ldx u 0 (t, x)σ 0 (t, x). (4.24)Cet Hamiltonien primaire sert de générateur pour l’évolution dynamique descontraintes primaires. Ainsi˙σ 0 (t, x) =∫ L−Ldy {σ 0 , H 0 } +∫ L−Ldy {σ 0 (t, x), u 0 (t, y)σ 0 (t, y)} , (4.25)en retenant uniquement les contributions dans l’expression de H 0 pour le calculdes crochets de Poisson avec π 0 , nous avons˙σ 0 (t, x) ==∫ L−L∫ L−Ldy { π 0 (t, x) , −A 0 (t, y)(∂ 1 π 1 + eπ ϕ )(t, y) + u 0 (t, y)σ 0 (t, y) }dy ( ∂ 1 π 1 + eπ ϕ)δ(x − y), (4.26)car {σ 0 (t, x) , u 0 (t, y)σ 0 (t, y)} = 0. Nous obtenons ainsiL’équationconduit à˙σ 0 = ∂ 1 π 1 + eπ ϕ . (4.27)˙σ 0 = 0, (4.28)∂ 1 π 1 + eπ ϕ = 0, (4.29)d’après le formalisme de Dirac, représentant ainsi une contrainte secondaireσ 1 = ∂ 1 π 1 + eπ ϕ . En ce qui concerne l’étude de cette contrainte secondaire, onse donne à nouveau un Hamiltonien secondaire H 2 , plus général que H 1 , prenanten compte les combinaisons linéaires de la contrainte σ 1 définie parH 2 = H 0 +∫ L−Ldx (u 0 σ 0 + u 1 σ 1 ) . (4.30)L’évolution temporelle de la contrainte σ 1 est déterminée par l’équation˙σ 1 (t, x) =∫ L−Ldy {σ 1 (t, x) , H 0 + u 0 (t, y)σ 0 (t, y) + u 1 (t, y)σ 1 (t, y)} , (4.31)

4.2 Formulation Hamiltonienne 65qui se réduit à˙σ 1 (t, x) =∫ L−L{dy (∂ 1 π 1 + eπ ϕ )(t, x) ,}12 ρ2 (t, y)(∂ 1 ϕ + eA 1 ) 2 (t, y)= 0, (4.32)car en substituant π ϕ et π 1 par leurs expressions (4.11), (4.14), il n’y a aucunecontribution dans le calcul de crochets de Poisson de (4.31). Ce qui entraîne˙σ 1 = 0, (4.33)d’après la méthode de Dirac, la contrainte σ 1 ne génère pas d’autres contraintes,ce qui met fin à la recherche d’autres générations de contraintes. L’étape suivanteconsiste en la classification des deux contraintes. Il est immédiat de voir que{σ 0 (t, x) , σ 0 (t, y)} = 0 = {σ 1 (t, x) , σ 1 (t, y)} , (4.34){σ 0 (t, x) , σ 1 (t, y)} = 0 = {σ 1 (t, x) , σ 0 (t, y)} . (4.35)Il s’en suit d’après le tableau ci-dessus que toutes les contraintes sont de premièreclasse. L’Hamiltonien de première classe étant essentiellement l’Hamiltonien canoniqueH 0 .L’action de premier ordre est déterminée parS =∫R∫ +Ldx 0 dx 1 { ∂ 0 A 0 π 0 + ∂ 0 A 1 π 1 + ∂ 0 ρπ ρ + ∂ 0 ϕπ ϕ−L− 1 2 π12 − 1 2 ρ2 (∂ 1 ϕ + eA 1 ) 2 − 12ρ 2 π2 ϕ − V (ρ)+ A 0[∂1 π 1 + eπ ϕ]− λ0 π 0 − λ [ ∂ 1 π 1 + eπ ϕ]− ∂1[π 1 A 0]}. (4.36)Nous choisissons les multiplicateurs de Lagrange comme étantλ 0 = ∂ 0 A 0 ; λ − A 0 = −Ã0 → −A 0 . (4.37)La formulation hamiltonienne fondamentale[2] est définie par∫S =avecR∫ +Ldx 0 dx 1 { ∂ 0 A 1 π 1 [+ ∂ 0 ρπ ρ + ∂ 0 ϕπ ϕ − H + A 0 ∂1 π 1 ]}+ eπ ϕ ,(4.38)−LH = 1 2 (π1 ) 2 + 1 2 ρ2 [∂ 1 ϕ + eA 1 ] 2 + 1 2 π2 ρ + 1 2 (∂ 1ρ) 2 + 12ρ 2 π2 ϕ+ V (ρ) + ∂ 1 [π 1 A 0 ]. (4.39)∫Notons que le terme de surfaceR∫ +Ldx 0 dx 1 ∂ 1 [π 1 (−λ)] peut être ignoré enraison d’un choix de conditions aux bord périodiques sur le cercle, ou sinon tellesque π 1 s’annule à l’infini sur la droite réelle.−L

66 L’électrodynamique scalaire4.2.3 Transformations de JaugeLes transformations de jauge générées par la contrainte de première classesont les suivantes :A ′ 0 = A 0 − ∂ 0 α ; A ′ 1 = A 1 − ∂ 1 α ; π ′ 1 = π 1 ;ρ ′ = ρ , π ′ ρ = π ρ ;ϕ ′ = ϕ + eα ; π ′ ϕ = π ϕ ; ∂ 1 ϕ ′ + eA ′ 1 = ∂ 1 ϕ + eA 1 .(4.40)Nous vérifions que la densité lagrangienne reste invariante sous les transformationsde jauge, cela nécessite cependant l’inclusion des termes de surface. EneffetL ′ = ∂ 0 [A 1 − ∂ 1 α]π 1 + ∂ 0 ρπ ρ + ∂ 0 [ϕ + eα]π ϕ − H− ∂ 1 [π 1 (A 0 − ∂ 0 α)] + [A 0 − ∂ 0 α](∂ 1 π 1 + eπ ϕ ) (4.41)= L − ∂ 0 ∂ 1 απ 1 + e∂ 0 απ ϕ + ∂ 1 [π 1 ∂ 0 α] − ∂ 0 α[∂ 1 π 1 + eπ ϕ ]= L + ∂ 0 α[∂ 1 π 1 + eπ ϕ ] − ∂ 0 α[∂ 1 π 1 + eπ ϕ ]= L.En l’abscence du terme de surface ∂ 1 [π 1 A 0 ] dans H, l’action de premier ordrene serait invariante de jauge qu’à un terme de surface près.4.2.4 La formulation hamiltonienne physiqueEn vue d’obtenir une formulation hamiltonienne physique du système, c’estàdire ne retenant que le secteur physique invariant de jauge, il est nécessaire deprocéder à une redéfinition des degrés de liberté du système. Nous introduisonsainsiet remarquons queπ ϕ = 1 econduisant àB = − 1 e E , π B = ∂ 1 ϕ + eA 1 , (4.42)[∂1 π 1 + eπ ϕ − ∂ 1 π 1] = 1 e[(∂1 π 1 + eπ ϕ ) + e∂ 1 B) ] , (4.43)∂ 1 π 1 + eπ ϕ = e[π ϕ − ∂ 1 B]. (4.44)Nous avons ainsi pour l’action de première classe,L = 1 e ∂ 0 [eA 1 + ∂ 1 ϕ − ∂ 1 ϕ] (−e)B + ∂ 0 ρπ ρ + ∂ 0 ϕπ ϕ− 1 2 e2 B 2 − 1 2 ρ2 π 2 B − 1 2 π2 ρ − 1 2 (∂ 1ρ) 2 − 12ρ 2 ( 1e (∂ 1π 1 + eπ ϕ ) + ∂ 1 B− V (ρ) − ∂ 1 [π 1 A 0 ] + A 0 [∂ 1 π 1 + eπ ϕ ],) 2L = −B∂ 0 π B + ∂ 0 ∂ 1 ϕB + ∂ 0 ρπ ρ + ∂ 0 ϕπ ϕ − 1 2 e2 B 2 − 1 2 ρ2 π 2 B − 1 2 π2 ρ− 1 2 (∂ 1ρ) 2 − 12ρ 2 (∂ 1B) 2 − 12ρ 2 (π ϕ − ∂ 1 B) 2 − 1 ρ 2 (∂ 1B)(π ϕ − ∂ 1 B)− V (ρ) + eA 0 [π ϕ − ∂ 1 B] − ∂ 1 [π 1 A 0 ],

4.3 La formulation lagrangienne physique 67L = ∂ 0 Bπ B + ∂ 0 ρπ ρ + ∂ 0 ϕ[π ϕ − ∂ 1 B] + eA 0 [π ϕ − ∂ 1 B]− 1 2 ρ2 πB 2 − 12ρ 2 (∂ 1B) 2 − 1 2 e2 B 2 − 1 2 π2 ρ − 1 2 (∂ 1ρ) 2 − V (ρ)−12ρ 2 (π ϕ − ∂ 1 B) 2 − 1 ρ 2 (∂ 1B)(π ϕ − ∂ 1 B) − ∂ 0 [Bπ B ] + ∂ 1 [B∂ 0 ϕ]+ ∂ 1 [eBA 0 ],L = ∂ 0 Bπ B + ∂ 0 ρπ ρ − 1 2 ρ2 πB 2 − 12ρ 2 (∂ 1B) 2 − 1 2 e2 B 2 − 1 2 π2 ρ − 1 2 (∂ 1ρ) 2 − V (ρ)[+ (∂ 0 ϕ + eA 0 ) − 1 ]ρ 2 (∂ 1B) (π ϕ − ∂ 1 B) − 12ρ 2 (π ϕ − ∂ 1 B) 2− ∂ 0 [Bπ B ] + ∂ 1 [B(∂ 0 ϕ + eA 0 )]. (4.45)Lorsqu’on se restreint au secteur physique, nous avons π ϕ − ∂ 1 B = 0 ; il s’ensuit queavecoù∫S phys =R∫ +Ldx 0 dx 1 [∂ 0 Bπ B + ∂ 0 ρπ ρ − H phys ] , (4.46)−LH phys = 1 2 ρ2 π 2 B + 12ρ 2 (∂ 1B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 π2 ρ + 1 2 (∂ 1ρ) 2 + V (ρ)+ ∂ 0 [Bπ B ] − ∂ 1 [B(∂ 0 ϕ + eA 0 )] , (4.47)B = − 1 e E, π B = ∂ 1 ϕ + eA 1 . (4.48)4.3 La formulation lagrangienne physiqueLes équations hamiltoniennes du mouvement en ρ et B sont déterminées par∂ 0 ρ ==∂ 0 B =∫ L−L∫ L−Ldy {ρ(t, x) , H phys }{dy ρ(t, x) , 1 }2 (π ρ) 2 (t, y)= π ρ . (4.49)=∫ L−L∫ L−Ldy {B(t, x) , H phys }{dy B(t, x) , 1 (ρ 2 (π B ) 2) }(t, y)2= ρ 2 π B . (4.50)En considérant les équations du mouvement en ρ, (4.49), et en B, (4.50), la

