TD-arithmétique élémentaire (1) : cours du 14/03/2011 - IUFM

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3Autour de la division euclidienneExercice 1Arithmétique élémentaire (1)On s’intéresse au quotient et au reste de la division euclidienne de 40 626 par 12. Voici quatre résultats touserronés :Résultat 1 quotient : 348 reste : 8Résultat 2 quotient : 3 384 reste : 18Résultat 3 quotient : 3 382 reste : 6Résultat 4 quotient : 3 383 reste : 0Sans poser la division, expliquez pourquoi chacun de ces résultats sont erronés. Pour cela, on utilisera unargument de nature différente pour chacun des résultats.Exercice 2Sachant que 3431 = 71 x 48 + 23, trouver sans poser la division, le quotient et le reste des divisions euclidiennesde : 3453 par 71 ; 3481 par 71 et 3376 par 71Exercice 3a. Peut-on déterminer le dividende et le diviseur d'une "division" sachant que :• le dividende est plus petit que 3000• le quotient est 82• le reste est 47Justifier votre réponse.b. Peut-on déterminer des naturels de deux chiffres qui, divisés par 37, donnent un quotient égal au reste ?Justifier votre réponse.Exercice 4a. le diviseur est 83, le quotient est 403. Trouver tous les dividendes possibles et les restes associés. On utiliseraune formule permettant de les calculer tous.b. le dividende est 8592, le quotient est 38. Trouver le diviseur et le reste associé ; y a t-il plusieurs solutions ? Sioui, exprimer toutes les solutions, sinon justifier la réponse.Exercice 5Comment utiliser une calculatrice pour obtenir le quotient et le reste de la division euclidienne du nombre 73956par le nombre 13 ?Exercice 6Nous utilisons le calendrier grégorien : les années ont 365 jours sauf les années bissextiles qui en ont 366. Uneannée est bissextile si le nombre qui la représente est divisible par 4.Si un nombre qui représente une année est divisible par 100, on dit que l’année est séculaire. Les annéesséculaires ne sont pas considérées comme des années bissextiles sauf celles qui sont représentées par unnombre divisible par 400.a. Quel est le nombre de jours des années 1900, 2000, 2006, 2008 ?b. Le dernier jour de l’année 2010 était un vendredi. Quel jour était le 297 éme jour de l’année 2011 ?Exercice 7Toutes les réponses devront être justifiées.a. Quel est le reste de la division euclidienne de 1 par 7, de 10 par 7 et de 100 par 7 ?b. En utilisant l’égalité 10 3 = 10²x10, déterminer le reste de la division euclidienne de 1000 par 7.c. soit r n le reste de la division euclidienne de 10 n par 7. Donner une procédure pour trouver le reste r n+1 de ladivision euclidienne de 10 n+1 par 7.Arithmétique élémentaire

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3d. Remplir le tableau suivant :10 n 1 10 10² 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Reste de ladivisioneuclidiennePar 7e. 6 000 000 006 est-il divisible par 7 ?Multiples et diviseursExercice 8Un éditeur doit envoyer un stock de livres tous identiques à un libraire. Pour cela, il les groupe dans des cartonscontenant exactement 54 livres. Tous les cartons sont pleins et il ne reste pas de livre. Le stock de livres contientau moins 1 500 livres mais pas plus de 1 800.a. Quel est le nombre de livres composant le stock ? Trouvez toutes les possibilités.b. Le nombre de cartons étant trop important, l’éditeur décide de ranger les livres dans des cartons de taille plusgrande. Il remplit alors 15 cartons avec le même nombre de livres et tous les livres sont rangés. Quel est le nombrede livres que contient chaque carton ?Exercice 9Dire pour chaque nombre ci-dessus s’il est divisible par 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 25.423 ; 825 ; 79 ; 116 ; 48 ; 135 ; 950 ; 29 ; 5208 ; 360Exercice 10Démontrer pour un nombre de 4 chiffres en base dix les critères de divisibilité par 9, 4 et 11.Exercice 11Dans cet exercice, les propriétés énoncées concernent uniquement les nombres à trois chiffres.a. abc est l’écriture d’un nombre à trois chiffres en base quatre avec a, b, c des entiers inférieurs à 4.Etablir le caractère de divisibilité par 3 à partir de l’écriture abc en base quatre d’un nombre quelconque.b. abc est l’écriture d’un nombre à trois chiffres en base sept avec a, b, c des entiers inférieurs à 7.Etablir le caractère de divisibilité par 6 à partir de l’écriture abc en base sept d’un nombre quelconque.c. Comparer les caractères de divisibilité par 3 en base quatre et par 6 en base 7 au caractère de divisibilité par 9en base dix. Que remarquez vous ?Exercice 12Qui suis-je ?1. Je suis le plus grand entier de trois chiffres divisiblepar 5.2. Je suis le plus grand entier de trois chiffres seterminant par 2 et multiple de 9.3. Je suis le plus petit entier de trois chiffres divisiblepar 9.4. Je suis un multiple commun à 4 et à 10. Je suis pluspetit que 25.5. Je suis un diviseur de 24. Je suis aussi un nombreimpair différent de 1.6. Je suis le plus grand diviseur commun à 24 et 16.Exercice 13Les nombres 2882 et 19591 sont des palindromes (cela signifie qu’en les lisant de gauche à droite ou de droite àgauche on a le même nombre). Trouver tous les palindromes ayant quatre chiffres et qui sont divisibles par 9.Arithmétique élémentaire

Master 1 « Education et Métiers de l’enseignement du premier degré »Mathématiques EC 4.3Exercice 14Quel est le plus petit entier de quatre chiffres, tous différents de zéro, divisible à la fois par 4 et par 9 ? (La réponsesera justifiée).Exercice 15a. Existe-t-il un entier naturel qui soit multiple de 5 sans être multiple de 10 ? Existe-t-il un entier naturel qui soitmultiple de 10 sans être multiple de 5 ?b. Pourquoi peut-on être sûr que 282828 est un multiple de 7 ?c. Trouver tous les entiers naturels qui ont 56 pour multiple.d. Existe-t-il un entier naturel qui soit diviseur de 48 sans être diviseur de 12 ? Existe-t-il un entier naturel qui soitdiviseur de 12 sans être diviseur de 48 ?e. Soit a, b et c trois nombres entiers compris entre 0 et 9. Les nombres qui s’écrivent abcabc en base dix sont-ilsdes multiples de 13.Arithmétique élémentaire