LES NOMBRES COMPLEXES I - Poly-Prepas

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux- Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) -MATHEMATIQUES 14NOMBRES COMPLEXES I :REGLES DE CALCUL DANS C- COURS + ENONCE EXERCICE -Olivier CAUDRELIERoc.polyprepas@orange.fr95

1. Notion de nombre complexe :a) Introduction :L’équation : =2 n’a pas de solutions dans N, , Q ; il a fallu créer l’ensemble des irrationnels(ou nombres réels) : R pour pouvoir la résoudre : =−√2 = +√2De la même façon, l’équation : = − 2 n’a pas de solutions dans N, , Q, R ; pour pouvoircontinuer à avoir des solutions, on crée un nouvel ensemble de nombres : l’ensemble des nombrescomplexes : C ; nous verrons que l’équation = − 2 y possède alors deux solutions : =−√2 = +√2b) L’ensemble des nombres complexes : C· C contient l’ensemble des nombres réels (ou R⊂C)· Les règles de calcul dans C sont les mêmes que dans R·Il existe un nombre complexe noté tel que = −· Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique : = + , avec et réelsAutrement dit : si un nombre n’est pas écrit sous cette forme-ci, il faudra essayer de s’yramener (par des développements et/ou méthode du conjugué (voir plus bas))ex : = (1−2).(3−1)=3−1−6²+2=5−1−6.(−1) =5−1+6=+· La forme = + est la forme algébrique du nombre complexe z est la Partie Réelle de , et l’on note : () = est la Partie Imaginaire de , et l’on note : () = · Conjugué d’un nombre complexe : = − En pratique, lorsqu’un nombre complexe est écrit sous forme d’un quotient, on peut seramener à sa forme algébrique en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué dudénominateurex : == ().()= ²= = = − ().() () ()² ²² 96

c) Représentation géométrique :Les nombres réels, sont des nombres à une dimension et se situent tous sur un même axe : la droite desréels.Or, on a vu qu’un nombre complexe possède deux dimensions : réelle et complexe. La droite nesuffira donc pas pour le représenter, il faut passer à une représentation à deux dimensions : le plan.Les nombres complexes sont donc en quelque sorte des « nombres plans » ou : des nombres dans leplan. (Remarque : on pourra donc noter que la notion d’ordre (inférieur, supérieur) n’a pas forcémentde sens dans l’ensemble C)Le plan peut donc être vu comme l’ensemble des nombres complexes (plan d’Argand) et on peut lemunir le plan complexe muni d’un repère orthonormal (; ⃗,⃗) , ; dès lors, on peut associer à toutnombre complexe = + , le point M de coordonnées (; ). On dit que est l’affixe du pointM.d) Equations complexes du 1 er , 2 nd , 3 e degré…Règles de base :· un complexe est égal à un autre complexe si et seulement si leurs parties réelles sont égales, etleurs parties imaginaires sont égalesainsi, si = + et = + : = ′ ⟺ =′=′· Un complexe est nul si set seulement si sa partie réelle est nulle et sa partie imaginaire estnulle. = ⟺ = = 97

Equations du 1 er degré :‣ Si l’équation ne contient que des , on raisonne comme pour les réels : les d’un côté, les« chiffres » de l’autre (voir exercices corrigés)‣ Si l’on a une équation avec d’autres formes que , par exemple des équations avec ̅ ou ||, ilfaut poser : = + (voir exercices corrigés)Equations du 2 nd degré :‣ Si l’équation ne contient que des , on raisonne comme pour les réels : discriminant, puisl’obtention des racines : à ceci près que dans C , la racine carré&e d’un nombre négatifexiste (ex : √−16 = (4)² =4Donc, dans C, le cas Δ

Méthode-type de résolution d’une équation du 3 e degré :3 + (1+6) +2(8+)+ 32 =0 () = 3 +(1+6) +2(8+)+ 32Soit on nous demande de prouver que telle valeur est une racine de , soit –le cas échéant- on chercheune racine évidente (1; −1; ; −;2 ; −2 ;2; −2 ;…)Ici, on demande de prouver que (−2) est une racine de (−2) = 3(−2) + (1+6)(−2) +2(8+)(−2) + 32 =⋯=0Donc (−2) est bien une racine de , et l’on peut factoriser par ( +2) et un polynôme de degré 2,de forme générale ( + + ) : () = ( +2).( + + )() = + ² + +2²+2 +2() = + ( +2)² +(+2) +2 () = 3 +(1+6) +2(8+)+ 32Donc, par identification des coefficients :⎧⎪ =3+2 =1+6⎨(+2) =2(8+)⎪⎩ 2 = 32⟺⎧ =3⎪=1⎨⎪⎩= 16D’où : () = ( +2).(3 ++ 16)Il ne reste plus qu’à déterminer les racines de () = (3 ++ 16)∆= −191 = 191²z = −1−i√1916z = −1+i√1916=− 1 6 −i√191 6=− 1 6 +i√191 699

Enoncé des exercices sur :LES NOMBRES COMPLEXES Iexercice 1 :Calculer les nombres complexes suivants :a) = (1+).(1−2).(1+3)b) = ()()()c) = d) = √2 + −(√2+3)²exercice 2 :Soit la fonction complexe suivante : () = (1 −) −(1−3)+4Calculer : (), , exercice 3 :Résoudre les équations suivantes :a) 3 −2=4−3b) = c) 2 − ̅ =3−6exercice 4 :Résoudre les équations suivantes :a) ²+2√3.+4=0b) ² −1+√3+√3=0100

exercice 5 :a) Développer : ( +3+1).( −+ 6)b) Résoudre : +2 +4 + 17 +6=0exercice 6 :1. Soit la fonction définie dans le corps des complexes par :() = −2√3+²+41+√3−8a) Calculer (2)b) Résoudre : () =02. Résoudre dans C : ²+̅+ =0exercice 7 :Soit () = −4²+−4a) Calculer () et (−)b) Résoudre dans C : () =0c) Résoudre alors dans C l’équation : −4 + −4=0101