Anneau des polynômes

4) Si A = 0 ou B = 0 l’égalité est triviale.Et si A 6= 0 et B 6= 0; alors en posant A = (A ^ B) :A 0 et B = (A ^ B) :B 0 , lespolynômes A 0 et B 0 deviennent premiers entre eux, alors d’après 3) A 0 _B 0 = A 0 B 0et en utilisant Pté 6.3.4.4, on conclut queAB = (A ^ B) 2 A 0 B 0 = (A ^ B) 2 (A 0 _ B 0 )= (A ^ B) ((A ^ B) A 0 _ (A ^ B) B 0 ) = (A ^ B) (A _ B)5) B est un multiple commun des P i ; donc c’est un multiple de leur ppcm quiQest égal, d’après 3), à s QP i ; donc s P i divise B:i=16.3.7. Polynomes irréductiblesi=16.3.7.1 Dé…nition: On appelle polynôme irréductible ou premier dans K [X] toutpolynôme P tel que deg P 1 dont les seuls diviseurs sont les polynomes et:P , où 2 K = K f0g :Exemple 1: X a est un polynôme irréductible dans K [X] et d’une façongénérale tout polynôme P de degré 1 est irréductible dans K [X] :En e¤et: Si B divise P; alors deg B deg P = 1 et comme B ne peut pas êtrenul, on conclut que deg B 2 f0; 1g donc B 2 f; :P g où 2 K :Exemple 2: X 2 + 1 est irréductible dans R [X] car on ne peut pas l’écrirecomme produit de deux polynômes de degré 1 à coe¢ cients dans R:Le même polynome X 2 +1 est réductible dans C [X] , car X 2 +1 = (X + i) (X i)Exemple 3: X 4 +4 est réductible Q [X] , car X 4 +4 = (X 2 2X + 2) (X 2 + 2X + 2).6.3.7.2 Proposition: Soient P un polynôme irréductible et A; A 1 ; A 2 ; :::; A s desdes polynômes de K [X], alors:1) Ou bien P est premier avec A ou bien P divise A:Q2) Si P divise s A i , alors P divise au moins l’un des A i :i=1Preuve: 1) Les seuls diviseurs de P sont et P; ( 2 K )alors ou bienpgcd (A; P ) = 1 = 1; donc P et premier avec A; ou bien pgcd (A; P ) = P b (oùest le polynôme unitaire associé à P ) donc P divise A:2) Supposons que P ne divise aucun A i , alors d’après 1) , il est premier avecQtous les A i ; et d’après Ptè 6.3.6.4 , P est premier avec s P i , ce qui est absurde.i=1.6.3.7.3 Théorème: Tout polynôme P de K [X] tel que deg P 1; possède aumoins un diviseur irréductible unitaire.13