LES NOMBRES COMPLEXES I - Poly-Prepas

1. Notion de nombre complexe :a) Introduction :L’équation : =2 n’a pas de solutions dans N, , Q ; il a fallu créer l’ensemble des irrationnels(ou nombres réels) : R pour pouvoir la résoudre : =−√2 = +√2De la même façon, l’équation : = − 2 n’a pas de solutions dans N, , Q, R ; pour pouvoircontinuer à avoir des solutions, on crée un nouvel ensemble de nombres : l’ensemble des nombrescomplexes : C ; nous verrons que l’équation = − 2 y possède alors deux solutions : =−√2 = +√2b) L’ensemble des nombres complexes : C· C contient l’ensemble des nombres réels (ou R⊂C)· Les règles de calcul dans C sont les mêmes que dans R·Il existe un nombre complexe noté tel que = −· Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique : = + , avec et réelsAutrement dit : si un nombre n’est pas écrit sous cette forme-ci, il faudra essayer de s’yramener (par des développements et/ou méthode du conjugué (voir plus bas))ex : = (1−2).(3−1)=3−1−6²+2=5−1−6.(−1) =5−1+6=+· La forme = + est la forme algébrique du nombre complexe z est la Partie Réelle de , et l’on note : () = est la Partie Imaginaire de , et l’on note : () = · Conjugué d’un nombre complexe : = − En pratique, lorsqu’un nombre complexe est écrit sous forme d’un quotient, on peut seramener à sa forme algébrique en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué dudénominateurex : == ().()= ²= = = − ().() () ()² ²² 96