68 L’électrodynamique scalaireformulation lagrangienne du système s’en suit :L phys = ∂ 0 ρπ ρ + ∂ 0 Bπ B − H phys ,= (π ρ ) 2 + ρ 2 πB 2 − 1 2 e2 B 2 − 12ρ 2 (∂ 1B) 2 − 1 2 ρ2 (π B ) 2− 1 2 (π ρ) 2 − 1 2 (∂ 1ρ) 2 − V (ρ) − ∂ 0 [ 1 ρ 2 Bπ B]+ ∂ 1 [B(∂ 0 ϕ + eA 0 )] ,et par réduction des moments conjugués,L phys = 1 2 π2 ρ + 1 2 ρ2 π 2 B − 1 2 e2 B 2 − 12ρ 2 (∂ 1B) 2 − 1 2 (∂ 1ρ) 2 − V (ρ)− ∂ 0 [ 1 ρ 2 B∂ 0B] + ∂ 1 [B(∂ 0 ϕ + eA 0 )] ,= 1 2 (∂ 0ρ) 2 + 1 12 ρ 2 (∂ 0B) 2 − 1 2 e2 B 2 − 12ρ 2 (∂ 1B) 2 − 1 2 (∂ 1ρ) 2 − V (ρ)− ∂ 0 [ 1 ρ 2 B∂ 0B] + ∂ 1 [B(∂ 0 ϕ + eA 0 )] ,= 1 12 ρ 2 (∂ µB) 2 − 1 2 e2 B 2 + 1 2 (∂ µρ) 2 − V (ρ)− ∂ 0 [ 1 ρ 2 B∂ 0B] + ∂ 1 [B(∂ 0 ϕ + eA 0 )] . (4.51)En résumé le modèle de l’électrodynamique scalaire en dimension deux estdécrit dans son secteur physique par la densité lagrangienne suivanteL phys = 1 12 ρ 2 (∂ µB) 2 − 1 2 e2 B 2 + 1 2 (∂ µρ) 2 − V (ρ)− ∂ 0 [ 1 ρ 2 B∂ 0B] + ∂ 1 [B(∂ 0 ϕ + eA 0 )] . (4.52)Dans ce secteur, le modèle coïncide avec un modèle de couplage d’un champpseudoscalaire qui est le champ électrique E au champ scalaire réel qui est lechamp ρ, tous neutres et invariants de jauge U(1) car dans le secteur physique.Cependant, la symétrie Z 2 telle que (ρ ↔ −ρ) doit être imposée “à la main” surl’identification des états physiques.4.3.1 Le champ pseudoscalaireLe champ B est essentiellement le champ électrique, ayant acquis une masseproportionnelle à la constante de couplage de jauge e. Cette masse dépend de lavaleur de ρ. En effet, si ρ est constant c’est-à-dire ρ(x) = ρ 0 , le terme cinétique1/2ρ 2 (∂ µ B) 2 de B est bien défini et en effectuant une normalisation adéquate,le champ B correspond à un champ pseudoscalaire de masse |eρ 0 |. La raisonpour laquelle B est pseudoscalaire est que sous la parité en 1 + 1 dimensions, lechamp électrique change de signe, tandis qu’il n’y a aucune notion de rotationdans un espace de dimension unité.On suppose maintenant que ρ est quelconque. Le fait que le terme cinétiquede B soit multiplié par 1/ρ 2 signifie que le champ B acquiert une masse dynamiquedont les valeurs dépendent de la configuration de ρ. Ce qui entraîne que

4.3 La formulation lagrangienne physique 69ce système s’inscrit dans le cadre de la représentation effective pour la supraconductivité,connue sous le nom de modèle de Landau-Ginzburg pour le casstationnaire, ou du modèle de Higgs dans le cas d’une symétrie de jauge U(1)en dimension supérieure où le boson de jauge acquiert une masse dynamique.4.3.2 Le champ radialLe champ radial ρ apparaît comme un champ réel dans la théorie, dont lamasse dépend du choix de V (ρ). Un choix idéal est celui du potentiel de Higgsde la formeV (ρ) = 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 , (4.53)où M 2 , avec M > 0, est un facteur possèdant la dimension physique d’une massecarrée et tel que le champ radial ρ possède une masse donnée par |Mρ 0 |.Nous tirons la conclusion fondamentale suivante : le modèle de l’électrodynamiquescalaire est physiquement équivalent au niveau classique à un systèmede couplage d’un champ pseudoscalaire neutre au champ scalaire neutre, tousmassifs pour autant que les configurations du champ scalaire soient non nulles,mais dont la masse du champ pseudoscalaire est dynamique et dépend des configurationsdu champ scalaire.4.3.3 Théorème de Noether et translations d’espace-tempsSelon le premier théorème de Noether,[2] appliqué dans le cas des translationsd’espace-temps,x ′µ = x µ + a µ , ρ ′ (x ′ ) = ρ(x) , B ′ (x) = B(x), (4.54)il suit que la densité de courant (à savoir le tenseur énergie-moment pour lesystème) est donnée parγ νµ = ∂ µ ρ∂ ν ρ + 1 ρ 2 ∂µ B∂ ν B − η νµ L. (4.55)Les charges conservées sont l’énergie totale E et le moment conjugué P dusystème. Nous avonset∫ L[ 1E = dx−L 2ρ 2 (∂ 0B) 2 + 12ρ 2 (∂ 1B) 2 + 1 2 e2 B 2+ 1 2 (∂ 0ρ) 2 + 1 ]2 (∂ 1ρ) 2 + V (ρ) , (4.56)En terme des moments conjugués,∫ L[P = − dx ∂ 0 ρ∂ 1 ρ + 1 ]−Lρ 2 ∂ 0B∂ 1 B . (4.57)π ρ = ∂ 0 ρ , π B = 1 ρ 2 ∂ 0B, (4.58)

70 L’électrodynamique scalaireles expressions (4.56), (4.57) deviennentE = H 0 ,∫ LP = − dx [π ρ ∂ 1 ρ + π B ∂ 1 B] . (4.59)−LPar ailleurs, nous avons le courant, associé au courant de la symétrie de jaugeU(1),etj µ = − 1 2 i 1|φ| 2 [φ∗ D µ φ − (Dµφ) ∗ φ]= − 1 2 i 1 ρ 2 [ρ (∂ µρ + iρ(∂ µ ϕ + eA µ )) − ρ (∂ µ ρ − iρ(∂ µ ϕ + eA µ ))]= ∂ µ ϕ + eA µ , (4.60)ɛ µν ∂ µ [Bj ν ] = ∂ 0 [B(∂ 1 ϕ + eA 1 ] − ∂ 1 [B(∂ 0 ϕ + eA 0 )]= ∂ 0 [Bπ B ] − ∂ 1 [B(∂ 0 ϕ + eA 0 )]. (4.61)Notons que ces termes correspondent précisément aux termes de surface apparaissantdans l’action physique du système, voir (4.47) et (4.52).4.3.4 Equations du mouvementLes équations du mouvement selon Euler-Lagrange en ρ et en B sont respectivementLa première de ces équations, (4.62), équivaut à∂ µ∂ µLa seconde, (4.63), équivaut à∂L∂(∂ µ ρ) − ∂L = 0,∂ρ(4.62)∂L∂(∂ µ B) − ∂L = 0.∂B(4.63)∂ 2 µρ + 1 ρ 3 (∂ µB) 2 + ∂V∂ρ∂ µ( 1ρ 2 ∂µ B= 0. (4.64))+ e 2 B = 0. (4.65)Les équations du mouvement en ρ et B, respectivement en (4.64) et (4.65),constituent un système de deux équations non linéaires couplées. Nous nousintéressons aux configurations solutions de ces équations. Toutes les solutions nepeuvent pas être construites de façon analytique, mais cela pourrait être possiblelorsqu’on se restreint aux états d’énergie minimale. En vue de minimiser lesdifficultés, on se restreint au secteur de configurations classiques pour lesquellesle champ électrique est identiquement nul. En effet l’énergie totale du systèmevautE = E c + E p , (4.66)

4.4 Configurations statiques du modèle dans son secteur physique 71où E c désigne l’énergie cinétique du système et E p l’énergie potentielle, avec∫ L( 1E c = dx2ρ 2 ( d dt B)2 + 1 2 ( d )dt ρ)2 , (4.67)etE p =∫ L−L−L( 1 1dx2 ρ 2 ( ddx B)2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 ( d)dx ρ)2 + V (ρ) . (4.68)De ces expressions, on peut constater que si B était non nul, mais que ρ s’annulaitquelque part, il y aurait une singularité dans les équations du mouvement etaussi l’énergie pourrait être infinie, à moins que précisément le champ électriquene s’annule en ce point du cercle encore plus rapidement que ρ, de manière àce que ces rapports de “zéros” restent finis. Mais cela introduit des gradientsspéciaux en ρ et en B de sorte que l’énergie devient importante. Donc pourles états rendant l’énergie minimale, on s’attend en réalité que ceux-ci correspondentaux configurations pour lesquelles B = 0.Un autre avantage de cette restriction est que les deux systèmes se découplent.En effet, l’équation (4.65) est linéaire en B tandis que l’équation (4.64) estnon linéaire en B et en ρ, c’est donc cohérent du point de vue solutions à ceséquations de supposer également que B = 0.Pour ces diverses raisons, nous sommes amenés à chercher les solutions dusystème{ ∂2µ ρ + 1 ρ(∂ 3 µ B) 2 +( )∂V∂ρ = 0,1∂ µ ρ∂ µ B + e 2 (4.69)B = 0,2dans les configurations B = 0. Ainsi, nous avons à résoudre le système{ B = 0,∂µρ 2 + ∂V∂ρ= 0.(4.70)4.4 Configurations statiques du modèle dans sonsecteur physiqueIl nous serait difficile de construire toutes les solutions dépendantes dutemps (horsmis celles obtenues par une transformation spéciale de Lorentz).Par ailleurs, si une dépendance temporelle existe, ces solutions seraient plushautes en énergie. Nous allons nous restreindre aux configurations statiques oùρ dépend uniquement de la variable spatiale. Ainsi, (4.70) équivaut à{ B(x) = 0,ρ ′′ (x) − ∂V∂ρ = 0, (4.71)où ρ ′ (x) désigne les dérivées par rapport à la coordonnée spatiale x. En vuede résoudre analytiquement le système (4.71), un choix de potentiel s’impose.Pour ce faire, nous choisissons un potentiel de Higgs et comme nous l’avons déjàsignalé le choix de ce potentiel conduit à un modèle qui s’inscrit dans le cadre duModèle Standard et ainsi que dans le cadre de la théorie de Ginzburg-Landaupour la supraconductivité :V (ρ) = 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 0) 2. (4.72)

72 L’électrodynamique scalaire4.4.1 Configurations du videOn peut remarquer que pour des valeurs constantes de ρ, en l’occurrence lesvaleurs associées aux minima du potentiel et donc annulant celui-ci pour que lechoix que nous en avons fait, l’équation (4.70) est satisfaite. Par conséquent, lesconfigurations du vide sont déterminées parl’énergie correspondante étant nulleB(x) = 0, ρ(x) = ±ρ 0 , (4.73)E =∫ +L−Ldx 1 H phys = 0. (4.74)4.4.2 Configurations solitoniquesOutre les configurations du vide, il existe des solutions de type soliton àces équations statiques, mais comme nous le verrons dans la suite ces solutionsdiffèrent selon que l’on se situe sur la droite réelle ou sur le cercle de longueur2L par compactification de la droite. Ainsi résoudre le système (4.71) revient àrésoudre l’équationρ ′′ − ∂V∂ρ= 0. (4.75)En multipliant chaque membre de l’équation (4.75) par ρ ′ (x), nous avonsce qui équivaut àρ ′′ (x)ρ ′ (x) = ∂V∂ρ ρ′ (x), (4.76)12 ((ρ′ (x)) 2 = V (ρ) + C 0 , (4.77)C 0 étant une constante d’intégration. L’énergie d’une telle configuration estdonnée parE ==∫ L−L∫ L−LdxdxSur la droite réelle, nous avons particulièrementE =∫ +∞−∞{ ( ) 21 dρ+ 1 2 dx 8 M 2 ( }ρ 2 − ρ 2 20){ 14 M 2 ( }ρ 2 ) 2− ρ 0 + C0 . (4.78){ 1dx4 M 2 ( }ρ 2 − ρ 2 ) 20 + C0 , (4.79)

