Anneau des polynômes

Or 0 = r QP iii=1rQQ iii=1intègre et P Qii 6= 0; alors rk=1k6=i= P iiP k0BrQ@k=1k6=ik= Q i iiP kkQ i iirQk=1k6=iQ kkrQk=1k6=iQ kk1CA et comme K [X] estet Q i divise le deuxième membresans diviser le premier, ce qui est impossible. De la même façon, on montre qu’ilest impossible d’avoir i > i ; d’où l’égalité i = i.6.3.7.4 Calcul du pgcd et du ppcm à l’aide de la décomposition en facteursirréductibles:Soit A 2 K [X] = K [X] f0g ; Pour tout polynôme irréductible unitaire P ,on note par v P (A) ; l’exposant de P dans la décomposition en facteurs irréductiblesde A: Alors:v P (A) = 0 , si P ne divise pas Av P (A) 6= 0 , si P divise ADonc la décomposition donnée par le théorème Th 6.3.7.3 , peut être écriteA = Q P vp(A) ; où P est l’ensemble de tous les polynômes irréductibles unitairesP 2Pde K [X].Exemple: Dans C [X] ; on a: v X+i (X 2 + 1) = 1; v X+1 (X 2 + 1) = 06.3.7.4.1 Théorème:8Soient A 1 ; A 2 ; :::A s des polynômes de K [X] .< pgcd (A 1 ; A 2 ; :::A s ) = Q P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s))P 2POn a, alors: ppcm (A 1 ; A 2 ; :::A s ) = Q P max(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s))P 2PPreuve: 1) Soit D = pgcd (A 1 ; A 2 ; :::A s ) et= Q P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s)) :Pour tout i ; P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s)) divise les P vp(Ai) ; d’où= Q P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s)) divise les Q P vp(Ai) = A i et d’après le ThP 2P6.3.4.3 on conclut que divise D:Inversement, D = pgcd (A 1 ; A 2 ; :::A s ) et comme D divise les A i ; alors v P (D) v P (A i ) ; pour tout i 2 f1; 2; :::; sg , donc v P (D) min (v P (A 1 ) ; v P (A 2 ) ; :::; v P (A s ))et P v P (D) divise P min(v P (A 1 );v p(A 2 );:::;v p(A s)) ; et par passage aux produits, on aura Ddivise , d’où l’égalité D = :2) La preuve est analogue pour le ppcmP 2PP 2P15