Anneau des polynômes

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6.4. Fonctions polynômes d’une variable, polynôme dérivé et racined’un polynôme6.4.1 Dé…nitions: Soit P = a 0 + a 1 X 1 + ::: + a n 1 X n 1 + a n X n un polynôme deK [X] :1) On appelle fonction polynôme d’une variable x associée à P; la fonction P ede K dans K dé…nie par: P e (x) = a0 + a 1 x 1 + ::: + a n 1 x n 1 + a n x n2) On dit qu’un élément est une racine ou zéro de P , si P e () = 0:3) On appelle polynôme dérivé du polynôme P le polynôme noté P 0 dé…ni par:P 0 = a 1 + 2a 2 X 1 + ::: + (n 1) a n 1 X n 2 + na n X n 1Exemple 1: La fonction polynôme associée au polynôme P = X 2 + 2X 3de R [X] est la fonction P e : R ! R telle que P e (x) = x 2 + 2x 3 et les seulesracines de P sont 3 et 1 car P e ( 3) = P e (1) = 0Le polynôme dérivé de P est P 0 = 2X + 2Exemple 2: La fonction polynôme associée au polynôme P = X 2 2 de Q [X]est la fonction P e : Q ! Q telle que P e (x) = x 2 2 et P n’a pas de racine careP (x) 6= 0 pour tout x 2 Q:Le polynôme dérivé de P est P 0 = 2X6.4.2 Remarque: 1) On dit que P e (x) est obtenu par substitution de x à X dansP:2) On véri…e facilement que ^P + Q = P e + Q e , P:Q g = P e : Q e ; P e0 = P f0 ;(P + Q) 0 = P 0 + Q 0 et (P:Q) 0 = P 0 :Q + P:Q 03) Si deg P 1; alors deg P 0 = deg P 1 et deg P < 1; alors deg P 0 = 16.4.3 Théorème: Soit P 2 K [X] et 2 K; alors:1) Le reste de la division euclidienne de P par X est P e () :2) est une racine de P si, et seulement, si X divise PPreuve: 1) On a P = (X ) Q + R où R et Q sont respectivement le resteet le quotient de la division euclidienne de P par X . Alors e P = ^ (X ) e Q+ e R,ainsi e P () = e R ().Or deg R < 1 donc R et constant, d’où e R = R et e R () = R: Par conséquenteP () = R:2) est une conséquence directe de 1).Exemple: 3 est une racine du polynôme P = X 3 + 5X 2 + 3X 9 de R [X] ;alors P = (X + 3) Q avec Q = 2X + X 2 36.4.4 Ordre de multiplicité d’une racine: Soit P 2 K [X] et une racinede P: On appelle ordre de multiplicité de la racine de P; le plus grand m 2 N16
tel que (X ) m divise P:* Si m = 1; on dit que une racine simple de P* Si m = 2; on dit que une racine double de P:* Si m = 3; on dit que une racine triple de P: ...etcExemple: 3 est une racine double du polynôme P = X 3 + 5X 2 + 3X 9de R [X] ; car P = (X + 3) 2 (X 1)6.4.5 Théorème: Soient P 2 K [X] et 2 K: est une racine simple de P si,et seulement, si P e () = 0 et P e 0 () 6= 0 (où P e0 est la dérivée de P e )Preuve: est une racine simple de P si, et seulement, s’il existe Q 2 K [X]tel que P = (X ) Q et Q () 6= 0:Or P e0 = Q e + (x ) Q e0 donc P e0 () = Q () ; d’où l’équivalence voulue.Exemple: Soit le polynôme P = X 3 + 5X 2 + 3X 9 de R [X] ;On a P e (1) = 0 et P e0 (1) 6= 0 ( P e0 (x) = 3X 2 + 10X + 3)6.4.6 Proposition: Si 1 ; 2 ; :::; r sont des racines deux à deux distinctes deP , d’ordres de multiplicité respectifs m 1 ; m 2 ; :::; m r ; alors (X i ) m idivise P:i=1Preuve: Les i sont deux à deux distinctes, alors les polynomes X i sontpremiers entre eux et par suite (X i ) m isont premiers entre euxOr (X i ) m idivise P donc r (X i ) m idivise P: (voir Ptés 6.3.6.4 ).i=16.4.6.1 Corollaire: 1) Un polynôme de degré n 2 N admet au plus n racinesdistinctes.2) Si P possède une in…nité de racines, alors P est le polynome nul.Preuve: 1) Supposons 1 ; 2 ; :::; n+1 des racines distinctes de P; alors d’aprèsla proposition précédente, n+1r n+1i=1 (X i)(X i) divise P; donc n+1 = degi=1deg P = n ce qui est absurde.2) L’assertion 1) montre que si P admet une in…nité de racine, alors deg P =2 N;donc P est nul.6.4.7 Théorème:(Théorème fondamental de l’algèbre): Tout polynômenon constant de C [X] admet au moins une racine dans C:Autrement dit: Les polynômes irréductibles de C [X] sont les polynômes de degré1(La preuve de ce théorème dépasse le cadre du cours d’algèbre de 1 ere annéeLMD)6.4.7.1 Remarque: Il existe des formules donnant les racines d’un polynômede degré 1; 2; 3 et 4 de C [X]. De telles formules n’existent pas pour un polynôme17
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