4.4 Configurations statiques du modèle dans son secteur physique 73conduisant à une énergie finie lorsque la constante d’intégration C 0 = 0 avec lesconditions aux bords lim ρ(x) = ±ρ 0. Dans ce cas (4.77) correspond àx→±∞12( ) 2 dρ= 1 dx 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 ) 2 dρ0 =⇒[1 − ρ2dxdρ= ± 1 2 Mρ2 0= ± 2Mρ 2 01ρ 2 01 − ρ 2 /ρ 2 0dx = ±1 2 M ( ρ 2 0 − ρ 2)], (4.80)=⇒ 1 2 Mρ 0dx = ± d(ρ/ρ 0)1 − (ρ/ρ 0 ) 2= ±dArctanh ρ ρ 0, (4.81)de sorte que[ ]1ρ s (x) = ±ρ 0 tanh2 Mρ 0(x − x 0 ) , (4.82)avec l’énergieE =∫ ±ρ0∓ρ 0dρ ±2Mρ 2 011 − ρ2ρ 2 014 M 2 ρ 4 0) 2 (1 − ρ2= 1 ∫ +12 Mρ3 0 dx(1 − x 2 )ρ 2 0−1= 2 3 Mρ3 0. (4.83)Supposons maintenant que la constante d’intégration C 0 est non nulle etrecherchons les solutions d’énergie finie sur le cercle de longueur 2L. Nous avonsà nouveaud 2dx 2 ρ(x) = −1 2 M 2 (ρ 2 0 − ρ 2 )ρ. (4.84)Considérons à présent, pour une certaine valeur du module kρ(x) = αρ 0 sn(βx), (4.85)où snu = sn(u, k) désigne la fonction elliptique de Jacobi de module k (nousutilisons les notations dans la Ref.[14]). Nous avonsconduisant àddx ρ(x) = αβρ 0cn(βx)dn(βx), (4.86)d 2dx 2 ρ(x) = [ αβ2 ρ 0 −sn(βx)dn 2 (βx) − k 2 sn(βx)cn 2 (βx) ]= −αβ 2 ρ 0 sn(βx) [ 1 − k 2 sn 2 (βx) + k 2 (1 − sn 2 (βx)) ]= −β 2 ρ(x) [ (1 + k 2 ) − 2k 2 sn 2 (βx) ]]= −β 2 (1 + k 2 )ρ(x)[1 − 2k2 11 + k 2 α 2 ρ 2 ρ 2 (x)0= − 2β2 k 2 [ 1 α 2]α 2 ρ 2 0 2 k 2 (1 + k2 )ρ 2 0 − ρ 2 (x) ρ(x). (4.87)

74 L’électrodynamique scalaireAinsi√α 2 2k 22k=1 + k 2 , α = ± 21 + k 2 , (4.88)2β 2 k 2α 2 ρ 2 = 10 2 M 2 ⇒ β 2 = 1 4 M 2 ρ 2 10k 2 . 2k 21 + k 2 = 1 2 M 2 ρ 2 101 + k 2 . (4.89)En conclusion, nous avons la solution√ [ √ ]2k2ρ s (x) = ±ρ 01 + k 2 sn 1 22 Mρ 01 + k 2 x , (4.90)mais nous devons imposer des conditions de périodicité ou d’antipériodicité auxbords. Nous avonsρ s (x + 2L) = ±ρ s (x); ρ s (x + 4L) = ρ s (x), (4.91)par conséquent√1 22 Mρ 0 4L1 + k2 = (2n + 2r)4K(k), (4.92)√1 22 Mρ 2L = (n + r)4K(k) = (2n + 2r)2K(k), (4.93)1 + k2 correspondant à une condition de périodicité si r = 0 et d’antipériodicité pourr = 1 , tandis que n est un entier naturel arbitraire, n ∈ N. Nous avons ainsi la2condition de quantification pour une valeur donnée du module k,LMρ 0 = 4(n + r)K(k)√12 (1 + k2 ), (4.94)auquel cas,√1 22 Mρ 01 + k 2 x = 1 √22 LMρ x01 + k 2 L = 2(n + r)K(k) x L . (4.95)Les zéros de la solution sont tels queet2(n + r)K(k) x mL = 2mK(k) =⇒ x mL = m , m ∈ Z, (4.96)n + r−L ≤ x m ≤ L =⇒ −(n + r) ≤ m ≤ +(n + r). (4.97)Par conséquent, le nombre de zéros distincts, et donc de solitons et anti-solitonsen succession est 2(n + r), avec un espacement de ∆x = L/(N + r).En résumé, les solutions solitoniques sur le cercle sont déterminées par√ [ √ ]2k2ρ s (x) = ±ρ 01 + k 2 sn 1 22 Mρ 01 + k 2 x , (4.98)

4.4 Configurations statiques du modèle dans son secteur physique 75avec√1 + k2LMρ 0 = 4(n + r)K(k) , n ∈ N, (4.99){20 : périodiquer =(4.100)1/2 : antipériodiqueet les zéros de ces solutions sont les suivants :x = x m =m L, −(n + r) ≤ m ≤ +(n + r), m ∈ Z, (4.101)n + ret ∆x = L/(n + r), conduisant à 2(n + r) zéros/solitons. Le cas particulier oùr = 0 avec n = 0 : k = +1, correspond aux configurations du vide ρ s (x) = ±ρ 0 .En vue de vérifier si l’énergie de ces solutions est finienous posonsetE =∫ +L−Ldx{12( dρsdx) 2+ 1 8 M 2 ( ρ 2 0 − ρ 2 s) 2}, (4.102)y = 1 √22 Mρ 01 + k 2 x = 2(n + r)K(k) x L , (4.103)ddx = 2(n + r)K(k) 1 dL dy ; dx = Ldy, (4.104)2(n + r)K(k)conduisant à√ √dρ s 2kdx = ± 221 + k 2 .1 2 Mρ2 01 + k 2 cnydny = k±Mρ2 0 cnydny. (4.105)1 + k2 Enfin (4.102) équivaut à∫ +2(n+r)K(k){L1E =dy2(n + r)K(k) −2(n+r)K(k) 2 M 2 ρ 4 0(1 + k 2 ) 2 cny2 dny 2+ 1 ] 2}8 M 2 ρ 4 0[1 − 2k21 + k 2 sny2 (4.106)E = 1 ∫2 M 2 ρ 4 L2(n+r)K(k){k 20dy2(n + r)K(k) −2(n+r)K(k) (1 + k 2 ) 2 [1 − sn2 y][1 − k 2 sn 2 y]+ 1 ] 2}[1 − 2 k24 1 + k 2 sn2 yLM 2 ρ 4 ∫ 2(n+r)K(k){[0k2=dy2(n + r)K(k) 01 + k 2 + 1 ]4[− sn 2 k 2] [y(1 + k 2 ) 2 (1 + k2 ) + k21 + k 2 + sn 4 k 4y(1 + k 2 ) 2 + k 4 ]}(1 + k 2 ) 2LM 2 ρ 4 ∫ 2(n+r)K(k){[01=dy2(n + r)K(k) 04 + k 2 ](1 + k 2 ) 22k 22k 4 }−(1 + k 2 ) sn2 y +(1 + k 2 ) 2 sn4 y . (4.107)k 2

76 L’électrodynamique scalaireComme 0 ≤ k 2 ≤ 1 et 0 ≤ sn 2 y ≤ 1 l’énergie est finie. Il est a priori possiblede complèter cette évaluation en terme des fonctions elliptiques complètes deJacobi, mais le résultat ne présentant aucune élégance ou transparence, n’estpas reproduit ici. La constante d’intégration peut aussi s’évaluer en calculantC 0 = 1 ( ) 2 dρs− 1 2 dx 2 M 2 (ρ 2 s − ρ 2 0) 2= 1 2 M 2 ρ 4 k 20(1 + k 2 ) 2 cn2 ydn 2 y − 1 ] 22 M 2 ρ 4 0[1 − 2 k21 + k 2 sn2 y{= 1 8 M 2 ρ 4 4k 2] 2}0(1 + k 2 ) 2 [1 − sn2 y][1 − k 2 sn 2 y] 2 −[1 − 2 k21 + k 2 sn2 y= 1 {[8 M 2 ρ 4 4k 2 ]]0(1 + k 2 ) 2 − 1 + sn 2 y[− 4k21 + k 2 + 4k21 + k 2[+ sn 4 4k 4]}y(1 + k 2 ) 2 − 4k41 + k 2 ) 2 .= − 1 ( ) 1 − k8 M 2 ρ 4 2 201 + k 2 . (4.108)Pour une valeur donnée du module k, on peut évaluer la valeur de la constanted’intégration, ce qui justifie l’existence d’au moins une solution sur le cerclepour une valeur non nulle de la constante. En effet, C 0 s’annule pour k 2 = 1et les solutions correspondantes sont les configurations du vide. Pour 0 < k 2

4.4 Configurations statiques du modèle dans son secteur physique 770.30.2-V(ρ)0.1-0-0.1-ρ 0+ρ 0ρ-0.2-0.3-0.4-1 -0.5 0 0.5 1Fig. 4.1 – Graphe du potentiel −V (ρ) = −1/8M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 avec M 2 = 2.

Chapitre 5Spectre de fluctuationsL’objectif de ce chapitre est de vérifier si les solutions statiques fondamentalessont stables par rapport aux fluctuations locales, ce qui nécessite une identificationdu spectre de ces fluctuations afin de nous assurer qu’aucune de cesfluctuations ne conduit à un spectre de valeurs négatives. Nous allons d’abordprocéder à une linéarisation autour des configurations statiques identifiées dansle chapitre précédent.5.1 Linéarisation autour des configurations statiquesfondamentalesConsidérons les fluctuations statiques générales fondamentales construitesau chapitre 4 autour des solutions générales fondamentales, à savoirB(t, x) = δB(t, x) , ρ(t, x) = ρ s (x) + δρ(t, x). (5.1)En vue de linéariser le problème autour d’une telle configuration, nous avonsbesoin de considérer un développement quadratique de la densité lagrangienne(ou hamiltonienne) en terme des fluctuations δB et δρ. Nous obtenons ainsi ladensité lagrangienneL = 12ρ(∂ 2 µ δB) (∂ µ δB) − 1 s2 e2 (δB) 2 + 1 2 (∂ µρ s ) (∂ µ ρ s ) + (∂ µ ρ s ) (∂ µ δρ)+ 1 2 (∂ µδρ) (∂ µ δρ) − V (ρ s ) − δρV ′ (ρ s ) − 1 2 (δρ)2 V ′′ (ρ s ) .Notons que les termes en δρ s’annulent identiquement pour toute solution ρ s (x).Les équations linéaires du mouvement d’Euler-Lagrange par rapport à δρ, δBsont respectivement∂ µ ∂ µ δρ + V ′′ (ρ s )δρ = 0 , (5.2)[ ] 1∂ µρ 2 ∂ µ δB + e 2 δB = 0 . (5.3)sA l’ordre quadratique, nous avons l’énergie de telles configurations des champs

80 Spectre de fluctuationsqui est exprimée parE = ∫ L−L dx [ 12ρ(∂ 2 0 δB) 2 + 1s2ρ(∂ 2 1 δB) 2 + 1 s2 e2 (δB) 2+ 1 2 (∂ 0δρ) 2 + 1 2 (∂ 1δρ) 2 + 1 2 (δρ)2 V ′′ (ρ s )]+ 1 2 (∂ 1ρ s ) 2 + V (ρ s ),(5.4)et leur quantité de mouvement totale P s’écrit∫ L[P = − dx ∂ 0 δρ∂ 1 ρ s + ∂ 0 δρ∂ 1 δρ + 1 ]−Lρ 2 ∂ 0 δB∂ 1 δBs. (5.5)5.2 Equations aux valeurs propresEtant donné les équations du mouvement linéaires, (5.2), (5.3), existe t-ildes solutions dépendant du temps de la formeδρ(t, x) = f(x)e −iω1t + f ∗ (x)e iω1t , δB(t, x) = g(x)e −iω2t + g ∗ (x)e iω2t , (5.6)telle que les valeurs de ω 1 ou de ω 2 des fréquences angulaires associées aientla propriété ω 2 1 < 0 ou ω 2 2 < 0 ? Si de telles valeurs existent, les solutionsassociées ont un comportant exponentiel en temps, le facteur dépendant dutemps inclut toujours une contribution qui croît exponentiellement. Considéronspar exemple l’oscillateur harmonique ordinaire tel que ω 2 > 0, les solutions sontalors oscillatoires et périodiques, donc pas d’instabilité. Cependant, lorsque ω 2

5.3 Spectre de fluctuations des configurations du vide 81moment pour les particules. Par substitution directe des expressions de f(x) etg(x), nous obtenons les problèmes aux valeurs propres][− d2dx 2 + V ′′ (ρ s ) f(x) = ω1 2 f(x) , (5.10)[−ρ 2 s(x) d]1 ddx ρ 2 s(x) dx + e2 ρ 2 s(x) g(x) = ω2 2 g(x) . (5.11)Etant donné le choix des conditions au bord en x pour f(x) et g(x), les solutionsà ces valeurs propres déterminent le spectre de fluctuations autour des solutionsstatiques fondamentales(B = 0 , ±ρ 0 ) , (B = 0 , ±ρ s (x)) . (5.12)Au cas où les valeurs ω 1 ou ω 2 sont telle que ω 2 1 < 0 ou ω 2 2 < 0, la solutionconsidérée possède un mode de fluctuation instable.5.3 Spectre de fluctuations des configurationsdu videConsidérons le choix du potentiel V (ρ) et ses dérivées par rapport à ρ,V (ρ) = 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 , V ′ (ρ) = 1 2 M 2 ρ(ρ 2 − ρ 2 0) , V ′′ (ρ) = 1 2 M 2 (3ρ 2 − ρ 2 0)et la configuration du vide(5.13)B(t, x) = 0 , ρ(t, x) = ±ρ 0 . (5.14)Cette configuration est une solution aux équations du mouvement. Est-ellestable aux fluctuations ? En substituant dans les équations aux valeurs propres(5.10), (5.11), f(x) et g(x) par leurs expressions sous les conditions de périodicité,nous avons le spectre des valeurs propres donné par( πn) 2f n : ω1 2 = + M 2 ρ 2 0 , (5.15)L( πn) 2g n : ω2 2 = + e 2 ρ 2 0 , (5.16)Lle cas antipériodique pour les fonctions f(x), g(x) étant immédiat par analogie.Le spectre étant défini positif, et associé aux particules de masse |Mρ 0 |(pour les champs ρ) et |eρ 0 | (pour le champ électrique B), la solution d’énergieminimale est alors stable par rapport à toute fluctuation possible.5.4 Spectre de fluctuations des configurationssolitoniques sur la droite réelleDans ce cas nous rappelons que[ ]1ρ s (x) = ±ρ 0 tanh2 Mρ 0(x − x 0 ) , (5.17)

82 Spectre de fluctuationsoù on pose5.4.1 Spectre de fluctuation en δρy = 1 2 Mρ 0(x − x 0 ). (5.18)Considérons maintenant l’équation aux valeurs propres (5.10)][− d2dx 2 + V ′′ (ρ s ) f(x) = ω1f(x). 2 (5.19)Rappelons queV ′′ (ρ s ) = 3 2 M 2 ρ 2 s − M 22 ρ2 0. (5.20)En substituant ρ s par son expression, nous avons[− d2dx 2 + 1 ]2 M 2 ρ 2 0(3tanh 2 y − 1) f(x) = ω1f(x), 2 (5.21)et donc][− d2dy 2 + 2(3tanh2 y − 1) f(y) = 4ω2 1M 2 ρ 2 f(y). (5.22)0Considérons à présent le potentielnous avonsW s (y) = 2[3tanh 2 y − 1]; (5.23)W s (0) = −2;lim W s(y) = 4, (5.24)y→±∞ce qui signifie que W s (y) ∈ [−2 , 4] et qu’il peut y avoir des fonctions propresdont les valeurs propres correspondantes sont imaginaires, cependant une desfonction propre de (5.22) est f(y) = 1 − tanh 2 (y). En effet, les dérivationssuivantesddy tanhy = 1 − tanh2 y, (5.25)ddy [1 − tanh2 y] = −2tanhy[1 − tanh 2 y] = 2[tanh 3 y − tanhy] (5.26)d 2dy 2 (1 − tanh2 y) = 2[3tanh 2 y − 1][1 − tanh 2 y], (5.27)conduisent à[ ] d2(1dy 2 − 2W s(y) − tanh 2 y ) = 0. (5.28)En identifiant la fonction f(y) dans (5.22), nous avons alors l’équation][− d2dy 2 + 2[3tanh2 (y) − 1] f(y) = 0, (5.29)

5.4 Spectre de fluctuations des configurations solitoniques sur ladroite réelle 83montrant que le mode de fluctuation est un zéro mode, ω12 = 0, associé auxtranslations infinitésimales du soliton (en effet, d/dytanhy = 1 − tanh 2 y).Une autre fonction propre du système (5.22) que nous connaissons est lafonctionalors nous avonsce qui conduit à l’équationf(y) = sinhy[1 − tanh 2 y], (5.30)ddy f(y) = [coshy − 2sinhytanhy](1 − tanh2 y), (5.31)d 2dy 2 f(y) = [6tanh2 y − 5]sinhy[1 − tanh 2 y], (5.32)Par identification à (5.22) nous avons][− d2dy 2 + 6tanh2 y − 3 f(y) = 0, (5.33)4ω 2 1M 2 ρ 2 0= 3 ⇒ ω 2 1 = 3 4 M 2 ρ 2 0 = e 2 . (5.34)Le continuum commence à4ω 2 1M 2 ρ 2 0= 4 ⇒ ω 2 1 = M 2 ρ 2 0. (5.35)5.4.2 Spectre de fluctuation pour δBEn considérant l’équation aux valeurs propres (5.11) et posantalors (5.11) est équivalente à[g(x) = ρ s (x)ψ(x), (5.36)( ( )− d2dy 2 + − ρ′′ s (x) ρ′ 2ρ s (x) + s (x)+ e 2 ρ 2ρ s (x)s(x))]ψ(x) = ω2ψ(x). 2 (5.37)En substituant dans l’équation (5.37)nous avons l’équation aux valeurs propres suivantes[ρ s (y) = ±ρ 0 tanh(y), (5.38)((− d21 − tanhdy 2 + 2(1 − tanh 2 2 ) 2yy) + 2tanhy)]+ 4e2M 2 ρ 2 ρ 2 0tanh 2 y ψ(y) = 4ω2 20M 2 ρ 2 ψ(y). (5.39)0

84 Spectre de fluctuationsIci pour le potentiel, nous posons[W B (y) = 2 1 − tanh 2 1y +tanh 2 y − 2 + tanh2 y + 2e2[ 2e21= 2M 2 tanh2 y − 1 +tanh 2 yde sorte que (5.39) soit équivalente à[− d2dy 2 + 2 ( 2e2M 2 tanh2 y − 1 +]M 2 tanh2 y], (5.40))]1tanh 2 ψ(y) = 4ω2 2yM 2 ρ 2 ψ(y). (5.41)0En vue de déterminer le spectre, nous procédons à l’étude du potentiel (5.40),alors nous avonslim W B(y) = +∞,y→0En ce qui concerne la dérivée du potentiel, nous avons[dW B 2e2= 2dy M 2 2tanhy − 2tanh 3 y= 8e2M 2 [tanh 4 y − 1 2 M 2 e 2 ]lim W B(y) = 4e2y→±∞ M 2 . (5.42)][1 − tanh 2 y]1 [1 − tanh 2tanh 3 y ] . (5.43)yAlors si M 2 /2e 2 ≥ 1, il n’y a pas de minima, par contre si M 2 /2e 2 < 1, il y ades minima en y = ±y 0 avec y 0 = Arctanh ( M 2 /2e 2) 1/4. Nous avons dans cecas[ ( ) 2e2 1/2]W B (±y 0 ) = 2 2M 2 − 1 > 0. (5.44)Le potentiel étant positif, il n’y a pas de mode négatif. Nous pouvons ainsi direqu’en ce qui concerne la configuration solitonique sur la droite, il y a stabilité.En effet tous les modes de fluctuation pour δρ sont positifs, vu que le continuumcommence pour une valeur ω 2 1 > 0 et pour δB le potentiel est positif.5.5 Spectre de fluctuations des configurationssolitoniques sur le cercle5.5.1 Spectre de fluctuations en δρNous avons l’équation du spectre des fluctuations[− 1 4 M 2 ρ 2 2 d 201 + k 2 dy 2 − 1 )]2 M 2 ρ 2 0(1 − 6k21 + k 2 sn2 y f(y) = ω1f(y), 2 (5.45)qui équivaut par réduction[− d2dy 2 − ( (1 + k 2 ) − 6k 2 sn 2 y )] f(y) = 2ω2 1M 2 ρ 2 (1 + k 2 )f(y), (5.46)0

5.5 Spectre de fluctuations des configurations solitoniques sur lecercle 85correspondant à une équation du type Lamé[ ] [ ]d22ωdy 2 − 6k2 sn 2 2y f(y) = − 1M 2 ρ 2 + 1 (1 + k 2 )f(y) = −λf(y). (5.47)0Nous reconnaissons là une équation de type Lamé et d’après la Ref.[20], page205, les fonctions propres et valeurs propres discrètes correspondantes de cetteéquation du type Lamé sont données parf(y) = sny.cny : λ = 4 + k 2 , (5.48)f(y) = sny.dny : λ = 1 + 4k 2 , (5.49)f(y) = cny.dny : λ = 1 + k 2 , (5.50)f(y) = sn 2 y − 1 + k2 ± √ 1 − k 2 (1 − k 2 )3k 2 : (5.51)λ ± = 2(1 + k 2 ) ∓ 2 √ 1 − k 2 (1 − k 2 ),mais dans le cas présent,( )λ = (1 + k 2 ) 1 + 2ω2 1M 2 ρ 2 =⇒ ω1 2 = 1 [ ]02 M 2 ρ 2 λ01 + k 2 − 1 . (5.52)Nous avons ainsi les valeurs propres ω 2 1 correspondantesλ = 4 + k 2 : ω1 2 = 1 2 M 2 ρ 2 30k 2 > 0;+ 1(5.53)λ = 1 + 4k 2 : ω1 2 = 1 2 M 2 ρ 2 3k 20 > 0;1 + k2 (5.54)λ = 1 + k 2 : ω1 2 = 0; (5.55)[ √ ]1 −λ ± = 2(1 + k 2 k2 (1 − k) 1 ∓)1 + k 2 :ω1,± 2 (= 1 √ )1 −2 M 2 ρ 2 k2 (1 − k0 1 ∓ 2)1 + k 2 . (5.56)Les fonctions propres antipériodiques sontf(y) = sny.cny , f(y) = sny.dny . (5.57)Les valeurs propres correspondantes étant toutes positives, nous pouvons conclurequ’en se donnant des conditions d’antipériodicités il y a stabilité. En cequi concerne les fonctions propres satisfaisant des conditions de périodicité auxbords, il existe une valeur propre négative ω 2 1,+ dans (5.56) conduisant à desconfigurations instables appelées “sphalerons”.5.5.2 Spectre de fluctuations en δBReprenons les relations,√2k2ρ s (y) = ±ρ 01 + k 2 sny ; y = 1 √22 Mρ 01 + k 2 x , (5.58)ddx = 1 √22 Mρ d01 + k 2 dy . (5.59)

86 Spectre de fluctuationsNous avons√d2kdy ρ 2s = ±ρ 0 cny.dny, (5.60)1 + k2 √d 22kdy 2 ρ 2 [s = ±ρ 0 −sny.dn 21 + k 2 y − k 2 sny.cn 2 y ]= ±ρ 0√2k21 + k 2 (−sny) [ (1 − k 2 sn 2 y) + k 2 (1 − sn 2 y) ]= −ρ s[(1 + k 2 ) − 2k 2 sn 2 y ] . (5.61)En injectant ces différentes expressions dans l’équation aux valeurs propres(5.37), nous obtenons[− 1 4 M 2 ρ 2 2 d 201 + k 2 dy 2 + 1 4 M 2 ρ 2 2 (0 (1 + k 21 + k 2 ) − 2k 2 sn 2 y+ 2 (1 − sn2 y)(1 − k 2 sn 2 y)sn 2 y)ce qui équivaut après simplification à( [− d2 1 + k2dy 2 + 2 − k 2 sn 2 y + 12+ 2(1 + k2 )M 2 ρ 2 0e 2 ρ 2 2k 2 )]01 + k 2 sn2 y ψ(y)sn 2 y − (1 + k2 ) + k 2 sn 2 y + 2e2 k 2M 2= ω 2 2ψ(y), (5.62))]sn2 y ψ(y)= 2(1 + k2 )ω22M 2 ρ 2 ψ(y).0Nous avons ainsi une équation aux valeurs propres réduite de la forme( [− d2 1dy 2 + 2 sn 2 y + 2e2 k 2M 2 sn2 y − 1 + )]k2ψ(y) = 2(1 + k2 )ω222M 2 ρ 2 ψ(y). (5.63)0On se donne à nouveau comme potentiel[ 2e 2 k 2W B (y) = 2M 2 sn2 y − 1 + k22Les variations du potentiel sont déterminés par[d 4e 2dy W k 2B = 2M 2 sny − 2 ]sn 3 cny.dny = 8e2 k 2 [sn 4yM 2 y − 1 2+ 1 ]sn 2 . (5.64)yM 2] cny.dnye 2 k 2 sn 3 y (5.65) .Par conséquent, si M 2 /(2e 2 k 2 ) > 1, il n’y a pas de minimum et si M 2 /(2e 2 k 2 ) ≤1, il y a un minimum en y 0 tel que sn 4 y 0 = M 2 /(2e 2 k 2 ) auquel cas[ ( 2e 2 k 2 ) 1/2]W B (y 0 ) = 2 2M 2 − 1 + k2≥ (3 − k 2 ) > 0. (5.66)2En ce qui concerne les configurations solitoniques sur le cercle, les modes defluctuations pour δρ sont positifs pour des conditions aux bords antipériodiquesmais pour des conditions périodiques aux bords, il y a au moins un mode

5.5 Spectre de fluctuations des configurations solitoniques sur lecercle 87négatif. En ce qui concerne δB, le potentiel est de signe positif ce qui signifieque les modes de fluctuations sont positifs. Nous pouvons dire que les configurationssolitoniques sur le cercle sont stables sous les conditions aux bordsantipériodiques. L’étude de stabilité des solutions statiques est aussi discutéedans les Refs.[16, 18] où sous des conditions de périodicité aux bords il apparaîtdes solutions instables. De même dans la Ref.[19], où le modèle abélien de Higgsest discuté avec fixation des libertés de jauge sur un cercle, il apparaît au moinsune solution instable (“sphaléron”) parmi les solutions classiques.Cependant, la discussion de la Ref.[19] s’applique en tant que telle à lasolution ρ s = 0, B(x) = 0. Dans ce cas, le potentiel W s (y) est constant et négatif,rendant possible de manière évidente des fluctuations instables aussi bien dans lecas de conditions aux bords périodiques qu’antipériodiques. L’existence de cetteinstabilité est par ailleurs évidente. En effet, la configuration triviale ρ s (x) = 0,B(x) = 0 (d’énergie infinie sur la droite) est telle que le champ complexe φ(x) setrouve au sommet du potentiel de Higgs, pouvant ainsi “tomber” vers n’importelequel des minima de ce potentiel. Dans notre analyse, pour cette raison, de tellesconfigurations, de type sphaléron, n’ont pas été inclues. Seules celles réellementsolitoniques ont été retenues.Suite à cette étude sur le spectre de fluctuations des configurations statiquesd’énergies minimales des équations du mouvement du modèle de l’électrodynamiquescalaire dans son secteur physique, soulignons que nos équations auxvaleurs propres sont toutes de type Schrödinger et les potentiels dénommésW s (y) appartiennent à la classe des potentiels dénommés “Shape Invariant SupersymmetryPotentiels”.[21] Ainsi, nous tirons la conclusion qu’il est possiblede résoudre exactement et de façon analytique le spectre complet des fluctuationsau voisinage des configurations solitoniques. Il serait alors intéressant deles résoudre en vue de déterminer les corrections quantiques au spectre de massedes solitons.

Chapitre 6Formulation euclidienneLe modèle de l’électrodynamique scalaire en dimension deux étudié dans lechapitre précédent avec le choix du potentiel de Higgs a été d’intérêt pour denombreux physiciens. La découverte des instantons dans les théories de Yang-Mills dans les années 1975 a soulevé des questions sur d’autres théories de jauge.En effet le modèle de l’électrodynamique quantique scalaire à l’instar de cesthéories de jauge possède des instantons.[22, 23, 24]Ces instantons, encore appelés vortex [25] dans un contexte de métriqueeuclidienne en dimension d’espace supérieur à 1, ont fait l’objet de la célèbrethéorie de la supraconductivité de Ginzburg-Landau.Dans les chapitres précédents, nous avons prouvé que le modèle de l’électrodynamiquescalaire en dimension deux d’espace-temps de Minkowski corresponddans son secteur physique à un modèle de couplage d’un champ pseudoscalairemassif, essentiellement le champ électrique au champ scalaire de Higgs. Nousavons prouvé que les solutions d’énergie minimale sont entre autres les configurationsdu vide et celles de type soliton. L’étude des fluctuations autour de cessolutions révèlent une stabilité des configurations du vide et celles solitoniquessous des conditions d’antipériodicité aux bords. La présence des instantons pourcette théorie a aussi suscité en nous une curiosité d’analyse de cet aspect lorsqu’onse restreint au secteur physique de ce modèle. Vu que les instantons sontles solutions euclidiennes des équations du mouvement associées aux transitionsquantiques par effet tunnel entre des secteurs topologiques non perturbatifsdistincts du système, dans ce qui suit nous commençons par déterminerl’action euclidienne par continuation analytique du temps réel au temps imaginaire.Ensuite nous déterminons les points de selle qui sont les solutions instantons/vortex.Nous montrons qu’en réalité dans le secteur physique la théorie nepossède pas d’instantons étant dit que les seuls points de selle sont les configurationsdu vide. Nous déterminons l’action effective, il s’avère qu’en conservantsoigneusement les termes de surface, les contributions singulières sont relevantesdans l’expression de la densité lagrangienne effective. Enfin, nous examinons lecritère de confinement et la construction des vortex pour cette théorie.

90 Formulation euclidienne6.1 Continuation euclidienne de l’action initiale6.1.1 Densité lagrangienne euclidienneEn vue d’étudier le modèle, on se situe dans un espace-temps euclidien dedimension deux où la métrique est de signature η ij = (+, +)(i, j = 1, 2). A partirde l’action initiale définie dans le chapitre précédent, nous formulons l’actioneuclidienne par continuité analytique du temps réel au temps imaginaire. Nousposons ainsit = −iτ;ddt = i ddτ ; x2 = τ. (6.1)Nous devons aussi définir les composantes du champ de jauge par rapport àcette continuation du temps réel au temps imaginaire. Nous posons ainsiA 0 = iA τ = iA 2 . (6.2)Considérons à présent la densité lagrangienne initiale du modèle défini dansle chapitre précédent dans un espace temps de MinkowskiL = 1 2 (∂ 0A 1 − ∂ 1 A 0 ) 2 + |(∂ 0 + ieA 0 )φ| 2 − |(∂ 1 + ieA 1 )φ| 2 − V (|φ|). (6.3)En fonction de la continuation dans le temps imaginaire, nous avons les changementssuivantset(∂ 0 + ieA 0 ) φ = i (∂ τ + ieA τ ) φ , (6.4)F 01 = ∂ 0 A 1 − ∂ 1 A 0 = i [∂ τ A 1 − ∂ 1 A τ ] = iF 21 = −iF 12 . (6.5)Ainsi dans l’espace-temps euclidien de dimension deux la densité lagrangiennes’exprime parL E = 1 2 (∂ 1A 2 − ∂ 2 A 1 ) 2 + |(∂ 2 + ieA 2 )φ| 2 + |(∂ 1 + ieA 1 )φ| 2+ 1 2 M 2 (|φ| 2 − 1 2 ρ2 0) 2. (6.6)En considérant la paramétrisation polaire du champ scalaire complexenous avonsφ = 1 √2ρe iϕ , ⃗ Dφ =1 √2 e iϕ ( ⃗ ∇ρ + iρ( ⃗ ∇ϕ + e ⃗ A)), (6.7)L E = 1 2 (∂ 1A 2 − ∂ 2 A 1 ) 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 2 ρ2 ( ⃗ ∇ϕ + e ⃗ A) 2 + 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 0) 2. (6.8)En vue d’introduire les champs auxiliaires gaussiens (moments conjugués)dans le contexte d’une représentation par intégrale fonctionnelle euclidienne de

6.1 Continuation euclidienne de l’action initiale 91la fonction de partition du système, nous nous laissons guider par l’analyse hamiltoniennedu chapitre 4 en procédent à une continuation dans le temps imaginairedes moments conjugués. Nous introduisons les champs gaussiens auxiliairessuivantsB = − 1 e π1 = − 1 e E = −1 e F 01 = i e F 12, (6.9)π ρ = ∂ 0 ρ = i∂ 2 ρ, (6.10)π B = ∂ 1 ϕ + eA 1 , (6.11)π ϕ = ρ 2 (∂ 0 ϕ + eA 0 ) = iρ 2 (∂ 2 ϕ + eA 2 ). (6.12)Nous avons ainsi comme termes additionnels dans l’intégrale fonctionnelle, aprèschangements de variables adéquats de jacobien trivial pour la mesure d’intégrationfonctionnelle,12 [eB − i(∂ 1A 2 − ∂ 2 A 1 )] 2 = 1 2 e2 B 2 − ieB(∂ 1 A 2 − ∂ 2 A 1 )− 1 2 (∂ 1A 2 − ∂ 2 A 1 ) 2 , (6.13)12 [π ρ − i∂ 2 ρ] 2 = 1 2 π2 ρ − i∂ 2 ρπ ρ − 1 2 (∂ 2ρ) 2 , (6.14)1 [πϕ2ρ 2 − iρ 2 (∂ 2 ϕ + eA 2 ) ] 2 1=2ρ 2 π2 ϕ − iπ ϕ (∂ 2 ϕ + eA 2 )− 1 2 ρ2 (∂ 2 ϕ + eA 2 ) 2 . (6.15)En introduisant les champs B, π ρ et π ϕ dans l’intégrale fonctionnelle, (6.8) estéquivalente àL E = 1 2 e2 B 2 − ieB(∂ 1 A 2 − ∂ 2 A 1 ) + 1 2 π2 ρ − i∂ 2 ρπ ρ + 1 2 (∂ 1ρ) 2+ 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 + 12ρ 2 π2 ϕ − iπ ϕ (∂ 2 ϕ + eA 2 )+ 1 2 ρ2 (∂ 1 ϕ + eA 1 ) 2 . (6.16)Cependant, pour ce qui concerne le champ π ϕ , en raison du facteur 1/ρ 2 en(6.15) dans l’intégrale gaussienne, la mesure de l’intégrale fonctionnelle comprendmaintenant un facteur additionnel donné par∏( ) 1ρ2 20ρ 2 . (6.17)(⃗x)Ecrivons à présentconduisant à⃗xπ ϕ = (π ϕ − ∂ 1 B) + ∂ 1 B , (6.18)L E = 1 2 e2 B 2 − ieB(∂ 1 A 2 − ∂ 2 A 1 ) + 1 2 π2 ρ − i∂ 2 ρπ ρ + 1 2 (∂ 1ρ) 2+ 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 + 12ρ 2 [(πϕ − ∂ 1 B) 2 + 2∂ 1 B(π ϕ − ∂ 1 B) + (∂ 1 B) 2]− i(∂ 2 ϕ + eA 2 ) [(π ϕ − ∂ 1 B) + ∂ 1 B] + 1 2 ρ2 (∂ 1 ϕ + eA 1 ) 2 , (6.19)

92 Formulation euclidienneet enfinL E = 1 2 ρ2 (∂ 1 ϕ + eA 1 ) 2 + 12ρ 2 (∂ 1B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 π2 ρ + 1 2 (∂ 1ρ) 2+ 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 − i∂ 2 B(∂ 1 ϕ + eA 1 ) − i∂ 2 ρπ ρ − i∂ 1 [B(∂ 2 ϕ + eA 2 )]+ i∂ 2 [B(∂ 1 ϕ + eA 1 )] + 12ρ 2 (π ϕ − ∂ 1 B) 2[− i (π ϕ − ∂ 1 B) (∂ 2 ϕ + eA 2 ) + i ]ρ 2 ∂ 1B . (6.20)A ce stade, nous avons les champsA 1 , A 2 , ρ , ϕ , B , π ρ , π ϕ . (6.21)En intégrant d’abord par rapport à A 2 , il apparaît les termesδ(∂ 1 B − π ϕ ) (6.22)qui sont nuls parce qu’ils vérifient la loi de Gauss. Il survit ainsiB, π B = ∂ 1 ϕ r + eA 1 , ρ , π ρ , ϕ s , (6.23)où ϕ s désigne la partie singulière de ϕ et ϕ r la partie régulière, composante defixation de jauge, et la densité lagrangienneL E = 1 2 ρ2 [π B + ∂ 1 ϕ s ] 2 + 12ρ 2 (∂ 1B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 π2 ρ + 1 2 (∂ 1ρ) 2+ 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 − i∂ 2 B [π B + ∂ 1 ϕ s ] − i∂ 2 ρπ ρ − i∂ 1 [B∂ 2 ϕ s ]+ i∂ 2 [B∂ 1 ϕ s ]. (6.24)Nous considérons à présent, l’intégration par rapport aux moments conjuguésπ B et π ρ deL E = 1 [2 ρ2 π B − i] 2ρ 2 (∂ 2B + iρ 2 ∂ 1 ϕ s ) + 12ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 2 e2 B 2+ 1 2 [π ρ − i∂ 2 ρ] 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2− i∂ 1 [B∂ 2 ϕ s ] + i∂ 2 [B∂ 1 ϕ s ] . (6.25)Par rapport à π ρ , l’intégrale gaussienne est immédiate. Cependant, celle parrapport à π B conduit à un facteur∏⃗x( ρ20) 12ρ 2 (⃗x)additionnel dans la mesure d’intégration fonctionnelle∫Dϕ s∫DBDρ ∏ ⃗x( ρ20) 12ρ 2 (⃗x)(6.26)(6.27)

6.1 Continuation euclidienne de l’action initiale 93de l’intégrale fonctionnelle sur les champs physiques B(⃗x) et ρ(⃗x).Diverses représentations de ce facteur non trivial sont possibles. Par exemple,en terme de “ghosts” c(⃗x) et ¯c(⃗x) variables de Grassmann impaires et complexes,scalaires sous les rotations euclidiennes, nous avons la représentation fonctionnellesuivante∏( ) ∫{ρ 0|ρ(⃗x) | = D cD ¯c exp − 1 ∫ (d 2 ⃗x −¯c| ρ )}0ρ |c . (6.28)⃗xPour un tel choix, la théorie quantifiée euclidienne dans son secteur physiqueest représentée par∫DBDρDcD¯ce − 1 ∫ d 2 ⃗xL E(6.29)avec la densité lagrangienne1L E =2ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 ) 2 ρ 00 − |ρ |¯cc− i∂ 1 [B∂ 2 ϕ s ] + i∂ 2 [B∂ 1 ϕ s ]. (6.30)Dans le paragraphe suivant, nous montrons une façon alternative et plusélégante d’obtenir cette même densité lagrangienne (6.30).6.1.2 Transformation duale en terme du champ de jaugeNous venons ainsi de décrire l’action euclidienne par sa densité lagrangienneà partir de la formulation lagrangienne du modèle, initialement défini dans lechapitre précédent par continuation du temps réel au temps imaginaire. Uneapproche alternative, basée directement sur une transformation duale du champde jauge ⃗ A, considère les grandeurs⃗j = ∇ϕ ⃗ + eA ⃗ , ∇ ⃗ × ⃗j = e∇ ⃗ × A ⃗ (6.31)∮où ⃗j possède des singularités telles que ∇ ⃗ × ⃗j = 0 mais d⃗x.⃗j ≠ 0, à savoirde type Aharonov-Bohm. Pour ce faire nous partons de la densité lagrangienneeuclidienne du modèle sous la forme de Yang-Mills définie parL E = 1 2 (⃗ ∇ × ⃗ A) 2 + |( ⃗ ∇ + ie ⃗ A)φ| 2 + 1 2 M 2 (|φ| 2 − 1 2 ρ2 0) 2. (6.32)Nous posons à nouveauφ = 1 √2ρe iϕ , ( ⃗ ∇ + ie ⃗ A)φ = 1 √2e iϕ [ ⃗ ∇ρ + iρ( ⃗ ∇ϕ + e ⃗ A)], (6.33)de sorte que (6.32) soit équivalente àL E = 1 2 (⃗ ∇ × ⃗ A) 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 2 (⃗ ∇ϕ + e ⃗ A) 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 . (6.34)A ce niveau nous avons en présence les champsA 1 , A 2 , ρ , ϕ , (6.35)

94 Formulation euclidienneavec ϕ = ϕ r + ϕ s où ϕ r désigne le volume du groupe de jauge que l’on fixe etϕ s la partie singulière. En introduisant (6.31) dans (6.32), nous avonsL E = 12e 2 (⃗ ∇ × ⃗j) 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 2 ρ2 ⃗j 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 . (6.36)∫A ce stade nous avons la mesure d’intégration DρD⃗j, avec ∇ ⃗ × A ⃗ = 1/e∇ ⃗ × ⃗j.En vue d’obtenir une forme alternative de l’action euclidienne, nous introduisonsles moments conjugués B et ⃗π comme variables gaussiennes auxiliaires,de la manière suivante∫ ( ) 1DBDρ ⃗π e − 1 ∫ d ⃗x[2 12e 2 (e2 B) 2 + 1 2( 1 ρ ⃗π)2] . (6.37)Une fois inséré dans l’intégrale fonctionnelle originale, et avec les translationsde jacobien trivial suivantes1[2e 2 e 2 B − i∇ ⃗ ] 2× ⃗j = 1 2 e2 B 2 − iB( ∇ ⃗ × ⃗j) − 11[22ρ 2 ⃗π − iρ ⃗j] 2 =2e 2 (⃗ ∇ × ⃗j) 2 , (6.38)12ρ 2 ⃗π2 − i⃗π.⃗j − 1 2 ρ2 (⃗j) 2 , (6.39)nous obtenons la représentation∫DρD⃗jDBD⃗πe − 1 ∫ d 2 ⃗xL E, (6.40)avecL E = 1 2 e2 B 2 − iB( ∇ ⃗ × ⃗j) + 12ρ 2 ⃗π2 − i⃗π.⃗j + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 ) 20 .(6.41)Cependant en vue de retrouver l’expression (6.30), nous considérons les identitéssuivantes−iB( ⃗ ∇ × ⃗j) − ⃗π.⃗j = −iB[∂ 1 j 2 − ∂ 2 j 1 ] − i⃗π.⃗j= −i∂ 1 [Bj 2 ] + i∂ 2 [Bj 1 ] + ij 2 ∂ 1 B − ij 1 ∂ 2 B − i⃗π.⃗j= −i∂ 1 [B∂ 2 ϕ s ] + i∂ 2 [B∂ 1 ϕ s ] − ij 1 [π 1 + ∂ 2 B]− ij 2 [π 2 − ∂ 1 B]En introduisant (6.42) dans (6.41), nous avons= −i∂ 1 [B∂ 2 ϕ s ] + i∂ 2 [B∂ 1 ϕ s ] − i⃗j.[⃗π + ⃗ ∇B × ẑ].(6.42)L E = 1 2 e2 B 2 + 12ρ 2 ⃗π2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 0[− i∂ 1 [B∂ 2 ϕ s ] + i∂ 2 [B∂ 1 ϕ s ] − i⃗j. ⃗π + ∇B ⃗ ]× ẑ . (6.43)(Ainsi, l’intégrale par rapport à ⃗j implique δ ⃗π + ∇B ⃗ )× ẑrapport à ⃗π implique∫Dϕ s∫DρDB ∏ ⃗x) 2et l’intégrale par( ) ρ2 1/20ρ 2 , (6.44)(⃗x

6.2 Points stationnaires 95avecL E = 1 2 e2 B 2 + 12ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 0− i∂ 1 [B∂ 2 ϕ s ] + i∂ 2 [B∂ 1 ϕ s ]. (6.45)) 2Enfin nous avons la mesure d’intégration∫ ∫Dϕ s DρDBDcDc, (6.46)avec1L E =2ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 ) 2 ρ 00 − |ρ |¯cc− i∂ 1 [B∂ 2 ϕ s ] + i∂ 2 [B∂ 1 ϕ s ] . (6.47)La densité lagrangienne euclidienne physique (ou invariante de jauge) en (6.30)est ainsi reproduite.6.2 Points stationnairesNous venons de décrire dans le paragraphe ci-dessus l’action euclidienne pourle modèle électrodynamique scalaire. L’étape présente est la détermination despoints stationnaires de cette action physique et invariante de jauge. D’un pointde vue général, nous avons∫ {S E = K E + V E + d 2 ⃗x −i∂ 1 [B∂ 2 ϕ s ] + i∂ 2 [B∂ 1 ϕ s ] − | ρ }0ρ |¯cc , (6.48)avecK E =V E =∫∫{ 1d 2 ⃗x2ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 }2 (⃗ ∇ρ) 2 , (6.49){ 1d 2 ⃗x2 e2 B 2 + 1 8 M 2 ( }ρ 2 − ρ 2 ) 20 . (6.50)Considérons à présent une solution B s (⃗x) , ρ s (⃗x) aux équations qui déterminentdes extrema à K E + V E .Effectuons le changement de variables suivantB(⃗x) = B s (λ⃗x) ; ρ(⃗x) = ρ s (λ⃗x), λ ∈ R, (6.51)⃗∇B = λ∇B ⃗ s (λ⃗x) ; ∇ρ ⃗ = λ∇ρs ⃗ (λ⃗x). (6.52)Nous avons ainsiK E (λ) = 1 λ 2 ∫V E (λ) = 1 λ 2 ∫{ 1d 2 (λ⃗x)λ 2 2ρ 2 ( ∇B ⃗ s ) 2 + 1 }s 2 (⃗ ∇ρ s ) 2 = K E (B s , ρ s ).(6.53){ 1d 2 (λ⃗x)2 e2 Bs 2 + 1 8 M 2 ( }ρ 2 s − ρ 2 ) 20= λ −2 V E (B s , ρ s ). (6.54)S E (λ) = K s E + λ −2 V s E. (6.55)

96 Formulation euclidienneNous pouvons déterminer à présent les points stationnaires par∂S E∂λ = −2λ−3 V s E = 0 ⇒ V s E = 0 ⇒ B s = 0 , ρ s = ±ρ 0 ⇒ K s E = 0. (6.56)Nous pouvons ainsi conclure que les extrema de l’action euclidienne sont uniquementles configurations du vide. Ce qui signifie que ce modèle dans son secteurphysique ne possède pas d’instantons. Comme nous le montrons ci-après, lerôle des instantons dans la discussion habituelle de la littérature, basée sur lesvariables non invariantes de jauge ⃗ A(x) et φ(x), est rempacé ici par l’intégrationsur les configurations de singularités représentées par ϕ s (⃗x).6.3 Théorie euclidienneNous avons dans les paragraphes précédents déterminé l’action euclidiennedu modèle de l’électrodynamique par sa densité lagrangienne ainsi que les mesuresd’intégration qui apparaissent dans l’intégrale de chemin. Les seuls pointsde selle sont les configurations du vide prouvant l’absence d’instantons dans lesecteur physique. Dans ce paragraphe, nous examinons les contributions singulièreset nous verrons que les termes de surface auront une contribution relevantedans l’action effective.6.3.1 L’action effectiveL’action effective est déterminée à partir de l’intégrale de chemin∫ ∫{ ∫ [ 1Z = Dϕ s DρDBDcDc exp − d 2 ⃗x2ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2+ 1 8 M 2 ( ]}ρ 2 − ρ 2 ) 2 ρ 00 − |ρ |cc − i∂ 1B∂ 2 ϕ s + i∂ 2 B∂ 1 ϕ s , (6.57)dominée par les points de selle qui sont les configurations du vide6.3.2 Les contributions singulièresB(⃗x) = 0 ; ρ(⃗x) = ±ρ 0 . (6.58)Ces contributions proviennent essentiellement des termes de surface[∂ 1 B∂ 2 ϕ s ] , [∂ 2 B∂ 1 ϕ s ] (6.59)que nous avons soigneusement gardés dans cette formulation originale de cettethéorie n’impliquent que les degrés de liberté physiques, invariantes de jauge,que sont les champs B et ρ. En vue d’obtenir ces contributions singulières, nousprocédons par plusieurs transformations techniques de ces expressions.Introduisons la paramétrisation complexe du plan euclidience qui équivaut àz = x 1 + ix 2 = x + iy ; ¯z = x 1 − ix 2 = x − iy, (6.60)z = re iθ ; ¯z = re −iθ ; z¯z = e2iθ . (6.61)

6.3 Théorie euclidienne 97Dans cette paramétrisation, nous pouvons exprimer de manière univoque lesconfigurations singulières parsoitϕ s (⃗x) = − 1 2 i ∑ a= − 1 2 i ∑ ae iϕs(⃗x) = ∏ an a ln z − z az ∗ − za∗ ,n a ln (x − x a) + i(y − y a )(x − x a ) − i(y − y a ) , (6.62)( z − za¯z − ¯z a) na/2. (6.63)Ici, l’indice “a” désigne une collection discrète et finie de points dans le plan,de coordonnées z = z a , en lesquels la configuration singulière ϕ s (⃗x) de la phaseϕ s (⃗x) du champ complexe original φ(⃗x) possède un nombre d’enroulement U(1)donné par n a ∈ Z. Nous avons les dérivées partielles suivantes :∂ x ϕ s (⃗x) = −∂ y ln ∏ a[(x − xa ) 2 + (y − y a ) 2] n a/2, (6.64)∂ y ϕ s (⃗x) = +∂ x ln ∏ a[(x − xa ) 2 + (y − y a ) 2] n a/2, (6.65)entraînant que∂ x ∂ y ϕ s (⃗x) = ∂ y ∂ x ϕ s (⃗x). (6.66)Par ailleurs, la fonction ln z¯z définissant la fonction de Green du laplacien euclidiendans le plan, nous avons l’identité, aisée à établir en terme de distributions⃗∇ 2 ln ∏ [(x − xa ) 2 + (y − y a ) 2] n a/2∑= 2π n a δ 2 (⃗x a ). (6.67)aaNous pouvons maintenant calculer la contribution explicite des configurationssingulières au travers des termes de surface dans l’action euclidienne identifiéeplus haut. Nous avons ainsi∫∫ [d 2 ⃗x [−i∂ 1 B∂ 2 ϕ s + i∂ 2 B∂ 1 ϕ s ] = d 2 ⃗x −i∂ 1 B∂ 1 ln ∏ [(⃗x − ⃗xa ) 2] n a/2a− i∂ 2 B∂ 2 ln ∏ ][(⃗x − ⃗xa ) 2] n a/2a∫= −i d 2 ⃗x ∇B. ⃗ ∇ ⃗ ln ∏ |⃗x − ⃗x a | naa∫ [= −i d 2 ⃗x ∇. ⃗ B∇ ⃗ ln ∏ ]|⃗x − ⃗x a | naa∫+ i d 2 ⃗xB ∇ ⃗ 2 ln ∏ |⃗x − ⃗x a | naa∫= i d 2 ⃗xB.2π ∑ n a δ 2 (⃗x a )a= 2iπ ∑ an a B(⃗x a ). (6.68)

98 Formulation euclidienneNous avons ainsi l’intégrale de chemin∫ ∫{Z = Dϕ s DρDBDcDc exp{ ∫× exp −[ 1d 2 ⃗x− 2iπ}∑n a B(⃗x a )2ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2+∫1 8 M 2 ( ]}ρ 2 − ρ 2 ) 2 ρ 00 − |ρ |cc . (6.69)L’intégrale Dϕ s sur les contributions singulières correspond ainsi à la grandeursuivante∞∑I =AlorsN=0I ==1N!(N∏ ∑ +∞a=1∞∑N=0N=0= exp= exp1N!n a=−∞[N∏ ∑ +∞a=1∞∑ 1[∑ +∞N!{∑ +∞n=−∞{ +∞∑n=−∞n=−∞∫ )d 2 ⃗x aexp − 2iπV ∞ n a=−∞∫ d 2 ⃗x∫ d 2 ⃗x aV ∞exp −2iπV ∞ ∫ }d 2 ⃗xe − 2iπ nB(⃗x)V ∞a∑n a B(⃗x a ). (6.70)a]exp − 2iπ n aB(⃗x a )nB(⃗x)] N∫ }d 2 ⃗xe 2iπ nB(⃗x) . (6.71)V ∞Appliquons la formule de resommation de Poisson suivante+∞∑m=−∞e 2iπm x = +∞∑m=−∞à l’expression (6.71). Ainsi nous avons∫ {} {Dϕ s exp − 2iπ ∑∫ d 2 ⃗xn a B(⃗x a ) = exp aδ(x − m) (6.72)+∞∑V ∞m=−∞δ(B(⃗x) − m)}(6.73) .Nous avons enfin la fonction de partition suivante, représentant la contributioncomplète du secteur physique du système dans sa formulation euclidienne,∫Z = DρDB ∏ ( ) ρ2 1/2{ ∫ }0d 2 ⃗x ∑+∞ ρ 2 exp δ(B(⃗x) − m)V ∞⃗xm=−∞× e − ∫ [d 2 1 ⃗x2ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 −ρ 2 0 )2] . (6.74)On peut remarquer qu’une représentation alternative du facteur nontrivial dansla mesure d’intégration fonctionnelle est la suivante∏( ) ρ2 1/20ρ 2 = e − ∑ ⃗x ln | ρρ 0 −→ e − 1 ∫2 d 2 ⃗x ln ρ2ρ 2 .δ 2 ⃗x ( ⃗0)0 . (6.75)(⃗x)⃗x

6.3 Théorie euclidienne 99Cependantet∫δ⃗x 2 ( ⃗0) =d 2⃗ k(2π) 2 = V ⃗ k(2π) 2 , (6.76)∫V ∞ = d 2 ⃗x = πΛ 2 x, (6.77)où Λ x est un cut-off radial dans le plan euclidien ⃗x, ce qui entraîne queV ⃗k(2π) 2 = Λ2 k4π , (6.78)où de même Λ k désigne un cut-off radial dans l’espace des ⃗ k. La densité lagrangienneeffective est enfin déterminée parL effE =−12ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 02+∞∑πΛ 2 x m=−∞6.3.3 Le critère de confinementδ(B(⃗x) − m) + Λ2 k4π ln | ρ ρ 0|. (6.79)Avant de poursuivre avec quelques considérations basées sur le résultat(6.79), montrons comment le critère du confinement est aisément rencontré autravers de notre approche purement physique (invariante de jauge). Un des avantagesde considérer l’espace-temps euclidien est que l’on est en mesure dans cetespace-temps de déterminer l’énergie de l’état fondamental. Parlant d’énergie,il y a également le critère de confinement qui est un aspect lié à la présence desinstantons.Considérons la valeur moyenne de la boucle de Wilson,[26, 27]avec∮C〈e iq ∮ C d⃗x. ⃗A 〉, (6.80)∫d⃗x. A ⃗ = d 2 ⃗x ∇ ⃗ × A ⃗ = 1 ∫S eS) 2d 2 ⃗x ⃗ ∇ × ⃗j, (6.81)où E S (⃗x) désigne la fonction caractéristique du domaine S. Nous avons ainsi∮d⃗x. A ⃗ = 1 ∫d 2 ⃗xE S (⃗x) ∇Ce⃗ × ⃗j= 1 ∮d 2 ⃗xE S (⃗x)[∂ 1 j 2 − ∂ 2 j 1 ]e= 1 ∫d 2 ⃗x[j 1 ∂ 2 E S − j 2 ∂ 1 E S ]e= 1 ∫d 2 ⃗x[j 1 ∂ 2 E S − j 2 ∂ 1 E S ]e= 1 ∫d 2 ⃗x(⃗j × ∇Ee⃗ S ). (6.82)

100 Formulation euclidienneConsidérons à présent la densité lagrangienne euclidienne sous une de ses formesintermédiaires suivantes, ayant conduit au résultat final précédentL E = 1 2 e2 B 2 + 12ρ 2 ⃗π2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2 + i q e ⃗ j × ⃗ ∇E S− iB( ⃗ ∇ × ⃗j) − i⃗π.⃗j. (6.83)Suivant alors la même série de transformations de la densité lagrangienne, nousavonsL E = 1 2 e2 B 2 + 12ρ 2 (⃗π)2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2−ce qui entraîne queiB( ⃗ ∇ × ⃗j) + i q e E S( ⃗ ∇ × ⃗j) − i⃗π.⃗j= 1 2 e2 B 2 + 12ρ 2 (⃗π)2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2−i [B − q e E S]( ⃗ ∇ × ⃗j) − i⃗π.⃗j, (6.84)L E = 1 2 e2 B 2 + 12ρ 2 (⃗π)2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2− i⃗j[⃗π + ⃗ ∇(B − q e E S) × ẑ] − i∂ 1 [(B − q e E S)∂ 2 ϕ S ]+ i∂ 2 [(B − q e E S)∂ 1 ϕ S ], (6.85)et alorsL E = 1 2 e2 B 2 + 1 [⃗∇(Bq] 2−2ρ 2 e E 1S) +2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2[− i∂ 1 (B − q ] [e E S)∂ 2 ϕ S + i∂ 2 (B − q ]e E S)∂ 1 ϕ S . (6.86)Intégrant alors sur les contributions singulières ϕ s , nous obtenons enfin la densitélagrangienne effective suivanteL E = 1 2 e2 B 2 + 1 [⃗∇(Bq] 2−2ρ 2 e E 1s) +2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 (ρ 2 − ρ 2 0) 2−2+∞∑πΛ 2 x m=−∞(δ B(⃗x) − q e E S(⃗x) − m)+ Λ2 k4π ln | ρ ρ 0|. (6.87)En conclusion, appliquant l’argument dû à Wilson [26] il y a confinement siq/e n’est pas entier et au cas où ce nombre est entier il n’y a pas confinement.6.3.4 Construction des vortexL’action (6.79) fournit ainsi une représentation effective du système, danssa formulation euclidienne, y compris les contributions non perturbatives autravers du potentiel effectif δ attractif pour le champ B(⃗x).Une étude détaillée des conséquences d’un tel potentiel, en conjugaison avecle potentiel logarithmique en ln ρ 2 dont l’intensité dépend du cut-off Λ 2 k, ne fait

6.3 Théorie euclidienne 101pas parti de la présente étude. En particulier, suivant que e 2 > M 2 ou e 2 < M 2 ,nous nous attendons à une transition de phase au point self-dual du systèmee 2 = M 2 , associé à une condensation ou non des singularités de ϕ s en ⃗x a . Atitre purement indicatif, faisons cependant ici quelques remarques. Une telleétude se baserait sur l’analyse des solutions aux équations du mouvement pourle système (les points de selle) où cette fois le champ B(⃗x) est contraint deprendre des valeurs quantifiées (m a ) en un ensemble fini de points ⃗x a du plan(en effet, en développant le potentiel δ dans l’intégrale fonctionnelle, une tellereprésentation effective peut être obtenue). Contrairement à l’argument généralutilisant une transformation d’échelle discuté plus haut et établissant que seulesles configurations du vide sont des points de selle, lorsque le champ B(⃗x) estainsi fixé en une série de points ⃗x a cet argument ne s’applique plus, et des pointsde selle non triviaux doivent pouvoir exister.Cependant, ce dernier point sera fonction du rapport e 2 /M 2 . En effet, pourun seul point de singularité, il est possible de considérer les équations des pointsstationnaires en coordonnées radiales par rapport au point de singularité, etles développer en série en la distance à ce point. Une analyse non reprise ici,montre que des solutions pourraient exister dans le plan, mais probablementuniquement pour un certain ensemble de valeur e 2 /M 2 .Un argument alternatif est de considérer la linéarisation des équations dumouvement pour cette même situation. On part des équations du mouvementeuclidiennes en coordonnées radiales, et pour une configuration à symétrie cylindrique⎧⎨⎩1r1rddrddr[[r dBρ 2 drr dρdr]]+ 1 ρ 3 ( dBdr= e 2 B,) 2= − 1 2 M 2 ρ(ρ 2 0 − ρ 2 ).(6.88)En vue de résoudre ce système d’équations dans l’approximation linéaire,nous procédons aux changements suivantsρ −→ λ¯ρ, (6.89)B −→ λ 2 ¯B. (6.90)Le système (6.88) est alors équivalent à⎧ [ ]⎨ 1 d r dr dr ¯ρ 2 dr ¯ρ = e 2 λ 2 ¯B,[ ] [ ] 2⎩ d+ ¯ρ = − 1 2 M 2 ¯ρ(ρ 2 0 − λ 2 ¯ρ 2 ).1rdrr d¯ρdr1 d ¯B¯ρ 2 dr(6.91)Lorsqu’on fait tendre λ vers la valeur nulle, le système se réduit au systèmelinéarisé⎧ [ ]⎨ 1 d r d ¯Br dr ρ 2 dr= 0,[ ] [ ]⎩ 1 dr drr d¯ρ 1 ddr+ ¯ρ¯B 2 (6.92)¯ρ 2 dr = −12 M 2 ¯ρρ 2 0.Il découle quer d ¯B¯ρ 2 = C, (6.93)dr

102 Formulation euclidienneC étant une constante. Nous avons à résoudrePosonsd ¯Bdr = C r ¯ρ2 (r), (6.94)d 2dr 2 ¯ρ + 1 [ ]d 1r dr ¯ρ + 2 M 2 ρ 2 0 + C2r 2 ¯ρ = 0. (6.95)u = 1 √2Mρ 0 r ;ddr = √ 1 dMρ 02 du , (6.96)alors (6.95) équivaut à[ d2du 2 + 1 ]du du + 1 − (iC)2u 2 ¯ρ = 0. (6.97)Il s’ensuit que( ) 1¯ρ(r) = Z iC √2 Mρ 0 r , (6.98)cependant ¯ρ doit rester fini lorsque r → 0, nous devons alors choisir( ) 1¯ρ(r) = f 0 J ic2 Mρ 0r , (6.99)qui doit être réel, donc C = 0. Les solutions sont( ) 1¯ρ(r) = f 0 J 02 Mρ 0r , (6.100)d ¯Bdr = 0 ⇒ ¯B(r) = B 0 . (6.101)Enfin, les solutions linéarisées en λ sécrivent( ) 1ρ(r) = λf 0 J 0 √2 Mρ 0 r , (6.102)B(r) = λ 2 B 0 . (6.103)Celles-ci peuvent donc servir de “germes” pour la construction, éventuellementnumérique des solutions finies aux équations complètes non linéraires. Cependant,nous ne poursuivons pas ici plus avant de telles considérations, laisséespour des travaux au delà de celui-ci. En conclusion nous pouvons dire que l’étudedes instantons du modèle de l’électrodynamique scalaire dans son secteur physiquerepose sur les contributions singulières des termes de surface. Ce qui aconduit à une action effective déterminée par la densité lagrangienne effectiveL effE =−12ρ 2 (⃗ ∇B) 2 + 1 2 e2 B 2 + 1 2 (⃗ ∇ρ) 2 + 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 0+∞∑πΛ 2 x m=−∞δ(B(⃗x) − m) + Λ2 k4π ln | ρ ρ 0|. (6.104)) 2

6.3 Théorie euclidienne 103Lorsque nous posonsV eff = 1 8 M 2 ( ρ 2 − ρ 2 0) 2+Λ 2 k4π ln | ρ ρ 0|, (6.105)nous pouvons déterminer le minimum de ce potentiel et définir autour un schémaperturbatif incluant des renormalisations. Il s’ouvre à ce stade beaucoup d’autresproblèmes intéressants à résoudre.

ConclusionDurant ces trois années de travaux pour cette thèse, notre objectif principala été d’apporter des contributions et des innovations dans l’étude de solutionsnon perturbatives de théories quantiques de champs relativistes possédant dessymétries locales de jauge dans le cas spécifique simplificateur d’un espace-tempsde Minkowski de dimension deux. A l’issu de ces travaux, nos contributions ontété les suivantes pour chaque composante de ce travail.En ce qui concerne la première composante du travail, nous avons repris unmodèle bien connu dans la littérature, à la mode dans les années soixante-dixque nous avons étudié sans fixation de jauge contrairement aux études dans lalittérature où la jauge de Coulomb est fixée. Nous reproduisons le même spectrephysique que dans la littérature : (N − 1) bosons de masse nulle et un champpseudoscalaire massif, le champ électrique. Nous prouvons également que lasymétrie axiale valable au niveau classique est brisée au niveau quantique.L’étude du modèle à N saveurs est alors poursuivie pour ce qui concerneses symétries chirales et globales de saveur, complétant ainsi un aspect habituellementignoré dans la littérature pour le modèle de Schwinger à N saveursde particules. Au travers de la bosonisation des fermions et de la constructiond’opérateurs de vertex non linéaires, nous réalisons à l’aide des algèbres affinesde Kac-Moody les symétries chirales n’appartenant pas à la sous-algèbre deCartan du groupe de symétrie non abélien correspondant.Ensuite, nous avons étudié la dynamique non perturbative du modèle del’électrodynamique scalaire en dimension 1+1 d’espace-temps de Minkowski quicorrespond à un modèle de couplage d’un champ pseudosclaire, essentiellementle champ électrique, au champ scalaire réel, à savoir le champ de Higgs, partieradiale du champ complexe initial. Nous montrons que les configurations rendantl’énergie minimale sont celles pour lesquelles le champ électrique est nul. Nousdistinguons ainsi les configurations du vide et celles solitoniques.La détermination du spectre de fluctuations pour les configurations solitoniquesn’a pas été aussi simple, ce qui a conduit à l’examination de quelquesclasses de potentiels. Il ressort que les configurations du vide sont stables aussibien sur la droite que sur le cercle. Quand aux configurations solitoniques, ellessont stables dans le cas d’un soliton sur la droite réelle et sous des conditionsd’antipériodicité sur le cercle pour un nombre impair de solitons.Finalement, afin d’étudier dans notre approche invariante de jauge et physique,la physique non perturbative liée aux instantons dans l’approche non invariantede jauge disponible dans la littérature, nous procédons par continuationanalytique du temps réel au temps imaginaire pour déterminer la formulationeuclidienne du modèle de l’électrodynamique scalaire. Nous prouvons qu’au niveausecteur physique, ce modèle ne possède pas d’instantons, mais que le rôle

106de ceux-ci est maintenant réalisé par des contributions singulières dans l’actioneffective au travers de termes de surfaces soigneusement conservés dans laformulation hamiltonienne. Bien qu’il n’y ait pas d’instantons dans le secteurphysique de ce modèle, nous examinons le critère de confinement et l’aspect vortexlorque l’on se fixe un champ électrique non nul en une collection de pointsdans le plan, la seule trace des contributions instantons habituelles dans notreapproche physique et duale à la dynamique non perturbative de ce système.Tous ces résultats constituent notre contribution pour ces questions d’actualitésdans ce domaine de la physique. Nous comptons poursuivre cette ligned’investigations de dynamiques non perturbatives à 1 + 1 dimensions d’espacetempset ensuite à 2+1 dimensions des théories quantiques de champs relativistesavec symétries de jauge, tirant profit des développements techniques réalisés lorsde cette thèse de Doctorat.En particulier, en fonction de la valeur du rapport e 2 /M 2 relativement à lavaleur unité, nous nous attendons à ce que les contributions non perturbativesreprésentées maintenant par le potentiel attractif du type δ dans le plan pourle champ B, conduise à un régime statistique intéressant, que l’approche eninstanton dans la littérature n’est pas en mesure d’élucider.[27, 28, 29, 30] Larelation éventuelle de ce problème à des problèmes de transitions de phase enmatière condensée à deux dimensions est également à explorer. Finalement,notre approche s’offre également pour une étude de ces systèmes à températurefinie.

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